Nhng diu ki thu va mc son lch s ca

Tốn học – Những điều kì thú mốc son lịch sử (Phần 1) Sau "Những câu hỏi tập vật lí phổ thơng" (L Tarasov & A Tarasova), tiếp tục với phong cách trình bày kiểu Hỏi-Đáp, TVVL giới thiệu với bạn dịch sách “Tốn học – Những điều kì thú mốc son lịch sử” (A.L Audichya); dịch dựa in phát hành năm 2008 Ấn Độ LỜI NĨI ĐẦU Mục đích sách gì? Để truyền tải đến độc giả mức độ nhận thức toán học cao giới thiệu thành tựu toán học xuất sắc Những thành tựu tốn học vừa nói thành tựu nào? Trước hết đa dạng hóa tốn học, tức trước có hình học, có loại hình học, loại đại số thay cho đại số hệ thống số thay cho hệ thống số Một số thành tựu khác bao gồm: Lí thuyết phương trình đại số Galois; Định lí khơng hồn hảo Godel; Chuỗi Fourier tập hợp vơ hạn; Lí thuyết nhóm; ma trận; giải tích số phức; Topo học; giải tích hàm; Vân vân Quyển sách nhắm tới đối tượng độc giả nào? Nó dành cho người khơng chun hiếu kì muốn tìm kiếm câu hỏi nhanh đáp gọn không muốn sa vào nghiên cứu chi tiết khái niệm quan điểm tốn học Nó có yêu cầu độc giả trẻ tuổi hay khơng? Có Ở đây, độc giả trẻ cần có chút nhìn tốn học vượt ngồi họ học trường Có phải sách dự định thay cho sách giáo khoa không? Không Mục tiêu khiêm tốn Đó thơi thúc độc giả tiếp tục tìm hiểu vấn đề trình bày Quyển sách có sức hút nhà tốn học hay khơng? Một nhà tốn học thường bị trói buộc với lĩnh vực riêng hạn chế Quyển sách cung cấp cho nhìn tổng quát toán học Quyển sách hỗ trợ tìm kiếm câu trả lời cho mơ hồ triết lí tốn học Nhân thể, mơn học ln có mơ hồ Quyển sách chia làm ba phần Có cần đọc chúng theo thứ tự hay không? Không cần thiết Muốn đọc phần trước Cũng không cần thiết đọc câu hỏi trừ chúng thu hút người đọc Nếu có hấp dẫn khơng thu hút bạn bỏ qua Bạn lật lại đọc câu hỏi cũ bạn thấy cịn hấp dẫn Tại tác giả lại chọn kiểu trình bày hỏi-đáp? Bởi trình bày dài dịng khiến độc giả phổ thơng mau chán, dạng hỏi-đáp giữ ý Các câu hỏi theo khn mẫu gì? Trong chừng mực logic thơi, nghĩa câu hỏi đề xuất phát sinh từ câu hỏi trước đó, chẳng có liên quan 10 Phong cách trình bày theo kiểu gì? Các câu trả lời đơn giản, minh bạch dùng ngôn ngữ dễ hiểu, ngắn gọn tốt 11 Nhưng có câu trả lời chi tiết khơng thể tránh khỏi sao? Trong trường hợp thế, câu trả lời chia thành đoạn nhỏ mà độc giả đọc hết hay không tùy theo vị cảm xúc 12 Yêu cầu đọc sách gì? u thích tốn học liên quan đến tốn học 13 Cần có tốn học đọc sách này? Khơng nhiều Có kiến thức tốn học sơ cấp đủ 14 Những chủ đề chương Hình học gì? Bao gồm chủ đề sau: (i) Hình học Euclid khái niệm có liên quan (ii) Hình học Lobachewski hình học Riemann (iii) Hình dạng Trái đất, không gian hạt sơ cấp (iv) Hình chiếu (v) Hình học tọa độ 2, 3, n chiều (vi) Hình học khơng gian màu (vii) Hình học hữu hạn (viii) Topo học (ix) Bài toán Cầu nối Koenigsberg (x) Bài toán bốn màu (xi) Phương pháp tiên đề hình học (xii) Chủ nghĩa hình thức Hilbert (xiii) Khám phá Godel 15 Những chủ đề chương Đại số gì? Bao gồm chủ đề sau: (i) Số học trừu tượng (ii) Số học lí thuyết số (iii) Mở rộng hệ thống số (iv) Lí thuyết phương trình đại số (v) Lí thuyết phương trình Galois (vi) Các phương trình Diophantine (vii) Đại số trừu tượng (viii) Lí thuyết nhóm vấn đề có liên quan (ix) tính Vành, vector, ma trận, miền ngun, trường, khơng gian vector, đại số tuyến (x) Không gian Hilbert, không gian Banach (xi) Đại số Boole (xii) Câu nói năm 1901 Russel (xiii) Tập hợp đếm tập hợp không đếm (xiv) Giả thiết liên tục (xv) Nghịch lí Barber (xvi) Nghịch lí Russel 16 Những chủ đề chương Giải tích gì? Bao gồm chủ đề sau: (i) Giải tích khái niệm (ii) Giới hạn thương, giới hạn tổng, giới hạn chuỗi vô hạn (iii) Nghịch lí Zeno Achilles rùa (iv) Chuỗi Fibonacci (v) Vi phân đạo hàm (vi) Các ứng dụng ngày cực đại cực tiểu (vii) Bài toán tia sáng Heron (viii) Tổ ong sai sót Koenig (ix) Đường cong lấp đầy-khơng gian (x) Đạo hàm riêng điểm yên ngựa (xi) Tích phân ứng dụng (xii) Tích phân Riemann (xiii) Tích phân Lebesgue (xiv) Chuỗi Fourier (xv) Hệ phương trình vi phân (xvi) Hệ phương trình Laplace (xvii) Hệ phương trình Maxwell (xviii) Hệ phương trình tích phân (xix) Các hàm biến phức (xx) Các hàm giải tích dịng chất lưu (xxi) Khám phá Zukovskii (xxii) Hàm zeta Riemann (xxiii) Giải tích nhiều biến (xxiv) Lí thuyết phân bố (xxv) Giải tích thực (xxvi) Giải tích hàm (xxvii) Gần hàm (xxviii) Tốn rời rạc (xxix) Tốn học lí thuyết tốn học ứng dụng (xxx) Giải tích đại 17 Nên đọc sách nào? Trước tiên đọc câu hỏi Nếu bạn nghĩ bạn câu trả lời đọc tiếp Nhưng bạn nghĩ có câu trả lời hợp lí tạm dừng chút đoán xem câu trả lời Tiếp theo đọc câu trả lời kiểm tra xem dự đốn bạn có khơng Nếu bạn bạn có niềm vui nho nhỏ niềm tin nữa, cịn khơng bạn có câu trả lời tay 18 Nội dung sách có xuất xứ từ đâu? Trong sách này, thật nhớ quan điểm hay khái niệm lần tác giả bắt gặp nằm đâu Tác giả vay mượn ý tưởng từ nhiều người nhiều tác giả khác 19 Tác giả có muốn cảm ơn không? Quyển sách xuất nhờ quan tâm liên tục gái tôi, Kiran Bhatt, cố gắng bền bỉ, không mệt mỏi tiến sĩ Latika Jha Họ đáng cảm tạ đặc biệt Nhưng không muốn cảm ơn họ Tôi dành cho họ chỗ đề tặng in lần thứ sách Tôi đặc biệt cảm tạ đội ngũ biên tập xuất nhà xuất Messrs ABD, đặc biệt Shri Gopal sắc sảo hợp tác khâu thiết kế in ấn sách 20 Cịn góp ý cải tiến sách sao? Các phê bình góp ý cải tiến sách ln hoan nghênh A.L Audichya Hình học loại hình học Có loại hình học? Chủ yếu gồm ba loại Nhưng có vài loại Ba loại vừa nói ba loại nào? Hình học Euclid, hình học Lobachewski, hình học Riemann Có đặc biệt khiến chúng khác à? Vâng Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc tam giác ln 180o, hình học Lobachewski ln nhỏ 180o, cịn hình học Riemann ln lớn 180o Vậy ba loại liên tục mâu thuẫn với rồi! Khơng, chúng đồng thời tồn khơng khí hịa bình Hinh học Euclid gì? Hình học dạy nhà trường hình vẽ sơ đồ vẽ tờ giấy bảng đen bình thường gọi hình học Euclid để tơn vinh nhà tốn học Euclid Ơng sinh sống vào khoảng năm 300 trước Cơng ngun Syria có gốc gác Hi Lạp Euclid có đóng góp cho Hình học? Ơng tổng hợp tồn kiến thức hình học tích lũy thời đại ơng thành dạng có hệ thống logic biên soạn thành 13 tập sách đặt tên “Các ngun tố” Ơng phát triển hình học cấu trúc logic Một cấu trúc logic gì? Trong cấu trúc logic, vài thuật ngữ vài tiền đề không chứng minh giả định, tồn phần cịn lại phát triển dựa logic Những thuật ngữ không định nghĩa gọi khái niệm bản, tiền đề không chứng minh gọi “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản giả thiết Làm thuật ngữ không định nghĩa tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng cấu trúc logic? Trong nghiên cứu có hệ thống nào, tự nhiên trông đợi định nghĩa tỉ mỉ toàn thuật ngữ cho biết nói Nhưng thuật ngữ phải định nghĩa định nghĩa trước đó, thuật ngữ lại phải định nghĩa, thế; hành trình ngược dịng phải dừng lại Vì thế, có vài thuật ngữ không định nghĩa xem hiển nhiên với chúng định nghĩa không cần thiết Tương tự, để chứng minh định lí đúng, ta cần tuân theo tiền đề chứng minh trước đó, tiền đề hóa lại cần phải chứng minh, Hành trình lần ngược lần phải dừng lại nên có số tiền đề chấp nhận chúng chứng minh không cần thiết Phải tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc cả? Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng Thứ giả thuyết phải quán Điều có nghĩa phát biểu mâu thuẫn không gợi đến giả thuyết Chúng phải không dẫn tới “A B” “A B” Thứ hai giả thuyết phải hồn chỉnh Điều có nghĩa định lí hệ thống logic phải suy từ giả thuyết 10 Có ràng buộc khác khơng? Cái hợp lí giả thuyết độc lập Nghĩa khơng có giả thuyết suy luận từ giả thuyết khác Đây đáng khao khát cho lí giải kinh tế học đẹp nội hàm giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống Việc phát giả thuyết chẳng dễ dàng Và, tất nhiên, giả thuyết phải đơn giản không chứa nhiều số; không hệ thống logic phát triển khơng có lợi nhiều 11 Phải giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm ngày? Các giả thuyết không thiết phù hợp với kinh nghiệm ngày, phát triển cấu trúc tảng giả định chắn đưa đến khám phá tinh tiến quan trọng Những giả định chắn đưa đến khám phá hình học khác ngồi hình học Euclid trường hợp thấy 12 Các giả thuyết sử dụng dẫn tới gì? Một vài giả định quy tắc nêu lúc bắt đầu bình thường khơng thể tránh khỏi nên khơng thể dự đốn hết hệ chúng Từ đây, quy tắc vạch phải ăn khớp từ xâu chuỗi, tới kết cuối cùng, thường bất ngờ Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng khẳng định lại kết cuối mà thôi! 13 Những khái niệm hình học Euclid gì? Trong hình học Euclid, điểm đường khái niệm Một điểm nói khơng có độ lớn, đường khơng có bề rộng Nhưng mô tả gợi mở định nghĩa toán học 14 Các điểm đường hình học khác với đối tác vật chất chúng? Khái niệm điểm đối tượng nhỏ có thân vật chất chấm bút chì Một đường thẳng tự thân sợi bị kéo căng tia sáng Điểm đường hình học trừu tượng từ chấm bút chì đường kẻ bút chì kinh nghiệm ngày 15 Công dụng trừu tượng gì? Ưu điểm từ trừu tượng điểm đường hình học có tính chất đơn giản nhiều so với chấm đường vật chất Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to nối lại nhiều đường kẻ bút chì, hai chấm có kích cỡ lúc nhỏ, tồn đường kẻ trơng giống hệt chẳng gặp khó khăn việc nhận thức tiên đề hình học có đường thẳng vẽ hai điểm 16 Các giả thiết hình học Euclid gì? Các giả thiết Euclid sau: Qua hai điểm bất kì, ln ln vẽ đường thẳng Đường thẳng kéo dài vơ hạn Với tâm bán kính bất kì, ln ln vẽ đường trịn Mọi góc vuông Nếu hai đường thẳng tạo thành với đường thẳng thứ ba hai góc phía có tổng nhỏ 180 độ chúng cắt phía 17 Các tiên đề hình học Euclid gì? Các tiên đề Euclid sau: Hai thứ ba Thêm vào Bớt từ Trùng Toàn thể lớn phần 18 Tiên đề khác với giả thiết nào? Các tác giả đại thường không nhớ phân biệt Euclid tiên đề giả thiết, họ sử dụng tên gọi nhầm lẫn gọi chúng giả thiết 19 Euclid thu từ tập hợp nhỏ gồm giả thiết thế? Chỉ sử dụng vài giả thiết này, Euclid chứng minh hàng trăm định lí, nhiều số chúng tiếng, đến xếp thứ tự định lí Khái niệm chứng minh, cấu thành tinh thần toán học, Euclid nêu Vì chứng minh phải thực hồn tồn khn khổ giả thiết, chọn lựa giả thiết Euclid thật đáng nể thành tựu thiên tài 20 Định đề hai đường song song gì? Giả thiết thứ năm Euclid nói gọi định đề hai đường song song Một dạng tương đương định đề sau: Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho Đây “định đề hai đường song song” tiếng Nó thể thiên tài Euclid nhận cần thiết Một hệ logic định đề Định lí Pythagoras phát biểu tổng ba góc tam giác ln 180 độ Thay giá trị x vào (3), ta y = 33 – 10p Thay x y vào (1) ta z = 3p + 11 Bây giờ, p nhận giá trị 1, 3, giá trị lớn p khiến y bị âm Như vậy, nghiệm đầy đủ cho p = 1, x = 7, y = 23, z = 14; p = 2, x = 14, y = 13, z = 17; p = 3, x = 21, y = 3, z = 20 99 Phương trình sau giải theo nghiệm dương: 2xy – 4x2 + 12x – 5y = 11? Phương trình cho viết 2xy – 5y = 4x2 – 12x + 11 hay (2x – 5)y = 4x2 – 12x + 11 Biểu diễn y theo x, ta Vì ± 1, ± 2, ± ± ước số 6, nên 2x – = ± 1, ± 2, ± ± Trong số 2x – = ± ± không mang lại giá trị nguyên x, buộc phải loại bỏ 2x – = ± 2x – = ± cho x = 3, 2, Những giá trị cho ta: x = 3, y = 11; x = 2, y = - 3; x = 4, y = 9; x = 1, y = - Trong số này, nghiệm nhận x = 3, y = 11; x = 4, y = 100 Phương trình vơ định tổng qt bậc hai gì? Phương trình bậc hai: Ny2 + = x2, N số nguyên dương khơng phải số phương, gọi phương trình vơ định tổng qt bậc hai Nó ln giải theo nghiệm nguyên dương, số lượng nghiệm khơng hạn chế Phương pháp giải nghiệm khó khơng thích hợp để nêu 101 Phương trình 61y2 + = x2 có bật? Đây trường hợp đặc biệt phương trình tổng quát vừa nói trên, N nhận giá trị 61 Bhaskaracharya, nhà toán học vĩ đại người Hindu, tiếng với việc thu nghiệm nguyên tổng quát phương trình gọi “phương pháp tuần hồn” Để minh họa cho phương pháp đó, sách ông, “Bija ganita”, viết vào năm 1150, ơng nêu ví dụ 61y2 + = x2 Cái bật 500 năm sau đó, toán lại nhà toán học lỗi lạc người Pháp Fermat nêu cho người bạn ông, Frenicle, vào năm 1657 Nhưng Euler giải vào năm 1732 Bhaskaracharya nêu nghiệm sau đây: x = 1, 776, 319, 049, y = 22, 615,390 102 Phương trình phi đại số xex = giải nào? Nó giải tốt đồ thị Phương trình cho biểu diễn dạng hai phương trình độc lập y = ex y = 2/x Hai phương trình kết hợp lại tương đương với phương trình cho: xe x = Tọa độ x giao điểm hai đường cong cho giá trị cần tìm x Để vẽ đường cong y = ex, ta sử dụng giá trị x=0 y=1 x= y = e1 = 2,7 x=2 y = e2 = 7,3 Để vẽ đường cong y= 2/x, ta sử dụng giá trị x = 0,5 y = x= y=2 x=2 y=1 x= y = 0,6 x=4 y = 0,5 Hai đường cong vẽ chung hệ tọa độ hình bên Từ hình vẽ, ta xác định tọa độ x giao điểm 0,85; suy nghiệm gần x = 0,85 103 Trở lại với đại số trừu tượng! Đại số trừu tượng đại khác với đại số cổ điển? Đại số cổ điển khái quát hóa số học, đại số trừu tượng nghiên cứu cấu trúc đại số Các cấu trúc đại số gọi hệ thống đại số 104 Nói cho xác hệ thống đại số gì? Một hệ thống đại số TẬP HỢP đối tượng gọi phần tử, với nhiều toán tử để kết hợp chúng 105 Một TẬP HỢP có nghĩa gì? Một tập hợp nhóm đối tượng xác định rõ Các phần tử tập hợp ngăn cách dấu phẩy viết bên cặp ngoặc nhọn Ví dụ, tập hợp gồm năm số tự nhiên viết A = {1, 2, 3, 4, 5}, A tên đặt cho tập hợp Các tập hợp thường kí hiệu chữ viết hoa A, B, C, X, Các phần tử thường kí hiệu chữ viết thường a, b, c, , x, y, z 106 Một tốn tử có nghĩa gì? Một quy tắc kết hợp hai phần tử gọi tốn tử Phép cộng phép nhân ví dụ quen thuộc tốn tử 107 Cái làm phần tử toán tử tập hợp? Các phần tử không thiết số, tốn tử khơng thiết phép tính số học Khi tốn tử khơng thiết phép cộng phép nhân, chúng kí hiệu kí tự *, đọc khơng o kí tự ngơn ngữ toán tử 108 Các hệ thống đại số sử dụng thường gì? Các hệ thống đại số sử dụng thường NHÓM, VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƯỜNG KHÔNG GIAN VECTOR Sự phân loại phụ thuộc vào tiên đề thỏa mãn toán tử toán tử định định nghĩa cho phần tử tập hợp 109 Tính đóng có nghĩa gì? Tính chất bật có chung cho toán tử toán tử áp dụng cho hai phần tử tập hợp tạo phần tử thuộc tập hợp Tính chất gọi tính đóng hệ người ta nói đóng tốn tử Ví dụ, xét tập hợp số nguyên I = { , - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, }, dấu chấm chấm có nghĩa chuỗi số nguyên dương nguyên âm kéo dài đến vơ hạn hai phía Tập hợp số nguyên nói đóng phép cộng phép nhân, tổng hai số nguyên số nguyên, tích hai số nguyên số ngun Nói theo ngơn ngữ kí hiệu, a b hai phần tử tập hợp, để thỏa mãn tính đóng, phần tử a o b phải phần tử thuộc tập hợp Kí hiệu o cho tốn tử chung chung chỗ phép cộng, phép nhân, tốn tử khác 110 Tính kết hợp gì? Nếu a, b, c phần tử thuộc tập hợp, kết hợp cho a o (b o c) = (a o b) o c Dấu ngoặc đơn giản có nghĩa phần tử bên chúng ưu tiên xử lí trước Ví dụ, tốn tử o kí hiệu cho phép cộng, phần tử số, số ngoặc phải cộng trước Như + (3 + 4) = (2 + 3) + 4, nghĩa + = + phải 111 NHĨM gì? Một tập hợp G gồm phần tử a, b, c, , tốn tử o định nghĩa, nói tạo thành NHĨM tốn tử tính chất sau cho a, b, c, thuộc G: (i) a o b thuộc tập G (tính đóng) (ii) a o (b o c) = a o (b o c) (tính kết hợp) (iii) Tồn phần tử đặc biệt, gọi phần tử đồng e thuộc tập G cho e o a = a với a thuộc G (tồn phần tử đồng nhất) (iv) Với phần tử a thuộc G, tồn phần tử a-1 thuộc G cho a o a-1 = e (tồn phần tử đối nghịch) 112 Tập hợp số nguyên với phép cộng có tạo thành nhóm hay khơng? Ở tốn tử o kí hiệu cho phép cộng bình thường, tức + (i) mãn Vì tổng hai số ngun số ngun, nên tính đóng thỏa (ii) Ba số nguyên a, b, c cộng lại theo hai dãy phối hợp cho tổng nên quy tắc kết hợp thỏa mãn (iii) Phần tử đồng phép cộng 0, tức số không, a + = a phát biểu cho số nguyên a (iv) Mỗi phần tử a có phần tử đối – a, số nguyên Ví dụ, đối – 2, + (- 2) = 0, phần tử đồng Như vậy, tập hợp số ngun thỏa mãn bốn tính chất nên tạo thành nhóm phép cộng 113 Các số nguyên có tạo thành nhóm phép nhân hay khơng? (v) mãn Tích hai số ngun số ngun, tính đóng thỏa (vi) Ba số nguyên a, b, c nhân theo hai dãy phối hợp cho tích nên quy tắc kết hợp thỏa mãn (vii) Phần tử đồng phép nhân 1, số nguyên, tính chất thứ ba thỏa mãn (viii) Tính chất thứ tư khơng thỏa mãn, nghịch đảo số nguyên số nguyên mà phân số (ngoại lệ số nguyên - 1) Ly vớ d, ì ẵ = 1, nghịch đảo số nguyên phân số ½ khơng phải số ngun Vì bốn u cầu nhóm khơng thỏa mãn, nên số ngun khơng tạo thành nhóm phép nhân 114 Nhóm Abel gì? Một nhóm G nói nhóm Abel hay nhóm giao hốn, có thêm tính giao hốn tốn tử thỏa mãn, tức a o b = b o a với a, b thuộc G Các số nguyên phép cộng tạo thành nhóm Abel, a + b = b + a với số nguyên Sự giao hoán hàm ý trật tự phần tử toán tử khơng gây khác biệt Vì + = + 2, tính chất với hai số ngun bất kì, nên phép cộng nói có tính giao hốn tập hợp số nguyên 115 Những thực thể “phần tử” nhóm loại tốn tử định nghĩa chúng? Các phần tử nhóm số số học, điểm hình học Chúng phép biến đổi đại số hình học, Tốn tử phép cộng phép nhân đại số Nó phép quay xung quanh điểm trục hình học Nó quy tắc kết hợp hai phần tử thuộc tập hợp để tạo phần tử thứ ba thuộc tập hợp đó, trường hợp hai phép biến đổi áp dụng liên tiếp cho ta phép biến đổi thứ ba 116 Cái dẫn tới lí thuyết nhóm? Ban đầu, lí thuyết nhóm phát triển để khảo sát số phương trình bậc cao bốn giải nghiên cứu khai cịn phương trình khác khơng giải Trong lúc tìm tịi thế, lần người ta quan sát thấy đối xứng nghiệm phương trình cho phép giải tốn Sau này, lí thuyết nhóm dùng làm cơng cụ để nghiên cứu cân đối quan trọng, ví dụ đối xứng, giới thực tế 117 Nghiên cứu đối xứng nhằm mục đích gì? Khảo sát đối xứng đa dạng dẫn tới hiểu biết sâu sắc khơng thể có cách suy biện trực tiếp Lí thuyết nhóm giúp làm sáng tỏ đối xứng, thành giúp người ta hiểu sâu tượng khác 118 Lí thuyết nhóm cịn áp dụng đâu? Nó áp dụng nhiều ngành khoa học, đáng ý hình học, tinh thể học, vật lí học, hóa học, sinh học phân tử, lí thuyết không gian thời gian, nơi quy luật đối xứng có vai trị quan trọng 119 Đẳng cấu gì? Cái có khả xảy hai nhóm với loại phần tử tốn tử khác lại giống theo ý nghĩa trừu tượng Ví dụ, xét nhóm {I, R, R1} phép quay tam giác qua 0o, 120o, 240o, nhóm {1, w, w2} bậc ba đơn vị phép nhân Sau bảng nhân cho hai nhóm: w w2 1 w w2 I w w w2 R w2 w2 w I R R’ I I R R’ R R R’ R’ R’ I Bảng thứ cho biết rằng: Các phần tử thuộc hàng cùng, nhân với I cho I, R, R’; nhân với R cho R, R’, I; nhân với R’ cho R’, I, R Tương tự cho bảng thứ hai Bạn thấy bảng thứ trở nên giống hệt với bảng thứ hai I, R, R’ thay tương ứng 1, w, w2 Hai nhóm thể tương ứng một-một phần tử tương ứng, tích chúng, gọi đẳng cấu với Hai nhóm đẳng cấu nói giống hệt mặt trừu tượng 120 Mục đích hai nhóm khác biết có cấu trúc giống nhau? Nếu hai nhóm biết có cấu trúc giống nhau, người ta nghiên cứu nhóm quen thuộc sau áp dụng kết cho nhóm Như vậy, lí thuyết nhóm làm sáng tỏ đồng ẩn sau khác biệt biểu kiến, mở hướng khai thác thơng tin mà khơng có khơng thể đạt tới 121 Lí thuyết nhóm phân chia thành vài ngành nhỏ nào? Các phương pháp khái niệm lí thuyết nhóm tỏ quan trọng khơng cho nghiên cứu quy luật đối xứng mà cho việc giải nhiều tốn khác Vì lĩnh vực ứng dụng có tốn riêng đặc thù nó, số lượng tăng dần lĩnh vực đòi hỏi người ta sáng tạo ngành lí thuyết nhóm thích hợp cho chủ đề ngữ cảnh khác Do đó, lí thuyết nhóm, thực thể xét theo khái niệm nó, phân chia thành số ngành nhiều độc lập 122 Những ngành phân chia gì? Một số ngành kể sau: Lí thuyết nhóm đại cương, Lí thuyết nhóm hữu hạn, Lí thuyết nhóm liên tục, Lí thuyết nhóm rời rạc, Lí thuyết biểu diễn đặc trưng nhóm 123 VÀNH gì? Một vành hệ với hai toán tử Một tập hợp R phần tử hai tốn tử + (gọi phép cộng phép nhân) định nghĩa, gọi vành nếu: (i) Phép cộng thỏa mãn tính đóng, tính kết hợp tính giao hốn (ii) R chứa số đối cho phần tử đồng thời chứa phần tử đồng zero (iii) Phép nhân thỏa mãn tính đóng tính kết hợp, phân phối phép cộng, tức a.(b + c) = a.b + a.c, (b + c).a = b.a + c.a a, b, c thuộc R Tóm lại, vành (1) Tạo thành nhóm giao hốn phép cộng, (2) Toán tử gọi phép nhân phải thỏa mãn tính đóng, tính phân phối kết hợp 124 Nêu ví dụ quen thuộc vành? Dưới phép cộng phép nhân số nguyên, tập hợp số nguyên vành 125 Vành giao hốn gì? Nếu tốn tử gọi phép nhân cịn có tính giao hốn, tức a.b = b.a cho phần tử, vành gọi vành giao hoán 126 Nhưng phép nhân ln giao hốn sao? Khơng Khơng phải ln ln Kiến thức phổ thơng × = × 4, tức a × b = b × a Nhưng tính chất với hệ quen thuộc tập hợp số nguyên, phân số, số hữu tỉ, vân vân Có hệ tính chất không Các vector ma trận thí dụ điển hình 127 Vector gì? Một đoạn thẳng gán chiều gọi vector Như vậy, đoạn thẳng từ O đến P vector, có độ dài OP có chiều từ O đến P Lực vận tốc ví dụ đại lượng vector Tổng vector tổng hiểu theo nghĩa sau đây: 128 Trong trường hợp tích hai vector khơng giao hoán? Với vector, người ta định nghĩa hai loại tích Một gọi tích vơ hướng, hay tích chấm Nó có tính giao hốn nên với hai vector a b bất kì, ta có a.b = b.a Loại thứ hai gọi tích vector, hay tích chéo Nó khơng có tính giao hốn, với hai vector avà b bất kì, ta có (a × b) = - (b × a) 129 Ma trận gì? Một xếp số theo dạng hình chữ nhật gọi ma trận ma trận có hàng cột, gọi ma trận cấp × Một ma trận có m hàng n cột gọi ma trận m × n (đọc ma trânh m nhân n) 130 Trong trường hợp tích hai ma trận khơng giao hốn? Tích hai ma trận thường khơng giao hốn 131 Lí thuyết ma trận áp dụng đâu? Ma trận có ích lợi lớn nhiều ngành tốn học cao cấp, ví dụ phương trình đại số phương trình vi phân, thiên văn học, học, lí thuyết mạch điện, học lượng tử, vật lí hạt nhân khí động lực học 132 Thế MIỀN NGUYÊN? Một vành giao hoán gọi miền nguyên, (i) Nó có phần tử đơn vị (ii) Nó khơng có ước số zero 133 Ước số zero nghĩa gì? Nói ước số zero có nghĩa phần tử khác khơng a, b cho tích chúng ab = Một ví dụ ước số gọi modulo số học n Với số nguyên n cho trước, người ta thu số cách sử dụng số nguyên 0, 1, 2, , n – Phép cộng phép nhân định nghĩa số dư sau chia cho n tổng tích ban đầu hai số ngun hệ Ví dụ, n = + ≡ 0, + ≡ 1, + ≡ 2, + tức 6, chia cho số dư 0, + tức 7, chia cho số dư 1, + tức 8, chia cho số dư Tương tự, × ≡ 0, × ≡ 2 gọi ước số zero hệ gọi “các số nguyên modulo 6”, tích chúng đồng dư với 0, khác khơng Kí hiệu ≡ đọc “đồng dư với” Nếu n số nguyên tố khơng có ước số zero 134 Trong hệ thống tốn học định, × = × Hệ gọi gì? Hệ gọi “các số nguyên modulo 6”, đồng dư với 10, modulo 6, Hay ≡ 10 (mod 6) ... đường song song gì? Giả thiết thứ năm Euclid nói gọi định đề hai đường song song Một dạng tương đương định đề sau: Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, ta vẽ đường thẳng song song với... parabol gì? Các tia s? ?ng từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục parabol Ngược lại, tia s? ?ng tới song song với trục parabol sau bị phản xạ qua tiêu điểm Vì s? ?ng âm hành xử theo ki? ??u giống vậy,... đề chương Đại s? ?? gì? Bao gồm chủ đề sau: (i) S? ?? học trừu tượng (ii) S? ?? học lí thuyết s? ?? (iii) Mở rộng hệ thống s? ?? (iv) Lí thuyết phương trình đại s? ?? (v) Lí thuyết phương trình Galois (vi) Các