CHYÊN đề tứ GIÁC

TỨ GIÁC A Kiến thức Tam giác A - B C - ˆ +B ˆ + Cˆ = 1800 A AB + AC > BC AB − AC < BC ( Tổng góc tam giác ) ( Bất đẳng thức tam giác) ( Bất đẳng thức tam giác) Tứ giác a Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, C B BC, CD, DA đoạn thẳng không nằm đường thẳng A D b Tứ giác lồi: Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác c Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng thích them, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác - Định lý: Tổng góc cảu tứ giác 3600 ⇒ Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360 - Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn bốn góc tứ giác bốn góc có tổng 3600 - Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > DA - Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi bốn đỉnh tứ giác 3600 Góc ngồi tứ giác: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác Bˆ - Ta có góc ngồi đỉnh B B Bài tập Bài 1: Cho tứ giác ABCD có: BADˆ = BCDˆ = 900 , phân giác góc ABC cắt AD E phân giác góc ADC cắt BC F Chứng minh BE // DF A Lời giải α B E D β +) Xét tam giác ABE, có: C +) Từ (1)(2) +) ·ABC + ·ADC = 1800 ⇒ α + β = 900 (1) ) α + E1 = 900 (2) )  β = E1 ⇒ ⇒ BE // DF ovitridongvi Bài 2: Cho tứ giác ABCD có: ·ABC + BA · D = 1800 Phân giác góc BCD CDA cắt E, biết CD = DE Chứng minh : Lời giải B A +) Ta có: E D 1 M ) ) · Aˆ + Bˆ = 1800 ⇒ Cˆ + Dˆ = 1800 ⇒ C1 + D1 = 90o ⇒ DEC = 900 ⇒ EM = MC = MD = C +) Gọi M trung điểm CD ⇒ ∆DEM ·ADC = BCD · ) ) ) ) D1 = 600 ⇒ C1 = 300 ⇒ D = 2C (dpcm) CD Bài 3: Cho tứ giác ABCD , có: giác · · BAD + BCD = 1800 , DA = DC chứng minh BD phân ·ABC B C Lời giải: +) Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = BC A E D +) ) )  B1 = E1 (1) ∆BCD = ∆EAD (cgc ) ⇒  ⇒ ∆BED  DB = DE Từ (1)(2) cân D ) ) ⇒ E1 = B2 (2) ) ) ⇒ B = B2 (dpcm) Bài 4: Cho tứ giác ABCD có BD phân giác góc ABC , AD = CD , AB < BC Chứng minh : · · BAD + BCD = 1800 C E Lời giải B +) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA A D +) ) ) ⇒ E2 = C1 (2) Từ (1)(2) ) )  A1 = E1 (1)  ∆BED = ∆BAD(cgc) ⇒  AD = ED ⇒ ED = CD ⇒ ∆ECD   ED = DA  ) ) ) ) A1 + C = E1 + E2 = 1800 Bài 5: Cho tứ giác ABCD có: Aˆ : Bˆ : Cˆ : Dˆ = : :13 :10 a Tính góc tứ giác ABCD cân D b AB cắt CD E, AD cắt BC F Phân giác góc AED góc AFB cắt O, phân giác góc AFB cắt CD AB M N Chứng minh O trung điểm MN Lời giải E Aˆ = 500 , Bˆ = 800 , Cˆ = 1300 , Dˆ = 1000 a ˆ = 1800 − Aˆ − Dˆ = 300 ; AFB ˆ = 1800 − Aˆ − Bˆ = 500 AED B b C M 75° O N A D F ˆ = 1800 − Fˆ − Bˆ = 750 ; ENM ˆ = 1800 − 750 − 300 = 750 EMN 1 ⇒ ∆EMN Bài 6: Cho tứ giác ABCD có Bˆ + Dˆ = 1800 cân ⇒O trung điểm MN , AC phân giác góc A Chứng minh rằng: CB = CD Lời giải A B D E 1 Dựng tam giác ACE cân C 1 Theo gt: C Có: ⇒ CA = CE   Bˆ + Dˆ = 180 ⇒ Dˆ = Bˆ1  ˆ ˆ B + B = 180     Aˆ1 = Eˆ1 ⇒ Eˆ1 = Aˆ  ˆ ˆ A = A   ∆CEB ∆CAD có:   Aˆ = Eˆ1 ⇒ Cˆ1 = Cˆ ⇒ ∆CEB = ∆CAD( gcg ) ⇒ CB = CD  ˆ ˆ   D1 = B1 HÌNH THANG, HÌNH THANG CÂN A HÌNH THANG Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song ◊ABCD Là hình thang ( đáy AB, CD ) +) AB: đáy nhỏ  ABCDla◊ ⇔  AB // CD +) CD: đáy lớn +) AD, BC: cạnh bên Nhận xét - Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên - Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song Dựa vào nhận xét ta có A B Hình thang ABCD ( AB // CD ), có: +) D C +) AD // BC ⇒ AD = BC ; AB = CD AB = CD ⇒ AD // BC ; AD = BC Hình thang vng hình thang có góc vng B HÌNH THANG CÂN Định nghĩa Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy ABCD hình thang cân ( đáy AB, CD )  ABCD(là hinh thang ) ⇔ ˆ ˆ hoac A=B ˆ ˆ C=D Tính chất: Trong hình thang cân - Hai cạnh bên - Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân ( Hình bình hành ) C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho tam giác ABC đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác ABC cắt đoạn AB, AC Chứng minh tổng khoảng cách từ B C tới d khoảng cách từ A tới d Lời giải A Ta có tứ giác BEFC hình thang ( BE // CF ) F N K E D B Gọi N trung điểm EF, M trung điểm BC G C M P ⇒ MN =  BE + CF = 2MN (1) BE + CF ⇒  MN ⊥ d +) Lấy P thuộc tia đối MG cho MP = MG ⇒ GP = GA +) Lấy K thuộc d cho NG = NK   MN = PK ⇒  PK ⊥ D ∆ADG = ∆PKG (ch − gn) ⇒ PK = DA ⇒ MN = AD(2) ⇒ AD = BE + CF Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G đường thẳng d nằm tam giác Gọi D, E, F, H hình chiếu A, B, C, D lên đường thẳng d Chứng minh rằng: AD + BE + CF = 3GH Lời giải A P +) Gọi M trung điểm BC G M B +) P trung điểm AG C +) K hình chiếu M lên d E D Q H K Ta có : BE + CF = 2MK F AD + GH = 2PQ; MK + PQ = 2GH 2( MK + PQ ) = 4GH; BE + AD + CF = 3GH (dpcm) Bài 3: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), CD = BC + AD Hai đường phân giác hai góc A B cắt K Chứng minh C, D, K thẳng hàng Lời giải A B 2 Trên CD lấy điểm E cho CE = CB ⇒ AD = DE ⇒ ∆CBE C E D Mặt khác ∆ADE cân D ⇒ EA, EB ⇒ Aˆ1 = Eˆ phân giác E thuộc BC cân C ⇒ Eˆ1 = Bˆ1 mà ⇒ Eˆ = Aˆ ( slt ) ⇒ Aˆ1 = Aˆ Aˆ , Bˆ ⇒ ⇒ E ≡ K ⇒ D, K , C Eˆ1 = Bˆ ( slt ) ⇒ Bˆ1 = Bˆ giao điểm hai đường phân giác góc A B cắt thẳng hàng Bài 4: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ) có đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC đồng thời DB tia phân giác ˆ ADC a Tính góc hình thang cân ABCD b Biết BC = 6cm, tính chu vi diện tích hình thang cân ABCD A Lời giải B a) D K có ˆ = BDC ˆ = 600 ; DAB ˆ = CBA ˆ ⇒ ADC ˆ = BCD ˆ = 1200 BCD C P b) Tính DC = 2.BC ∆DBC ( Bˆ = 900 ) ABCD = 30cm BK = 3cm ⇒ S Hạ đường cao BK, ta có ABCD = 27 3(cm ) Bài 5: Cho tam giác ABC Từ điểm M nằm bên tam giác ta vẽ tia gốc M song song với BC cắt AB D, song song với AC cắt BC E, song song với AB cắt AC F Chứng minh chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác Lời giải A F Chu vi tam giác ABC : DE + DF + EF D M B E C Khoảng cách từ M đến đỉnh : MA + MB + MC Ta cần chứng minh : DE + DF + EF = MA + MB + MC +) Ta có hình thang BDME hình thang cân ( MD // BE , Bˆ = Eˆ = Cˆ = 600 ) ⇒ DE = MB Chứng minh tương tự ta có : DF= MA, EF = MC ⇒ DE + DF + EF = MA + MB + MC ( đpcm) Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, điểm I thuộc đường cao AH, BI giao với AC D, CI giao với AB E a Chứng minh rằng: AD = AE b Xác định dạng tứ giác BEDC c Xác định I cho: BE = ED = DC Lời giải A 12 D E a ∆AIC = ∆AIB (cgc) ⇒ Cˆ1 = Bˆ1 ⇒ ∆ACE = ∆ABD ( gcg ) ⇒ AE = AD I C c b 1 H DE // BC ⇒ Bˆ = Dˆ B cân A có chung góc A  DE // BC 1800 − Aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒ ADE = AED = ACB = ABC = ⇒ ⇒ dpcm Cˆ = Bˆ Để BE = ED Chứng minh tương tự: ∆ADE , ∆ACB ⇒ ∆BED cân E   Bˆ = Dˆ ⇒ ⇒ Bˆ1 = Bˆ ˆ ˆ   B2 = D2 Cˆ1 = Cˆ Vậy CE BD giao điểm góc C B Vậy I giao điểm đường phân giác tam giác ABC Bài 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C qua trung điểm M AD CMR: a) · BMC = 900 b) BC = AB + CD 10 H D D1 F G A O1 J1 O2 I1 E C M B O3 I +) O1M đường trung bình J O1M ⊥ O2 M ∆HBC → O1M // HC ; O2 M = HC →  → ∆O1MO2 O1M = O2 M cân b +) O2 D đường trung bình ∆FHC → O1D // BF ; O1D = BF 85 vuông O1D +) đường trung bình ∆FBH → O2 D // HC ; O2 D = HC → O1 M = O2 M = O1 D = O2 D → ◊DO1MO2 hình thoi, Mˆ = 900 → hình vng c Tứ giác ABA1C hình bình hành ˆ → BA = FA; ABA ˆ = FAH ˆ → BA = AH ˆ = 1800 − BAC ˆ = 1800 − BAC → BA1 = AC ; ABA 1 ∆ABA1 = ∆FAH → AA1 = HF ↔ AM = FH +) d Hạ CC1 ⊥ AM ≡ C1 AM cắt FH D1 Mà: ˆ ( slt ) ˆ = AAˆ B = CAA ∆HAF = ∆BAA1 (cgc) → HFA 1 ˆ + FAD ˆ = 900 → D FA ˆ = 90 → Dˆ = 900 → AM ⊥ FH ˆ + D AF CAA 1 1 Bài 12: Cho hình vuông ABCD, điểm E, F cạnh BC, CD cho · EAF = 450 , tia đối tia DC lấy điểm M cho DM = BE CMR: · ∆ABE = ∆ADM , MAF = 450 a) b) Chu vu tam giác CEF nửa chu vi tứ giác ABCD Lời giải a, ∆ => ABE = ∆ ADN ( cạnh gúc vuụng) ả A1 = A 86 l => b, · · MAE = 900 => MAF = 900 − 450 = 450 ∆ AEF = ∆ AMF (c.g.c) => EF = MF, EF = MD + DF = BE + DF Chu vi ∆ CEF = CE + EF + CF = CK + BE + DF + CF = BC + CD = chu vi ABCD Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM, đường phân giác góc A, cắt đường trung trực BC D, Từ D kẻ DE vng góc với BA DF vng góc với AC a) CMR: AD phân giác · HAM b) điểm E, M, F thẳng hàng c) Tam giác BDC tam giác vuông cân Lời giải a) Ta có: Mà AM= µ = µA C 1 ( phụ góc B) BC=> AM= MC=> ảA = C => ả ,à ả A1 = A 2 A3 = A4 => AD tia phân giác b) AH // DM => mà ¶ =A ¶ D , ¶A = µ ¶ =µ A3 => D A3 => ∆ADM cân => AM= MD Chứng minh Tứ giác AEDF hình vng => EA = ED => FA = FD Ta có: M, E, F nằm đường trung trực AD => Thẳng hàng 87 c, ∆ BED = ∆ CFD => ¶ =D ¶ D · · ¶ = BDF · ¶ = EDF · BDC = BDF +D +D = 900 ∆ => BDC vuông cân Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, AB AB => Mà: µ >C µ B µ = HAC · · µ B => HAC >C => HC > AH => AH = HD => HC > HD => D nm gia H,C b, Ta cú: ả = 900 , ảA + A1 + A A3 = 900 => µ A1 = µ A3 2 ∆ kết hợp với AE= AH => AEF = ∆ AHB => AB= AF Tứ giác ABGF hìn bình hành có góc vng => HCN có AB = AF => hình vng c) Gọi M giao điểm BF, AG, Khi ∆ BDF có DM = Tương tự AM= 2 BF BF => M nằm đường trung trực AD Ta lại có: AE= ED, HA= HD => E, H nằm đường trung trực AD hay H, M, E thẳng hàng 88 Bài 15: Cho hình vng ABCD điểm E bắt kỳ nằm điểm A B, tia đối tia CB lấy điểm F cho CF =AE a) Tính · EDF b) Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF, tứ giác DEGF hình gì? c) CMR: AC, DG, EF đồng quy Lời giải a) => => ∆ AED = ∆ CFD (c.g.c) ·ADE = CDF · · · · · => EDF = EDC + CDF = EDC + ·ADE · EDF = ·ADC = 900 b) Tứ giác DEGF có I trung điểm EF (gt) I trung điểm DG Do đó: DEGF hình bình hành lại có: · EDF = 900 => Là hình chữ nhật, lại có tiếp DE = DF => Là hình vng Bài 16: Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC, nửa mp bờ AB chứa C đựng hình vng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, Cắt DC F a) CMR: B) M=ND d) Chứng minh DF + BM = FM b) CMR: N, D, C thẳng hàng chu vi ∆ MFC không đổi M thay đổi BC Lời giải a) Tứ giác ABCD hình vng => µ + MAD · A = 900 Vì AMHN hình vng · => ¶A2 + MAD = 900 c) EMFN hình gì? (2) 89 (1) Từ (1) (2) ta có: Ta có : = ảA A AND= AMB (c.g.c) =D ả = 900, BM = ND => B b, ABCD hình vng ¶ = 900 => D ¶ +D ¶ = NDC · => D = 1800 2 , Nên N, D, C thẳng hàng c, Gọi O giao điểm hai đường chéo AH MN hình vng AMHN => O tâm đối xứng hình vng AMHN => AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F => EN=Em v FM=FN =O ả => EM = NF => O ∈ AH (3) (4) Từ (3) (4) => EM=NE=NF=FM=> MENF hình thoi (5) d, Từ (5) suy FM=FN=FD+DN, mà DN=MB (cmt) => MF=DF+BM Gọi chu vi Ta có : ∆ MCF P cạnh hình vng ABCD a P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF , Vì ( MF=DF+MB) = ( MC + MB) + ( CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a Hình vng ABCD cho trước => a khơng đổi => P khơng đổi Bài 17: Cho hình vng ABCD, Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C), Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F, trung tuyến AI thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE=AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF 90 AF = FK FC ∆ AEF cắt CD K, đường c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi ∆ EKC không đổi Lời giải ∆ a) Xét ABE vuông B ∆ ADF vuông D có: AB = AD, · · BAE = CAF => ∆ ∆ ABE = ADF => AE = AF Vì AE = AF AI đường trung tuyến ∆ AEF => AI Hai ∆ EF IEG vuông I IE=IF, Nên ⊥ ∆ · · IEG = IFK ∆ IFK vng I có: , ∆ IEG = IFK => EG = FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi b) Xét ∆ AKF ∆ CAF có: · · AFK = CFA , AF FK => ∆AKF : ∆CAF (gg ) => = AF = FK FC ·KAF = ACF · = 45 FC AF c) Theo câu a ta có: Do chu vi ∆ ∆ ∆ ABE = ADF nên EB=FD, Tứ giác EGFK hình thoi nên EK= KF EKC là: CEKC = EK + KC + CE = CF + CE = CD + DF + CE = 2CD AM = Bài 18: Cho hình vng ABCD cạnh a, AB lấy 2a ( Không đổi) BN = , BC lấy BN cho 2a a) CMR: AN vng góc DM b) Gọi I J trung điểm NM, DN K giao AN DN, Tính IK , KJ IJ 91 Lời giải ∆ a, Ta chứng minh ABN = DAM => ả = àA D 1 , Mà : ¶ +M ¶ = 900 D 1 => ả = 900 => K = 900 A1 + M a 4a a + = 9 MN = b, Ta có : KI = ∆ a MN = DN = Tương tự ta có : DM = Tương tự a 10 a => KJ = 10 a a 13 => IJ = 13 Bài 19: Cho hình vng ABCD, Từ điểm M tùy ý đường chéo BD, kẻ ME, MF vng góc với AB AD, CMR: a, CF = DE, CF ⊥ DE b, CM = EF, OM c, CM, BF, DE đồng quy a) BD đường chéo hình vng ABCD => BD phân giác góc D => ∆ ∆ cân F=> DF = FM = AE CDF = DAE (c.g.c) => CF = DE Mà EF d, Xác định M để diện tích AEMF lớn Lời giải ·ADB = 450 => DFM =D ả C 1 +F µ = 900 => D ¶ +F µ = 900 => FOD · C = 900 1 1 b, AM = EF, BD đường trung trực AC 92 => MA = MC => MC = EF Kéo dài FM cắt BC N => Tứ giác BEMN hình vng, => MN = ME ∆ => EMF = Mà => c) ∆ , ¶ +M ¶ = 900 => MEF · ¶ = 900 M +M 2 · EHM = 900 ∆ MNC(c g c) => ¶ = MEF · M => ĐPCM ⊥ EFC có CH EF => CM trùng CH đường cao ứng với cạnh EF ⊥ Lại có ED CF O => ED đường cao ứng với cạnh CF ⊥ Chứng minh tương tự câu a => CE BF => BF đường cao ứng với cạnh CE => đường CM, BF, DE đồng quy 93 CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT Bài 1: Cho ∆ABC , phía ngồi tam giác dựng hình vng BCDE, ACIG hình bình hành BEQK, CDPE Chứng minh ∆APQ vuông cân Lời giải G H F A ∆ABC = ∆CFP (cgc) : AC = CF ; BC = PF = CD; ˆ ) → CP = AB ; A ˆ = Cˆ Cˆ = Fˆ (bù: DCF 1 K B 1 1 C P Tương tự:  AC = BQ ∆ABC = ∆BKQ(cgc) →   Aˆ1 = Bˆ1 ∆ABQ = ∆ACP (cgc) → AQ = AP → ∆APQ Q E Ta có: D Cân A ˆ = QAB ˆ + BAC ˆ + CAP ˆ = APC ˆ + CAP ˆ ˆ + FCP QAP 94 = 180 −900 = 900 → ∆APQ ( Tổng ba góc tam giác ) vng cân Bài 2: [ HSG: 14/04/2014 ] Cho hình thang ABCD vng A D, biết CD = 2AB = 2AD BC = a Gọi E trung điểm CD ◊ABED a hình gì? Vì b Tính S ABCD theo a c Gọi I trung điểm BC, H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Tính ˆ HDI Lời giải a Hình chữ nhật có hai cạnh kề nên hình vng b ∆BEC → AB = AD = a; CD = 2a; S ABCD = vuông cân vuông cân A B H a c I D E ( AB + CD) AD ( a + 2a).a 3a = = 2 ˆ = HDB ˆ + BDI ˆ  HDI  ˆ + HDA ˆ = 900  HDB Ta chứng minh : C ˆ ( phu : HDC ˆ = ADH ˆ = ACD ˆ ) ⇐ ∆BDI : ∆DCA(cgc ) BDI Vì : Bài 3: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang – 2014 ] 95 BI AD ˆ ˆ ˆ = 450 = = ; B = D = 900 → HDI BD DC Cho ∆ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt AB M Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC N a Gọi O trung điểm AI CMR: M, O, N thẳng hàng b Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD c Tìm vị trí điểm I để MN // BC Lời giải a a m o AM // NI   → HBH → MN ∩ AI AN // MI  n đường b h d e i b Kẻ c k OE ⊥ BC → M , O, N trung điểm thẳng hàng ta chứng minh MHKN hình thang vng Ta có: O trung điểm MN, mà : vuông +) Xét OE // MH // NK → OE đường trung bình hình thang MNHK → MH + NK = 2OE (1) ∆ADI → OE c Ta có : đường trng bình MN // BC ↔ MN ∆ADI → AD = 2OE (2) → MH + NK = AD(dpcm) đường trung bình mà : MI // AC, M trung điểm AB →I ∆ABC , lại có O trung điểm AI phải trung điểm BC 96 Bài 4: Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng hình vuông AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, cắt DC F a Chứng minh rằng: BM = ND d DF + BM = FM chu vi b N, D, C thẳng hàng ∆MFC c FMNE hình gì? khơng đổi M thay đổi vị trí BC Lời giải A B E M a b ˆ = 1800 → N , D, C NDC thẳng hàng c Ta có : MN đường trung trực AH ∆AND = ∆AMB(cgc) → Bˆ = Dˆ1 = 900 ; BM = ND O N D C F H  EN = EM E , F ∈ AH →  ; ∆EOM = ∆FON (ch − gn) → FN = EM  FM = FN thoi d +) FM = FN = ND + DF = BM + FD P∆MFC = MC + CF + FM = MC + CF + BM + DF = ( MC + MB ) + (CF + DF ) = AB ( không đổi ) 97 Vậy cạnh nên hình Bài 5: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M N theo thứ tự hai điểm cạnh BC CD cho a Chứng minh c Tính chu vi ˆ = 450 MAN Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BM ∆ADK = ∆ABM ∆CMN b Chứng minh AN tia phân giác ˆ KAM theo a d BD cắt AM AN E F Chứng minh ba đoạn BE, FE, FD lập thành ba cạnh tam giác vuông Lời giải A B E M D b ∆ADK = ∆ABM → Aˆ1 = Aˆ5 +) F K a ∆ADK = ∆ABM (c − g − c) H N C ˆ = Aˆ + Aˆ + Aˆ + Aˆ = Aˆ + Aˆ + Aˆ + Aˆ = 900 KAN ˆ = 900 − NAM ˆ = 450 → KAN ˆ = MAN ˆ = 450 → dpcm KAM PCMN = MN + NC + CM = CM + CN + KN (∆ANK = ∆AMN ) = CM + CN + KD + DN = 2a d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến MN ˆ = ADF ˆ = 450 ∆AND = ∆AMH (ch − gn) → Aˆ = Aˆ3 → ∆FAD = ∆FAH (cgc) → FH = FD; AHF ˆ = ABE = 450 ∆AEH = ∆AEB(cgc) → EH = EB; AHE 98 c Ta có: Vậy ˆ = EHA ˆ + FHA ˆ = 900 → EHF BE , DF , FE vuông H lập thành ba cạnh tam giác vuông 99 ... biết - Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa hình bình hành - Tứ giác có góc đối hình bình hành - Tứ giác. .. E1 + E2 = 1800 Bài 5: Cho tứ giác ABCD có: Aˆ : Bˆ : Cˆ : Dˆ = : :13 :10 a Tính góc tứ giác ABCD cân D b AB cắt CD E, AD cắt BC F Phân giác góc AED góc AFB cắt O, phân giác góc AFB cắt CD AB M... điểm EF ⇒I trung điểm QN ⇒I Chứng minh tương tự: Tứ giác MEPF hình bình hành trung điểm MP ⇒ dpcm Bài 2: Cho tứ giác ABCD điểm I thuộc miền tứ giác Gọi M, N, P, Q điểm đối xứng với I qua trung