Chuyên đề phương pháp giải bài tập cực trị của môn vật lý cấp THCS

PHẦN I: MỞ ĐẦU Tốn học Vật Lý có mối quan hệ mật thiết với Vật Lý đặt tốn địi hỏi phải sử dụng cơng cụ Tốn học để giải Và sau đó, đáp số toán lại nhà Vật Lý kiểm nghiệm qua thực tế, qua thí nghiệm Nhiều Toán học cống hiến cho Vật Lý kết bất ngờ, mở hướng nghiên cứu cho nhà Vật Lý Nhận thức vai trò, tầm quan trọng Toán học Vật Lý, việc sử dụng linh hoạt có hiệu cơng cụ toán học vào giải toán Vật Lý trọng, đăc biệt học sinh cấp THCS tiếp cận với bôn môn Vật Lý Tuy nhiên việc giải toán Vật Lý đặt nhiều thách thức với nguyên nhân khách quan chủ quan Các tốn Vật Lý khó cấp THCS địi hỏi kiến thức toán nhiều, hiểu biết sâu sắc vận dụng linh hoạt kiến thức toán học Như vậy, làm để học sinh hiểu phương pháp sử dụng để giải vấn đề quen thuộc, tiết kiệm thời gian vận dung linh hoạt vào toán lạ? Xuất phát từ khó khăn đó, tơi định chọn chuyên đề: “Phương pháp giải tập cực trị môn Vật lý cấp THCS ” với hi vọng giúp cho em học sinh có nhìn tổng quan phương pháp giải tập “cực trị môn vật lý” biết vận dụng kiến thức tốn học, phương pháp thích hợp để giải tập dạng này, thơng qua việc tìm hiểu tập Bên cạnh đó, tơi hy vọng tài liệu tham khảo có ích cho bậc phụ huynh thầy cô giáo quan tâm đến lĩnh vực PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VẬT LÍ VẬN DỤNG TỐN HỌC Tóm tắt kiến thức (những cơng thức vật lý bản): Cơ học: - Cơng thức tính vận tốc: v = Trong đó: v vận tốc Đơn vị: m/s km/h s quãng đường Đơn vị: m km t thời gian để hết quãng đường Đơn vị: s (giây); h (giờ) - Cơng thức tính vận tốc trung bình chuyển động khơng đều: Vtb = = - Tính tương đối chuyển động: + Đối với vật chọn làm mốc khác vận tốc vật khác + Phương trình véc tơ: * Hệ quả: + Nếu hai chuyển động chiều: + Nếu hai chuyển động ngược chiều: + Nếu chuyển động có phương vng góc: Trong đó: vận tốc vật so với vật vận tốc vật so với vật vận tốc vật so với vật - Chuyển động tròn đều, chuyển động theo quy luật: + Quãng đường khoảng thời gian t: s = v.t + Gọi L chiều dài đường kín  số vịng n = + Sau thời gian t, chất điểm n vòng, chất điểm m vịng thì: t = n.T1 = m.T2 (T1 T2 thời gian hết vòng chất điểm) - Cơng thức tính áp suất: p = Trong đó: F áp lực – lực tác dụng vng góc với mặt bị ép (N) S diện tích bị ép (m2) p áp suất (N/m2 Pa) - Áp suất cột chất lỏng gây điểm cách mặt chất lỏng đoạn h: p = = = = = d.h = 10D.h Trong đó: h khoảng cách từ điểm tính từ áp suất đến mặt chất lỏng (m) d trọng lượng riêng (N/m3) D khối lượng riêng (kg/m3) chất lỏng p áp suất cột chất lỏng gây (N/m2) - Áp suất điểm chất lỏng: p = p0 + d.h Trong đó: p0 áp suất khí (N/m2) d.h áp suất cột chất lỏng gây p áp suất điểm cần tính - Cơng thức tính độ lớn lực đẩy Ác-si-mét: FA = d.V - Công thức tính cơng học: A = F.s Trong đó: A: Công học (J) F: Lực tác dụng (N) s: Qng đường vật dịch chuyển (m) - Cơng thức tính cơng suất: P = Trong đó: A: Cơng học (J) P: Công suất (W) t: thời gian thực cơng (s) - Địn bẩy: Địn bẩy cân lực tác dụng tỷ lệ nghịch với cánh tay địn: = Trong đó: l1, l2 cánh tay địn P F Điện học: - Định luật ôm cho đoạn mạch: I = Trong đó: I cường độ dòng điện (A) U hiệu điện (V) R điện trở () - Cơng thức tính điện trở dây dẫn: R =  Trong đó:  điện trở suất (.m) L chiều dài dây dẫn (m) S tiết diện ngang dây dẫn (m2) - Cơng thức tính cơng suất điện: P = U.I = I2.R = - Điện – Công dòng điện: A= P.t = U.I.t = t CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÍ THUYẾT TỐN HỌC Phương pháp giải tập cực trị: Bài toán cực trị toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng vật lí Muốn có phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta tìm hiểu hệ thống tập điển hình cực trị chương trình Vật lí THCS sử dụng cơng thức tốn học đặc biệt bất đẳng thức Côsi, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm sin tam giác Qua rút phương hướng chọn phương pháp giải bước để sử dụng phương pháp nhanh nhất, hiệu Đại số: a Hàm số bậc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c (a # 0) với a,b,c số - Nếu a > y có giá trị nhỏ (ymin) - x = - Nếu a < y có giá trị lớn (ymax) - x = -, với  = b2 – 4ac - Cho phương trình bậc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c (a # 0) + Nếu  <  phương trình vơ nghiệm + Nếu  = ⇔ phương trình có nghiệm kép x = + Nếu  >  phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = * Phương pháp: Phương pháp sử dụng phương trình bậc hai dùng phổ biến chương trình nên học sinh khơng q khó khăn tiếp cận phương pháp Đặc điểm phương pháp yêu cầu tính cẩn thận bước làm rõ ràng: Bước 1: Biến đổi đại lượng cần tính cực trị hàm bậc biến x Bước 2: Dùng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm tồn cực trị (hoặc dùng dấu hiệu nhận biết tam thức bậc hai a > a < để suy cực trị) Bước 3: Tìm giá trị biến x để đạt giá trị cực trị * Phạm vi áp dụng: Thường dùng cho tập chuyển động học; tập quang học b Sử dụng bất đẳng thức Côsi * Bất đẳng thức Côsi - Nếu a1, a2, …., an số không âm ta có:  Dấu (1) xảy a1 = a2 … = an - Áp dụng cho số a, b không âm, ta có:  Dấu xảy a = b * Phương pháp: Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị biến đổi để đưa dạng phân số tử số (hoặc mẫu số) hàm chứa biến, thành phần lại số Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết điều kiện hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cơsi hay khơng Đó điều kiện số hạng không âm a1, a2, , an  tích chúng khơng đổi a1.a2 an = const Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị cực đại, cực tiểu tốn Bước 4: Tìm điều kiện để dấu “=” bất đẳng thức xảy * Phạm vi áp dụng: - Thường áp dụng cho tập phần điện (đặc biệt tốn cơng suất đạt cực đại) toán học c Hệ thức lượng tam giác: - Xét ABC vuông A + Tỉ số lượng giác góc nhọn: Cho góc nhọn α, ta có: sinα = ; cosα = tgα = ; cotgα = + Định lý Pitago: BC2 = AB2 + AC2 - Định lý hàm sin tam giác: + Với tam giác ABC, ta có: Trong đó: BC = a, AC = b, AB = c - Bất đẳng thức tam giác: “Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại’’ * Phương pháp: - Phương pháp vận dụng cơng thức tính vận tốc, quãng đường, thời gian kết hợp công thức lượng giác cách giải vấn đề nhanh gọn toán chuyển động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động thơng thường Phương pháp có nét đặc trưng hình thành bước giải cụ thể sau : Bước : Tính quãng đường mà vật thời gian t Bước : Tìm phụ thuộc đại lượng tìm cực trị dựa vào định lý hàm số sin Bước Tìm cực trị đại lượng vật lý thông qua hàm số sin Chú ý rằng: -1≤ sinα ≤ nên (sinα)max = ⇔ α = 900 * Phạm vi áp dụng: Thường sử dụng cho toán học Những kiến thức toán học công cụ chủ yếu để giải toán cực trị vật lý THCS Một số lưu ý trình tư tìm lời giải: Bài toán: Cho đại lượng vật lý x biến đổi Tìm giá trị cụ thể x để đại lượng vật lý y ( x y có mối liên hệ với nhau) đạt giá trị lớn giá trị nhỏ ? Hướng chung để giải Bước 1: Xác định (lựa chọn) đại lượng vật lý có mặt tốn làm ẩn đề chưa nói rõ Với tốn ta đặt ta chọn x làm ẩn Bước 2: Dựa vào đề tìm mối quan hệ x y dạng: y = f(x) Trong x ẩn, y hàm x Bước 3: Dựa vào kiến thức tốn (bất đẳng thức Cơsi, điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ) để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn y Một số tốn điển hình cách giải: A CÁC BÀI TOÁN CƠ y Bài 1: Trong hệ tọa độ xOy (hình bên), có hai vật nhỏ A B chuyển động thẳng Lúc bắt đầu chuyển động, vật A O cách vật B đoạn 100m Biết vận tốc vật A v A = 6m/s O theo hướng Ox, vận tốc vật B v B = 2m/s theo hướng Oy Xác định khoảng cách nhỏ hai vật A B A vA x vB B Giải Quãng đường A t giây: s1 = AA1 = vAt = 6t (m) Quãng đường B t giây: s1 = BB1 = vBt = 2t (m) Khoảng cách A B sau t giây: d2 = (AB1)2 + (AA1)2 ⇔ d2 = (100 – 2t)2 + 36t2 ⇔ 40t2 – 400t +1002 = d2 (*) Cách 1: Đưa dạng bình phương cộng số để đánh giá: ⇔ 40t2 – 2.(2t).(10) + 102.10 + 9000 = d2 ⇔ (2t - 10)2 + 9000 = d2 ⇔ dmin = 30 (m) Cách 2: Ta thấy (*) hàm bậc hai t Ta áp dụng tính chất hàm số bậc 2: f(t) = 40t2 – 400t +1002 Nhận thấy hệ số a = 40 >  f(t) có cực tiểu t = - = - = (s) Khi f(t)min = 40.52 – 400.5 +1002 = 9000 Suy ra, dmin = = 30 (m) Cách 3: Từ (*) ta dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để tìm dmin sau: Đặt x = d2 = 40t2 – 400t +1002 ⇔ 40t2 – 400t +1002 – x = (**) Để (**) có nghiệm ta cần có ’  ⇔ 2002 – 40.(1002 – x)  ⇔ -360000 + 40.x  ⇔ x  9000 ⇔ xmin  9000 Vậy dmin = = 30 (m) Nhận xét: Để giải toán học sinh cần phải hiểu tượng khoảng cách hai vật bị thay đổi theo thời gian Vậy ta gọi d khoảng cách vật d với (d = f(t)) Từ lập biểu thức khoảng cách vật bị phụ thuộc vào thời gian sau áp dụng kỹ tìm cực trị tốn học để giải Bài 2: Một người đứng A cách đoạn đường quốc lộ BC đoạn h = 100m nhìn thấy xe tơ vừa đến B cách d = 500m chạy đường với vận tốc v1 = 50km/h (hình vẽ) Đúng lúc nhìn thấy xe người chạy theo hướng AC với vận tốc v2 a) Biết v2 = (km/h), tính b) Góc α v2 có giá trị cực tiểu? Tính vận tốc cực tiểu Giải a) Gọi t thời gian để người xe đến C, ta có: 50sinβ Áp dụng định lý hàm sin cho tam giác ABC ta có: sinα 50t 20t   ⇔ sinα 3sinβ ⇔ Lại có: = = ⇔ ⇔ 50t v   b) Từ câu a, ta có: sinα 3sinβ 50sinβ  v2 = sinα = 50  v2 = 50 = Nhận thấy v2  900  v2 = 10 km/h Nhận xét: Ở toán học sinh phải lập biểu thức tính vận tốc người chạy để đón tơ theo ẩn sin Sau dựa vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ vận tốc Bài 3: Một ô tô xuất phát từ điểm A cánh đồng để đến điểm B sân vận động Cánh đồng sân vận động ngăn cách đường thẳng D, khoảng cách từ A đến đường D a = 400m, khoảng cách từ B đến D b = 300m, khoảng cách AB = 2,8km Biết tốc độ ô tô cánh đồng v = 3km/h, đường D , sân vận động Hỏi ô tô phải đến điểm M đường cách A’ khoảng x rời đường N cách B’ khoảng y để thời gian chuyển động nhỏ nhất? Xác định khoảng thời gian nhỏ đó? Giải a Xét hai tam giác vuông AOA’  BOB’  b =  = 0,7 2,8  0,3 = OB  OB = 1,2km, OA = 1,6km � A'O = 1,62 - 0,42 = 0,4 15 � � 2 �B'O = 1,2 - 0,3 = 0,3 15 Ta có: �  A’B’ = 0,7 (km) Giả sử người phải theo đường AMNB Đặt A’M = x, B’N = y, A’B’ = c  Điều kiện ≤ x,y (x + y) ≤ c Thời gian theo đường AMNB là: x +a 3 + y +b + (c-x-y) 4v 5v T= v , (với v = 3km/h) Đặt P(x) = x +a - 3x 2 y y +b (1), Q(y) = Px 3Q x 3C  T = v + v + 5v (2) (3) Từ (3) ta thấy Tmin P(x)min Q(y)min 3x = x +a Từ (1)  P(x) + (P  0; x  0)  16x2 – 30Px + 25(a2 – P2)  (4) hay P2  a2  Pmin = a Giá trị Pmin ứng với nghiệm kép (4): x = = Tương tự ta có: Qmin =  y = Thay (5) (6) vào (3) ta được: Tmin =  Tmin = Thay số ta có: x = = 0,3km = 300m, y = = 0,4km = 400m  Tmin = 0,6939h = 41 phút 38 giây Bài 4: I HÌNH HỌC Định lý Pi-ta-go, định lý talet tam giác Định lý hàm số sin, cosin Các tính chất tam giác, đường trịn Thể tích khối: lập phương, khối hộp chữ nhật, trụ, cầu, nón… Cộng vecto CHƯƠNG III: VẬN DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP VẬT LÍ Trong việc tư tốn học, vật lí nói chung hay vận dụng giải tập Vật lí dựa tảng tốn học tư logic đóng vai trị vơ quan trọng sở để giải tập khó Trong chương này, tơi xin trình bày phương pháp, cách thức tư để giúp học sinh có nhìn tổng quát hơn, tránh trường hợp học sinh vận dụng giải tập máy Cái hay tốn học mơn Vật Lí khơng phải nằm phép tính tốn xác mà cách tư mạch lạc, rõ ràng, có cứ, có điểm xuất phát Từ đó, tập khó, cần cách giải dài hơi, học sinh khơng bị rối mà tìm cách giải xác PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO ... TỐN HỌC Phương pháp giải tập cực trị: Bài toán cực trị toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu đại lượng vật lí Muốn có phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta tìm hiểu hệ thống tập điển... VẬN DỤNG TỐN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP VẬT LÍ Trong việc tư tốn học, vật lí nói chung hay vận dụng giải tập Vật lí dựa tảng tốn học tư logic đóng vai trị vô quan trọng sở để giải tập khó Trong chương... vật lý THCS Một số lưu ý trình tư tìm lời giải: Bài tốn: Cho đại lượng vật lý x biến đổi Tìm giá trị cụ thể x để đại lượng vật lý y ( x y có mối liên hệ với nhau) đạt giá trị lớn giá trị nhỏ