Luận văn thạc sĩ nhóm tự đẳng cấu của miền với biên phẳng lêvi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội - Năm 2014 LèI CÁM ƠN Trưác tiên xin đưac bày tõ lịng biet ơn đen thay cơng tác tai khoa Tốn - Cơ - Tin HQC trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên Hà N®i, nhung ngưài giãng day cung cap nhung kien thúc khoa HQC quý báu suot nhung năm HQC VÙA qua đe tơi có nen tãng kien thúc đe thnc hi¾n lu¾n văn Tiep theo tơi xin đưac gui lài cãm ơn tái thay giáo hưáng dan GS TSKH Đő Đúc Thái, đong cãm ơn tái TS Ninh Văn Thu TS Nguyen Thac Dũng, nhung ngưài t¾n tình chi bão giúp tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Cuoi xin cãm ơn gia đình, ban bè giúp đã, cő vũ đ®ng viên đóng góp cho tơi nhieu ý kien q báu cuđc song, cụng viắc v HQC núi chung cng q trình thnc hi¾n lu¾n văn Xin chúc MQI ngưài súc khõe, đat đưac nhieu thành tích cao cơng tác, HQC t¾p nghiên cúu khoa HQC V gắt hỏi thờm nhieu thnh cụng cuđc song HQC viên: Nguyen Duy Đat DANH MUC CÁC KÝ HI›U • Aut(Ω): nhóm tn cau cua mien Ω • Ck(Ω): không gian hàm khã vi liên tnc en cap k trờn ã H(, ) (hoắc Hol(, Ω)): t¾p ánh xa chinh hình tù ω vào Ω • KΩ: giã metric Royden-Kobayashi mien Ω • FDK : metric Royden-Kobayashi mien D • FDC : metric Caratheodory trờn mien D ã MED : đ o Eisenman-Kobayashi trờn mien D ã MCD : đ o Caratheodory mien D Mnc lnc LèI CÁM ƠN DANH MUC CÁC KÝ HI›U Kien thỳc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm c só .6 1.2 Siêu m¾t Levi-flat 1.3 Metric đ® đo bat bien 12 Nhóm tn cau khơng compact 15 2.1 Chúng minh đ%nh lý phan 16 2.2 Chúng minh đ%nh lý phan 20 Mé ĐAU Cho D1 , D2 hai t¾p mã khơng gian phúc n chieu Cn , m®t ánh xa chinh hình tù D1 → D2 đưac GQI song chinh hình neu có ánh xa ngưac chinh hình Hai t¾p mã D1 , D2 đưac GQI song chinh hình neu ton tai m®t ánh xa song chinh hình tù D1 vào D2 Trong giãi tích phúc, đ%nh lý ánh xa Riemann nói rang: Neu U m®t t¾p mã, đơn liên cua m¾t phang phúc mà khơng phãi tồn b® C, U song chinh hình vái đĩa đơn v% ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} Vào năm 1907 Poincaré chúng minh rang hình cau đơn v% Bn = {z ∈ Cn : |z| < 1} khơng song chinh hình vái đa đĩa Dn = {z = (z1 , z2 , , zn ) ∈ Cn : |z j | < 1, j = 1, n} vái n > Chúng minh cua ơng su dnng vi¾c mơ tã nhóm tn cau cua hai mien Bn Dn Sau Cartan đưa tốn xác đ%nh nhóm tn cau cua m®t mien cho trưác Cn Tù đen có rat nhieu ket quã cua nhà toán HQC liên quan đen tốn mà Cartan đ¾t Mnc đích cua lu¾n văn trình bày lai ket q cua Fu-Wong (xem [FW1]) đưac đăng tap trí Complex Variables ve toán xác đ%nh láp cua nhung mien có biên trơn tùng khúc, generic, Levi-flat có nhóm tn cau khơng compact, tù xác đ%nh đưac nhóm tn cau cua nhung mien Bo cnc cua lu¾n văn gom hai chương: Chương I: Nhung kien thúc chuan b% N®i dung cua chương trình bày m®t so kien thúc bãn cua giãi tích phúc Đong thài, trình bày m®t so khái ni¾m, ket quã liên quan đen metric Royden-Kobayashi hai đ® đo bat bien Caratheodory EisenmanKobayashi Nhung kien thúc se sã cho vi¾c nghiên cúu ã chương sau Chương II: Nhóm tn cau khơng compact Trong chương này, trưác het se nhac lai m®t so ket q ve tốn xác đ %nh nhóm tn cau cua m®t mien cho trưác sau tim hieu ket q cua Fu-Wong ve tốn xác đ%nh láp cua mien b% ch¾n C2 vái biên trơn tùng khúc, generic, Levi-flat có nhóm tn cau không compact Chương Kien thúc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm c sỏ %nh ngha 1.1.1 Khó vi phnc: Cho l mđt mó Cn f m®t hàm bien phnc xác đ%nh Ω, f : Ω → C Chúng ta nói f khã vi phnc tai x0 ∈ Ω neu ton tai m®t ánh xa tuyen tính λ: Cn → C cho: | f (x0 + h) − f (x0) − λ(h)| limh→0 = 0, ||h|| ,,n h ∈ Cn , h = (h1 , h2 , , hn ), ||h|| =i= |hi |2 Hàm f đưac GQI chinh hình tai x0 ∈ Ω neu ton tai mđt lõn cắn mó U cua x0 cho f khã vi phúc vái MQI x ∈ Ux0 Hàm f đưac GQI chinh hình Ω neu f chinh hình tai MQI điem thu®c Ω Cho ánh xa f : Ω ⊂ Cn → Cm; có the viet dưái dang f = ( f1, , fm) f j = π j ◦ f : Ω → C vái j = 1, m hàm tQA đ®, π j : Cm → C (z1, , zm) ›→ z j Khi đó, f đưac GQI hàm chinh hình Ω neu f j chinh hình Ω vái j = 1, m Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho Ω1 , Ω2 hai t¾p mã khơng gian phnc n chieu Cn Ánh xa f : Ω1 → Ω2 đưac GQI song chinh hình neu f song ánh, chinh hình f −1 ánh xa chinh hình Ω1 đưac GQI song chinh hình vái Ω2 neu ton tai m®t ánh xa song chinh hình f : Ω1 → Ω2 Cho Ω m®t mien Cn Ánh xa song chinh hình f : Ω → Ω đưac GQI m®t tn cau Ω Ký hi¾u Aut(Ω) t¾p tat cã tn cau Ω Ví dn 1.1.1 Cho ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} Khi đó, Aut(∆) t¾p tat cã phép bien đői phân z−a = , , tuyen tính ϕ có dang: ϕ(z) = w1 − ¯ ã |w| w ∈ C a ∈ ∆ az Ví dn 1.1.2 Aut(C) t¾p tat cã ánh xa tuyen tính ϕ: ϕ(z) = az + b ã a, b ∈ C, a Ç Ví dn 1.1.3 Cho ∆2 = {(z1, z2) ∈ C2 : |z1| < 1, |z2| < 1} Khi đó, Aut(∆2) t¾p tat cã ánh xa có dang sau: (z1 , ) ›→ z2 (w zσ(2) − a2 zσ1(1) − a1 − a z ) ,w − aσ2z (2) (1) σ a1, a2 ∈ ∆, σ phép the t¾p {1, 2}, w1, w2 ∈ C |w1| = | w2| = Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho X mđt mắt liờn thụng, mđt bón o phnc U trờn X l mđt HQ cỏc cắp (U j , z j ), U = {(U j , z j )} j∈J thõa mãn: 1) U j t¾p mã cua X, S 2) j∈J U j = X, 3)z j : U j → W j đong phơi, ã W j t¾p mã cua m¾t phang phnc, 4)Hàm z j thõa mãn đieu ki¾n tương thích sau: Neu U j ∩ Uk Ç ∅, zk ◦ z−j : z j (U j ∩ Uk ) → zk (U j ∩ Uk ) chinh hình Hàm z j đưac GQI tQA đ® đ%a phương, phép bien đői zk ◦ z−j đưac hieu phép chuyen bãn đo Đ%nh nghĩa 1.1.4 Hai bãn đo phnc U V đưac GQI tương đương hay tương thích neu hap cua chúng m®t bãn đo phnc, M®t cau trúc phnc X m®t láp tương đương cua bãn đo phnc, Mđt mắt Riemann l mđt mắt liờn thụng vỏi mđt cau trỳc phnc Vớ dn 1.1.4 Mắt phang phỳc C vái hàm đong nhat z ›→ z m®t m¾t Riemann Đĩa đơn v% ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} nua m¾t phang H = {z ∈ C : Im z > 0} cỏc mắt Riemann %nh ngha 1.1.5 Cho D l mđt mien b% ch¾n Cn Biên bD cua D đưac GQI trơn tnng khúc neu ton tai m®t lân c¾n U cua D¯ ρk ∈ C∞ (U), ≤ k ≤ m, cho T D = {q ∈ U; ρkq < 0, ≤ k ≤ m} dρk1 ∧ ∧ dρkl Ç vái bat kỳ b® l j= Sk j phân bi¾t k1 , , kl ∈ {1, , m}, ã S j = {q ∈ U; ρ j (q) = 0} Biên bD đưac GQI trơn T tnng khúc, generic neu ∂ρk1 ∧ ∧ ∂ρkl Ç l Sk Biên bD đưac GQI trơn j= j tnng khúc, Levi-flat neu mői Sj Levi-flat (xem mnc 1.2) vái ε đu nhõ j đu lán Do v¾y vái bat kỳ hai góc θ1 ∈ (0, π/2) θ2 ∈ (π/2, π), có ∆δ × Γε/b ⊆ Fj(Ω ∩ Uεδ) ⊆ ∆δ × Γbε đưac thõa mãn θ θ vái ε đu nhõ Đ¾t qJj = F j (q j ) wJj tQA đ® thú hai cua qJj Tù bő đe (1.3.1) suy ra: MC 1≥ (q ) Ω∩Uεδ ≥ MC b ∆ Γε × δ θ2 (qJ ) j MC (wJj ) Γbε = θ ME ∩U (q ) Ω εδ j MEJ ) (q j ε/b ∆δ×Γθ ME (wJj ) ε/b Γθ1 Theo bő đe (1.3.2) hang tu cuoi có the CHQN đu gan j → ∞,ε → 0, θ1 → (π/2)−, θ2 → (π/2)+ □ Tiep theo se chúng minh đ%nh lý trưàng hap g(D) ∩ R Ç ∅ Su dnng ý tưãng chúng minh tù ket quã trưác cua Fu-Wong xem [FW2] Chúng ta se giu bưác ã phan bat đau mnc Trưác tiên xét t¾p Dε = {q ∈ D, dist(q, bD) > ε} m®t có rút (liên tnc) cua D vái ε > đu nhõ Tù D liên thông ta suy Dε v¾y Do dó có the phu D bang mien compact tương đoi, liên thơng Cho D1 D2 hai t¾p liên thơng cua D cho q ∈ D1 ⊂⊂ D2 ⊂⊂ D Đ¾t V = g(D2 ) Bãi bő đe (2.1.1) ta suy V l mđt mắt Riemann mó úng đ%a phương Hơn nua, V hyperbolic bãi m®t đa tap phúc cua m®t mien b% ch¾n C2 Ta có MQI m¾t Riemann đa tap Stein (xem [?, Thm 3.10.13]) MQI phân thỏ ng chinh hỡnh cua mđt mắt Riemann mó l tam thưàng (xem [For, Thm 30.3]), tù tù h¾ quã (xem [Siu, Cor 1]) ta suy ton tai m®t ánh xa song chinh hình Ψ tù mđt lõn cắn mó W cua V tỏi mđt lõn cắn mó U cua V ì {0} V ì C cho Ψ(g(z, w)) = (g(z, w), 0) vái (z, w) ∈ D2 Chúng ta giã su rang U ⊂ V × ∆ Cho π1 : ∆ → V ánh xa phu phő dnng Đ¾t π(z, w) = (π1 (z), w) Đ¾t Ω = π−1 (Ψ(W ∩ D)) Khi Ω = {(zJ , wJ ) ∈ ∆ × C; π(zJ , wJ ) ∈ U, ρ˜(zJ , wJ ) < 0}, ã ρ˜(zJ , wJ ) rang = ρ(Ψ−1 (π(zJ , wJ ))) De dàng chi ρ˜(zJ , 0) = (∂ρ˜/∂zJ )(zJ , 0) = 0, (∂ρ˜/∂wJ )(zJ , 0) Ç Khi bΩ trơn Leviflat m®t lân cắn cua M = ì {0} Co %nh mđt ngh%ch ãnh pJ ∈ π−1 (Ψ(p)) Sau m®t phép đői bien có the giã su p = (0, 0) Do π m®t m®t đ%a phương , nên ton tai nhat nhung nâng qJj cua Ψ(q j ) vái j đu lán cho qJj → pJ Tù D1 đơn liên g j (D1 ) ⊆ W ∩ D vái j đu lán, ton tai nhat nhung nâng g˜ j g˜ : D1 → Ω cua Ψ(g j ) Ψ(g) tương úng cho g˜ j (q) = qJj g˜(q) = pJ CHQN δ ∈ (0, 1), đu gan cho g˜(D1 ) ⊂⊂ ∆δ × {0} Lay ε > Uδε = ∆δ × ∆ε Khi g˜ j (D1 ) ⊂ Ω ∩ Uδε vái j đu lán Tù bő đe (1.3.1) ta suy MC (q)D |detg˜ Jj (q)|2 MC (D (qJj) ) D ME (q) ≥ |detg˜ J (q)|2 MC ∩ |detgJ (q)|g2 M1E (q j ) j ˜ D ≥ J |detg˜ (q)| C M ∩ j ≥ |detg j (q)| ME J ( (q j ) ΩUδε π Ω Uδε) ∩ J J Uδε E j j |detg (q)|Ω2 M (q j ) j D (qJ ) (qj) |detg˜ Jj (q)|2 MC ∩ = Ω Uδε |detg˜ Jj (q)|2 | detπJ (qJj )|2 ME( MC (qJ ) j π Ω ∩Uδε) (qj ) ≥ (qJj ) Ω∩Uδε E M π(Ω∩Uδε) (qJj ) Tù theo bő đe (2.1.2) ta có: MC (q)/ME (q) ≥ Chúng ta có the phu D D D bãi mien đơn liên, compact tương đoi, MC (q)/ME (q) ≥ Theo bő D D đe (1.3.1) D song chinh hình vái song đĩa 2.2 Chúng minh đ%nh lý phan Trong mnc này, se chúng minh đ%nh lý trưàng hap: g(D) ∩ S Ç ∅ Lay p ∈ g(D) ∩ S, p ∈ g(D) nên ton tai q ∈ D cho g(q) = p Khi ton tai mđt lõn cắn U cua p cho U ∩ D = {(z, w) ∈ U; ρ1 < 0, ρ2 < 0} ã ρ1 ρ2 hàm h¾ hàm xác đ%nh D Đ¾t S1 S2 siêu m¾t xác đ%nh tương úng vái ρ1 ρ2 Theo bő đe (1.2.3) ta có g(D) ⊆ S1 ∩S2 Do ∂ρ1∧∂ρ2 Ç S1S2 nờn 1(p) v 2(p) đc lắp tuyen tớnh trờn C, Sau m®t phép bien đői tuyen tính có the giã su rang p = (0, 0), ∂ρ1(p) = (0, 1), ∂ρ2(p) = (1, 0) Đe chúng minh đ%nh lý trưàng hap này, can hai bő đe tương tn chúng minh đ%nh lý phan 1, đưac đưa dưái đây: Bo đe 2.2.1 Điem biên p điem peak đ%a phương cua D Chnng minh Giã su rang hai L1 L2 cua hai phân cua S1 S2 qua p đưac cho đ%a phương bãi ϕ(ζ) = (ϕ1 (ζ), ϕ2 (ζ)) ψ(ζ) = (ψ1 (ζ), ψ2 (ζ)) tương úng Sau m®t phép đői bien, có the giã su rang ϕ(0) = ψ(0) = p, ϕJ (0) = (1, 0), ψJ (0) = (1, 0) Sau mđt phộp i hắ tQA đ tự (z, w) ›→ (zJ , wJ ) ã zJ = z − ψ1 (φ−2 (w)) wJ = w − ϕ2 (ϕ1−1 (z)), có the giã su rang L1 L2 đưac cho đ%a phương bãi ∆δ1 × {0} {0} × ∆δ2 tương úng Do đó, S1 S2 đưac xác đ%nh bãi Re w + Im w.O(|w| + | Im w|) = Re z + Im z.O(|z| + | Im z|) = tương úng Sau m®t phép co rút U, có D ∩ U ⊆ {Re w − | Im w| < 0} × {Re z − | Im z| < 0} Đ¾t fp(z, w) = exp(−(−z)2/3 − (−w)2/3) ã hàm b¾c ba lay theo nhánh Khi fp hàm peak đ%a phương ã p □ Bo đe 2.2.2 Cho Uε = ∆ε × ∆ε Khi vái bat kỳ dãy {qj} D h®i tn tái p, lim ε→0 MC lim (qj) D∩Uε j→∞ = MED∩U (qj) ε Chnng minh Như bő đe trờn, chỳng ta cú the CHQN mđt hắ tQA đ lân c¾n cua p cho cua phân cua S1 S2 qua p đưac cho bãi L1 = ∆ε0 × {0} L2 = {0} ì vỏi l mđt so dng Hơn nua theo đ%nh lý (1.2.2), có the giã su rang véc tơ pháp tuyen ngồi cua S1 hưáng dương cua trnc Re w tai mői điem L1 véc tơ pháp tuyen cua S2 hưáng dương cua trnc Re z tai mői điem L2 Vái ε ∈ (0, ε0), đ¾t Φ(t, ζ) = (ζ, ϕ(t, ζ)) vi phôi tù (1, 1) ì tỏi mđt lõn cắn cua × {0} S1 đưac xác đ%nh chúng minh cua bő đe (1.2.1) CHQN t j cho t j → L1 = Φ(t j , ∆ε ) cua phân S1 mà qua hình chieu cua j q j S1 theo hưáng dương cua trnc Re w Đ¾t v1 (z) = arg(∂ρ1 /∂w)(z, ϕ(t j , z)) Theo j đ%nh lý (1.2.2), v1 (z) đieu hòa ∆ε GQI u1 (z) liên hap đieu hòa j cho u1j (0) j 1 = Đ¾tj h (z) = exp(−u (z)j + iv1 (z)) Xác j đ%nh F1 : (z, w) j → (zJ , wJ ) zJ = z wJ = (w − ϕ(t j , z))h1 (z) Đ¾t ρ˜ (zJ , wJ ) = ρ1 ((F1 )−1 (zJ , wJ )) j j ρ˜ (zJ , wJ ) = ρ2 ((F )(zJ , wJ )) Khi j ∂ρ˜1 ρ˜ (z , 0) = 0, J (zJ , 0) = ∂z ∂ρ ∂ρ˜1 J (z ) 1(zJ (t , zJ )) eu j j > 0; (z , 0) = ∂wJ ∂w ,ϕ j ∂ρ˜2 J ρ˜2 (0, wJ ) = 0, (0, wJ ) = 0, J ∂w ∂ρ2 ∂ρ˜2 ∂zJ (0, wJ ) = (0, wJ /h1 (0) + ϕ(tj, 0)) > 0, ∂z j vái |zJJ < ε| |wJ /hj (0) + ϕ(t j , 0)| < ε0 Do đó, hắ tQA đ (zJ , wJ ), L1 = ∆ε × {0} véc tơ pháp tuyen ngồi cua S1 tai mői điem L1 j j hưáng dương cua trnc Re wJ Hơn nua, L2 = {(0, wJ ); |wJ /h1 (0) + ϕ(t j , 0)| < j ε0 } véc tơ pháp tuyen cua S2 tai mői điem L2 hưáng dương cua trnc Re zJ Do h j (0) → ϕ(t j , 0) → nên vái j đu lán ta có F1 (L2 ) ⊇ {(0, wJ ); |wJ | j < ε0 } ∆ε × ∆ε/2 ⊆ F1(Uε) ⊆ ∆ε × ∆ε/2 j Đ¾t Ψ(s, wJ ) vi phơi tù (−1, 1) ì lờn mđt lõn cắn cua {0} ì j F1 (S2 ) đưac xác đ%nh chúng minh bő đe (1.2.1) CHQN s j cho sj → L2 = Ψ(sj, ∆ε) cua phân cua F1(S2) qua hình chieu cua q j j j lên S2 theo hưáng dương cua trnc Re zJ Đ¾t v2 (wJ ) = arg(∂ρ2 /∂zJ )(ψ(s j , wJ ), j wJ ) Đ¾t u2 liên hap đieu hòa cua v2 ∆ε cho u2 (0) = Đ¾t h2 (wJ ) = j j 2 j j exp(−uj (w )+iv (w )) Xác đ%nh j j F : (z , w ) ›→ (z , w ) = (z −ψ(s j j, J J J J JJ JJ J wJ ))h2 (wJ ), wJ Đ¾t ρˆ (zJJ , wJJ ) = ρ1 ((F2 )−1 (zJJ , wJJ )) ρˆ2 (zJJ , wJJ ) = ρ2 ((F2 )−1 (zJJ , wJJ )) Khi j j ∂ρˆ1 ρˆ (z , 0) = 0, JJ (zJJ , 0) = ∂z ∂ρ˜1 JJ ∂ρˆ1 ∂wJJ (zJJ , 0) ∂wJ(zJJ /h2j (0) + ψ(s j , 0), ) > 0; = ∂ρˆ ρˆ2 (0, wJJ ) = 0, ∂ρˆ2 (0, wJJ ) JJ (0, wJJ ) = 0, ∂w u (ψ(s , wJ ), wJ ) e j = j ∂zJ ∂ρ˜2 J (w ) > 0, ∂wJJ vái |zJJ /h2j (0) + ψ(s j , 0)| < ε |wJJ | < ε Do tQA đ® (zJJ , wJJj ), L1 j L2 đĩa m¾t phang tQA đ® véc tơ pháp tuyen ngồi cua S1 S2 tương úng hưáng dương cua trnc Re wJJ Re zJJ tai mői điem L j L2 Đ¾t Fj = F2 ◦ F1 Khi vái j đu lán, ∆ε/2 × ∆ε/2 ⊆ Fj(Uε) ⊆ ∆2ε × ∆2ε Hơn j j j nua, ton tai hang so dương C cho {|zJJ | < ε/2; Re zJJ + C| Im zJJ |2 < 0} ×{|wJJ | < ε/2; Re wJJ + C| Im wJJ |2 < 0} ⊆ Fj(D ∩ Uε) = {(zJJ , wJJ ) ∈ F j (Uε ); ρˆ1 (zJJ , wJJ ) < 0, ρ2 (zJJ , wJJ ) < 0} ⊆ {|zJJ | < 2ε; Re zJJ − C| Im zJJ |2 < 0} × {|wJJ | < 2ε; Re wJJ − C| Im wJJ |2 < 0}, vái j đu lán Do vái bat kỳ hai góc θ1 ∈ (0, π/2) θ2 ∈ (π/2, π), có Γε/2 × Γε/2 ⊆ F j (Ω ∩ Uε ) ⊆ Γ2ε × Γ2ε ε đu nhõ Đ¾t qjj = (zjj , wjj ) = F j (qθj ) θ1 θ2 Khi MC ) C MΩ∩U (qj) ε 1≥ E M θ2 ≥ (qjj MC (zjj ) Γ2ε ×Γ2ε Γ2ε j j θ2 ) (q j ME θ (qjj ) j j j MC (wjj ) Γ2ε = j θ2 θ2 M E (zjj ) M E (wjj ) Ω∩Uε ε/2 Γ ε/2 ×Γ j θ θ ε/2 Γ j θ ε/2 Γ j θ Tù bő đe (1.3.2) hang tu cuoi ã bieu thúc có the CHQN đu gan cho j → ∞, ε → 0, θ1 → (π/2)− θ2 → (π/2)+ , v¾y bő đe đưac chúng minh □ Bây già, chúng minh đ%nh lý trưàng hap g(D) ∩ S Ç ∅ giã su ã Đ¾t q j = gj(q) Lay D1 mien compact tương đoi cua D chúa q Vái bat kỳ ε > 0, Do g(D) = {p} nên gj(D1) ⊆ D ∩ Uε vái j đu lán Do đó, theo bő đe (1.3.1) (2) có: MC (q) (qj) C M D1 MED (q) = gj(D1) MED (qj) ≥ (qj) MC D∩Uε (qj) ME D∩Uε Theo bő đe (2.2.2), MCD (q)/MDE (q)≥ Phu D bãi D1, có Tù theo bő đe (1.3.1) (4) D song chinh hình vái song đĩa MC (q) D M (q) E D ≥ K€T LU¾N Trong lu¾n văn em trình bày ve nhóm tn cau cua mien vái biên phang Levi Cn the lu¾n văn trình bày ket quã sau: Phan đau tiên cua lu¾n văn trỡnh by ac mđt so khỏi niắm c bón cua giãi tích phúc hàm chinh hình, ánh xa chinh hỡnh, metric v đ o bat bien, siờu mắt Levi-flat Đó nhung khái ni¾m bãn quan TRQNG đe nghiên cúu lĩnh vnc giãi tích phúc, cn the tốn xác đ%nh nhóm tn cau cua m®t mien, hay tốn phân loai mien dna vào nhóm tn cau Phan sau cua lu¾n văn em t¾p trung trình bày lai chúng minh ket q cua Fu Wong ([FW1]) ve tốn xác đ%nh láp mien b% ch¾n vái biên Levi- flat, trơn tùng khúc có nhóm tn cau khơng compact Thụng qua luắn em hieu thờm mđt so kien thúc bãn giãi tích phúc, vi¾c nghiên cúu ket quã cua Fu Wong m®t hưáng đe tìm câu trã lài cho vi¾c tìm hieu tốn mà Cartan đưa Tài li¾u tham kháo [Ca] H Cartan, Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semicerclés bornés, Math Ann 106 (1932), 540-573 [DF] K Diederich and J Forness, Pseudoconvex domains: an example with nontrivial nebenhiille, Math Ann 225 (1977), 275-292 [For] O Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, 1981 [Fre] M Freeman, Local complex foliation of real manifolds, Math Ann 209 (1974), 1-30 [FW1] S Fu and B Wong, On a Domain in C2 with generic piecewise smooth levi-flat boundary and non-compact automorphism group, Complex Variables 42(1)(2000), 25-40 [FW2] S Fu and B Wong, On boundary accumulation points of a smoothly bounded pseudoconvex domain in C2, Math Ann 310 (1998), 183-196 [Kim] K.T Kim, Domain in Cn with a piecewise Levi flat boundary which possess a noncompact automorphism group, Math Ann 292 (1992), 575- 586 [Kr] S Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, John Wiley and Sons, 1982 26 27 [Na] R Narasimhan, Several Complex Variables, The University of Chicago, 1971 [P] S Pinchuk, Homogeneous domains with piecewise-smooth boundaries, Math Notes 32 (1982), 849-852 [R] J.P Rosay, Sur une characterization de la boule parmi les domains de Cn par son groupe d’automorphismes, Ann Inst Four Grenoble 29 (1979), 91-97 [Siu] Y.T Siu, Every Stein subvariety admits a Stein neighborhood, Invent Math 38 (1976), 89-100 [W1] B Wong, Characterization of the unit ball in Cn by its automorphism groups, Invent Math 41 (1977), 253-257 [W2] B Wong, Characterization of the bidisc by its automorphism group, Amer J Math 177 (1995), 279-288 ...NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH... hình vái song đĩa MC (q) D M (q) E D ≥ K€T LU¾N Trong lu¾n văn em trình bày ve nhóm tn cau cua mien vái biên phang Levi Cn the lu¾n văn trình bày ket quã sau: Phan đau tiên cua luắn ó trỡnh by... vỏi biên trơn tnng khúc, Levi-flat nhóm tn cau Aut(D) khơng compact, D song chinh hình vái song đĩa C2 M®t ket quã tương tn đưac chúng minh bãi Pinchuk (xem [P]) D mien b% ch¾n thuan nhat vái biên