Li than van ca mt nha toan hc

Lời than vãn nhà toán học (P1) – Paul Lockhart, Nguyễn Tiến Đạt dịch By HỌC THẾ NÀO • 10/08/2013 Học Thế Nào xin đăng phần dịch viết “A Mathematician’s Lament” tác giả Paul Lockhart – nhà toán học giảng dạy nhiều năm trường tư Mỹ Bài viết bàn cách học theo trực giác cách giảng dạy cho phép học sinh học cách tự khám phá vật tượng, học từ trải nghiệm họ khơng phải cách nói cho họ vật tượng Bài viết nhấn mạnh tầm quan trọng việc thay đổi cách giảng dạy Toán học, coi việc học Toán hoạt động nghệ thuật cần nhiều trí tưởng tượng, quan điểm chưa thể cách dạy Toán hệ thống giáo dục Mỹ PHẦN Một nhạc cơng vừa chồng tỉnh dậy khỏi ác mộng kinh hoàng Trong giấc mơ, ơng thấy mắc kẹt giới nơi âm nhạc trở thành phần bắt buộc hệ thống giáo dục: “Chúng ta giúp học sinh cạnh tranh cách tốt nhất, giới nơi âm nhạc ngày chiếm vị trí lớn sống người”, họ nói Các nhà giáo dục, hệ thống trường học, phủ tham gia vào dự án quan trọng Các nghiên cứu triển khai, hội thảo tổ chức, nhiều định ban bố – tất cả, hồn tồn khơng có lấy tham vấn hay đóng góp nhạc cơng hay nhạc sĩ hoạt động Ai biết nhạc sĩ ghi lại ý tưởng dạng nốt khuông nhạc, vậy, ký tự đen trắng ngộ nghĩnh coi thứ “ngôn ngữ âm thanh” Bởi thế, thời nay, yêu cầu bắt buộc học sinh sinh viên muốn lấy cấp ngành nhạc phải “đọc thông viết thạo” thứ ngôn ngữ Thật vậy, nực cười bạn tin đứa trẻ hát hát, hay chơi nhạc cụ mà khơng cần có chút tảng kiến thức ký âm hay biết sơ qua học thuyết nhạc lý Không nói đến sáng tác, nghe chơi nhạc thơi hoạt động coi có độ khó cao rồi, vậy, dạy chương trình từ mức đại học trở lên, thường phải cao học Đó đại học, cấp học thấp tiểu học, trung học; nhiệm vụ nhà giáo dục tập trung huấn luyện để học sinh sử dụng thục thứ ngơn ngữ trên, xếp qua lại vị trí ký tự dựa quy luật soạn sẵn: “Đến học nhạc, bọn em lấy giấy ký âm ra; giáo viên viết nốt bảng, bọn em chép lại chuyển chúng khóa nhạc khác giấy Quan trọng biểu tượng khóa nhạc hình dáng nốt phải xác; giáo ln u cầu bọn em kỹ phải viết kín cho hết tờ in khuông nhạc Một lần chữa tập gam nửa cung, em trả lời khơng cho điểm, em đánh móc cho nốt nhạc quay nhầm bên.” Dần dần, nhà giáo dục học thông thái nhận rằng, học sinh nhỏ giao dạng tập Và thực tế, vào thời buổi này, đáng xấu hổ cho thầy cô bậc cha mẹ em, học trò họ học đến lớp mà chưa nắm vững lý thuyết khóa tơng luật ký âm “Chắc phải kiếm gia sư nhạc cho thằng Nó chẳng chịu làm tập cả, nói tập “chán ịm” Suốt ngày, lúc thấy ngồi nhìn ngồi cửa sổ, ngâm nga giai điệu khỉ gió mình, có lúc cịn tự bịa hát linh ta linh tinh nữa.” Càng học lên cao, áp lực lớn; suy cho cùng, học sinh cần phải chuẩn bị để đối mặt với kỳ thi tiêu chuẩn tới, có thi đầu vào đại học, cao đẳng Các môn học bắt buộc giáo trình giảng dạy thường bao gồm: Thang âm Gam; Điệu thứ; Nhịp Phách; Kỹ thuật hòa âm, Lý thuyết đối âm học… “Đúng em phải học số lượng môn học lớn, chuẩn bị cần thiết; tơi tin học lên giáo trình cao bậc đại học, yêu cầu phải trực tiếp nghe chơi nhạc, em thấy biết ơn tất học chương trình phổ thông…” Tất nhiên, không học sinh tiếp tục theo đường âm nhạc; nên có số em thực nghe âm mà nốt đen đen ngộ nghĩnh em học ký hiệu cho Tuy vậy, điều tối quan trọng thành viên xã hội phải có khả đọc quãng chuyển tông hay nhận nhịp thứ ký âm, họ có thực nghe nhạc hay khơng “Nói thật với anh, phần lớn học sinh ngày không giỏi nhạc chút hết Chúng uể oải học, kỹ thuật chúng cỏi, tập chép chúng tệ đến mức gần không đọc Chẳng đứa ý thức tầm quan trọng âm nhạc vào thời buổi nay, tất chúng muốn làm quấy cho xong nhiệm vụ, miễn kiếm đủ điểm tối thiểu để lên lớp xong Tôi nghĩ đứa giỏi giỏi từ bé, cịn đứa bẩm sinh khơng có thiên khiếu có học học thơi Mà, tơi biết có cô bé giỏi nhé, trời ơi, ký âm nó, phải nói chuẩn cực ln – nốt vị trí, nét ký xác, sắc nét, rõ ràng, tất đẹp đến hoàn hảo! Chắc chắn bé trở thành nhạc công vĩ đại cho mà xem!” Chồng tỉnh dậy mồ lạnh sợ hãi, người nhạc cơng nhận rằng, may mắn thay, tất giấc mơ – ác mộng điên rồ! “Tất nhiên rồi!”, ơng tự trấn an thân, “làm có xã hội độc ác đến mức bóp chết hình thái nghệ thuật đẹp ý nghĩa người thành thứ ngớ ngẩn vơ nghĩa lý đến thế! Khơng văn hóa lại tàn nhẫn đến độ tước đoạt trẻ em phương cách tự nhiên nhất, tuyệt vời để thăng hoa, để thỏa mãn thể cảm xúc thân vậy! Thật lố bịch, sức lố bịch!” Cùng lúc ấy, cách vài phố, người họa sĩ thị trấn vừa choàng tỉnh khỏi giấc mộng kinh hoàng tương tự… Tơi kinh ngạc nhận phịng học hồn tồn bình thường – khơng giá vẽ, khơng ống mực, khơng có thứ dùng để vẽ “Ồ, chúng tơi khơng thực vẽ, phải đợi đến em học đến cấp III kia” – giáo viên trả lời thắc mắc “Ở lớp bảy, chủ yếu em học màu vẽ bảng pha màu” Rồi họ đưa xem tờ phiếu tập học sinh Trên mặt giấy ô màu, bên dòng trống, học sinh yêu cầu điền vào tên màu sắc tương ứng bên “Em thích môn Mỹ thuật lắm”, học sinh hào hứng, “chỉ cần làm theo hướng dẫn xong Dễ luôn!” Sau học, tơi tìm đến nói chuyện với giảng viên “Vậy học sinh anh không thực vẽ hay sao?”, tơi hỏi “Có chứ, sang năm em học lớp Dự bị mơn Vẽ-theo-số Nó chuẩn bị cho em kiến thức tảng để theo học phân môn Vẽ-theo-số cao bậc phổ thơng Sau đó, vào đời, em có khả áp dụng kiến thức học vào thực tế – nhúng cọ vào sơn, quét màu, lau khô, thứ Tất nhiên theo dõi sát lực học sinh Những họa sĩ giỏi – em nắm vững kiến thức cọ vẽ, màu vẽ, giá vẽ – thực vẽ sớm hơn, tất nhiên; nhiều em chí tự tin đăng ký lớp Dự Bị Đại Học để tích lũy tín cho đại học từ Nhưng chủ yếu chúng tơi cố giúp em có hiểu biết hội họa, để sau ngồi đời, nhỡ có lúc phải sơn lại bếp hay quét vôi lại mảng tường trước nhà, em không đến mức phải bỡ ngỡ.” “Ừm, lớp học phổ thông mà anh nhắc đến lúc nãy, là…” “Ý anh lớp Vẽ-theo-số? Gần số lượng học sinh đăng ký học môn tăng đột biến Tơi nghĩ chúng chủ yếu đến từ bậc cha mẹ muốn đảm bảo cho vào trường đại học tốt Khơng có đảm bảo cho thí sinh tương lai tốt chứng loại giỏi môn Vẽ-theo-số học bạ đâu!” “Sao trường đại học lại quan tâm đến việc thí sinh có biết tơ màu vào hay khơng? “Ừ thì, anh biết đấy, cho thấy thí sinh có tư logic… em muốn học chuyên ngành mỹ thuật thiết kế thời trang hay trang trí nội thất; tốt từ bậc phổ thơng em đáp ứng đủ yêu cầu hội họa hay sao?” “Tôi hiểu Thế học sinh vẽ tự do, toan trắng?” “Anh nói y ông giáo sư dạy hồi xưa ấy! Lúc rao giảng việc hội họa phải thể thân, thể cảm xúc thứ nọ… toàn thứ huyễn hoặc, trừu tượng ấy! Tôi á, tơi có đại học hội họa đấy, chẳng làm việc với toan trắng tinh khơng có Tơi hay dùng dụng cụ Vẽtheo-số nhà trường cấp chủ yếu thôi.” *** Đáng buồn thay, hệ thống giáo dục toán giống xác ác mộng kinh khủng Trên thực tế, bạn bảo phải thiết kế hệ thống hoàn hảo với mục đích tối thượng hủy hoại hồn tồn trí tị mị tình u với việc tự phát quy luật riêng trẻ em, tơi chắn khơng thể làm tốt làm – Tôi đơn giản khơng có đủ trí tưởng tượng để nghĩ hàng đống ý tưởng sức tàn nhẫn vô nghĩa lý, tạo nên giáo dục toán học ngày nay! Ai biết có khơng ổn Các quan chức phủ nói “Chúng ta cần tiêu chuẩn khắt khe hơn!” Các nhà trường nói “Chúng ta cần thêm tiền trang thiết bị đại hơn!” Các nhà giáo dục nói kiểu, thầy lại nói kiểu khác Và tất sai Những người thực hiểu chuyện xảy lại người ln bị đổ lỗi nhiều nhất, lắng nghe nhất: học sinh Các em nói: “Giờ Tốn chán ịm!” Và em nói hồn tồn xác! *** Tốn học văn hóa Đầu tiên cần phải hiểu rằng, Toán học mơn nghệ thuật Sự khác biệt tốn loại nghệ thuật khác, âm nhạc hay hội họa, văn hóa khơng nhìn nhận Ai biết nhà thơ, họa sĩ, nhạc sĩ sáng tạo nên tác phẩm nghệ thuật, tự thể qua chất liệu ngôn ngữ, màu sắc âm Trên thực tế, xã hội nhân nhượng với từ “sáng tạo”: đến kiến trúc sư, đầu bếp, chí đạo diễn phim truyền hình coi “nghệ sĩ” Vậy nhà tốn học lại khơng thể thừa nhận vậy? Một phần vấn đề chỗ, không hiểu cách thực nhà tốn học làm Quan niệm thường thấy số đơng nhà toán học, theo cách đấy, làm việc liên quan đến khoa học – họ giúp nhà khoa học nghĩ công thức thuật toán; hay nhập số lớn vào máy tính lý Khơng cần hỏi biết, có ngày giới phải chia thành hai nhóm: nhóm “những người mơ mộng lãng mạn” nhóm “những người tư lý trí”; chắn hầu hết người xếp nhà toán học vào dạng thứ hai: nhóm “những người tư lý trí” Tuy vậy, thực tế khơng có thứ thơ mộng, lãng mạn; khơng thứ cấp tiến, cách mạng; khơng thứ khiến người ta mê đắm, ảo mị tốn học Nó ẩn chứa nhiều kinh ngạc bất ngờ không thua vũ trụ học [1] hay vật lý (các nhà toán học mường tượng khái niệm hố đen từ lâu trước nhà thiên văn thực tìm thấy hố đen); cho người ta nhiều tự để thể thơ, họa, nhạc nhiều (những hình thái nghệ thuật ln bị phụ thuộc vào nguyên liệu vật chất, có tính hạn định ngơn ngữ, màu sắc, âm thanh) Tốn học hình thức nghệ thuật khiết nhất, hình thức nghệ thuật bị hiểu sai nhiều Bởi xin để giải thích tốn học gì, nhà tốn học thực làm Tơi nghĩ khơng thể làm tốt lời miêu tả thực xác đáng sau nhà toán học người Anh G.H Hardy: “Một nhà toán học, họa sĩ hay nhà thơ, người tìm quy luật Nếu quy luật có bền vững họa sĩ hay nhà thơ, chúng quy luật ý tưởng.” Vậy nhà tốn học ngồi chỗ, tìm quy luật ý tưởng Nhưng loại quy luật nào? Loại ý tưởng nào? Ý tưởng lồi tê giác chăng? Khơng, dành cho nhà sinh vật học Hay ý tưởng ngôn ngữ văn hóa? Khơng, hầu hết khơng phải Tất thứ phức tạp so với sở thích người làm tốn Nếu có thứ coi tư tưởng thẩm mỹ chung cho tốn học, là: đơn giản vẻ đẹp Các nhà tốn học ưa thích nghĩ đến thứ đơn giản hết mức có thể, thứ đơn giản nhất, nằm trí tưởng tượng Ví dụ, tơi có hứng nghĩ hình khối – thường tơi hay có hứng nghĩ chúng – tơi hình dung tam giác bên hộp chữ nhật này: Tôi tự hỏi: tam giác chiếm phần hộp chữ nhật? Hai phần ba, có lẽ? Điều quan trọng cần nhớ khơng phải tơi nói hình vẽ giấy tam giác bên hình chữ nhật Cũng khơng phải tơi thắc mắc kết cấu kim loại hình tam giác chi tiết dầm đỡ cầu Hồn tồn khơng có mục đích thiết thực ẩn giấu câu hỏi Tôi chơi đùa thơi Đấy tốn – tự thắc mắc, tự chơi đùa với trí tưởng tượng Ngay từ đầu, câu hỏi “hình tam giác chiếm phần hình chữ nhật” chẳng thể áp dụng với vật thể có thực Kể tam giác tạo tác cách tinh xảo, xác nhất; mớ hỗn độn phức tạp hàng đống nguyên tử phân tử, nhảy từ bên qua bên kia, dao động qua lại liên tục tích tắc Đấy là, trừ bạn nói đến hệ đo lường theo kiểu xấp xỉ Lúc lại vấn đề mỹ thuật Nó khơng đơn giản, đó, câu hỏi gây ức chế, phụ thuộc nhiều vào đủ thứ chi tiết giới thực Cứ để cho nhà khoa học cho xong Câu hỏi toán học tam giác tưởng tượng, bên hình chữ nhật tưởng tượng Các đường biên chúng thẳng cách tuyệt đối, muốn – thứ thực thích tốn: thứ có đặc tính bạn muốn có Bạn có vơ hạn lựa chọn, khơng có thực cản trở bạn hết Mặt khác, bạn định đặc tính cho đối tượng (ví dụ, tơi cho tam giác có tính đối xứng, khơng); từ trở sáng tạo bạn tự vận hành theo nguyên tắc riêng nó, bạn có muốn hay khơng Đây điều kỳ diệu sáng tạo tưởng tượng này: chúng trả lời lại bạn! Có số ngồi cho câu hỏi tơi, hai phần ba, khơng, tơi khơng phép định Tơi phải tìm Vậy thỏa sức nghĩ thứ ta muốn, sau tạo quy luật đặt câu hỏi chúng Nhưng làm ta trả lời cho câu hỏi kiểu này? Tốn khơng giống mơn khoa học: khơng có ống nghiệm, bình pha kiểu để tơi làm thí nghiệm để trả lời cho câu hỏi thứ tồn trí tưởng tượng tơi Cách để tìm thật thứ tưởng tượng, phải dùng trí tưởng tượng, công việc dễ dàng đâu Về trường hợp tam giác hình chữ nhật, tơi có thấy phương án đẹp đơn giản này: Nếu “chém” nhát dọc tam giác này, tơi thấy rõ: nửa bị chém cạnh bên tam giác chia đôi thành hai phần Thế tức phần không gian bên phần khơng gian bên ngồi tam giác hai bên Tức tam giác chiếm nửa diện tích hình chữ nhật! Đây thực tốn Ví dụ ngắn vừa tơi đại diện cho nghệ thuật nhà toán học: đặt câu hỏi đơn giản mà sáng suốt đối tượng tưởng tượng riêng mình, tạo câu trả lời thích đáng thỏa mãn đến tuyệt vời cho chúng Thực khơng có tuyệt vời cảm giác tung hoành vương quốc ý tưởng: hấp dẫn, lơi người ta, là, hồn tồn miễn phí! Nhưng ý tưởng cho câu trả lời tơi đến từ đâu? Sao lại biết phải cần kẻ thêm đường kẻ đó? Thế họa sĩ lại biết cần nên đặt bút vào chỗ trước? Cảm hứng bất chợt, kinh nghiệm, thử thử lại nhiều lần, ăn may Đây nét nghệ thuật nó: tạo tuyệt thi suy nghĩ, xơ-nát ý tưởng Có thứ có sức lơi cuốn, sức thay đổi mãnh liệt thứ nghệ thuật Mối quan hệ hình tam giác hình chữ nhật vốn điều bí ẩn, xuất thêm đường kẻ, tất thứ trở nên sáng rõ Chỉ phút chốc, tơi nhìn thấy điều mà lúc trước thấy Bằng cách diệu kỳ đó, tơi tạo vẻ đẹp sâu sắc chẳng từ cả, lúc tự thay đổi thân tơi Chẳng phải nghệ thuật hay sao? Đó lý tơi đau khổ nhìn làm với toán trường học Từ chuyến phiêu lưu đầy hấp dẫn lôi trí tưởng tượng, tốn học bị rút lại thành mớ “định luật” để học sinh ghi nhớ đống “bước”, quy trình để học sinh làm theo Thay tự đặt câu hỏi đơn giản tự nhiên hai hình khối, tự trải qua quy trình tuyệt vời đầy hưng phấn khám phá sáng tạo, em học sinh lại “chiêu đãi” thứ đây: Cơng thức tính diện tích tam giác: S = ½ b.h “Diện tích tam giác phần hai tích độ dài cạnh đáy chiều cao nó” Học sinh yêu cầu học thuộc cơng thức này, sau “áp dụng” lại nó, lặp lặp lại nhiều lần “bài tập” Cịn đâu phấn khích, hứng khởi, chí phút khổ sở, bế tắc q trình sáng tạo Ở chí cịn khơng có vấn đề để giải Câu hỏi hỏi trả lời lúc Chẳng cịn lại cho học sinh thực làm Hãy để tơi nói cho rõ thứ tơi cơng kích Khơng phải việc cơng thức, hay việc ghi nhớ quy tắc thú vị có sai trái Trong tình phải có đó, giống học ngoại ngữ phải nhớ từ vựng – giúp học sinh tạo tác phẩm hay hơn, giàu có, phong phú Nhưng thứ quan trọng ý tưởng “chém” đôi tam giác đường kẻ, việc từ đường kẻ dẫn thêm ý tưởng đột phá sáng tạo để từ giải vấn đề khác – thứ mà dịng định lý khơng thể mang lại cho ta Bằng cách bỏ hồn tồn q trình sáng tạo để lại kết trình sáng tạo ấy, bạn vơ hình chung tự đảm bảo chắn khơng có thực hiểu rõ vấn đề Giống nói với tơi Michelangelo [2] tạo tác phẩm điêu khắc tuyệt đẹp, lại khơng cho tơi thấy tác phẩm hình dáng Thế làm khơi gợi cảm hứng cho tơi hay làm rung động được? (và thực tế với môn tốn, việc cịn tệ – ví dụ đây, tơi cịn hiểu thứ không thưởng thức tác phẩm nghệ thuật ) Bằng cách tập trung vào câu hỏi gì; mà xa rời câu hỏi sao; toán học bị rút lại vỏ trống rỗng Nghệ thuật khơng nằm “định lý”, nằm cách giải thích, cách lập luận Chính lập luận cho định lý nội dung nó, lập luận định câu nói phát biểu, ý nghĩa thực câu nói Nếu bạn từ chối cho học sinh tham gia vào hoạt động – tìm vấn đề riêng chúng, đưa suy đoán khám phá riêng chúng, sai, vò đầu bứt tai khơng tìm cách giải, dưng tìm thấy cảm hứng bất ngờ, đưa cách kiến giải chứng riêng chúng – tức bạn tước khỏi chúng tốn học đích thực Vậy nên khơng, tơi khơng phải than phiền có mặt cơng thức định luật lớp học tốn Tơi than phiền thiếu vắng toán học lớp học toán PHẦN Nếu giáo viên mỹ thuật bạn nói hội họa đơn giản tô màu vào ô trống tương ứng đánh số sẵn, bạn biết có khơng ổn Nền văn hóa thơng báo cho bạn – có hàng trăm bảo tàng triển lãm tranh, vô số tranh treo hộ gia đình Hội họa xã hội hiểu rõ hình thức biểu đạt tâm hồn người Cũng thế, giáo viên khoa học bạn cố thuyết phục bạn thiên văn học môn nghiên cứu tương lai người dựa vào ngày tháng năm sinh, bạn nghĩ bà giáo hẳn bị điên – khoa học thấm sâu vào văn hóa đại chúng tới mức gần tất người biết nguyên tử, thiên hà định luật thiên nhiên Nhưng giáo viên toán học gây cho bạn ấn tượng, trực tiếp hay gián tiếp, toán học đơn giản công thức, định nghĩa ghi nhớ thuật toán để giải tập, người giúp bạn nhận thật đây? Vấn đề văn hóa chu trình tiếp nối đến bất tận: học sinh học tốn từ giáo viên, giáo viên lại học toán từ giáo viên họ; thiếu trân trọng hiểu biết tốn học văn hóa thành lặp lặp lại qua hệ Và tệ nữa, chu trình vơ tận loại “tốn học giả hiệu” – thứ toán học biết trọng vào ký hiệu biểu tượng, xác, vơ nghĩa – có thời gian để tạo nên văn hóa riêng nó, tạo nên hệ giá trị riêng Những người trở nên thục kỹ môn học tự hào khả mình, thứ cuối đời họ muốn nghe toán học thực phải hướng đến tính sáng tạo tinh tế thẩm mỹ cá nhân Rất nhiều học sinh sau tốt nghiệp vô thất vọng nhận ra, sau chục năm khen “giỏi tốn”, thực tế chẳng có chút khiếu tốn học nào, đơn giản giỏi làm theo hướng dẫn mà Tốn khơng phải việc lầm lũi theo hướng có sẵn, tốn tự khai phá đường chưa có Và tơi cịn chưa nhắc đến thiếu vắng cơng tác phê bình dạy học tốn trường học Chưa học sinh biết đến bí mật: tốn học, hình thức văn học nào, tạo người với mục đích giải trí đơn thuần; toán học đối tượng để phê bình, đánh giá; người ta có phát triển dần khả cảm nhận toán Một giải toán giống thơ vậy; đặt câu hỏi liệu có đáp ứng yêu cầu thẩm mỹ khơng: Luận điểm có chắn khơng? Có hợp lý khơng? Có đơn giản mà tinh tế khơng? Có giải trọng tâm vấn đề khơng? Nhưng tất nhiên khơng có phê bình tốn học trường học – làm có tí nghệ thuật phê bình! Tại lại khơng muốn học tốn học thực sự? Có phải khơng tin vào lực chúng, tốn học khó với em? Chúng ta trí em hồn tồn có đủ khả để đưa luận điểm tự rút kết luận riêng Napoleon, điều lại khơng đối tượng hình tam giác? Tơi nghĩ đơn giản chúng ta, với tư cách văn hóa, chẳng biết qi tốn học thực Ấn tượng tốn thứ cao siêu, bác học, khơng hiểu – nhận thức sai lầm thật, vơ tình lại dẫn đến kết thế: chẳng thực hiểu toán Đã đủ tệ văn hóa chẳng biết tốn rồi; đằng tệ nhiều, nhiều nữa, người ta thực tin biết mục đích tốn, họ dường có hiểu lầm đáng kinh sợ toán học, theo cách đấy, có ích cho xã hội! Ngay có khác biệt lớn cách xã hội đối xử tốn mơn nghệ thuật khác Tốn học xã hội nhìn nhận kiểu công cụ cho khoa học công nghệ Tất người biết thơ ca âm nhạc thứ sinh mong muốn tận hưởng túy người, sinh để nâng đỡ khiến tâm hồn người trở nên cao khiết, (và đó, chúng gần bị loại trừ khỏi chương trình học) Nhưng khơng, tốn khác Tốn quan trọng SIMPLICIO: Chẳng lẽ anh định nói tốn học thực khơng có ích lợi hay cơng dụng thiết thực cho xã hội hay sao? SALVIATI: Tất nhiên không Tơi nói rằng, khơng thể thứ có hai cơng dụng thiết thực mà cho sinh để làm Âm nhạc thúc đẩy bước binh sĩ lâm trận, lý người ta viết giao hưởng hay xơ-nát Michelangelo trang trí tường trần nhà, tơi chắn đầu mình, ơng ta có tài cịn q giá nhiều SIMPLICIO: Nhưng cần người học công dụng thiết thực phải không? Chúng ta cần phải có kế tốn, thợ mộc, vv… chứ? SALVIATI: Có người thực cần dùng đến thứ “toán học thiết thực” dạy học chứ? Bộ anh nghĩ thợ mộc ngồi cần dùng đến cơng thức lượng giác sin cos hay sao? Và anh nghĩ có người lớn cịn nhớ cách chia phân thức, hay nhớ cách giải phương trình bậc hai ẩn? Rõ ràng chương trình dạy “kỹ toán học thiết thực” mà làm gần chẳng giúp ích cho hết, lý rõ ràng khơng kém: chán đến đau đớn, đằng chẳng dùng tới mớ kiến thức bắt người ta học Thế ta nghĩ tốn học quan trọng đến thế? Tơi khơng thấy xã hội có thêm tí lợi ích có cư dân lại quanh quẩn, với hàng đống ký ức mờ nhạt đầu công thức đại số hay biểu đồ hàm bậc bậc kia, ký ức rõ ràng việc họ ghét toán đến Mặc dù vậy, học tốn đem lại đơi chút lợi ích – cho người ta chiêm ngưỡng thứ nghệ thuật tuyệt đẹp, cho họ hội để tận hưởng cảm giác sáng tạo, có tư linh hoạt, có suy nghĩ rộng mở – thứ mà giảng dạy cách, có từ tốn SIMPLICIO: Nhưng người ta cần phải biết cách quản lý chi tiêu sau chứ, phải không? SALVIATI: Tôi chắn hầu hết người dùng máy tính bỏ túi cho phép toán thường nhật kiểu Mà lại khơng chứ? Nó rõ ràng xác đáng tin cậy hẳn tính tay Nhưng ý hệ thống giáo dục tệ hại đến kinh khủng, mà việc thứ thiếu vắng chương trình tốn chúng tuyệt đến nào! Tốn học nên dạy môn nghệ thuật, dạy lợi ích nghệ thuật Những thứ “cơng dụng thiết thực” chán ịm tự nhiên xuất sản phẩm phụ trình thơi Beethoven chắn dễ dàng viết hát quảng cáo dễ nhớ dễ nghe; động thực khiến ông học nhạc để tạo tận hưởng vẻ đẹp tác phẩm nghệ thuật SIMPLICIO: Nhưng đâu phải trở thành nghệ sĩ Thế cịn đứa bẩm sinh “dốt” tốn sao? Anh định nhét chúng vào đâu viễn cảnh mình? SALVIATI: Nếu tất người tiếp xúc với toán với chất thực nó, với tất thử thách đầy hấp dẫn bất ngờ thú vị mà mang theo, tơi tin có thay đổi lớn thái độ học học sinh với tốn khái niệm việc “giỏi” hay “dốt” toán Chúng ta nhiều bạn trẻ có tiềm trở thành nhà toán học tương lai – người thông minh, sáng tạo chắn không chấp nhận thứ tốn học trình bày khiến trơng môn học thật vô dụng vô nghĩa lý Họ đơn giản thông minh để phí phạm thời gian vào hoạt động vớ vẩn, vô nghĩa đến SIMPLICIO: Nhưng anh không sợ tốn giảng dạy mơn nghệ thuật trường học, có học sinh chẳng học hay sao? SALVIATI: Thì chúng có học đâu! Thà khơng có lớp học tốn chương trình dạy cịn dạy theo kiểu Ít lúc có vài người có hội tự khám phá thứ tuyệt đẹp đến theo cách riêng SIMPLICIO: Vậy theo nên chủ trương loại bỏ hẳn toán khỏi chương trình học? SALVIATI: Phần tốn học thực bị loại bỏ khỏi chương trình từ lâu rồi! Vấn đề phải làm với vỏ trống rỗng, vơ nghĩa cịn lại mà thơi Tất nhiên ủng hộ nhiều phương án thay hoạt động hấp dẫn chủ động tiếp cận với ý tưởng toán học SIMPLICIO: Nhưng liệu có giáo viên tốn biết đủ rõ mơn học để giảng dạy theo cách thế? SALVIATI: Rất Và phần tảng băng chìm mà thơi… *** Mơn Tốn trường học Chắc chắn khơng có cách hiệu để tiêu diệu hứng thú, ham thích với mơn học việc khiến trở thành phần bắt buộc chương trình Biến thành phần quan trọng kiểm tra tiêu chuẩn hóa, bạn vơ hình chung tự đảm bảo trường học hút hết hấp dẫn khỏi Các ban ngành lãnh đạo, nhà giáo dục, tác giả sách giáo khoa, công ty xuất bản, đáng buồn thay, giáo viên toán nữa, chẳng biết toán học thực hết Phạm vi vấn đề lớn nên đâu Hãy thử bắt đầu với thất bại ê chề công “cải cách giáo dục” mơn Tốn Suốt nhiều năm nay, ngày có thêm nhiều người nhận có khơng ổn cách mơn Tốn giảng dạy Các nghiên cứu triển khai, nhiều hội thảo tổ chức, hội đồng giáo viên, nhà xuất sách, đủ thể loại nhà làm giáo dục khác tập hợp để “khắc phục sửa chữa vấn đề” Bên cạnh chuyện tiền đổ để đầu tư cải cách quay lại làm lợi cho nhà xuất sách giáo khoa (những người trước nhanh nhạy kiếm lợi với biến động trị cách cho trình làng ấn “mới” đủ thể loại ấn phẩm qi dị đọc khơng hiểu họ); tất công cải cách giáo dục chưa chạm đến trọng tâm vấn đề Chương trình giảng dạy tốn khơng có cần cải cách, cần bị xóa bỏ kìa! Tất tranh luận ỏm tỏi kiểu việc “vấn đề” mơn Tốn nên giảng dạy chương trình, nên dạy trước nên dạy sau; việc nên dùng biểu tượng ký hiệu kia, hay loại máy tính model máy tính nên sử dụng… Chúa! – cố xếp lại bàn ghế tàu Titanic ấy!! Toán học âm nhạc lý trí; làm tốn tham gia vào hoạt động hấp dẫn khám phá, suy đoán, linh cảm cảm hứng, lúng túng trước vấn đề – vơ lý, mà bạn làm cho có lý, khơng thể hiểu sáng tạo bạn định làm gì; nhiên có ý tưởng đột phá, rơi vào trạng thái tâm lý vô ức chế nghệ sĩ, choáng ngợp ngỡ ngàng trước đẹp đến tuyệt đỉnh, sống chứ, mẹ kiếp!!! Chừng thứ cịn bị loại khỏi tốn ơng hội thảo chán chê đủ kiểu ông muốn đi, chẳng thay đổi đâu Cứ phẫu thuật cho chán đi, bác sĩ, bệnh nhân ông chết ngỏm từ lâu rồi!!! Điều đáng buồn trò “cải cách” nỗ lực để khiến mơn tốn “thú vị hơn” “thiết thực, gần gũi với học sinh hơn” Không cần ông phải làm cho tốn thú vị – tự thân thú vị đến mức ơng chịu rồi!!! Và điều tuyệt diệu chỗ hồn tồn khơng liên quan đến đời sống thực hết Chính mà hấp dẫn đến vậy!!! Những nỗ lực để khiến toán học trở nên gần gũi với sống lẽ tất yếu khiến trở nên khiên cưỡng đầy áp đặt: “Các em thấy đấy, học đại số [1] giỏi, em biết bạn Maria năm tuổi, biết hai năm trước đây, số tuổi Maria gấp hai lần số tuổi bạn vào bảy năm trước đây!” [2] (cứ kiểu có biết thứ thơng tin qi dị biết tuổi thật cô bé ấy) Đại số môn học phép tính thường ngày, đối tượng số cân đẳng thức – tự thơi đủ mục đích đích đáng để theo đuổi rồi: “Giả sử biết tổng hiệu hai số khác Làm để từ tơi tìm xác hai số gì?” Đây câu hỏi đơn giản mà xuất sắc, chẳng cần đến tí cơng sức để làm cho hấp dẫn Những người Babylon cổ xưa thích thú làm việc với vấn đề thế, học sinh ngày (và hy vọng bạn có hứng thú suy nghĩ nữa!) Chúng ta khơng cần nhọc cơng tốn sức để khiến tốn trở nên gần gũi Toán gần gũi với sống rồi, theo cách mơn nghệ thuật: trải nghiệm đầy ý nghĩa người Mà nữa, vị nghĩ trẻ em chí muốn học thứ liên quan trực tiếp đến đời sống hàng ngày chúng sao? Các vị nghĩ thứ thiết thực tính lãi suất tiết kiệm khiến bọn trẻ phát run lên phấn khích ư? Con người ta ưa thích thứ bay bổng kia, thứ mà tốn học cung cấp – giải thoát khỏi sống thường nhật, liều thuốc làm dịu căng thẳng giới thiết thực bình thường ngày Vấn đề tương tự xuất giáo viên nhà xuất sách ngả theo kiểu “cố làm vẻ dễ thương” Đây lúc mà người ta cố gắng chống lại gọi “chứng sợ toán” học sinh (một tập hợp loại hội chứng mà thực tế gây trường học); cách cố làm cho tốn “thân thiện” Để giúp học sinh nhớ công thức tính diện tích chu vi hình trịn, ví dụ thế, bạn nghĩ câu chuyện “Ơng C” lái xe vịng quanh “Bà S” khen “hai đĩa bánh bà làm trông ngon làm sao” (hai đĩa bánh = two pies = 2π; cơng thức tính chu vi hình trịn: C = 2πr); hay “hai đĩa bánh bác trông vuông” (vng = square, có nghĩa “bình phương”, bánh vng = square pies; ám cơng thức tính diện tích hình trịn: S = πr2 ) hay thứ vớ vẩn tương tự [3] Tại lại khơng kể câu chuyện có thật ấy? Câu chuyện bao nỗi vất vả người cần đo đạc đến độ dài đường cong; câu chuyện Eudoxus, Archimedes phương pháp “vét cạn” [4] ; siêu việt hẳn số π ? Thứ theo bạn nghĩ thú vị hơn: ngồi hộc đo đạc cách xấp xỉ diện tích hình gần trịn giấy vẽ đồ thị, sử dụng công thức người ta đưa cho bạn mà khơng giải thích (và bắt bạn phải học thuộc lịng sau áp dụng áp dụng lại); hay lắng nghe câu chuyện vấn đề đẹp nhất, hấp dẫn nhất, lôi nhất; ý tưởng tuyệt vời đột phá lịch sử nhân loại? Chúng ta giết chết hứng thú học sinh hình trịn đấy, Chúa!!! Chúng ta chí cịn khơng cho học sinh hội để nghe câu chuyện vậy, chưa nói đến chuyện cho chúng hội để thực làm toán, tự nghĩ ý tưởng riêng mình, có ý kiến, thái độ riêng mình! Có mơn học khác giáo trình lại khơng: dạy cách đặn mà khơng nhắc đến lịch sử, đến triết lý, đến phát triển tư tưởng, yêu cầu thẩm mỹ, đến tình trạng nó? Có mơn học lại chối bỏ mạch nguồn ni dưỡng lớn – tác phẩm nghệ thuật tuyệt đẹp, tạo nên óc sáng tạo lịch sử loài người – mà biết học bắt chước thô lậu từ sách giáo khoa hạng ba khơng? Vấn đề lớn tốn học nhà trường, khơng có vấn đề thực để giải cả! Ồ, tơi có biết thứ được gọi vấn đề lớp toán chứ: thể loại “bài tập” ngớ ngẩn gì! “Đây dạng vấn đề Đây cách giải Ồ có, có kiểm tra Hãy làm từ đến 35 để luyện cho thục nhé” Thật cách học toán thật đáng buồn: không khác chi khỉ bị huấn luyện!!! Nhưng vấn đề thực sự, câu hỏi tự nhiên, đơn giản mà tinh tế người – lại thứ hoàn toàn khác Đường chéo hình lập phương dài đến đâu? Liệu số ngun tố có lớn lên khơng hay dừng lại mức đó? Vơ có phải số khơng? Lịch sử tốn học lịch sử hành trình khám phá người với câu hỏi thế; nhai lại vô nghĩa với công thức thuật toán (cùng với tập dàn xếp từ trước để áp dụng chúng) Một vấn đề nghĩa phải thứ bạn khơng biết làm cách để giải Thế làm nên câu đố hay, hội tốt Một vấn đề tốt không ngồi đơn độc, giống ván dậm nhảy để “bật” bạn đến câu hỏi thú vị khác Một tam giác có diện tích ½ hình chữ nhật Thế khối hình kim tự tháp nằm hộp không gian ba chiều sao, có giống khơng? Ta giải vấn đề theo cách tương tự với hai hình mặt phẳng khơng? Tơi hiểu cần thiết việc phải huấn luyện cho học sinh nắm vững số kỹ thuật định – tơi làm Nhưng xong! Kỹ thuật toán, giống kỹ thuật môn nghệ thuật nào, nên người học tiếp nhận lúc thực hành Hãy cho học sinh bạn vấn đề thật tốt, chúng vật vã xoay sở, ức chế không tìm cách giải Hãy xem chúng nảy ý tưởng không Đợi chúng thực điên lên cần ý tưởng, lúc cho chúng vài kỹ thuật Nhưng đừng nhiều Vậy nên dẹp hết sang bên giáo trình giáo án, máy chiếu, đống sách giáo khoa màu mè đáng ghét bạn, đĩa CD-ROM, tất thể loại đồ nghề rạp xiếc bạn dùng giảng dạy nay; bắt đầu làm tốn với học sinh đi!!! Các giáo viên mỹ thuật đâu có phí thời gian với sách giáo khoa hay tập trung rèn luyện kỹ cho học sinh Họ làm thứ tự nhiên với môn học họ – họ cho bọn trẻ vẽ tranh Hãy vòng quanh lớp học, từ em đến em khác, đưa gợi ý đề nghị giúp đỡ: “Em nghĩ vấn đề tam giác hộp chúng ta, em nhận điều này: tam giác nghiêng nhiều bên, khơng cịn chiếm nửa hình chữ nhật nữa! Đây, thầy nhìn mà xem này!!” “Quan sát tốt lắm! Luận điểm “chặt chém” thừa nhận đỉnh tam giác chiếu xuống nằm cạnh đáy Giờ cần đến ý tưởng rồi.” “Để em thử chém theo kiểu khác nhé?” “Tất nhiên Hãy thử ý tưởng mà em có Và nói cho thầy biết em có ý tưởng nhé!” *** Vậy làm cách để dạy cho học sinh làm toán cách thực sự? Bằng cách chọn vấn đề tự nhiên, không khiên cưỡng, vấn đề thực gây hứng thú phù hợp với sở thích, tính cách kinh nghiệm em Bằng cách cho em thời gian để tự khám phá rút suy đoán riêng Bằng cách giúp để lập luận em chặt chẽ hơn, tạo môi trường học tập lành mạnh sơi phê bình tốn học Bằng cách linh động rộng mở, phóng khống trước thay đổi em hướng tới trí tị mị dẫn dắt Nói ngắn gọn lại, có mối quan hệ trí tuệ chân tình với học sinh mơn học Tất nhiên thứ vẽ bất khả thi nhiều lý Kể có bỏ qua việc chương trình học phổ thơng đồng kiểm tra tiêu chuẩn hóa gần khơng dành chỗ cho độc lập giáo viên nữa; tơi khơng tin nhiều giáo viên chí muốn có mối quan hệ gần gũi với học sinh Quá gần gũi tức dễ tổn thương hơn, nhiều trách nhiệm – nói ngắn gọn lại, nhiều công việc! Sẽ dễ nhiều cần làm vật trung gian thụ động để truyền đạt “kiến thức” từ sách đến học sinh, làm theo ba bước dẫn nhanh gọn mì ăn liền: “giảng, kiểm tra, lặp lại!” ; đào sâu suy nghĩ vấn đề, ý nghĩa thực thứ cố dạy cho học trị, đâu cách tốt để truyền đạt trực tiếp chân thành ý nghĩa đến học sinh Chúng ta khuyến khích nên bỏ qua cơng việc khó nhọc tự đưa định dựa vào suy nghĩ độc lập lương tâm cá nhân, thay vào phải ln “bám sát vào chương trình” Đó đơn giản đường phải kháng cự nhất: NHÀ XUẤT BẢN SÁCH → GIÁO VIÊN : A Công ty dược → Bác sĩ B Hãng thu âm → DJ C Các tập đoàn lớn → Các nghị sĩ Tất phương án Vấn đề chỗ, vẽ tranh hay làm thơ, toán cơng việc sáng tạo khó nhọc Điều làm cho dạy tốn trở thành cơng việc khó Làm tốn q trình nghiền ngẫm, phải chậm Phải tốn nhiều thời gian làm tác phẩm nghệ thuật, phải cần đến giáo viên thật giỏi nhận tác phẩm nghệ thuật Tất nhiên ban bố đống quy tắc, quy ước dễ nhiều phải hướng dẫn khơi gợi cảm hứng nghệ sĩ trẻ; viết hướng dẫn sử dụng đầu VCR dễ nhiều viết sách có quan điểm, có lập trường riêng [5] Tốn học mơn nghệ thuật, nghệ thuật nên dạy nghệ sĩ thực làm việc – không, phải người biết trân trọng tác phẩm nghệ thuật, có đủ khả để nhận họ nhìn thấy tác phẩm Bạn không bắt buộc phải học nhạc từ nhạc sĩ chuyên nghiệp, liệu bạn có muốn hay học nhạc từ người chí chưa chơi nhạc cụ nào, hay chưa thực nghe nhạc suốt đời không? Liệu bạn có chấp nhận giáo viên mỹ thuật đời chưa cầm lấy bút chì lần nào, hay chưa đặt chân vào viện bảo tàng hay triển lãm tranh không? Thế lại ln sẵn lịng chấp nhận giáo viên Tốn chưa có cơng trình tốn học riêng mình, người hồn tồn khơng biết triết lý lịch sử mơn học dạy, khơng biết thành tựu nghiên cứu gần đây, thực tế khơng biết ngồi thứ nằm chương trình mà họ phải dạy cho học trò khốn khổ họ? Kiểu giáo viên chứ? Sao người lại dạy thứ mà thực tế chẳng làm? Tôi khiêu vũ, lẽ tất yếu, không giả thiết dạy lớp khiêu vũ (tơi thử, kết chắn khơng đẹp đẽ gì) Điểm khác biệt lớn tơi biết khơng thể khiêu vũ Và khơng có khen tơi giỏi khiêu vũ tơi biết đống từ thuật ngữ ngành khiêu vũ Không phải ý tất giáo viên toán cần phải nhà tốn học chun nghiệp – hồn tồn khơng phải Nhưng họ phải hiểu tốn học gì, phải giỏi tốn, phải thích thú làm tốn chứ? Nếu dạy học cịn bị rút ngắn lại thành việc truyền dẫn thơng tin, lớp học khơng cịn phút giây thầy trò chia sẻ cảm giác ngỡ ngàng phấn khích trước tri thức mới, giáo viên đơn người tiếp nhận thụ động thông tin người sáng tạo nên ý tưởng mới, cịn hy vọng cho học sinh? Nếu phép chia phân số với giáo viên mớ quy tắc tùy tiện nghĩ ra, mà khơng phải sản phẩm trình sáng tạo, kết lựa chọn đam mê đầy tính thẩm mỹ, tất nhiên học sinh tội nghiệp nghĩ giống rồi! Dạy học lượng thông tin truyền đạt Dạy học có mối quan hệ trí tuệ chân tình với học sinh Nó khơng cần phương pháp, không cần công cụ, không cần huấn luyện đào tạo chi hết Chỉ cần khả chân chính, khơng giả tạo Nếu anh khơng thể làm thế, anh khơng có quyền cưỡng ép học sinh vô tội phải chịu đựng anh Cụ thể hơn, anh dạy cách dạy Các “trường sư phạm” trị giả dối hồn tồn Ồ, phải, anh dạy phát triển tâm lý trẻ em kiểu thế, anh đào tạo để dùng bảng đen “hiệu quả”, đào tạo để biết soạn “kế hoạch giảng dạy” khoa học (thứ, nói luôn, đảm bảo anh dạy thứ lên kế hoạch, đó, anh thất bại từ đầu); anh học thứ đó, anh khơng giáo viên chân anh khơng sẵn sàng làm người chân chính, khơng chút giả tạo Dạy học rộng rãi, phóng khống, sẵn sàng tiếp nhận mới; chân thành với học trị, có khả chia sẻ niềm phấn khích với học trị, có tình u chân thành với việc học Nếu khơng có thứ đó, tất cấp sư phạm giới khơng giúp anh; có nó, tất mớ cấp không cần thiết Mọi thứ hồn tồn đơn giản thơi Học sinh người đâu phải sinh vật hành tinh Chúng phản ứng với đẹp, với quy luật, chúng có trí tị mị tự nhiên khác Hãy trò chuyện với chúng đi! Và quan trọng nữa, lắng nghe chúng đi!!! SIMPLICIO: Được rồi, tơi hiểu có khía cạnh nghệ thuật tốn, làm khơng tốt cho việc cho học sinh tiếp xúc với Nhưng khơng phải anh đòi hỏi hệ thống giáo dục thứ tách biệt xa rời thực tế chứ? Chúng ta đâu có định đào tạo nhà hiền triết đây, cần học sinh có khả tốn học tối thiểu, để họ vận hành tốt xã hội sau thơi mà? SALVIATI: Nhưng đâu có làm thế! Toán trường học giảng dạy nhiều thứ khơng liên quan tới xã hội – đại số hay lượng giác chẳng hạn! Những chuyên đề hồn tồn chẳng có liên quan đến đời sống thường ngày hết! Tôi đơn giản gợi ý đằng giảng dạy chúng phần bắt buộc giáo dục cho học sinh, dạy chúng theo cách tự nhiên hợp lý mà thơi! Hơn nữa, tơi nói lúc nãy, mơn học tình có vài công dụng vớ vẩn thiết thực đấy, khơng có nghĩa ta nên biến cơng dụng thành mục đích trọng tâm giảng dạy học tập Đúng anh cần phải biết đọc điền vào mẫu đơn, ký hợp đồng, khơng phải lý ta dạy bọn trẻ đọc sách Ta dạy chúng biết đọc mục đích cao hơn, để chúng tiếp cận với ý tưởng đẹp đẽ đầy ý nghĩa nhân loại Không thật tàn nhẫn dạy đọc theo kiểu – bắt học sinh lớp ba phải điền đơn đặt hàng hay biên lai thuế – mà học khơng có tác dụng! Chúng ta học thứ hấp dẫn vào lúc này, khơng phải có tác dụng thiết thực sau Thế lại xác điều mà đòi hỏi học sinh bắt chúng học tốn SIMPLICIO: Nhưng cần học sinh lớp ba biết làm toán chứ? SALVIATI: Tại sao? Anh muốn huấn luyện để chúng biết tính 427 cộng 389 [6] ư? Nó đơn giản khơng phải câu hỏi mà nhiều đứa trẻ tám tuổi thắc mắc Nếu nói đấy, hầu hết người lớn cịn khơng hiểu hết quy tắc đếm số hệ thập phân cơ, anh mong chờ bọn trẻ hiểu rõ tí ư? Hay anh khơng cần quan tâm xem chúng có thực hiểu hay khơng? Ở tuổi đơn giản sớm cho kiểu đào tạo Tất nhiên làm được, rốt lại, tơi thấy làm có hại nhiều có lợi Tốt nên đợi đến tính tị mị tự nhiên em số tự thơi thúc chúng học tốn SIMPLICIO: Vậy nên làm với bọn trẻ tốn chứ? SALVIATI: Chơi trị chơi! Dạy chúng cờ vua cờ vây, chơi cờ Hex, chơi Backgammon, Tự nghĩ trị chơi Cho chúng chơi câu đố Hãy cho chúng tiếp xúc với tình địi hỏi phải có tư logic Đừng vội lo đến biểu tượng, ký hiệu hay kỹ thuật; giúp em có tâm chủ động sáng tạo nhà tốn học SIMPLICIO: Có vẻ cách làm nguy hiểm Nhỡ tập trung cho Tốn đến mức học sinh khơng biết cộng hay trừ sao? SALVIATI: Tơi nghĩ nguy hiểm việc tạo trường học mà thiếu vắng hoạt động sáng tạo nào, nơi mà chức học sinh ghi nhớ ngày tháng, ghi nhớ công thức, ghi nhớ từ vựng, nhai lại mớ kiến thức kiểm tra tiêu chuẩn hóa – “Hãy chuẩn bị lực lượng lao động ngày mai từ hơm nay!” SIMPLICIO: Nhưng chắn có phần kiến thức tốn học tối thiểu mà người có giáo dục phải biết chứ? SALVIATI: Phải, phần quan trọng tốn học thể loại nghệ thuật tạo người để thỏa mãn ham thích mình! Được rồi, tốt người có chút hiểu biết về hình khối hay số học, thứ Nhưng hiểu biết thực khơng đến từ việc học thuộc lịng lặp lặp lại, làm tập lặp lặp lại, nghe giảng hay luyện tập Anh học thứ cách tự làm nó, anh nhớ thứ gây hứng thú cho anh Chúng ta có triệu người trưởng thành quanh quẩn khắp nơi với cụm từ “trừ b cộng trừ delta 2a” đầu, hoàn toàn khơng hiểu có nghĩa Và lý họ chưa có hội tự khám phá nghĩ chúng Họ chưa có thử thách thực để tự suy nghĩ, để ức chế, để khiến họ có ham muốn cần đến phương pháp kỹ thuật giải toán Họ chưa biết đến câu chuyện mối quan hệ nhân loại số – khơng có bia đá người Babylon, khơng có mảnh giấy Papyrus từ thời Ai Cập cổ đại, khơng có Liber Abaci nhà tốn học Fibonacci, khơng Ars Magna Girolamo Cardano Và quan trọng cả, không hội để họ chí tị mị chút vấn đề: câu hỏi trả lời từ trước họ kịp nghĩ đến SIMPLICIO: Nhưng đâu có thời gian học sinh tự khám phá tốn học lại từ đầu? Phải đến hàng kỷ nhân loại phát triển định lý Py-ta-go; làm mà anh mong chờ đứa trẻ bình bình tầm trung tự nghĩ chứ? SALVIATI: Tơi đâu có mong chờ điều Để tơi nói rõ Tơi than phiền việc có thiếu vắng hồn tồn nét nghệ thuật, phát minh, lịch sử, triết lý, bối cảnh quan điểm cá nhân chương trình tốn Thế khơng có nghĩa ký hiệu, biểu tượng, kỹ thuật hay việc phát triển tảng kiến thức cho học sinh điều khơng cần thiết Tất nhiên chúng có cần thiết chứ! Nhưng cần phải có hai Nếu phản đối việc lắc q nghiêng bên, điều khơng có nghĩa tơi muốn nghiêng tuốt hẳn sang phía cịn lại Nhưng thật là, người ta học tốt kiến thức họ học sản phẩm từ trình tư nhận thức Sự trân trọng thực với thơ ca đến từ việc nhớ đống thơ, mà từ việc tự viết thơ riêng SIMPLICIO: Đúng vậy, muốn viết thơ trước hết anh phải học thuộc bảng chữ Quá trình phải điểm Anh cần phải biết trước chạy SALVIATI: Khơng, muốn chạy được, anh cần phải có thứ để anh chạy tới Trẻ em làm thơ viết truyện chúng học đọc viết Những dòng viết đứa bé tuổi tác phẩm tuyệt vời, lỗi tả hay dấu má khơng làm giảm chút giá trị hết Kể đứa trẻ nhỏ sáng tác hát, chúng chẳng cần biết tơng nhạc gì, hay khóa nhạc chúng dùng SIMPLICIO: Nhưng tốn học đâu có giống thế, phải khơng? Chẳng phải tốn học tự ngơn ngữ khác hẳn, với đủ loại biểu tượng, ký hiệu mà muốn làm trước hết phải học hết chúng hay sao? SALVIATI: Hồn tồn khơng phải Tốn học khơng phải ngơn ngữ, phiêu lưu kỳ thú Liệu nhạc sỹ có nói “một ngơn ngữ khác hẳn” khơng, họ ký hiệu cho giai điệu họ nghĩ nốt đen trắng nhỏ nhỏ kia? Nếu có thế, thứ ngơn ngữ chẳng gây chút khó khăn cho đứa trẻ hát tự nghĩ Đúng, có lượng lớn ký hiệu biểu tượng toán học phát triển suốt hàng bao kỷ qua, chúng chưa đóng vai trị cốt yếu, quan trọng toán hết Hầu hết vấn đề toán học thực giải với người bạn bên bàn cà phê, ghi nguệch ngoạc khăn ăn Tốn học ln ý tưởng, ý tưởng giá trị quan trọng nhiều biểu tượng vô nghĩa bạn chọn để ký hiệu cho Như Gauss phát biểu: “Thứ cần ý tưởng, biểu tượng!” [7] SIMPLICIO: Nhưng mục đích tốn học để dạy cho học sinh biết cách tư mạch lạc, logic, giúp chúng có “tư tốn học” để giải vấn đề thực sống sau hay sao? Không phải tất định nghĩa công thức giúp mài sắc tư học sinh sao? SALVIATI: Khơng, khơng Nếu có, hệ thống giáo dục có tác động hoàn toàn ngược lại: làm cùn nhụt tư em Khả suy nghĩ sắc bén phương diện đến từ việc trực tiếp giải vấn đề, từ việc bảo sẵn cho cách giải từ đầu SIMPLICIO: Thơi rồi, anh nói có lý Nhưng học sinh muốn theo đuổi đường làm khoa học, hay làm kỹ sư sao? Những đối tượng cần đến đào tạo cung cấp chứ? Khơng phải lý dạy toán trường học (để giúp đỡ em dễ dàng học mơn khoa học) ? SALVIATI: Có học sinh học văn sau trở thành nhà văn, nhà phê bình nghệ thuật nào? Đó lý dạy văn, khơng phải lý bọn trẻ học Chúng ta dạy để khai sáng cho tất cả, khơng phải để đào tạo cho nhóm nhỏ người làm nghề chuyên nghiệp tương lai Mà thực sự, phẩm chất đáng giá nhà khoa học hay kỹ sư đó, mà khả tư độc lập tính sáng tạo Khơng ai, nghề gì, hạng sau này, lại muốn bị huấn luyện (còn nữa…) Người dịch: Nguyễn Tiến Đạt [1] Nguyên bản: “algebra”, ngành tốn học ký tự biểu tượng dùng để ký hiệu cho đại lượng đối tượng toán học chưa xác định [2] Cách giải toán người dịch: Theo giả thiết, số tuổi Maria năm trước hai lần số tuổi cô bé vào năm trước Coi x số nguyên dương lớn 7, ta có cách giải sau: Gọi số tuổi Maria x, suy ra: + số tuổi Maria năm trước x – + số tuổi Maria năm trước x – Vậy x – = 2.(x – 7) ; tức x – = 2x – 14; tức -2 + 14 = 2x – x ; tức x = 12 Vậy Maria năm 12 tuổi Hai năm trước bạn 10 tuổi, bảy năm trước bạn tuổi, khớp với kiện giả thiết [3] Một ví dụ gần gũi với người Việt kể đến thơ lượng giác sau: Sin: học (cạnh đối – cạnh huyền) Cos: khơng hư (cạnh kề – cạnh huyền) Tg: đồn kết (cạnh đối – cạnh kề) Cotg: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối) Hoặc thơ khác cách nhớ công thức: tan(a + b) = (tana + tanb)/1 – tana.tanb là: tan tổng tầng hai cao rộng thượng tầng tan cộng tan tan hạ tầng số ngang tàng dám trừ tích tan tan oai hùng [4] Phương pháp “vét cạn” (“The method of exhaustion”) phương pháp tính gần diện tích hình bắt nguồn từ kỷ thứ trước Công Nguyên Hy Lạp, lần nghiên cứu kỹ lưỡng nhà toán học cổ Eudoxus Archimedes (Ác-xi-mét) dùng phương pháp để tính diện tích hình trịn, cách đặt đa giác nội tiếp bên hình trịn, đa giác khác ngoại tiếp bên ngồi hình trịn, hình – hình trịn bị kẹp hai đa giác đồng dạng Archimedes phát ta tăng dần số cạnh hai đa giác, chênh lệch chu vi hình trịn chu vi hai đa giác giảm dần, đến lúc đấy, khoảng chênh lệch nhỏ đến mức coi hoàn toàn bị “vét cạn” (quá nhỏ đến mức bỏ qua) Cặp đa giác có nhiều cạnh chúng tiến sát lại gần nhau, đồng thời chu vi chúng gần với chu vi hình trịn nằm giữa, đến mức số chênh lệch chu vi hai đa giác xấp xỉ 0, hai đa giác gần trùng tạo thành đa giác gần trùng khít với hình trịn: [5] Người dịch lúc dịch có google cụm từ “nhà tốn học”, tình cờ tìm đến trang wikipedia giáo sư – nhà toán học Tạ Quang Bửu Xin trích nguyên văn đoạn nhỏ người dịch thấy thú vị: “Ông sinh ngày 23 tháng năm 1910, gia đình nhà giáo thơn Hồnh Sơn, xã Nam Hồnh, huyện Nam Đàn, tỉnh Nghệ An Năm 1922, ông thi vào trường Quốc học Huế đỗ thứ 11 Sau ơng Hà Nội học trường Bưởi Năm 1929, sau đỗ đầu tú tài Việt đỗ đầu tú tài Tây ban Tốn, ơng nhận học bổng Hội Như Tây Du học Nguyễn Hữu Bài sang Pháp học.Tại Pháp, năm 1929, ơng đăng ký học lớp tốn đặc biệt trường Louis le Grand toán học vật lý lý thuyết, đăng ký học cử nhân tốn Viện Henri Poincaré Ơng đến nghe giảng giảng đường Hermite (dành cho cử nhân) lẫn tham dự buổi xê-mi-na giảng đường Darboux (dành cho người học đại học) Tại đây, ông tiếp xúc với nhiều nhà toán học trẻ nước Pháp, bí mật tham gia nhóm Nicolas Bourbaki Đó sở để năm 1961, ông cho đời tác phẩm Về cấu trúc Bourbaki Ông thi đỗ vào trường Centrale Paris năm 1930, theo học chương trình cử nhân khoa học Đại học Sorbonne, học toán Đại học Paris, Đại học Bordeaux (Pháp) từ 1930 đến 1934 trường Bordeaux trao đổi sang Đại học Oxford (Anh) thời gian ngắn Tại ông học thêm vật lý lượng tử Trở nước năm 1934, ông không làm quan mà dạy toán tiếng Anh trường tư, ban đầu trường Phú Xuân, sau trường dòng Providence (Thiên Hựu) Huế Ngồi tiếng Anh tốn, lí, hóa ông dạy môn khoa học tự nhiên khác theo yêu cầu nhà trường Các môn (động vật, thực vật, khống vật) ơng tự nghiên cứu sách chuyên ngành cao nhiều so với chương trình trung học lên lớp với mẫu vật tự sưu tầm.” [6] Bằng 816, có tình cờ quan tâm : ) [7] “What we need are notions, not notations.” ... lên cao, áp lực lớn; suy cho cùng, học sinh cần phải chuẩn bị để đối mặt với kỳ thi tiêu chuẩn tới, có thi đầu vào đại học, cao đẳng Các môn học bắt buộc giáo trình giảng dạy thường bao gồm: Thang... đại, khơng có Liber Abaci nhà tốn học Fibonacci, khơng Ars Magna Girolamo Cardano Và quan trọng cả, không hội để họ chí tị mị chút vấn đề: câu hỏi trả lời từ trước họ kịp nghĩ đến SIMPLICIO: Nhưng... bạn tước khỏi chúng tốn học đích thực Vậy nên khơng, tơi khơng phải than phiền có mặt cơng thức định luật lớp học tốn Tơi than phiền thiếu vắng toán học lớp học toán PHẦN Nếu giáo viên mỹ thuật