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Chuong ’’ ´ ´’ ˆ ’ D U’OC LU’ONG THAM SO CUA ¯ AI LU’ONG ’ ’ ˜ ˆ ˆ NGAU NHIEN ´ ´ ´ ’ ’ ´ ˜ ’ ’’ ¯ ’ ’ Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ tham sˆ θ chua biˆt U’oc luong tham sˆ θ l` dua a e o o e o a ’ ’ ’ ´ ˜ ˜ v`o mˆu ngˆu nhiˆn Wx = (X1 , X2 , , Xn ) ta dua thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , , Xn ) a a a e ¯’ o e ˆ ˆ dˆ’ uoc luong (du do´n) θ ¯e ’ ´ ’ ’ ’ ’ ¯ a C´ phuong ph´p uoc luong: o a ’ ´ ’ ’ ’ ’’ ´ ’ ’ ¯ e i) U’oc luong diˆ’m: chi’ θ = θ0 n`o dˆ’ uoc luong θ a ¯´ ¯e ’ ´ ’ ’ ’ ’ ´ ’ ’ ´ ’ ’ ii) U’oc luong khoang: chi’ mˆt khoang (θ1 , θ2 ) chua θ cho P (θ1 < θ < θ2 ) = o ’ ’ ´ (1 − α goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong) ´ ’ ’ − α cho truoc a ’ ’’ ’’ a ¯o ’ ´’ ´ ´ ’ CAC PHU’ONG PHAP U’OC LU’ONG ¯ IEM D ˆ ’ 1.1 Phuong ph´p h`m uoc luong a a ’ ’ ’’ ’´ ’ • Mˆ ta phuong ph´p o ’ a ’’ ´ ’ ¯ ’ ’ ˜ ˜ ˜ ` ’ ` ’ ’’ a ’ ´ ’ ’ Gia su cˆn uoc luong tham sˆ θ cua dai luong ngˆu nhiˆn X Tu X ta lˆp mˆu ngˆu o a e a a a ’ nhiˆn WX = (X1 , X2 , , Xn ) e ´ ’ Chon thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , , Xn ) Ta goi θ l` h`m uoc luong cua X o e ˆ ˆ ’ ˆ a a ’ ´ ’.’ ’’ ˜ e Thuc hiˆn ph´p thu ta duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , , xn ) Khi d´ uoc luong e e ¯ ’ ’ a ¯o ’ ´ ’ ’ ’ ’ ’m cua θ l` gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , , xn ) ˆ ’ diˆ ¯e a a ’´ ’ ’ a) Uoc luong khˆng chˆch o e ’ ´ ˜ ¯ inh nghia Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , , Xn ) duoc goi l` uoc luong khˆng chˆch D o e ˆ ˆ ¯ ’.’ a ’ ´ ’.’ o e ’ ˆ = θ ´ ´ ’ cua tham sˆ θ nˆu E(θ) o e ´ ˜ Y nghia ´ ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ ’ ’ Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ Ta c´ o e o o ’ ˆ ˆ E(θ − θ) = E(θ) − E(θ) = θ − θ = 69 ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ 70 ` ´ Vˆu uoc luong khˆng chˆch l` uoc luong c´ sai sˆ trung b` bang a ’ ´ ’ ’ o e a ’ ´ ’ ’ o o ınh ˘ ’ ’ ⊕ Nhˆn x´t a e ˜ ˜ ’ i) Trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn X l` uoc luong khˆng chˆch cua trung b` cua ınh ’ a a e a ’ ´ ’ ’ o e ınh ’ ’ ’ng thˆ’ θ = E(X) = m v` E(X) = m tˆ o e ı ˜ ˜ ’ ’ ’ ii) Phuong sai diˆu chinh cua mˆu ngˆu nhiˆn S l` uoc luong khˆng chˆch cua ¯ e` a a e a ’ ´ ’ ’ o e ’ ’’ ’ng thˆ’ σ v` E(S ) = σ ’ o phuong sai cua tˆ e ı ’’ ’’ ’ • V´ du Chiˆu cao cua 50 cˆy lim duoc cho boi ı e` a ¯ ’.’ ´ ’ Khoang chiˆu cao (m´t) sˆ cˆy lim e` e o a [6, 25 − 6, 75) [6, 75 − 7, 25) [7, 25 − 7, 75) [7, 75 − 8, 25) 11 [8, 25 − 8, 75) 18 [8, 75 − 9, 25) [9, 25 − 9, 75) [9, 75 − 10, 2) 50 x0 i 6,5 7,0 7,5 8,5 9,5 10 ui -4 -3 -2 -1 ni ui -4 -6 -10 -11 -13 ni u2 i 16 18 20 11 12 95 ’ a Goi X l` chiˆu cao cua cˆy lim a e` a) H˜y chi’ uoc luong diˆ’m cho chiˆu cao trung b` cua c´c cˆy lim a e` ınh ’ a a ’ ’ ´ ’ ’ ¯ e ´ ’ ’ ¯ e ´ ’ uoc luong diˆ’m cho tan m´t cua c´c chiˆu cao cˆy lim so voi chiˆu ’ ’ a b) H˜y chi a ¯ˆ a e` a e` ’ ’’ cao trung b` ınh c) Goi p = P (7, 75 ≤ X ≤ 8, 75) H˜y chi’ uoc luong diˆ’m cho p a ’ ’ ´ ’ ’ ¯ e ’ Giai ’ Ta lˆp bang t´ cho x v` s2 a ınh a ’ ´ Thuc hiˆn ph´p dˆi biˆn ui = e e ¯o e ’ x0 − 8, i 0, (x0 = 8, 5; h = 0, 5) Ta c´ u = − 13 = −0, 26 Suy o 50 x = 8, + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37 95 − (−0, 26)2 = 0, 4581 ∼ (0, 68)2 50 a) Chiˆu cao trung b` duoc uoc luong l` 8,37 m´t e` ınh ¯ ’ ’ ’ ´ ’ ’ a e ’ s2 = (0, 5)2 b) ¯ ˆ tan m´t duoc uoc luong l` s = 0, 68 m´t ho˘c s = Do ’ a ¯ ’ ’ ’ ´ ’ ’ a e a ˆ ’ 50 0, 4581 50−1 ∼ 0, 684 ’ c) Trong 50 quan s´t da cho c´ 11+18 = 29 quan s´t cho chiˆu cao lim thuˆc khoang a ¯˜ o a e` o [7, − 8, 5) Vˆy uoc luong diˆ’m cho p l` p∗ = a ’ ´ ’ ’ ¯ e a ’ 29 50 = 0, 58 ’ C´c phuong ph´p uoc luong diˆm a a ’´ ’ ’ ¯e ’ ’’ 71 ’´ ’ ’ ’ b) Uoc luong hiˆu qua e ’ ´ ´ ’ ´ ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ ’ ’ ⊕ Nhˆn x´t Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ Theo bˆt dang thuc a e o e o a ¯˘ ’ ’ Tchebychev ta c´ o ˆ V ar(θ) ˆ ˆ P (|θ − E(θ)| < ε) > − ε2 ˆ V ar(θ) ˆ ˆ V` E(θ) = θ nˆn P (|θ − θ| < ε) > − ı e ε2 ˆ a ˆ ´ ´ ` ’ ı Ta thˆy nˆu V ar(θ) c`ng nho th` P (|θ − θ| < ε) c`ng gˆn Do ta s˜ chon θ voi a e a a ¯´ e ˆ ´ ’ ˆ nho nhˆt ´ ’ a V ar(θ) ´ ’.’ ˜ ’ ’ ¯ inh nghia U’oc luong khˆng chˆch θ duoc goi l` uoc luong c´ hiˆu qua cua tham D o e ˆ ¯ ’.’ a ’ ´ ’.’ o e ’ ’ ˆ nho nhˆt c´c uoc luong cua θ ´ ´ ´ ’ a ’ sˆ θ nˆu V ar(θ) o e a ’ ´ ’.’ ’ ` ´ ´ ’ ’ Ch´ y Nguoi ta chung minh duoc rang nˆu θ l` uoc luong hiˆu qua cua θ th` phuong u´ ¯ ’ ’ ˘ e ˆ a ’ ´ ’ ’ e ı ’ ’ ’` ’ ’’ ’ sai cua n´ l` o a ˆ (4.1) V ar(θ) = ∂lnf (x,θ) n.E( ∂θ ) ´ ´ ˜ d´ f (x, θ) l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn gˆc Moi uoc ¯o a a a ¯o a a ’ ¯ ’ ’ a e o ’ ’´ ˆ (4.1) Ta goi (4.1) l` gioi ´ luong khˆng chˆch θ luˆn c´ phuong sai lon hon V ar(θ) o e o o a ´ ’ ’ ’ ’ ’ ’’ han Crame-Rao ´ ´ ˜ ˜ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X ∈ N (µ, σ ) th` trung b` mˆu X l` a e e ¯ ’ ’ a e o ı ınh a a n ’ ’ y uoc luong hiˆu qua cua k` vong E(X) = µ e ’ ’ ´ ’ ’ n σ2 ´ X= Thˆt vˆy, ta biˆt a a e Xi ∈ N (µ, ) n i=1 n ’ ´ ´ M˘t kh´c X c´ phˆn phˆi chuˆn nˆn nˆu f (x, µ) l` h`m mˆt dˆ cua Xi th` a a o a o a e e a a a ¯o ’ ı 2 f (x, µ) = √ e−(x−µ) /2σ σ 2π Ta c´ o ∂ x−µ lnf (x, µ) = ∂µ σ2 ∂lnf (x, µ) Suy nE ∂µ dao σ /n ¯’ = nE x−µ σ2 = n ` Do d´ V ar(X) ch´ bang nghich ¯o ınh ˘ σ2 ’ ’ Vˆy X l` uoc luong hiˆu qua cua µ a a ’ ´ ’ ’ e ’ ’´ ’ ’ ˜ c) Uoc luong vung ’ ’ ´ ˜ ˜ ’ ¯ inh nghia Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , , Xn ) duoc goi l` uoc luong vung cua tham D o eˆ ˆ ¯ ’.’ a ’ ´ ’.’ ’ ’ ´ θ nˆu ∀ε > ta c´ ´ sˆ o e o ˆ lim P (|θ − θ| < ε) = n→∞ ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ 72 ` ˜ De e ¯ ’ ’ ’ ´ ’ ’ ’ ’ ¯ iˆu kiˆn du cua uoc luong vung ˆ ´ ˜ ’ Nˆu θ l` uoc luong khˆng chˆch cua θ v` n→∞ V ar(θ) = th` θ l` uoc luong vung e ˆ a ’ ´ ’ ’ o e a lim ı ˆ a ’ ´ ’ ’ ’ ’ ’ ’ cua θ 1.2 ´ Phuong ph´p uoc luong hop l´ tˆi da a ’´ ’ ’ ’ ’ ’’ y o ¯ ˜ ˜ ˜ ’ ’’ Gia su WX = (X1 , X2 , , Xn ) l` mˆu ngˆu nhiˆn duoc tao nˆn tu dai luong ngˆu a a a e ¯ ’ ’ e ` ¯ ’ ’ a ’ ’ wx = (x1 , x2 , , xn ) v` θ = θ(X1 , X2 , , Xn ) ˆ ˆ ˜ nhiˆn X c´ mˆu cu thˆ e o a e a ´ ´ a ¯i ’ ¯o o X´t h`m h`m hop l´ L(x1 , , xn , θ) cua dˆi sˆ θ x´c d.nh nhu sau: e a a ’ ’ y ´ ` • Nˆu X roi rac: e ’ L(x1 , , xn , θ) = P (X1 = x1 /θ, , Xn = xn /θ) (4.2) n = P (Xi = xi /θ) (4.3) i=1 ´ ˜ L(x1 , , xn , θ) l` x´c suˆt dˆ’ ta nhˆn duoc mˆu cu thˆ’ Wx = (x1 , , xn ) a a a ¯e a ¯ ’ ’ a e ´ ´ • Nˆu X liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x, θ) e e o a a ¯o a a L(x1 , , xn , θ) = f (x1 , θ)f (x2 , θ) f (xn , θ) ´ L(x1 , x2 , , xn , θ) l` mˆt dˆ cua x´c suˆt tai diˆ’m wx (x1 , x2 , , xn ) a a ¯o ’ a a ¯e ˆ ´ a ´ ´ ’ Gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , , xn ) duoc goi l` uoc luong hop l´ tˆi da nˆu ung voi gi´ a ¯ ’ ’ a ’ ´ ’ ’ ’ ’ ’ y o ¯ e ´ tri n`y cua θ h`m hop l´ dat cuc dai a a ’ ’ y ¯ ’ ¯ Phuong ph´p t` a ım ’’ V` h`m L v` lnL dat cuc dai tai c`ng mˆt gi´ tri θ nˆn ta x´t lnL thay v` x´t L ı a a ¯ ’ ¯ u o a e e ı e ∂lnL Buoc 1: T` ım ’ ’´ ∂θ ∂lnL (Phuong tr` hop l´) ınh ’ y ’’ ∂θ ˆ ’ ’’ Gia su phuong tr` c´ nghiˆm l` θ0 = θ(x1 , x2 , , xn ) ınh o e a ’’ ’ Buoc 2: Giai phuong tr` ınh ’ ’´ ’’ ´ 3: T` dao h`m cˆp hai ∂ lnL ´ Buoc ım ¯ a a ’’ ∂θ ∂ lnL ˆ ´ Nˆu tai θ0 m` e a < th` lnL dat cuc dai Khi θ0 = θ(x1 , x2 , , xn ) l` uoc ı ¯ ’ ¯ ¯´ a ’´ ’ ∂θ ´ luong diˆ’m hop l´ tˆi da cua θ ’ ’ ¯ e ’ y o ¯ ’ ’ Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ 73 ’ ´ ˆ ’ PHU’ONG PHAP KHOANG TIN CAY 2.1 Mˆ ta phuong ph´p o ’ a ’’ ’ ´ ´ ´ ’ ’’ o ’ Gia su tˆng thˆ’ c´ tham sˆ θ chua biˆt Ta t` khoang (θ1 , θ2 ) chua θ cho e o o e ım ’ ’ P (θ1 < θ < θ2 ) = − α cho truoc ’ ’´ ´ ˜ ˜ ˜ ` ¯ ’ ’ Tu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , , Xn ) Chon a e o a a a e ’ ˆ = θ(X1 , X2 , , Xn ) c´ phˆn phˆi x´c suˆt x´c d.nh d` chua biˆt θ ˆ ´ ´ ´ ´ thˆng kˆ θ o e o a o a a a ¯i u e ’ ˆ ´ ’ ˆ ´ a Voi α1 kh´ b´ (α1 < α) ta t` duoc phˆn vi θα1 cua θ (tuc l` P (θ < θα1 ) = α1 ) a e ım ¯ ’ ’ a ’ ’ ´ ´ ’ Voi α2 m` α1 + α2 = α kh´ b´ (thuong lˆy α ≤ 0, 05) ta t` duoc phˆn vi θ1−α2 cua a a e a ım ¯ ’ ’ a ’ ’ ’` ˆ (tuc l` P (θ < θ1−α ) = − α2 ) ˆ ´ a θ ’ Khi d´ ¯o ˆ ˆ ˆ P (θα1 ≤ θ ≤ θ1−α2 ) = P (θ < θ1−α2 ) − P (θ < θα1 ) = − α2 − α1 = − α (∗) ˆ ˆ ` ’ ¯ ’ ’ ¯o ¯ ’ ’ ¯ ’ e` Tu (*) ta giai duoc θ Khi d´ (*) duoc dua vˆ dang P (θ1 < θ < θ2 ) = − α ’ ˆ ´ ´ ´ ` ` ` V` x´c suˆt − α gˆn bang 1, nˆn biˆn cˆ (θ1 < θ < θ2 ) hˆu nhu xay Thuc hiˆn ı a a a ˘ e e o ˆ a e ’ ’ ’ ´ ’ ˜ ’’ ¯o ´ a ˜ ˜ mˆt ph´p thu dˆi voi mˆu ngˆu nhiˆn WX ta thu duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , , xn ) o e a e ¯ ’ ’ a e ˆ ˆ ` a e a ınh ¯ ’ ’ a Tu mˆu cu thˆ’ n`y ta t´ duoc gi´ tri θ1 = θ1 (x1 , x2 , , xn ), θ2 = θ2 (x1 , x2 , , xn ) ’ ˜ ´ ˜ ’ Vˆy voi − α cho truoc, qua mˆu cu thˆ’ wx ta t` duoc khoang (θ1 , θ2 ) chua θ a ´ a e ım ¯ ’ ’ ’ ’ ’ ’´ cho P (θ1 < θ < θ2 ) = − α ’ ’ • Khoang (θ1 , θ2 ) duoc goi l` khoang tin cˆy ¯ ’ ’ a a • − α duoc goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong ¯ ’ ’ a ¯o a ’ ’ ´ ’ ’ ’ ’ • |θ2 − θ1 | duoc goi l` dˆ d`i khoang tin cˆy ¯ ’ ’ a ¯o a a 2.2 ’´ ’ Uoc luong trung b` ınh ’ ’ ’ ´ ´ ’ ’’ ’ Gia su trung b` cua tˆng thˆ’ E(X) = m chua biˆt Ta t` khoang (m1 , m2 ) chua ınh ’ o e e ım ’ ’ ´ − α l` tin cˆy cho truoc ´ m cho P (m1 < m < m2 ) = − α, voi a ¯ˆ a ’ ’’ i) Truong hop ’ ’` ’ ´ Biˆt V ar(X) = σ e ’ ´ n ≥ 30 ho˘c (n < 30 nhung X c´ phˆn phˆi chuˆn) a o a o a ’ ´ Chon thˆng kˆ o e ´ Ta thˆy U ∈ N (0, 1) a √ (X − m) n U= σ (4.4) ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ 74 Chon c˘p α1 v` α2 cho α1 + α2 = α v` t` c´c phˆn vi a a ım a a a P (U < uα1 ) = α1 , P (U < uα2 ) = − α2 ’ ´ Do phˆn vi chuˆn c´ t´ chˆt uα1 = −u1−α1 nˆn a a o ınh a e P (−u1−α1 < U < u1−α2 ) = − α Dua v`o (4.4) v` giai hˆ bˆt phuong tr` (4.5) ta duoc a ’ e a ınh ¯ ’ ’ ’’ ´ ’ a σ σ X − √ u1−α2 < m < X + √ u1−α1 n n (4.5) α ´ ’ ’ a ¯˘ De’ ¯ ’ ’ a ¯o ´ ¯ ˆ duoc khoang tin cˆy dˆi xung ta chon α1 = α2 = v` dat γ = − σ σ X − √ uγ < m < X + √ uγ n n α th` ı ’ ¯´ T´m lai, ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε), o ım ¯ ’ ’ a ˜ ˜ * x l` trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn a ınh ’ a a e σ * ε = uγ √ n ’ ´ ´ (¯o ch´ x´c) voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = − dˆ ınh a a a a ’ ’ α ’ ’ ´ ´ ˜ ’ • V´ du Khˆi luong san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi dˆ ı o ’.’ a a ¯ ’.’ a e o a o a ´ ¯o ’ ’n σ = Cˆn thu 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau ’ ´ ’’ ’ ’ lˆch tiˆu chuˆ e e a a a ¯ ’.’ e ´ X (khˆi luong) 18 19 20 21 o ’.’ ´ ni (sˆ luong o ’.’ 15 ’ ´ ´ ¯o ’ ’ H˜y uoc luong trung b`nh khˆi luong cua san phˆm voi dˆ tin cˆy 95 % a ’ ´ ’.’ ı o ’.’ a a ’ ’ ’ Giai xi ni xi ni 18 54 19 95 20 15 300 21 42 25 491 Ta c´ x = o 491 25 = 19, 64kg Do a ¯ ˆ tin cˆy − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 ’ duoc phˆn vi chuˆn uγ = u0,975 = 1, 96 Do d´ ¯ ’ ’ a a ¯o =⇒ γ = 1− 1 ε = u0,975 √ = 1, 96 = 0.39 25 x1 = x − ε = 19, − 0, 39 = 19, 25 x2 = x + ε = 19, + 0, 39 = 20, 03 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (19, 25; 20, 03) a a a α = 0, 975 Ta t` ım ’ Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ 75 ii) Truong hop ’ ’` ’ ´ σ chua biˆt e ’ n ≥ 30 ˜ ’ ’ Truong hop n`y k´ thuoc mˆu lon (n ≥ 30) c´ thˆ’ d`ng uoc luong cua S thay a ´ o e u ’ ’ ’ ’` ’´ ’ ´ ’ ’ ’ a ıch 2 ´ ’ ım ¯ ’ ’ a cho σ chua biˆt (E(S ) = σ ), ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) e ¯´ ’ ˜ * x l` trung b` cua mˆu cu thˆ’ a ınh ’ a e s ’ ´ ´ * ε = uγ √ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = − a a a ’ ’ n ˜ ’ ’ diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’ ¯ e` a e α ’ v` s l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn a a ¯o e e a ´ • V´ du Nguoi ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu o mˆt truong dai hoc xem mˆt th´ng ı e a e ´ ’’ o o a ’ ’ ’` ’ ’` ¯ ´ ´ o a ˜ ˜ trung b`nh mˆt sinh viˆn tiˆu hˆt bao nhiˆu tiˆn goi diˆn thoai Lˆy mˆt mˆu ngˆu nhiˆn ı o e e e e e` ¯ e a a e ´ ` 59 sinh viˆn thu duoc kˆt qua sau: ’ gˆm o e ¯ ’.’ e 14 18 95 16 30 147 29 73 22 36 22 27 72 26 60 30 111 37 15 41 36 37 25 26 35 28 42 63 127 33 31 57 26 20 79 23 29 40 58 36 31 35 18 33 52 70 41 85 23 15 27 48 28 35 47 11 15 32 ´ ` ’ H˜y uoc luong khoang tin cˆy 95% cho sˆ tiˆn goi diˆn thoai trung b` h`ng th´ng a ’ ´ ’.’ a o e ¯e ınh a a ’ ’ cua mˆt sinh viˆn o e ’ Giai ´ ` a o e ¯˜ o Tu c´c sˆ liˆu da cho, ta c´ ’ n = 59; Do a ¯ ˆ tin cˆy − α = 0, 95 u0,975 = 1, 96 x = 41, 05; =⇒ − α s = 27, 99 ’ ’ = 0, 975 Tra bang phˆn vi chuˆn ta c´ a a o √ Do d´ ε = 1, 96 27,99 = 7, 13 ¯o 59 x − 7, 13 = 33, 92; x + 7, 13 = 48, 18 ’ Vˆy khoang tin cˆy cua uoc luong l` (33,92; 48,18) a a ’ ’ ´ ’ ’ a ’ iii) Truong hop ’ ’` ’ ´ σ chua biˆt e ’ ’ ´ n < 30 v` X c´ phˆn phˆi chuˆn a o a o a √ (X − m) n ´ Chon thˆng kˆ T = o e S ∈ T (n − 1) 76 ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ S ’ Ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) ε = tγ √ ım ¯ ’ ’ a ¯´ n ´ ´ voi tγ l` phˆn vi Student muc γ = − a a ’ ’ ’n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’ ˜ e ` ’ ’ chuˆ ¯ e a a α ´ voi n − bˆc tu v` s l` lˆch tiˆu a ’ a a ¯ˆ e e ’ ´ • V´ du Dioxide Sulfur v` Oxide Nitrogen l` c´c h´a chˆt duoc khai th´c tu l`ng ı a a a o a ¯ ’.’ a ` o ’ ´t C´c chˆt n`y duoc gi´ mang di rˆt xa, kˆt hop th`nh acid v` roi tro lai m˘t dˆt tao ´ a ¯ ’.’ o ´ ´ ’ dˆ ¯a a a ¯ a e a a ’ ’’ a ¯a ´ ` th`nh mua acid Nguoi ta dˆ dˆm dac cua Dioxide Sulfur (µg/m3 ) khu rung a ¯ ¯o ¯a ¯˘ ’ ’ ’ ’` ’ ´ ’’ ’ ’ Bavarian cua nuoc ¯ uc Sˆ liˆu cho boi bang duoi dˆy: o e ’ ’ ’ ´ D´ ’ ’ ´ ¯a 52,7 62,2 45,3 52,4 43,9 56,5 63,4 38,6 41,7 33,4 53,9 46,1 71,5 61,8 65,5 44,4 47,6 54,3 66,6 60,7 55,1 50,0 70,0 56,4 ´ ¯o ’ H˜y uoc luong dˆ dˆm dac trung b`nh cua Dioxide Sulsfur voi dˆ tin cˆy 95% a ’ ´ ’.’ ¯o ¯a ¯˘ ı a ’ ’ ’ Giai Ta t´ duoc x = 53, 92µg/m3 , ınh ¯ ’ ’ s = 10, 07µg/m3 α ’ Do a a ¯ ˆ tin cˆy − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒ − = 0, 975 Tra bang phˆn ´ 0,975 bˆc n − = 23 ta duoc t23;0,975 = 2, 069 a ¯ ’ ’ vi student muc ’ √ Do d´ ε = 2, 069 10,07 = 4, 25 ¯o 24 x − ε = 53, 92 − 4, 25 = 49, 67, x + ε = 53, 92 + 4, 25 = 58, 17 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (49,67; 58,17) a a a ´ ´ Nguoi ta biˆt duoc nˆu dam dac cua Dioxide Sulfur mˆt khu vuc lon hon e ¯ ’ ’ e ¯ˆ ¯ˆ ¯˘ ’ o ’ ’ ’ ’` ’ ´ ’’ 20µg/m th` mˆi truong khu vuc bi ph´ hoai boi mua acid Qua v´ du n`y c´c ı o ı a a ’ ’` ’ a ’ ` a nh` khoa hoc da t` duoc nguyˆn nhˆn rung Bavarian bi ph´ hoai trˆm n˘m a ¯ ’ ’ e a ` ’ ¯˜ ım a a 1983 l` mua acid a ’ Ch´ y (X´c d.nh k´ch thuoc m^u) u´ a ¯i ı ’ ~ ’´ a ´ ´ ` Nˆu muˆn tin cˆy − α v` ch´ x´c ε dat o muc cho truoc th` ta cˆn x´c e o ¯ˆ a a ¯ˆ ınh a ¯ ’’ ´ ı a a ’ ’ ’´ ´ n cua mˆu ˜ ’ d.nh k´ thuoc ¯i ıch a ’’ ´ i) Truong hop biˆt V ar(X) = σ : e ’ ’` ’ σ ´ ` o Tu cˆng thuc ε = u2 √n ta suy ’ ’ γ n = u2 γ ´ ii) Truong hop chua biˆt σ : e ’ ’` ’ ’ σ2 ε2 ’ Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ 77 ´ ´ ´ ˜ ˜ ˜ ` Dua v` mˆu cu thˆ’ da cho (nˆu chua c´ mˆu th` ta c´ thˆ’ tiˆn h`nh lˆy mˆu lˆn e ı o e e a a a a ’ o a ’ a a e ¯˜ ’ t´ s Tu d´ x´c d.nh duoc ` ’ ` ¯o a ¯i ¯ ’ ’ dˆu voi k´ thuoc n1 ≥ 30) dˆ ınh ¯a ´ ıch ¯e ’ ’´ ’ n= 2s uγ ε ´ ´ ´ e ¯ ’ ’ ˜ ’ a o K´ thuoc mˆu n phai l` sˆ nguyˆn Nˆu t´ n theo c´c cˆng thuc trˆn duoc ıch a e e ınh a o ’ ’´ ’ ´ ´ ` gi´ tri khˆng nguyˆn th` ta lˆy phˆn nguyˆn cua n´ cˆng thˆm voi a o e ı a a e ’ o o e ’ 2 ´ l` n = u2 σ + ho˘c n = u2 s + Tuc a a ’ γ γ ε ε 2.3 ’´ ’ ’ e Uoc luong ty lˆ ’ ’ ’ ´ ` ` ’ ’’ o ’ e a ’’ o ınh a Gia su tˆng thˆ’ duoc chia l`m hai loai phˆn tu Ty lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A l` p e ¯ ’ ’ a a ’’ a ´ ´ ’ ’ ´ ’ e a ’ chua biˆt U’oc luong ty lˆ l` chi’ khoang (f1 , f2 ) chua p cho P (f1 < p < f2 ) = 1−α e ’ ’ ’ ˜ ’ a a ¯ ’ ’ ¯ ’ ’ De’ e a ´ ıch a ´ ’ ’ ’ ’´ ¯ ˆ cho viˆc giai b`i to´n duoc don gian, ta chon mˆu voi k´ thuoc n kh´ lon ´ ` ´ ´ ˜ ` e ı Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A lˆy ngˆu nhiˆn mˆt phˆn tu tu tˆng thˆ’ th` a o a ’’ o ınh a a a e o a ’’ ` o ’ ’ ´ a ´ ˜u nhiˆn c´ phˆn phˆi x´c suˆt X l` dai luong ngˆ a ¯ ’ ’ a e o a o a X P 1-p p ´ ` ´ ´ ` ´ a o a ’’ o ınh a Goi Xi (i = 1, n) l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A lˆn lˆy thu i a a ’ n ´ ’ ` a ’ ´ ’ ’ ¯ e ’ Xi ch´ l` tˆn suˆt uoc luong diˆ’m cua p = E(X) M˘t kh´c, theo ınh a a a a n i=1 p(1 − p) ´ ` ¯o chuong 2, nX c´ phˆn phˆi nhi thuc B(n, p) Tu d´ E(X) = p v` V ar(X) = o a o a ’’ ’ ’ ´ n √ ´ng kˆ U = (f − p) n , f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ ˜ ` Chon thˆ o e ¯´ a ’ e a a ’’ ’ a o ınh p(1 − p) ´ chˆt A a Ta c´ X = o ´ ’ Khi n kh´ lon th` U ∈ N (0, 1) Giai quyˆt b`i to´n tuong tu nhu o uoc luong trung a ´ ı e a a ’’ ’ ’ ’ ’’ ’ ´ ’ ’ ’ ’’ ’’ b` ınh, thay X boi f , σ boi f (1 − f ) ta duoc ¯ ’ ’ f − uγ f (1 − f ) < p < f + uγ n f (1 − f ) n ’ T´m lai, ta x´c d.nh duoc khoang tin cˆy (f1 , f2 ) = (f − ε, f + ε), o a ¯i ¯ ’ ’ a ¯´ ´ ˜ ` f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ chˆt A a ’ e a a ’’ ’ a o ınh a ε = uγ f (1 − f ) n (¯o ch´ x´c) dˆ ınh a (4.6) ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ 78 ’ ´ ´ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc − α a a a ’ ’ ` Tu (4.6) ta c´ o ’ √ ε n uγ = f (1 − f ) n = u2 α 1− f (1 − f ) ε2 ` ’ ˘ Ch´ y Ta c´ thˆ’ t` khoang tin cˆy cua p bang c´ch kh´c nhu sau: u´ o e ım a ’ a a ’ ` ’ Tu khoang tin cˆy cua p: a ’ ’ f − uγ p(1 − p) < p < f + uγ n p(1 − p) n hay |f − p| < uγ p(1 − p) n ´ ’ a Giai bˆt phuong tr` ınhn`y ta t` duoc a ım ¯ ’ ’ ’’ p1 = nf + 0, 5u2 − γ 0, 25u2 − nf (1 − f ) γ n + u2 γ , p2 = nf + 0, 5u2 + γ 0, 25u2 − nf (1 − f ) γ n + u2 γ ´ ¯o ’ Khi d´ (p1 , p2 ) l` khoang tin cˆy cua p voi dˆ tin cˆy − α ¯o a a ’ a ’ ’ ´ ´ ’ ’ • V´ du Kiˆ’m tra 100 san phˆm lˆ h`ng thˆy c´ 20 phˆ phˆm ı e a o a a o e a ´ ’ ’ e e a i) H˜y uoc luong ty lˆ phˆ phˆm c´ dˆ tin cˆy 99 % a ’ ´ ’.’ o ¯o a ’ ´ ii) Nˆu dˆ ch´nh x´c ε = 0, 04 th` dˆ tin cˆy cua uoc luong l` bao nhiˆu? e ¯o ı a ı ¯o a ’ ’ ´ ’.’ a e ’ ´ ´ ’ e iii) Nˆu muˆn c´ dˆ tin cˆy 99% v` dˆ ch´ x´c 0,04 th` phai kiˆ’m tra bao nhiˆu e o o ¯o a a ¯o ınh a ı e ’ ’ san phˆm? a ’ Giai i) n = 100, X´t e U= 20 = 100 √ (f −p) 100 √ pq f= 0.2 ∈ N (0, 1) Ta c´ o − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ − α = − 0, 005 = 0, 995 √ 0, 2.0, 0, ε = u0,995 √ = 2, 58 = 0, 10 100 f1 = f − ε = 0, − 0, = 0, f2 = f + ε = 0, + 0, = 0, ’ Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ 79 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 1; 0, 3) a a a √ 0, 04 100 ii) u1− α = √ =1 0, 2.0, T` duoc ım ¯ ’ ’ 1− α = 0, 84 =⇒ − α = 0, 68 Vˆy dˆ tin cˆy l` 68% a ¯o a a iii)1 − α = 0, 99 =⇒ Do d´ ¯o α = 0, 01 =⇒ ım ¯ ’ ’ − α = 0, 995 T` duoc u0,995 = 2, 576 (2, 576)2 0, 2.0, n≈ = 6, 635.100 = 663, (0, 04)2 Vˆy n = 664 a 2.4 ’´ ’ Uoc luong phuong sai ’ ’ ’’ ’ ´ ´ ˜ ’ ’’ ¯ ’ ’ Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi phuong sai V ar(X) = σ a e o a o a ’ ’’ 2 ´ Cho < α < 0.05 U’oc luong phuong sai V ar(X) l` chi’ khoang (σ1 , σ2 ) ´ ’ ’ ’ chua biˆt e a ’ ’ ’’ 2 2 ´ chua σ cho P (σ1 < σ < σ2 ) = − α ’ ˜ ˜ ` a a a e a e a Tu X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , , Xn ) v` x´t c´c truong hop ’ ’ ’` ’ ´ a) Biˆt E(X) = µ e n ´ Chon thˆng kˆ χ2 = o e (Xi − µ)2 σ2 i=1 ´ ´ ´ Ta thˆy χ2 c´ phˆn phˆi ”khi-b` phuong” voi n bˆc tu a o a o ınh a ’ ’ ’’ Chon α1 v` α2 kh´ b´ cho α1 + α2 = α Ta t` duoc c´c phˆn vi χ2 v` χ2 a a e ım ¯ ’ ’ a a α a 1−α ’ m˜n thoa a P (χ2 < χ2 < χ2 ) = − α α 1−α (4.7) ´ ’ Thay biˆ’u thuc cua χ2 v`o (4.7) v` giai ta duoc e a a ’ ¯ ’ ’ ’ (Xi − µ)2 < σ2 < χ2 1−α (Xi − µ)2 < σ2 < χ2 α 1− Chon α1 = α2 = α (Xi − µ)2 χ2 α (Xi − µ)2 χ2 α th` ı (4.8) ’ ´ a e ˜ Voi mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , , xn ), t´ c´c tˆng ınh a o ’ 2 ’ ¯´ t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ), ım ¯ ’ ’ a (xi − µ)2 v` dua v`o (4.8) ta a ’ a 80 ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ (xi − µ)2 ni χ2 α n,1− (xi − µ)2 ni χ2 α n, σ1 = σ2 = ´ voi ’ ´ χ2 α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc − a ınh ’’ ’ n,1− a ´ χ2 α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc a ınh ’’ ’ n, a α ´ voi n bˆc tu a ’ ’ α ´ voi n bˆc tu a ’ ’ ´ b) Chua biˆt E(X) e ’ (n − 1)S σ2 ´ ´ ´ Thˆng kˆ n`y c´ phˆn phˆi ”khi−b` phuong voi n − bˆc tu Tuong tu nhu o e a o a o ınh a ’ ’ ’’ ’’ ’ ’ 2 ´ ’ trˆn ta t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ) voi e ım ¯ ’ ’ a ’ ´ Chon thˆng kˆ χ2 = o e σ1 = (n − 1)s2 ; χ2 n−1,1− α σ2 = (n − 1)s2 χ2 α n−1, ’ ´ ˜ • V´ du Muc hao ph´ nhiˆn liˆu cho mˆt don vi san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn ı ı e e o ¯’ ’ a a ¯ ’.’ a e ’ ’ ’ ´ ´ ’ ’ c´ phˆn phˆi chuˆn X´t trˆn 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau: o a o a e e a ¯ ’.’ e X ni 19,5 20 20,5 18 ´ ¯o H˜y uoc luong phuong sai voi dˆ tin cˆy 90 % c´c truong hop sau: a ’ ´ ’.’ a a ’ ’ ’ ’’ ’` ’ ´ i) Biˆt k` vong µ = 20g e y ´ ii) Chua biˆt k` vong e y ’ ’ Giai ´ i) Biˆt µ = 20g e xi 19,5 20 20,5 Do a ¯ ˆ tin cˆy − α = 0, ni xi − 20 (xi − 20)2 -0,5 0,25 18 0 0,5 0,25 n=25 =⇒ α = 0, =⇒ (xi − 20)2 ni 1,25 0,5 1,75 α = 0, 05 ´ ’ Tra bang phˆn vi χ2 voi n = 25 bˆc tu ta duoc a a ’ ¯ ’ ’ ’ χ2 25;0,05 = 14, 6; χ2 25;0,95 = 37, =⇒ 1− α = 0.95 B`i tˆp a a Do d´ ¯o σ1 = 81 1, 75 (xi − 20)2 ni = = 0, 046 χ25;0,95 37, (xi − 20)2 ni 1, 75 = = 0, 12 χ25;0,05 14, σ2 = ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12) a a a ´ ii) Khi chua biˆt k` vong ta t` s = 0, 0692 e y ım ’ ´ a ’ ’ Tra bang phˆn vi b` phuong voi bˆc tu n − = 24 a ınh ’ ’’ χ2 = 13, 85; 0,05 v` t´ a ınh σ1 = σ2 = χ2 = 36, 0,95 24s 24 × 0, 0692 = = 0, 046 χ0,95 36, 24s 24 × 0, 0692 = = 0, 12 χ0,05 13, 85 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12) a a a ` ˆ BAI TAP ˜ a a a ¯i Mˆt mˆu c´c luong tuong ung l` 8,3; 10,6; 9,7; 8,8; 10,2 v` 9,4 kg X´c d.nh o a a ’ ’ ’ ’’ ´ ’ uoc luong khˆng chˆch cua o e ’ ’ ´ ’ ’ ’ a) trung b` cua tˆng thˆ’, ınh ’ o e ’ng thˆ’ ’ o b) phuong sai cua tˆ e ’’ ˜ ` ’ a a Mˆt mˆu do duong k´ cua qua cˆu l` 6,33; 6,37; 6,36; 6,32 v` 6,37cm X´c o a ¯ˆ ¯ ¯ ’` ınh ’ a a ’ ´ luong khˆng chˆch cua trung b` v` phuong sai cua duong k´ qua ’ ’ ¯ ’` ’ d.nh uoc ’ ’ ¯i o e ınh a ınh ’ ’’ ’’ ` cˆu a ´ ´ ´ ¯ ˆ’ x´c d.nh ch´ x´c cua mˆt chiˆc cˆn ta khˆng c´ sai sˆ hˆ thˆng, nguoi ta De a ¯i ¯ˆ ınh a ’ o e a o o o e o ’ ’` ´ h`nh lˆn cˆn doc lˆp (c`ng mˆt vˆt), kˆt qua nhu sau: ´ ` a ¯ˆ a ’ tiˆn a e a u o a e ’ 94, 94, 96, 95, kg ´ ’ X´c d.nh uoc luong khˆng chˆch cua phuong sai sˆ hai truong hop: a ¯i o e o ¯ ’ ’ ’ ´ ’ ’ ’’ ’` ’ ´ ´ a) biˆt khˆi luong vˆt cˆn l` 95kg; e o ’ ’ a a a ´ khˆi luong vˆt cˆn ´ ’ ’ b) khˆng biˆt o o e a a ´ ˜ ˜ ¯ uong k´ cua mˆt mˆu ngˆu nhiˆn cua 200 viˆn bi duoc san xuˆt boi mˆt m´y D ’` ınh ’ o a a e ’ e ¯ ’ ’ ’ a ’’ o a ’ ’ ´ ’ ’ ` c´ trung b` 20,9mm v` lˆch tiˆu chuˆn 1,07mm U’oc luong mˆt tuˆn o o a ınh a ¯ˆ e e a ’ ´ ¯o trung b` duong k´ cua viˆn bi voi dˆ tin cˆy (a) 95%, (b) 99% ınh ¯ ’` ınh ’ e a ’ ’ 82 ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ ´ ´ ’ a ´ e` ¯ ˆ’ khao s´t suc bˆn chiu luc cua mˆt loai ˆng cˆng nghiˆp nguoi ta tiˆn h`nh De o o e e a ¯ ’ ’ ’` ’ ’ o ´ng v` thu duoc c´c sˆ liˆu sau ´ e 9ˆ o a ¯ ’ ’ a o 4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375 ’ ´ ` ´ e` ¯o o a ´ ` Tu kinh nghiˆm nghˆ nghiˆp nguoi ta biˆt rang suc bˆn d´ c´ phˆn phˆi chuˆn e e` e e ˘ o a ’ ’ ’` ’ ’n σ = 300 X´c d.nh khoang tin cˆy 95% cho suc bˆn trung b` ´ ¯o e ´ e` ’ voi dˆ lˆch chuˆ a a ¯i a ınh ’ ’ ´ng trˆn ’ cua loai ˆ e o ` Tai mˆt v`ng rung nguyˆn sinh, nguoi ta deo v`ng cho 1000 chim Sau mˆt o u e ¯ o o ’ ’ ’` ´t lai 200 th` thˆy c´ 40 c´ deo v`ng Thu uoc luong sˆ chim ´ o ´ ’’ ’ ´ ’ ’ ` ˘ thoi gian, ba ı a o ¯ o o ’ ’ ` ¯o ´ ¯o v`ng rung d´ voi dˆ tin cˆy 99% u a ’ ’ ´ ´ ´ ¯o ´ ` ’ Biˆt ty lˆ mˆm cua mˆt loai hat giˆng l` 0,9 Voi dˆ tin cˆy 0,95, nˆu ta e ’ e ’ a o o a a e ’ ´n d`i khoang tin cˆy cua ty lˆ mˆm khˆng vuot qu´ 0,02 th` cˆn phai ` ` ’ ’ muˆ ¯ˆ a o a ’ ’ e ’ a o a ı a ’ ’ gieo bao nhiˆu hat? e ´ ’’ ’ ’ ’ Kˆt qua quan s´t vˆ h`m luong vitamine C cua mˆt loai tr´i cˆy cho o bang sau: e a e` a o ’ ’ a a H`m luong vitamine C (%) a ’ ’ 6−7 7−8 8−9 − 10 10 − 11 11 − 12 ´ Sˆ tr´i o a 10 20 35 25 a) H˜y uoc luong h`m luong vitamine C trung b` mˆt tr´i voi tin cˆy a ’ ´ ’ ’ a ınh o a ´ ¯ˆ a ’ ’ ’ ’ 95% ´ ’ ’ ˜ b) Qui uoc nhung tr´i c´ h`m luong vitamine C trˆn 10% l` tr´i loai A U’oc luong a o a e a a ’ ’ ’ ’ ’ ’´ ´ ¯o ’ e a ty lˆ tr´i loai A voi dˆ tin cˆy 90% a ’ ´ c) Muˆn dˆ ch´ x´c uoc luong h`m luong vitamine C trung b` l` 0,1 v` o ¯o ınh a a ınh a a ’ ’ ´ ’ ’ ’ ’ ´ ’ ’ ´ u ¯o ` ’ e a ch´ x´c uoc luong ty lˆ tr´i loai A l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 95% th` cˆn ¯ˆ ınh a a a ı a ’ ’’ quan s´t thˆm bao nhiˆu tr´i nua? A a e e a ˜ ’ ´ ´ ´ ’ ’ ¯ o duong k´ cua 100 chi tiˆt m´y mˆt phˆn xuong san xuˆt, ta duoc kˆt qua D ¯ ’` ınh ’ e a o a a ¯ ’ ’ e ’ ’ ’’ ’’ ’ cho o bang sau: D ’` ınh ’ ¯ uong k´ (mm) 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 ´ ´ a Sˆ chi tiˆt m´y o e 12 20 30 14 10 83 B`i tˆp a a ´ ´ ˜ Theo qui d.nh, nhung chi tiˆt c´ duong k´ tu 9, 9mm dˆn 10, 1mm l` nhung chi ¯i e o ¯ ’` ınh ` ¯e a ˜ ’ ’ ’ ’ ’ y ´ dat tiˆu chuˆn k˜ thuˆt tiˆt ¯ e e a a ´ ’ ’ ´ ˜ ’ e a ’ ´ ’ ’ a) U’oc luong ty lˆ v` uoc luong trung b` duong k´ cua nhung chi tiˆt dat tiˆu ınh ¯ ’` ınh ’ e ¯ e ’ ’ ’ ’ ’ chuˆn voi c`ng dˆ tin cˆy 95%? a ´ u ¯o a ’ ’ dˆ ch´ x´c uoc luong duong k´ trung b` cua nhung chi tiˆt dat ´ ˜ b) ¯ ˆ ¯o ınh a De ınh ınh ’ e ¯ ’ ’ ’ ´ ’ ’ ¯ ’` ’ ’ ’ ´ ’ e e ¯ e a tiˆu chuˆn l` 0, 02mm v` ch´ x´c uoc luong ty lˆ chi tiˆt dat tiˆu chuˆn e a a a ¯ˆ ınh a ’ ’ ´ ’ ’ ´ u ¯o ´ ´ ’ ` l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 99% th` cˆn thˆm ´ nhˆt bao nhiˆu chi tiˆt nua? a a ı a ¯ e ıt a e e ˜ ’ ’ ’ ’ 10 ¯ ˆ d`i cua ban kim loai tuˆn theo luˆt chuˆn ¯ o 10 ban kim loai d´ ta thu duoc Do a ’ a a a D ¯ ’ ’ ¯o ´ liˆu sau: sˆ e o 4, 3, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, H˜y x´c d.nh a a ¯i ’ a) Khoang tin cˆy 90% cho d`i trung b` trˆn; a ¯ˆ a ınh e ’ ’ ¯o a ¯´ b) Khoang tin cˆjy 95% cho phuong sai cua dˆ d`i a ’’ ´ ´ ˜ ’ 11 Nguoi ta chiˆu sˆu cua biˆ’n, sai lˆch ngˆu nhiˆn duoc gia thiˆt phˆn phˆi theo ¯ e` a ’ e e a e ¯ ’ ’ e a o ’ ’` ’n voi dˆ lˆch tiˆu chuˆn l` 20m Cˆn bao nhiˆu lˆn dˆ’ x´c d.nh ’ a ´ ¯o e ` ` qui luˆt chuˆ a a e a a ¯ e a ¯e a ¯i ’ ´ ` sˆu cua biˆ’n voi sai lˆch khˆng qu´ 15m v` tin cˆy dat duoc 95%? chiˆu a ’ e e e o a a ¯ˆ a ¯ ¯ ’ ’ ’ ´ ´ ’ 12 Theo d˜i sˆ h`ng b´n duoc mˆt ng`y o mˆt cua h`ng, ta duoc kˆt qua ghi o o a a ¯ ’ ’ o a ’’ o ’’ a ¯ ’ ’ e ’’ ’ o bang sau: ´ Sˆ h`ng b´n o a a 1900 1950 2000 2050 duoc (kg/ng`y) ¯ ’ ’ a − 1950 − 2000 − 2050 − 2100 ´ Sˆ ng`y o a 10 ˜ a ´ ¯ˆ ’ ’ ’ H˜y uoc luong phuong sai cua luong h`ng b´n duoc mˆi ng`y voi tin cˆy 95%? a ’ ´ ’ ’ a a ¯ ’ ’ o a ’ ’ ’’ ´ α1 = α2 ) (cho biˆt e ’ ` ` ˆ ’ • TRA LOI BAI TAP a) 9, 5kg, b) 0, 74kg 2 x = 6, 35cm, s2 = 0, 00055cm2 ´ ´ ’ ’ ’ a) Trung b` khˆi luong m = 95kg U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` ınh o ’ ’ o e a ’ ’’ n (xi − m)2 = (xi − 95)2 = 0, 41 n i=1 i=1 b) X = n xi = xi = 95, n i=1 i=1 ’´ ’ ’ ´ ˜ Chuong Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ o ’ ¯ ’ ’ a e ’ 84 ´ ’ ’ ’ U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` o e a ’ ’’ s2 = n 1 (xi − X)2 = (xi − 95, 5)2 = 0, 7rf f n − i=1 i=1 (a) 20, ± 0, 148mm, (b) 20, ± 0, 195mm (5092, 89 ; 5484, 89) 0, 1271 < p < 0, 2729 1000 1000 ’ ` ´ ` ’ ˘ Tˆng sˆ chim v`ng rung nam khoang ( 0,2729 , 0,1271 ) o o u ’ × 1, 96 0,9×0,1 n ´ ’ a < 0, 02 Giai bˆt phuong tr` ta c´ n > 3457 ınh o ’’ a) 9, 06; 9, 54), c) 467 tr´i a a) (0, 792 < p < 0, 928); (9, 982 < m < 10, 006) b) 221 10 a) (4, 09 ; 4, 49), b) (0, 064 ; 0, 456) ` 11 lˆn a 12 (1253, < σ < 3983, 8)