Dựng tiếp tuyến
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN (CHUYÊN 1)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)
-
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1: (3,0 điểm)
1) Cho biểu thức
P
Rút gọn 𝑃
2) Cho hai số dương 𝑎, 𝑏 và số 𝑐 khác 0 thỏa mãn điều kiện 1
𝑎 +1
𝑏+1
𝑐 = 0 Chứng minh rằng √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + 𝑐 + √𝑏 + 𝑐
3) Cho 𝑥 = √3 + 2√23 − √3 − 2√23 ; 𝑦 = √17 + 12√23 − √17 − 12√23 Tính giá trị biểu thức 𝑀 = (𝑥 − 𝑦)3 + 3(𝑥 − 𝑦)(𝑥𝑦 + 1)
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 tấn rau theo một hợp đồng Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn 1 tấn so với xe lớn ban đầu Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe Hỏi trọng tải của mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn? 2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của 𝑚 để phương trình 𝑥2− 3𝑥 + 𝑚 − 4 = 0 ( trong đó
𝑥 là ẩn) có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1+𝑥2
(𝑥1𝑥2)2019 là số nguyên
Qua 𝐴 kẻ hai tiếp tuyến 𝐴𝐾, 𝐴𝐿 tới (𝑤) với 𝐾, 𝐿 là các tiếp điểm Dựng tiếp tuyến (𝑑) của đường tròn (𝑤) tại điểm 𝐸 thuộc cung nhỏ 𝐾𝐿 Đường thẳng (𝑑) cắt các đường thẳng 𝐴𝐿, 𝐴𝐾 tương ứng tại 𝑀, 𝑁 Đường thẳng 𝐾𝐿 cắt 𝑂𝑀 tại 𝑃 và cắt 𝑂𝑁 tại 𝑄
1) Chứng minh 𝐴𝑂𝐿 ̂ = 𝐴𝐾𝐿 ̂
2) Chứng minh 𝑀𝑂𝑁 ̂ = 900−𝐾𝐴𝐿̂
2 3) Chứng minh 𝑀𝑄 vuông góc với 𝑂𝑁
4) Chứng minh 𝐾𝑄 𝑃𝐿 = 𝐸𝑀 𝐸𝑁
𝑎+1
𝑏+1
𝑐 Chứng minh rằng: 3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ≥ √8𝑎2+ 1 + √8𝑏2+ 1 + √8𝑐2+ 1.
Câu 5: (1,0 điểm).
1)Tìm tất cả các cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) thỏa mãn 𝑦2+ 2𝑥𝑦 − 3𝑥 − 2 = 0
2) Cho 𝑚, 𝑛 là hai số nguyên thỏa mãn 4(𝑚 + 𝑛)2− 𝑚𝑛 chia hết cho 225 Chứng minh rằng 𝑚𝑛 cũng chia hết cho 225
-HẾT -
Thí sinh không được sử dụng máy tính Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Giám thị 1 Giám thị 2
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN (CHUYÊN 1) Đáp án-thang điểm gồm 05 câu, 05 trang
-
Câu 1.1 (1,0 điểm) Cho biểu thức
P
khác nhau Rút gọn 𝑃
Hướng dẫn chấm
𝑃 =𝑎√𝑎 − 𝑏√𝑏 − 𝑎(√𝑎 − √𝑏) + 𝑏(√𝑎 + √𝑏)
=𝑎√𝑏 + 𝑏√𝑎
=√𝑎𝑏(√𝑎 + √𝑏)
𝑎 − 𝑏
0,25
𝑎+1
𝑏+1
𝑐 = 0 Chứng minh rằng √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + 𝑐 + √𝑏 + 𝑐 (1)
Hướng dẫn chấm
Giả thiết 1
𝑎+1
𝑏+1
𝑐 = 0 (2)
⟺ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 0 (3) 0,25
(1) ⟺ √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + 𝑐 + √𝑏 + 𝑐 ⟺ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 + 2√𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑐 2 (4)
Thay (3) vào (4)
0,25
(4)⟺ 𝑐 = −√𝑐2
⟺ 𝑐 < 0 (do c khác 0) (5) 0,25
Nếu 𝑐 > 0, 1
𝑎+1
𝑏+1
𝑐 > 0, vô lý Vậy 𝑐 < 0, tức là (5) đúng, suy ra (1) đúng 0,25
Câu 1.3(1,0 điểm) Cho 𝑥 = √3 + 2√23 − √3 − 2√23 ; 𝑦 = √17 + 12√23 − √17 − 12√23 Tính giá trị biểu thức 𝑀 = (𝑥 − 𝑦)3+ 3(𝑥 − 𝑦)(𝑥𝑦 + 1)
Hướng dẫn chấm
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 3𝑥3 = 4√2 − 3 (√3 + 2√23 − √3 − 2√23 ) 0,25
𝑀 = (𝑥 − 𝑦)3+ 3(𝑥 − 𝑦)(𝑥𝑦 + 1) = 𝑥3+ 3𝑥 − (𝑦3+ 3𝑦) = −20√2 0,25
Câu 2.1 (1,0 điểm) Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 tấn rau theo một hợp
đồng Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn 1 tấn Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe Hỏi trọng tải của mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn?
Hướng dẫn chấm
Gọi trọng tải của mỗi xe nhỏ là x (tấn) (x > 0)
Trọng tải của mỗi xe lớn là 𝑥 + 1 (tấn)
0,25
Số xe (lớn) dự định phải dùng là 20
1
x (xe); số xe (nhỏ) thực tế phải dùng là
20
x
(xe)
0,25
Vì số xe nhỏ thực tế phải dùng nhiều hơn dự định 1 xe nên:
20
x - 20
1
x =1
0,25
20
( 1)
4( ) 5( )
x x
Vậy trọng tải của mỗi xe nhỏ là 4 tấn
0,25
Câu 2.2.(1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị nguyên của 𝑚 để phương trình 𝑥2− 3𝑥 + 𝑚 − 4 = 0 ( trrong đó 𝑥 là ẩn) có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1+𝑥2
(𝑥1𝑥 2 ) 2019 là số nguyên
Hướng dẫn chấm
4
0,25 Theo định lý Viet, 1 2
1 2
3 4
Khi đó ta có: 𝑥1 +𝑥 2
(𝑥1𝑥 2 ) 2019 = 3
(𝑚−4) 2019 là số nguyên khi (𝑚 − 4)2019 = ±1
0,25 Điều đó xảy ra khi và chỉ khi 𝑚 − 4 = ±1 ⟺ 𝑚 = 5 hoặc 𝑚 = 3(thỏa mãn)
0,25
kẻ hai tiếp tuyến 𝐴𝐾, 𝐴𝐿 tới (𝑤) với 𝐾, 𝐿 là các tiêp điểm Dựng tiếp tuyến (𝑑) của đường tròn (𝑤) tại điểm 𝐸 thuộc cung nhỏ 𝐾𝐿 Đường thẳng (𝑑) cắt các đường thẳng 𝐴𝐿, 𝐴𝐾 tương ứng tại 𝑀, 𝑁 Đường thẳng 𝐾𝐿 cắt 𝑂𝑀 tại 𝑃 và cắt 𝑂𝑁 tại 𝑄
5) Chứng minh 𝐴𝑂𝐿̂ = 𝐴𝐾𝐿̂
6) Chứng minh 𝑀𝑂𝑁̂ = 900−𝐾𝐴𝐿̂
2 7) Chứng minh 𝑀𝑄 vuông góc với 𝑂𝑁
8) Chứng minh 𝐾𝑄 𝑃𝐿 = 𝐸𝑀 𝐸𝑁
Trang 4Hướng dẫn chấm
=1
=1
2 𝐾𝑂𝐿̂ = 1
= 900−1
Do đó tứ giác 𝑀𝑄𝑂𝐿 nội tiếp Do đó 𝑀𝑄𝑂̂ = 1800− 𝑀𝐿𝑂̂ = 900 Do đó 𝑀𝑄
vuông góc 𝑂𝑁
0,25
A
O
E N
M
P Q
Trang 54)Xét hai tam giác 𝐾𝑁𝑄 và 𝐿𝑃𝑀 có : 𝑁𝐾𝑄̂ = 𝑀𝐿𝑃̂ , 𝐾𝑄𝑁̂ = 𝑂𝑄𝐿̂ (đối
đỉnh); 𝑂𝑄𝐿̂ = 𝐿𝑀𝑃̂ (tứ giác 𝑂𝑄𝑀𝐿 nội tiếp) Do đó hai tam giác 𝐾𝑁𝑄 và 𝐿𝑃𝑀
đồng dạng
0,25
Do đó 𝐾𝑄
𝐿𝑀 =𝐾𝑁
𝐿𝑃, hay 𝐾𝑄 𝐿𝑃 = 𝐿𝑀 𝐾𝑁, suy ra 𝐾𝑄 𝐿𝑃 = 𝐸𝑀 𝐸𝑁 0,25
𝑎+1
𝑏+1
𝑐 Chứng minh rằng:
3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ≥ √8𝑎2+ 1 + √8𝑏2+ 1 + √8𝑐2+ 1
Hướng dẫn chấm
Ta có √8𝑎2+ 1 = 𝑎 √(8 + 1
𝑎 2) = 𝑎
3 √9 (8 + 1
𝑎 2) ≤𝑎
3.9+(8+
1 𝑎2 )
Do đó √8𝑎2+ 1 ≤(17𝑎+
1
𝑎 )
6 Tương tự: √8𝑏2+ 1 ≤(17𝑏+
1
𝑏 )
6 ; √8𝑐2+ 1 ≤(17𝑐+
1
𝑐 ) 6
0,25
Cộng lại ta có:
√8𝑎2+ 1 + √8𝑏2+ 1 + √8𝑐2+ 1
≤1
6(17𝑎 + 17𝑏 + 17𝑐 +1
𝑎+
1
𝑏+
1
𝑐)
0,25
Do giả thiết nên
√8𝑎2+ 1 + √8𝑏2+ 1 + √8𝑐2+ 1 ≤ 3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
Dấu bằng xảy ra khi 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 1 (đpcm)
0,25
Câu 5.1: (0,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) thỏa mãn
𝑦2+ 2𝑥𝑦 − 3𝑥 − 2 = 0
Hướng dẫn chấm
𝑦2+ 2𝑥𝑦 − 3𝑥 − 2 = 0 ⟺ (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2+ 3𝑥 + 2
⟺ 4(𝑥 + 𝑦)2 = 4𝑥2 + 12𝑥 + 8 ⟺ 4(𝑥 + 𝑦)2 = (2𝑥 + 3)2− 1 0,25
⟺ (2𝑥 + 3)2− 4(𝑥 + 𝑦)2 = 1 ⟺ (3 − 2𝑦)(4𝑥 + 2𝑦 + 3) = 1
⟺ [
{ 3 − 2𝑦 = 1 4𝑥 + 2𝑦 + 3 = 1 { 3 − 2𝑦 = −1 4𝑥 + 2𝑦 + 3 = −1
⟺ [
{ 𝑥 = −1 𝑦 = 1 { 𝑥 = −2 𝑦 = 2 Vậy có các cặp (−1; 1), (−2; 2)
0,25
Chứng minh rằng 𝑚𝑛 cũng chia hết cho 225
Hướng dẫn chấm
Trang 6Nội dung Điểm
4(𝑚 + 𝑛)2− 𝑚𝑛 = 4(𝑚 − 𝑛)2+ 15𝑚𝑛
Suy ra (𝑚 − 𝑛)2 ⋮ 5 ⟹ (𝑚 − 𝑛) ⋮ 5 ⟹ (𝑚 − 𝑛)2 ⋮ 25 ⟹ 𝑚𝑛 ⋮ 5, 0,25
mà (𝑚 − 𝑛) ⋮ 5 nên 𝑚 ⋮ 5, 𝑛 ⋮ 5 Do đó 𝑚𝑛 ⋮ 25 Tương tự: 𝑚𝑛 ⋮ 9 Mà
(25; 9) = 1 Do đó
𝑚𝑛 ⋮ 225
0,25
-Hết - Ghi chú: Nếu thí sinh làm theo cách không giống đáp án vẫn cho điểm tương ứng theo các bước của đáp án