Luận văn thạc sĩ phân phối xác suất và hàm đặc trưng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHOI XÁC SUAT V HM ắC TRNG LUÔN VN THAC SY KHOA HOC Hà N®i, 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHOI XÁC SUAT VÀ HÀM Đ¾C TRƯNG Chuyên ngành: Mã so: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC 60.46.01.06 LUÔN VN THAC SY KHOA HOC NGốI HộNG DAN KHOA HOC: PGS TS PHAN VIET THƯ Hà N®i, 2015 Lài cam ơn Tác gia xin bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac tói PGS.TS Phan Viet Thư, ngưịi thay t¾n tình giúp đõ, chi bao, đ%nh hưóng nghiên cúu cho tơi đe hồn thành lu¾n văn Qua đây, tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, B® mơn Xác suat thong kê trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc quoc gia Hà N®i, nhung ngưòi giúp đõ, giang day truyen đat kien thúc cho tác gia suot q trình HQc t¾p nghiên cúu tai trưịng M¾c dù có nhieu co gang, han che ve thịi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp quý báu cna quý thay cô ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin trân TRQNG cam ơn! Hà N®i,tháng 06 năm 2015 Lê Nam Trung Mnc lnc Me ĐAU TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Me ĐAU 1.1 BIEN NGAU NHIÊN 1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT 1.2.1 Quan h¾ giua phan tu ngau nhiên phân phoi xác suat 1.2.2 Phân phoi ròi rac phân phoi liên tuc 11 HÀM PHÂN PHOI 14 2.1 CAU TRÚC HÀM PHÂN PHOI .14 2.2 H®I TU CUA DÃY HÀM PHÂN PHOI 17 2.2.1 Đ%nh nghĩa tính compact 17 2.2.2 Khoang cách Levy 22 2.2.3 H®i tu cna dãy tích phân 27 2.3 ÚNG DUNG HÀM PHÂN PHOI VÀO NGHIÊN CÚU BÀI TOÁN RUI RO BAO HIEM 32 2.3.1 Đ¾t van đe 32 2.3.2 Các gia thiet cna đ%nh lý Cramer - Lundberg 36 2.3.3 Phát bieu đ%nh lý Cramer - Lundberg 37 2.3.4 Chú ý .37 HÀM Đ¾C TRƯNG 40 3.1 CÁC HÀM QUAN TRONG .40 3.2 HÀM Đ¾C TRƯNG 43 3.2.1 Đ%nh nghĩa tính chat 43 3.2.2 Tính quy, khai trien hàm đ¾c trưng .47 QUAN Hfi GIUA HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55 4.1 TÍNH QUY LU¾T .55 4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM Đ¾C TRƯNG 59 Me ĐAU Hàm phân phoi xác suat hàm đ¾c trưng nhung khái ni¾m nhat cna lý thuyet xác suat thong kê toán HQc Vói sn địi cna tác pham "Nhung khái ni¾m ban cna lý thuyet xác suat"(Kolmogorov, 1933) nhung nen móng vung chac cho hai khái ni¾m đưoc hình thành Cho đen nhieu ket qua liên quan ó thu oc v mđt lý thuyet hiắn ve XSTK đưoc xây dnng phát trien Ý nghĩa cna khái ni¾m se đưoc trình bày phan Tőng quan cna chương I Lu¾n văn đưoc trình bày gom chương: Chương I: Giói thi¾u tőng quan nhung khái ni¾m ban ve bien ngau nhiên hàm phân phoi, có đe c¾p đen m®t khang đ%nh quan TRQNG cna Kolmogorov ve phân phoi huu han chieu Chương II: Trình bày ve lý thuyet hàm phân phoi; cau trúc sn h®i tu, khoang cách Levy úng dung nghiên cúu toán rni ro bao hiem Chương III: Nói ve hàm đ¾c trưng, đ%nh nghĩa, tính chat, tính quy khai trien hàm đ¾c trưng Chương IV: Trình bày moi liên quan giua hàm phân phoi hàm đ¾c trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm phân phoi phép nhân cna hàm đ¾c trưng Chương TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Me ĐAU Trong chương trình bày vài nét tőng quan ve nhung van đe can nghiên cúu nhung khái ni¾m má đau can dùng cho chương sau Khác vói the giói tat đ%nh, pham trù ngau nhiên ngưịi ta làm vi¾c vói đai lưong lay nhung giá tr% ngau nhiên Ta không the coi nhung giá tr% ngau nhiên giá tr% cna m®t tham so tat đ%nh bien đői tùy ý đưoc Đoi vói m®t bien ngau nhiên, ngưịi ta can biet lu¾t phân phoi cna Đoi vói nhung bien ngau nhiên rịi rac, ta can biet có the lay nhung giá tr% lay moi giá tr% vói xác suat bao nhiêu; đoi vói nhung bien ngau nhiên liên tuc, ta can biet lay giá tr% m®t khoang vói xác suat bao nhiêu? Nhung xác suat the hi¾n lu¾t phân phoi cna bien ngau nhiên Lu¾t phân phoi lai đưoc bieu dien qua hàm phân phoi Biet hàm phân phoi cu the cna m®t bien ngau nhiên cu the coi ta xác đ%nh đưoc bien ngau nhiên Ta lai có mđt cỏch khỏc e the hiắn luắt phõn phoi cna bien ngau nhiên dna hàm đ¾c trưng Biet đưoc hàm đ¾c trưng, ta biet bien ngau nhiên bien ngau nhiên V¾y van đe đ¾t hàm phân phoi hàm đ¾c trưng liên quan đen the nào? Ve m¾t tốn HQc, thnc hm ắc trng l mđt bien i Fourier cna hàm phân phoi Ngưoc lai neu biet hàm đ¾c trưng ta tính đưoc hàm phân phoi nhị đ%nh lý đao cna bien đői Fourier Trong nhieu toán thnc te, su dung hàm đ¾c trưng thu¾n loi hàm phân phoi Đóng góp vào vi¾c xây dnng đ%nh lý đao có cơng trình cna Levy, Gurland, Gil - Palaez, Shiely V¾y lu¾n văn sau nêu khái ni¾m mo đau chúng tơi se trình bày van đe: Hàm phân phoi Hàm đ¾c trưng Quan h¾ giua hàm đ¾c trưng hàm phân phoi Trong có trình bày m®t úng dung ve nghiên cúu "bài tốn rui ro bao hiem." 1.1 BIEN NGAU NHIÊN Đ%nh nghĩa: Cho khơng gian xác suat (Ω, F, P) Khơng giam tính tőng quát ta có the gia thiet (Ω, F, P) không gian xác suat đn túc neu A bien co có xác suat (P(A)=0) MQi t¾p B ⊂ A bien co Gia su E không gian metric, ánh xa X : Ω −→ E đưoc GQI m®t bien ngau nhiên vói giá tr% E neu vói moi t¾p Borel cna E ta có X−1(B) ∈ F Neu X bien ngau nhiên nh¾n giá tr% E = Rn ta nói X vectơ ngau nhiên n - chieu Neu X bien ngau nhiên nh¾n giá tr% t¾p so thnc R ta nói X bien ngau nhiên M¾nh đe a, X : Ω −→ R đai lưang ngau nhiên chs X−1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R b, X˙ = (X1 , X2 , , Xn ) : Ω −→ Rn véc tơ ngau nhiên chs mői TQa đ® Xk(k = 1, , n) cua đai lưang ngau nhiên Chúng minh Ta de suy a, Đe chúng minh b, ta xét phép chieu πk : Rn −→ R, πk ˙x = xk (TQA đ® thú k cna ˙x), πk liên tuc nênπk đo đưoc (đoi vói (B n , B )) Do đó, neu véc tơ ngau nhiên, Xk = đai lưong ngau nhiên X˙ πk X˙ Ngưoc lai, gia su moi Xk đai lưong ngau nhiên Đe đơn gian hơn, ta xét trưòng hop n = ý rang: R2 = R × R, B2 = B1 × B1 (σ - đai so tích) Khi đó, vói B1, B2 ∈ B1 ta có: X˙ −1 (B1 × B2 ) = X1−1 (B1 ) ∩ X2−1 (B2 ) ∈ A Do ta có X˙ −1 (B ) ∈ A túc là véc tơ ngau nhiên X˙ 1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT Đ%nh nghĩa: Cho X bien ngau nhiờn E - giỏ tr% Xột hm àX xác đ %nh σ - đai so Borel cna E theo cách sau: µX(B) = P (X−1(B)), ∀B ∈ B De kiem tra oc àX l mđt đ o xác suat E µX đưoc GQI phân bo xác suat (E, B) cna bien ngau nhiên X Gia su X = (X1, , Xn) véc tơ ngau nhiên n - chieu Hàm so F (x) = F (x1, x2, , xn) xác đ%nh boi công thúc: F (x1, x2, , xn) = P (X1 < x1, X2 < x2, , Xn < xn) đưoc GQi hàm phân bo xác suat cna vectơ ngau nhiên X 1.2.1 Quan h¾ giEa phan tE ngau nhiên phân phoi xác suat M¾nh đe Neu ν xác suat (E, s) ton tai nhat m®t khơng gian xác suat ban (Ω, A, P) m®t phan tu ngau nhiên E - giá tr% X, cho ν phân phoi cua nó: PX = ν Chúng minh Lay Ω = E, A = s, P = ν X ánh xa đong nhat tù R lên R: X(x) = x, ∀x ∈ R Khi đó, PX(B) = P{ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ s M¾nh đe Neu X đai lưang ngau nhiên, hàm phân phoi cua nó: FX(x) = P{ω : X(ω) < x} có tính chat sau: Không giam: FX(x1) ≤ FX(x2) vái x1 ≤ x2 Liên tnc bên trái : FX(x) = FX (x − 0) Nh¾n giá tr% tai −∞ ta% +∞: Ngưac lai, neu cho trưác hàm F (x) có ba tính chat ton tai nhat m®t khơng gian xác suat ban (Ω, A, P) m®t đai lưang ngau nhiên X cho F hàm phân phoi cua nó: FX = F Chúng minh 1, Suy tù thúc (−∞, x2) = (−∞, x1) + [x1 + x2) 2, 3, suy tù tính liên tuc cna PX tù nh¾n xét: (−∞, x − ) = Bn ↑ B = (−∞, x), n (−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞) Cuoi cùng, gia su F hàm so có ba tính chat 1, 2, 3, Khi ú, đ o Lebesgue- Stieltjes àF tương úng xác suat đưịng thang.Tù m¾nh đe suy đieu phai chúng minh Chú ý Phân phoi PX đ® đo Lebesgue-Stieltjes sinh tù hm phõn phoi F X e mo rđng mắnh đe cho trưòng hop vec tơ ngau nhiên, ta phai a vo Rn mđt quan hắ thỳ tn Gia su ˙a = (a1 , , an ), ˙b = (b1 , , bn ) Ta quy ưóc viet ˙a < ˙b(˙a ≤ ˙b), neu ak < bk (ak ≤ bk ) vói ∀k = 1, 2, , n Rõ ràng, vói quan h¾ thú tn Rn tro thành t¾p đưoc sap thú tn m®t phan.Ta viet a ↑ b neu ak ↑ bk vói MQI ∀k = 1, 2, , n Bây giò ta nhac lai đ%nh nghĩa cna sai phân.Gia su F (x) hàm m®t bien so, sai phân cap cna F ∆1 F (a) = F (a + h) − F (a), a ∈ R1, h > h Chính xác ,ta GQI ∆1 toán tu sai phân cap vái bưác h Tiep theo, gia su h F (˙x) = F (x1 , , xn ) hàm n bien so Đ¾t ∆n F (˙a) = ∆1 ∆1 h Σ h1 F (a1, , an) = F (a1 + h1, , an + hn) hn − F (a1 + h1, , aj, , an + hn) + F (a1 + h1, , aj, Σ , an + h n ) − + (−1)nF (a1, , an) GQI ∆n toán tu sai phân cap n vái bưác ˙h = (h1 , , hn ) > hh Chang han, vói n=2 ta có: ∆n F (˙a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ) h Ta nói F (˙x) hàm n bien không giam, neu n n ˙ ˙ ∆n F (˙a) h ≥ 0, ∀˙a ∈ R , ∀ h > 0, h ∈ R tiep theo ta nói rang F (˙x) liên tuc bên trái tai ˙x0 chi F (˙x) liên tuc bên trái theo moi bien tai ˙x0 H¾ qua Hai hàm phân phoi bang chs hàm đ¾c trưng tương úng cua chúng bang tồn b® R, túc F1 = F2 ⇔ ϕ1(t) ≡ ϕ2(t), ∀t ∈ R H¾ qua Gia su hàm đ¾c trưng ϕ cua hàm phân phoi F thóa mãn đieu ki¾n ∫ ∞ |ϕ(t)|dt < +∞, −∞ ú F (x) cú mắt đ b% chắn v −it ∞ e ϕ(t)dt x F J (x) = 2π − ∞ Chúng minh Đ¾t e−it ϕ(t)dt ∫∞ x 2π p(x) = −∞ Vì ϕ ∈ L1(−∞, ∞) nên có the chuyen giói han qua dau tích phân (1), ta có: ∫ ϕ(t) F (β) − F (α) = dt = lim σ→0 ∞ ∫ = e 2π −iβt ϕ(t) −∞ 2π − e −i t 2 ∞e −σ t e e−iαt − −it −∞ −iαt −iβt ∫∞ dt = 2π −∞ ∫β ϕ(t)d t e−itxdx α Đői thú tn lay tích phân ta có: ∫β p(x)dx F (β) − F (α) = α Do tính liên tuc cna p(x), tù suy F cú mắt đ v F J (x) = p(x) H¾ qua 10 Neu ϕ ≥ 0, thỡ L1(, infty) F cú mắt đ b% ch¾n Chúng minh Theo h¾ qua tính kha tích cna hàm đ¾c trưng kéo theo sn ton tai mắt đ b% chắn cna phõn phoi Ngoc lai, neu hm phõn phoi F cú mắt đ b% chắn |p(x)| ≤ ∞ ta nh¾n đưoc tù cơng thúc 5.38 cho x = 0: ∫ ϕ(t) dt ∞ − σ 2t e ∞∫ e− y2σ2 p(y)dy ≤ M < ∞ √ = 2π σ 2π −∞ −∞ Bieu thúc dưói dau tích phân o ve trái không âm, neu ϕ không kha tích tích phân o ve trái se dan tói +∞ σ → vô lý nên suy Đpcm Đ%nh nghĩa Đai lưang ngau nhiên X đưac GQI đoi xúng (đoi vái x = 0) neuX −X có phân phoi Đieu có nghĩa F (x) = − F (−x + 0), ∀x ∈ R H¾ qua 11 Đai lưang ngau nhiên X ho¾c hàm phân phoi F đoi xúng (đoi vái x = 0) chs hàm đ¾c trưng tương úng thnc (vái MQI t) ∫ itx ∞ e dF (x), tù t¾p 16 ta có Chúng minh Gia su ϕ(t) −∞ = ϕ(t) = ∫∞ eit d(1 − F (−x + 0)) x −∞ Khi đó: ϕ thnc ⇔ ϕ(t) = ϕ(t) ∫∞ ⇔ −∞ itx ∫∞ eit d(1 − F (−x + 0)).(∗) x dF (x) = −∞ tù đ%nh lý ve tính nhat suy (*) chi F (x) = − F (−x + 0), ∀x ∈ R Chú ý Cũng vái gia thiet đ%nh lý 11, cơng thúc ngưac cịn có dang: F − ∗ (α )= lim N→∞ ∞ 2π −∞ ∫ ϕ(t) e − −it −i αt d t Gia su F (x) = F (x1, , xn) hàm phân phoi n chieu, Ik = [αk, βk] KýI hiắu k l toỏn tu sai phõn theo TQa đ thú k khoang Ik = [αk , βk ] : k ∆kI F (x) = F (x1, , xk−1, βk, xk+1, , xn) − F (x1, , xk−1, αk, xk+1 , , xn) k n Neu α, β ∈ Rn vái TQa đ® αi < βi Ký hi¾u ∆β−α F = I ∆I ∆ I ∆ F n Neu α, β ∈ C(F ) cơng thúc ngưac trưàng hap n 1chieu có dang: ∫ σ ∆β−αF = lim n σ→0 ϕ(t1, , tn)e (t,t) ì (2) Rn hoắc n dt1 dtn, e−iβktk − × kY=1 e−iαktk −itk ∫N1 ∆β −αF = lim Nk→∞ (2π) n −N1 × kY=1 n e−iβktk − e−iαktk ∫ Nn ϕ(t)× −Nn dt1 dtn −itk 4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM Đ¾C TRƯNG Đ%nh nghĩa Hàm F (x), x ∈ R đưac GQI tích ch¾p cua hàm phân phoi F1 F2(∈ P ), ký hi¾u F = F1 ∗ F2 Neu: F (x) = ∫ ∞ F1(x − y)dF2(y), ∀x ∈ R −∞ De nh¾n thay, tích ch¾p hàm phân phoi (∈ P ) hàm phân phoi (∈ P ) V (F ) = V (F1).V (F2) Đ%nh lý 12 F = F1 ∗ F2 ⇔ ϕ = ϕ1.ϕ2 Chúng minh Đe chúng minh phan thu¾n cna đ%nh lý, can chi hàm phân phoi F = F1 ∗ F2 có hàm đ¾c trưng ϕ1 ϕ2 Vói MQIa < b ta chia đoan [a, b] boi điem chia a = xn1 < < xnKn+1 = b cho δn = |xn,k+1 − xn,k| → sup n → ∞ Khi Kn Σ đó: ∫b eiuxdF (x) = lim 1≤k≤Kn ∫∞ iuxnk e lim F [xn,k; xn,k+1) = gn(y)eiuydF2(y) a n→∞ n→∞−∞ k=1 gn(y) = Kn Σ eiu(xnk−y)F1[xnk − y; xn,k+1 − y) k=1 Hàm gn(y) b% chắn boi V (F1) v hđi tu ve by a− y eiuxdF1(x), n → ∞ Vì v¾y ∫b ∫∞ e dF (x) = iux a −∞ b−y ∫ eiux( eiuxdF1(x))dF2(y) a− y Chuyen qua giói han a → −∞, b → +∞ ta nh¾n đưoc đieu phai chúng minh Đe chúng minh phan ngưoc cna đ%nh lý, ta can chi ϕ = ϕ1.ϕ2 hàm đ¾c trưng tương úng vói hàm phân phoi F = F1 ∗ F2 Đieu suy tù phan thu¾n tính xác đ%nh đơn tr% F boi ϕ H¾ qua 12 Tích ch¾p hàm phân phoi có tính giao hốn ket hap: F1 ∗ F2 = F2 ∗ F1, (F1 ∗ F2) ∗ F3 = F1 ∗ (F2 ∗ F3) H¾ qua 13 Gia su X η hai lang ngau nhiờn đc lắp vỏi cỏc hm phõn phoi FX Fη tương úng Khi hàm phân phoi cua tőng X + η là: FX+η = FX ∗ Fη Chúng minh Như ta biet, tőng X +η có hàm đ¾c trưng ϕX+η(t) = ϕX(t)ϕη(y) Tù đ%nh lý suy FX+η = FX ∗ Fη Mắnh e 11 Neu phõn phoi F1 cú mắt đ p1 = tích ch¾p F = F1 ∗ F2 F1J cng cú mắt đ v: p1(x y)dF2(y) d ∞ F (x) = dx −∞ Chúng minh Theo đ%nh nghĩa tích ch¾p, vói MQi α, β(α < β) ta có ∫ F (β) − F (α) ∞ = [F1(β − y) − F1(α − y)]dF2(y) = −∞ ∞ β−y = ∫ ∫ ∞ β p1(u)dudF2(y) = ∫ ∫ p1(u − y)dudF2(y) −∞ α−y −∞ α Đői thú tn lay tích phân ta có ∫β ∫∞ F (β) − F (α) = [ p1(u − y)dF2(y)]du −∞ α Tù ú suy F cú mắt đ v: p1(x − y)dF2(y) d ∞ F (x) = dx −∞ H¾ qua 14 Gia su X η nhung đai lang ngau nhiờn đc lắp vỏi hm phõn phoi FX v F , ngoi FX cú mắt đ pX = Khi hàm phân phoi FX+η cua F XJ tng X + cng cú mắt đ v: pX(x − y)dFη(y) d ∞ dx FX+η(x) = −∞ H¾ qua suy tù h¾ qua 13 m¾nh đe 11 * TƯƠNG ÚNG LIÊN TUC GIUA HÀM D¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI Đ%nh lý cho ta biêt vái FnF ∈ P đe kiem tra Fn ⇒ F ta có the kiem tra ∫ ∫ sn h®i tn ∞ ∞ gdF vái MQI hàm g liên tnc b% ch¾n R, gdFn → ho¾c −∞ −∞ vái g = f1 + if2 , f1 , f2 nhung hàm liên tnc b% ch¾n R bây già ta se chs rang, chs can kiem tra đieu ki¾n đoi vái láp hep nhieu hàm g : g(x) = eitx, −∞ < t < +∞ Nói cách khác, can kiem tra ϕn (t) → ϕ(t) n → ∞, ∀t ∈ R, ϕn ϕ nhung hàm đ¾c trưng cua hàm phân phoi Fn F tương úng Ket lu¾n đ¾c bi¾t quan trQNG đưac úng dnng có hi¾u qua xét phân phoi giái han cua tng nhung lang ngau nhiờn đc lắp %nh lý sau đưac GQI đ%nh lý ve tính liên tnc Đ%nh lý 13 Gia su FnF ∈ P Khi neu ϕn(t) = ∞ eitxdF itx e dF (x), ϕ(t) n ∫ ∫ = (x), ∞ −∞ −∞ Fn ⇒ F Fn(+∞) → F (+∞) chs ϕn(t) → ϕ(t), ∀t ∈ R, n → ∞ Phan thu¾n cua đ%nh lý h¾ qua hien nhiên cua đ%nh lý Phan ngưac cua đ%nh lý khang %nh rang, neu dóy hm ắc trng n hđi tn R ve hàm đ¾c trưng ϕ dãy hàm phân phoi tương úng Fn (∈ P ) h®i tn yeu ve hàm phân phoi F Fn (+∞) → F (+∞) gia thiet cho ϕ hàm đ¾c trưng cua hàm phân phoi Fn (∈ P ) Nhưng có the đ¾t câu hói: neu vái MQI t ∈ R ton tai giái han lim ϕn(t), hàm giái han có phai hàm đ¾c trưng cua phân phoi Fn(∈ P ) n→ ∞ khơng? Nói chung giái han lim ϕn (t) có the không ton tai vái MQI t ∈ R n→∞ Vì v¾y muon hàm giái han hàm đ¾c trưng phai đ¾t gia thiet lim ϕn(t) liên n→∞ tnc (Thnc chs can địi hói hàm giái han liên tnc tai t = 0) Nhung ví dn sau chs rang giái han cua dãy hàm đ¾c trưng, neu ton tai, chưa chac hàm đ¾c trưng Ví dn Gia su Fn hàm phân phoi đeu [−n, n] Hàm đ¾c trưng tương úng là: n nt sin ϕt(x) = , vái t 0; t 1, vái t = 0, vái t ƒ= 0; , ϕ(t) gián đoan tai t = 0, khơng Khi ϕ(t) = lim ϕn (t) = n→∞ 1, vái t = the hàm đ¾c trưng Ví dn Gia su Fn hàm phân phoi b¾c thang có bưác nhay x = n Túc là: Fn(x) = tai x =   0, vái x ≤ 0; 1 , vái < x ≤ n;  1, vái x > n Hàm đ¾c trưng tương úng ϕn(t) = 12+ 2eint Hàm ϕn(t) khơng có giái han tai MQI t ƒ= Đe chúng minh phan ngưac cua đ%nh lý 13 ta chúng minh đ%nh lý sau Đ%nh lý 14 Gia su ϕn(t), n = 1, 2, dãy hàm đ¾c trưng tương úng vái dãy hàm phân phoi Fn, n = 1, 2, (Fn ∈ P ) Neu a, lim ϕn (t) ton tai vái MQI t ∈ R, n→ ∞ b, Hàm ϕ(t) = lim ϕn(t) liên tnc tai t = n→∞ Thì ton tai hàm phân phoi F ∈ P cho Fn ⇒ F Fn(+∞) → F (+∞) Ngồi ϕ(t) hàm đ¾c trưng cua F Đe chúng minh đ%nh lý ta chúng minh bő đe sau: Bo đe Gia su ϕn(t), n ≥ dãy hàm đ¾c trưng thóa mãn đieu ki¾n đ%nh lý 14 Khi đó: sup{V (Fn) − Fn[a, b)} → n≥ a → −∞, b → +∞ Chúng minh Th¾t v¾y, ϕ(t) liên tuc tai t = nên ∀ε > 0, existsT > cho: ∫ 0≤ T −T ε [ϕ(0) − ϕ(t)]dt < Áp dung đ%nh lý h®i tu b% ch¾n ta có: lim n→∞ T 1∫ T −T T 1∫ [ϕ(0) − ϕ(t)]dt = T −T ε [ϕ(0) − ϕ(t)]dt < Vì v¾y ton tai N (ε) cho ∀n > N ta có: T 1∫ ε 0≤ [ϕ(0) − ϕ(t)]dt < T −T Tương tn tính chat i, cna hàm đ¾c trưng ta có: ∫ ∫T 2 V (Fn) − Fn[− , T |x|≥T T )≤ d F n( x) ≤ T [ϕ(0) − ϕ(t)]dt −T Vì v¾y b→ +∞,sup {V (Fn)−Fn[− , )} < ε Do V (Fn)−Fn[a, b) → a → −∞, TT n≥N nên ∀ε > 0, ∃An, Bn(An < Bn) cho vói a < An, b > Bn : ≤ V (Fn) − Fn[a, b) < ε CHQN A0 = min(− , A1 , , AN ), B0 = min(− , B1 , , BN ) Khi de dàng nh¾n T T thay vói a < A0, b > B0 ≤ sup{V (Fn) − Fn[a, b)} < ε n≥ Bő đe đưoc chúng minh Ta chúng minh đ%nh lý Tù bő đe vùa chúng minh đ%nh lý ta nh¾n thay dãy {Fn , n ≥ 1} hồn tồn compact Do ton tai dãy Fn hàm phân phoi F ∈ P cho Fn ⇒ F Fn (+∞) → F (+∞) Theo phan thu¾n cna đ%nh lý 13 (hay đ%nh lý 7) dãy tng ỳng cỏc hm ắc trng n hđi tu ve hàm đ¾c trưng cna phân phoi F Nhưng ϕn (t) → ϕ(t), ∀t ∈ R nên ϕ phai hàm đ¾c trưng cna F Ta can chi Fn ⇒ F Fn (+∞) → F (+∞) Hay tương đương vói can chi ra: J J J J ∫∞ ∫∞ lim gdFn = n→ ∞ gdF, −∞ −∞ vói MQI hàm g liên tuc, b% ch¾n R Neu đieu khơng ton tai hàm g J liên tuc, b% ch¾n Rsao cho: ∞ ∫ g J dFn ~ −∞ ∞ J ∫ g dF −∞ Đieu có nghĩa ton tai dãy {nJJ } cho: ∫∞ ∫∞ g dFn → L J g J dF JJ −∞ −∞ M®t lan nua áp dung bő đe vùa chúng minh đ%nh lý 5, tù dãy Fn trích đưoc dãy {FnJ } h®i tu hồn tồn ve hàm phân phoi F J ∈ P Đoi vói dãy có giói han: ∫ ∫ ∫ JJ J ∞ J ∞ J g dFn → JJ −∞ J J ∞ J g dF = L ƒ= g dF −∞ −∞ Nhưng l¾p lu¾n đoi vói F, hàm phân phoi F J có hàm đ¾c trưng ϕ Khi h¾ thúc (3) mâu thuan vói tính day nhat cna hàm phân phoi Tù đ%nh lý ta suy h¾ qua sau: H¾ qua 15 Neu {ϕn, n ≥ 1} nhung hàm đ¾c trưng cua dãy phân phoi xác suat {Fn, n ≥ 1} neu: a, ∀t∈ R ton tai giái han lim ϕn(t) = ϕ(t); n→∞ b, ϕ(t) liên tnc tai t = 0, Thì ϕ(t) hàm đ¾c trưng cua phân phoi xác suat F Fn ⇒ F H¾ qua 16 Neu dãy hàm đ¾c trng n hđi tn en hm ắc trng (Fn, F ∈ P ) h®i tn đeu mői khoang huu han [−A, A] Chúng minh Vi¾c chúng minh dna ưóc lưong sau: it dFn ∫e − |ϕn(t) − ϕ(t)| ≤ | x b ∫b eit a dF| + V (Fn) − Fn[a, b) + V (F ) − F [a, b) (4) x vói MQI a < b a Bưác Đánh giá hai so hang cuoi cna (4) Tù ϕn(t) → ϕ(t) suy Fn ⇒ F (đ%nh lý 13) sup{V (Fn) − Fn[a, b)} → a → −∞, b → +∞ (bő đe 9) n≥ Vì v¾y ∀ε > 0, 1∃a, b ∈ C(F )(a < b) cho tőng hai so hang cuoi cna (4) nho ε , ∀n ≥ Bưác Đánh giá hi¾u hai tích phân (4) Ta co đ%nh a, b cHQN Vói n đn lón ta chia [a, b) boi điem chia xk ∈ C(F ) cho a = x1 < x2 < < xN+1 = b, max |xk+1 1≤k≤N Đ¾t gN (t, x) = |eit − gNx N e Σ it 1[xk,xk+1 (x), ε − xk| < đó: x k= N Σ (t, x)| ≤ |eitx − eitxk | [xk,xk+1 k=1 (x) ≤ A max | − ≤k≤N xk+1 xk |≤ ε vói MQI t ∈ [−A, A], ∀x ∈ [a, b] Tù bat thúc suy ra: b itx e dFn(x) ∫ − N Σk =1 Σk= e Fn[xk, xk+1) ≤ a itx eitxFn[xk, xk+1) Σk eitxF [xk, =1 N xk+1) ≤ − ∫b eitx gN (t, x) dFn(x) ≤ , a N |Fn[xk, xk+1) − F [xk, xk+1)| Σk=1 Do Fn ⇒ F xk ∈ C(F ), nên ve phai cna bat thúc nho ε 4n đn lón(n > N1) Ket hop đánh giá nh¾n đưoc vói n > N1 ta có: ∫b it x ∫b itx ε vói MQI t ∈ [−A, A] .a e dFn − e a dF N1 vói MQI t ∈ [−A, A] KET LU¾N Lu¾n văn trình bày: * H¾ thong hóa khái niêm hàm phân phoi xác suat hàm đ¾c trưng * Phân tích tính chat cua hàm phân phoi, cau trúc hàm phân phoi, phân tích sn h®i tn cua dãy hàm phân phoi * Trình bày đ%nh nghĩa tính chat cua hàm đ¾c trưng * Nêu rõ quan h¾ hai chieu giua hàm phân phoi hàm đ¾c trưng * Lu¾n văn trình bày m®t úng rat nhieu úng dnng cua hàm phân phoi hàm đ¾c trưng là:"nghiên cúu tốn rui ro bao hiem" Cuoi thài gian trình đ® cịn han che nên lu¾n văn se cịn nhieu sai sót Kính mong cỏc thay hđi ong chs bao e luắn cua em đưac hồn thi¾n TÀI LIfiU THAM KHAO Tieng Vi¾t Nguyen Viet Phú - Nguyen Duy Tien (2004), Cơ sá lý thuyet xác suat, NXB Đai HQc Quoc Gia H Nđi Tran Hựng Thao (2009), Nhắp mơn tốn HQc tài chính, NXB Khoa HQc ky thu¾t Đ¾ng Hùng Thang (2013), Xác suat nâng cao, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Nguyen Duy Tien - Vũ Viet Yên (2013), Lý thuyet xác suat, NXB Giáo dnc Vi¾t Nam Tieng Anh Leda D Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes, Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Publishing Co ... HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55 4.1 TÍNH QUY LU¾T .55 4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM Đ¾C TRƯNG 59 Me ĐAU Hàm phân phoi xác suat hàm đ¾c trưng nhung khái... HÀM Đ¾C TRƯNG 40 3.1 CÁC HÀM QUAN TRONG .40 3.2 HÀM Đ¾C TRƯNG 43 3.2.1 Đ%nh nghĩa tính chat 43 3.2.2 Tính quy, khai trien hàm đ¾c trưng .47 QUAN Hfi GIUA HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ... giua hàm phân phoi hàm đ¾c trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm phân phoi phép nhân cna hàm đ¾c trưng Chương TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Me ĐAU Trong chương trình bày vài