Bài 2: 5 điểm 1 Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.. Tính giá trị của biểu thức:.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 – NĂM HỌC 2017- 2018 THÀNH PHỐ VŨNG TÀU MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài : 120 phút)
Bài 1:(2 điểm)
Cho biểu thức sau :
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (5 điểm)
1) Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương
2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a3 b3 6ab 8
3) Cho x,y, z thoả mãn: x y z và 0 xy yz xz Tính giá trị của biểu thức:0
Bài 3:(5 điểm)
1) Gỉai phương trình: (2x2 1)3(2 5 ) x 3 (2x2 5x3)3
2) Cho 3 số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn : a b c 0
b c c a a b
0
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 5y2 4xy2x 8y2018
Bài 4:(3,5 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD Kẻ AH CD tại H Gọi M là trung điểm của BC, E và F lần lượt là trung điểm của AM và DM; AF cắt DE tại K Lấy điểm N đối xứng với A qua M
a) Chứng minh: DN = AB + CD
b) Chứng minh:
2 3
MK
Bài 5:(4,5 điểm)
Cho ABC nhọn có ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực của ABC Kẻ IM BC tại M Lấy điểm K đối xứng với A qua I
a) Chứng minh ACK 900
a) Chứng minh: AH = 2.IM
c) Chứng minh: AH BH CH 2
-HẾT -
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC CẤP THÀNH PHỐ – NĂM HỌC 2017- 2018
MÔN: TOÁN 8
1
2.0 đ
1a
2
2
:
:
2 ( 2)( 2)
A
2
2
( 2)
x x
0,25 0,25 0,25 0,25
1b
3
2 7 1; 1;3; 3
2 8;6;10; 4 4;3;5; 2
x
x x
Mà
7
2
x x x x 4;3;5
Kiểm tra với x để 2A nguyên thì A có nguyên không
3;4;5 1;2;1
x A Z
Vậy x3;4;5
thì A có giá trị nguyên
0,25
0,25 0,25
0,25
2
5.0 đ
2.1 Gọi hai số lẻ là a và b
Vì a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2
0.25
0,75
Trang 3Bài Câu Nội dung Điểm
a2 + b2 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
Vậy a2 + b2 không thể là số chính phương 0.5
2.2
3 3
3
2 2
2 2
a b ab
a b ab a b ab
0,25 0,75 0,5
2.3
2
2016 2017 2018
0
x y z
0,25 0,25 0,25 0,5 0,75
3
5 đ
3.1
3(2 1)(2 5 )(2 5 3) 0 (2 5 )( 1)(2 3) 0
2
2
x x
x
x
0,5 0,5 0,5x2
3.2
2
0
b c c a a b
Chứng minh tương tự ta được:
2
( ) ( )( )( )
0,5 0,25
0,25
Trang 42 2 2
a b a b b c c a
0
a b b c c a
0,5
3.3
( 2 ) 2( 2 ) 1 ( 2) 2017 ( 2 1) ( 2) 2017 2017
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy Mmin = 2017 khi
3 2
x y
0,25 0,25 0,25
0,25x2 0,25
4
3.5 đ
0,5
4a Chứng minh được CN // AB và CN = AB
từ đó suy ra 3 điểm D, C, N thẳng hàng và DN = DC + AB
0,25x2 0,25x2 4b Chứng minh được K là trọng tâm của ADM từ đó suy ra MK đi
qua trung điểm Q của AD
2 3
AHD vuông tại H có HQ là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền AD
1 2
QH QD AD
QHD cân tại Q
QHD BCD QDH
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị QH // BC
0,5
0,5 0,25 0,25
M
E K Q
F
C H
Trang 5Bài Câu Nội dung Điểm
QM là đường trung bình của hình thang ABCD QM // HC
Tứ giác MQHC là hình bình hành MQ CH
Suy ra
2 3
MK CH
0,25 0,25
5
4,5 đ
0,5
5a
I là giao điểm của ba đường trung trực của ABC IA = IB = IC
K đối xứng với A qua I I là trung điểm của AK
IC = IA =
1
2AK mà CI là đường trung tuyến của ACK
ACK vuông tại C ACK 900
0,25 0,25 0,25 0,25
5b
I là giao điểm của 3 đường trung trực của ABC, IM BC tại M
M là trung điểm của BC
Ta có: CK // BH (AC) Chứng minh tương tự câu a ta có ABK 900 BK CH/ / (AB)
Tứ giác BHCK là hình bình hành mà M là trung điểm của BC
M là trung điểm của HK
I là trung điểm của AK
IM là đường trung bình của AHK AH = 2IM
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
A
E F
H
I
K
Trang 6Chứng minh được :
AHC AHB
S S
AH
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
AHC AHB AHC AHB AHC AHB
S AH
Chứng minh tương tự ta có
BHC AHB BHC AHB BHC AHB
S BH
CHB AHC CHB AHC CHB AHC
CH
Từ đó suy ra:
2
2
ABC ABC
S
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa