(Luận văn thạc sĩ) phân tích tấm composite bằng phương pháp phân tử hữu hạn tam giác ba nút (MITC3), sử dụng thuyết biến dạng mặt cắt bậc cao (HSDT)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN HỊA PHÂN TÍCH TẤM COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAM GIÁC NÚT (MITC3), SỬ DỤNG THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO (HSDT) NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP - 60580208 S K C0 Tp Hồ Chí Minh, tháng 10/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HỌC VIÊN: NGUYỄN HỊA PHÂN TÍCH TẤM COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAM GIÁC NÚT (MITC3), SỬ DỤNG THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO (HSDT) NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DD & CN Hướng dẫn khoa học: TS CHÂU ĐÌNH THÀNH Tp Hồ Chí Minh, tháng 10/2015 LÝ LỊCH CÁ NHÂN I LÝ LỊCH SƠ LƯỢC: Họ & tên: Nguyễn Hịa Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 21 – 08 – 1987 Nơi sinh: Bình Định Quê quán: Tây Sơn, Bình Định Dân tộc: Kinh Chỗ riêng địa liên lạc: Điện thoại: 0984454955 E-mail: ycenguyenhoa@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: Trung học chuyên nghiệp: Hệ đào tạo:……………………………… Thời gian đào tạo:……………… Nơi học (trường, thành phố):…………………………………………………… Ngành học:……………………………………………………………………… Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2006 đến 11/2010 Nơi học (trường, thành phố): Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Ngành học: Xây dựng dân dụng công nghiệp Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp: Chung cư Nguyễn Phúc Nguyên Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án thi tốt nghiệp: Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: Thạc sỹ Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu cá nhân thực hiện, hướng dẫn TS Châu Đình Thành Các kết trình bày luận văn chưa sử dụng cho khóa luận tốt nghiệp khác Theo hiểu biết cá nhân, từ trước tới chưa có tài liệu khoa học tương tự cơng bố, trừ thơng tin tham khảo trích dẫn luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Nguyễn Hịa i LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học TS.Châu Đình Thành, người đã đưa gợi ý để hình thành nên ý tưởng đề tài bảo nhiều cách nhận định đắn vấn đề nghiên cứu mà quan trọng trung thực làm nghiên cứu khoa học Thầy hướng dẫn cách tiếp cận nghiên cứu hiệu nguồn tài liệu quý báu Và với hướng dẫn khoa học, nghiêm túc, tận tình thầy giúp Tôi đạt đến kết nghiên cứu cuối Xin cảm ơn PGS.TS Nguyễn Xuân Hùng hộ trợ chương trình Matlab cho phần tử ES-DGS3 Đồng thời tơi xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa xây dựng học ứng dụng trường đại học Sư phạm kỹ thuật Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy q trình tơi học tập, nghiên cứu Và cuối muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp bên cạnh động viên, hỗ trợ nhiều tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Nguyễn Hòa ii CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu: Trong năm gần đây, kết cấu nhiều lớp làm vật liệu composite sử dụng rộng rãi chuyên sâu nhiều ứng dụng kỹ thuật hàng không, hàng hải sở hạ tầng dân dụng, vv… chúng có nhiều thuận lợi tính chất học độ cứng cao so với trọng lượng Điều đặc biệt có ý nghĩa kết cấu không gian vũ trụ, tàu ngầm lĩnh vực xây dựng kết cấu cao tầng Tuy nhiên, để có điều kiện thuận lới thường kèm với phức tạp phân tích, mơ hình tính tốn, vv…Để sử dụng ghép nhiều lớp có hiệu thực tiễn việc cần thiết phải phát triển lý thuyết phân tích thích hợp [1, 2] nhằm dự đốn xác ứng xử chúng dạng tải trọng khác Từ nhiều thập kỷ qua phương pháp phần tử hữu hạn xem phương pháp hiệu chiếm ưu việc phân tích kết cấu tấm, vỏ nói chung composite nói riêng Tuy nhiên hiệu việc phân tích tính tốn cịn phụ thuộc vào nhiều yếu tố mơ hình tốn học, lưới phần tử…, bên cạnh tốc độ hội tụ tốn nên tối ưu [3] Vì việc tìm kiếm phương pháp tính tốn hiệu với độ tin cậy cao phân tích ln nhu cầu thiết yếu 1.2 Mục đích đề tài: Mục đích đề tài kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa cạnh ES-FEM với phần tử tam giác nút, khử tượng “shear locking” kỹ thuật nội suy hỗn hợp thành phần ten xơ MITC3 Trong phạm vi luận văn gọi tắt phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa cạnh ES-MITC3 Sau sử dụng phần tử phân tích ứng xử composite dự lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) 1.3 Tổng quan tình hình nghiên cứu: 1.3.1 Về composite nhiều lớp: Trong vài thập kỷ qua nhiều lý thuyết cho việc giải ứng xử composite nhiều lớp nhà khoa học nghiên cứu giới thiệu Những lý thuyết phân loại thành: lớp tương đương (ESL), zig1 zag (ZZ), lớp thông minh (LW)… [7] Lần Noor [5, 6] đưa lý thuyết đàn hồi ba chiều (3D) để cải thiện tính xác ứng suất cắt ngang Trong lý thuyết đàn hồi 3D, lớp mô chất rắn 3D, độ xác ứng suất cắt ngang cải thiện cách đáng kể Tuy nhiên việc sử dụng lý thuyết làm chi phí tính tốn tăng lên đáng kể [9] Các lý thuyết nhiều lớp cổ điển (CLPT) dựa giả thuyết Kirchhoff cung cấp kết hợp lý cho mỏng Tuy nhiên, CLPT bỏ qua hiệu ứng cắt ngang khơng thích hợp cho mơ hình dày vừa phải dày tác dụng cắt ngang rõ rệt Để khắc phục hạn chế CLPT kết hợp xác hiệu ứng cắt ngang, nhiều giả thuyết biến dạng cắt phát triển Reissner Mindlin đề xuất lý thuyết cắt biến dạng cắt bậc (FSDT) ứng suất cắt ngang giả định khơng đổi địi hỏi việc sử dụng hệ số điều chỉnh biến dạng cắt để đáp ứng điều kiện biên tự bề mặt Những hạn chế FSDT khắc phục cách giới thiệu lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Các HSDT phát triển Reddy [8], Matsunaga [11], Kant Swaminathan [12] Liu et al [13], vv Những mơ hình bỏ qua yếu tố điều chỉnh biến dạng cho ứng suất cắt ngang xác ổn định Từ đến nhiều nghiên cứu lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đời có cải tiến đáng kể Một số nghiên cứu kể đến như: [9], [23-29] 1.3.2 Về phần tử tam giác nút MITC3: Năm 1970 Ahmad, Irons Zienkiewicz [14, 15] giới thiệu phần tử với tham số C0 độc lập nội suy cho chuyển vị góc xoay Phương diện phù hợp phần tử hàm nội suy cần thỏa điều kiện C0 giới thiệu ảnh hưởng biến dạng cắt Phần tử biết đến phần tử vỏ Reissner / Mindlin [16, 17] Mặc dù bao gồm biến dạng cắt để phân tích vỏ dày khó khăn phần tử tượng “khóa cắt” (shear locking) chiều dày giảm dần Vào năm 1970 hầu hết nghiên cứu lĩnh vực vỏ dựa phương pháp mà Ahmad, Irons Zienkiewicz xây dựng tìm biện pháp để khắc phục tượng “khóa cắt” Tuy nhiên với việc đưa giả thuyết dạng lượng không làm giảm độ tin cậy kết nghiên cứu họ [18] Năm 1980 Bathe Dvorkin đề xuất phương pháp nội suy hỗn hợp thành phần ten xơ (mixed interpolation tensorial components viết tắt MITC) giải vấn đề khóa cắt Các phương pháp MITC hiệu giải toán vỏ cho kết tin cậy Từ đời phương pháp MITC sử dụng thành cơng việc loại bỏ tượng “khóa cắt” cho toán tấm/vỏ với phần tử tứ giác Kỹ thuật Bathe Dvorkin đề xuất với phần tử nút phần tử nút (các MITC4 MITC8) [19, 20] Sau đó, Bathe Bucalem phát triển lên nút 16 nút (MITC9 MITC 16) [21] Bên cạnh thành công phần tử tứ giác việc xây dựng phần tử tam giác nghiên cứu ứng dụng phần tử tam giác chiếm ưu việc rời rạc hóa hình học kết cấu phước tạp Do liên tục hình học (độ cong hay độ dày), khơng tương thích điều kiện biên, bất thường tải trọng, ứng suất, chuyển vị cấu trúc vỏ thường thay đổi nhanh gây tập trung lượng biến dạng Nên để có giải pháp mang lại độ xác mong muốn vậy, hệ lưới tốt chức nội suy bậc cao phải sử dụng Gần Kim Bathe [22] phát triển nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn hàm nội suy bậc cao, nhằm làm tăng độ xác phần tử mà khơng có thay đổi hệ lưới Phương pháp sử dụng gradient cao mà làm giảm ứng suất nhảy phần tử Có thể kể đến số nghiên cứu gần như: [4] [19-22] [30-34] 1.3.3 Về phương pháp phần tử hữu hạn trơn: Trong nỗ lực phát triển xa phương pháp PTHH, tác giả Liu cộng ứng dụng kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng [36] để thiết lập cơng thức phương pháp PTHH trơn dựa phần tử (cell) cịn gọi SFEM CS-FEM cho tốn 2D vật rắn sau CS-FEM phát triển cho vỏ Bằng cách sử dụng phần tử (cell) phần tử (element) (ví dụ phần tử nút), CS-FEM làm tăng mức độ xác lời giải Kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng cịn kết hợp với phương pháp PTHH mở rộng (XFEM) để giải toán rạn nứt chiều học vật rắn liên tục kết cấu Với cách tiếp cận khác phương pháp PTHH trơn kết hợp với nút (Node-based Smoothed Finite Element Method – NS-FEM) áp dụng vào phân tích thích nghi (adaptive analysis) Sau cách kết hợp NS-FEM FEM với hệ số tỷ lệ, phương pháp đặt tên phương pháp PTHH alpha (αFEM) đề xuất kết thu lượng biến dạng gần với lời giải xác, sử dụng phần tử tam giác phần tử tứ diện Năm 2008, tác giả Liu cộng [37] đề xuất phương pháp PTHH trơn với cách tiếp cận dựa cạnh (the Edge-based Smoothed Finite Element Method –ES-FEM) cho tốn phân tích tĩnh, dao động tự dao động cưỡng áp dụng cho tốn phân tích học vật rắn hai chiều Kết số chứng minh phương pháp PTHH trơn dựa cạnh ES-FEM [37] đạt thành tựu ấn tượng: Mơ hình ES-FEM cho kết hội tụ nhanh xác phương pháp PTHH truyền thống sử dụng phần tử tứ giác nút với số nút Không xảy tượng dạng mode bị suy biến (spurious mode) phương pháp cho lời giải ổn định với tốn phân tích dao động tự Phương pháp thiết lập trực tiếp không cần sử dụng thơng số phạt, hiệu tính tốn tốt phương pháp PTHH truyền thống với số nút khảo sát Phương pháp phần tử hữu hạn trơn gần áp dụng nghiên cứu nhiều lĩnh vực phân tích vết nứt, phân tích kết cấu dạng vỏ môi trường đa vật lý, phân tích phi tuyến hình học kết cấu…[38~42] CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao: Hình 2.1: Hình học ban đầu hình học biến dạng cạnh với lý thuyết cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc (FSDT), biến dạng cắt bậc (TSDT) 2.1.1 Trường chuyển vị: Reddy [8] xây dựng trường chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dựa hàm xấp xỉ bậc chuyển vị sau: u  u0  z x  z 2 x ( x, y )  z 3 x ( x, y ) v  v0  z y  z 2 y ( x, y )  z 3 y ( x, y ) w  w0 ( x, y ) Trong đó: u, v, w: chuyển vị theo phương x, y, z  ,  : góc xoay quanh trục y trục x x y (Xem hình 2.2) (2.1) Hình 3.13: Biểu đồ ứng suất cắt  yz theo tọa độ z vị trí (a/2;0) (Trường hợp tải hình sin hình 3.6b) Thơng qua kết trình bày bảng 3.3 bảng 3.4, giá trị t/L thay đổi phần tử MITC3 ESMITC3 có khả cho kết tương đối so với phần tử 3D Điều cho thấy khả khử tượng “shear locking” cho composite phần tử Mặc khác giá trị độ võng khơng thứ ngun ứng suất tiếp tính tốn xác so với lời giải 3D Tuy nhiên quan sát biểu đồ hình 3.13 biểu đồ hình 3.14 giá trị ứng suất tiếp chênh lệch nhiều so với thực tế ứng xử Đây hạn chế việc dùng lý thuyết cắt bậc cao Reddy 3.1.3 Tấm composite 16 lớp ((45/90/-45/0)2)sym chịu tải trọng hình sin Phân tích composite trực hướng vng cạnh a có chiều dày h tựa đơn xung quanh với 16 lớp ((45/90/-45/0)2)sym Các mô đun đàn hồi vật liệu sau: E1 = 25E2, G12 = G13 = 0.5E2, G23 = 0.2E2, ν12 = 0.25 Giả thiết lớp có chiều dày nhau, chịu tải trọng hình sin: x  y  pz  q0 sin   sin    a   a  29 Hình 3.14 Biểu đồ ứng suất tiếp  xx theo tọa độ z vị trí (a/2;b/2) Hình 3.15 Biểu đồ ứng suất tiếp  yy theo tọa độ z vị trí (a/2;b/2) 30 Hình 3.16 Biểu đồ ứng suất cắt  xz theo tọa độ z vị trí (0;b/2) Hình 3.17 Biểu đồ ứng suất cắt  yz theo tọa độ z vị trí (a/2;0) 31 3.2 Phân tích dao động Khảo sát tần số dao động riêng vuông composite ba lớp (0, 90, 0) kích thước a=b=L chiều dày t liên kết ngàm bốn cạnh biên với đặc trưng vật liệu sau: E1 = 40E2, G12 = G13 = 0.6E2, G23 = 0.5E2, ν12 = 0.25 Tần số khảo sát xác định bởi:  = b /    h / D0  1/2 với D0  E2 h3 / 12(1  1 ) Kết thu bảng 3.5 so sánh với số lời giải khác công bố tác sau: Liew (p-Ritz [43], 1996), Zhen Wanji (Global-local higher-order theory [44], 2006), Ferreira, A J M., & Fasshauer [45] Liew, K M., Huang, Y Q., & Reddy, J N [46] Sáu dạng dao động (mode shapes) kết cấu vuông composite lớp [0/90/0] điều kiện biên ngàm cạnh biểu diễn thơng qua hình 3.19~3.23 Bảng 3.5: Kết phân tích tần số dao động riêng Phương pháp [43]Liew [44]Zhen and Wanzi [45]RBF-PS [9]HSDT(NS-DSG3) HSDT(ES-MITC3) Modes 4.447 4.45 4.5141 4.4802 4.5092 6.642 6.524 6.508 6.4046 6.4854 7.700 8.178 8.0361 7.9291 8.0354 9.185 9.473 9.3468 9.1682 9.3238 9.738 9.492 9.3929 9.1763 9.3731 10.393 10.207 10.2544 10.3990 10.1266 10.2540 13.913 15.429 15.806 14.340 14.863 16.070 14.244 14.9363 15.9807 13.9580 15.4670 15.8380 14.0657 14.6205 14.6205 14.2562 14.9547 15.9948 L/t 5 Phương pháp [43]Liew [44]Zhen and Wanzi [45]RBF-PS [46] MLSDQ [9]HSDT(NS-DSG3) HSDT(ES-MITC3) Modes 7.411 7.484 7.4727 7.4320 7.4224 7.4723 L / t  10 32 Phương pháp [43]Liew [44]Zhen and Wanzi [45]RBF-PS [9]HSDT(NS-DSG3) HSDT(ES-MITC3) Modes 10.953 11.003 10.968 10.9042 10.9821 14.028 14.064 13.9636 13.8634 14 0114 20.388 20.321 20.0983 19.8429 20.2343 Modes 14.666 14.601 14.4305 14.6740 14.3626 14.4702 17.614 17.812 17.3776 17.6680 17.3503 17.4955 24.511 35.532 40.768 25.236 37.168 38.528 24.2662 25.5596 37.7629 24.5920 35.8970 39.6250 24.2024 37.4713 39.2926 24.5485 35.8562 37.9988 23.196 23.498 23.3572 23.0955 23.4191 24.978 25.350 25.0859 24.8382 25.2004 L / t  20 Phương pháp [43]Liew [44]Zhen and Wanzi [45]RBF-PS [46] MLSDQ [9]HSDT(NS-DSG3) HSDT(ES-MITC3) L / t  100 Hình 3.18 Dạng dao động riêng ứng với mode 33 Hình 3.19 Dạng dao động riêng ứng với mode Hình 3.20 Dạng dao động riêng ứng với mode 34 Hình 3.21 Dạng dao động riêng ứng với mode Hình 3.22 Dạng dao động riêng ứng với mode 35 Hình 3.23 Dạng dao động riêng ứng với mode Phương pháp “moving least-squares differential quadrature MLSDQ” tác giả Liew cộng [46] (2003), phương pháp “không lưới –meshless” với hàm xấp xỉ bậc cao nên cho kết xác Và so với phân tử phần tử ES-MITC3 sử dụng phần tử tuyến tính tam giác nút cho kết phù hợp nằm phạm vi lân cận MLSDQ so sánh với phương pháp khác NSDSG3 36 CHƯƠNG KẾT LUẬN Từ nội dung mà luận văn thực trình bày rút số kết luận sau:  Những kết đạt được: Việc xây dựng mơ hình tính tốn phương pháp phần tử hữu hạn mang lại hiệu việc phân tích tốn điều kiện biên, điều kiện tải trọng đa dạng phức tạp Khả khử “shear locking” phần tử lần kiểm tra cho kết phân tích tốt Phần tử tam giác nút MITC3 xây dựng lại kết hợp với lý thuyết biến dạng trơn đem lại phần tử ES-MITC3 có tốc độ hội tụ nhanh cho kết xác số phần tử tam giác nút khác cơng bố tạp chí khoa học Việc áp dụng phần tử ESMITC3 kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mà cụ thể hàm bậc Reddy đem lại kết ứng suất cắt hai biên 0, ứng suất phân bố theo chiều dày lớp đường cong Điều chứng minh lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mô tả ứng suất cắt thực tế lý thuyết biến dạng cắt bậc  Những hạn chế tồn tại: Việc sử dụng hàm bậc Reddy để khảo sát toán composite mang lại kết tốt độ võng ứng suất tiếp Tuy nhiên lại không mô tả thực tế ứng xử ứng suất cắt Đây lý tác giả nghiên cứu đưa nhiều hàm bậc cao mô tả thực tế ứng suất  Đề suất hướng nghiên cứu tiếp theo: Kết hợp phần tử ESMITC3 xây dựng với lý thuyết lớp thông minh Layer-wise để phân tích ứng sử composite Với lý thuyết trường chuyển vị định nghĩa cho lớp có kể đến ảnh hưởng ứng suất, biến dạng cắt theo chiều dày Do việc kết hợp mang lại hi vọng kết khả quan 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.A Khdeir, L Librescu, Analysis of symmetric cross-ply laminated elastic plates using a higher-order theory, Compos Struct (1988) 189–213 [2] N.J Pagano, Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates, J Compos Mater (1970) 20–34 [3] Hyeong-Min Jeon, Phill-Seung Lee, Klaus-Jürgen Bathe The MITC3 shell finite element enriched by interpolation covers.Computers and Structures 134 (2014) 128– 142 [4] Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe Development of MITC isotropic triangular shell finite elements Computers and Structures 82 (2004) 945–962 [5] A.K Noor, Free vibration of multilayered composite plates, AIAA J.11 (1973)1038–1039 [6] A.K Noor, Stability of multilayered composite plates, Fibre Sci Technol (1975) 81–89 [7] Neeraj Grover, D.K Maiti, B.N Singh A new inverse hyperbolic shear deformation theory for static and buckling analysis of laminated composite and sandwich plates Composite Structures 95 (2013) 667–675 [8] J.N Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates – Theory and Analysis, CRC Press, New York, 1997 [9] Chien H Thai, Loc V Tran, Dung T Tran, T Nguyen-Thoi, H Nguyen-Xuan Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and node-based smoothed discrete shear gap method [10] An Edge-based smoothed discrete shear gap method (ES-DSG) using the C0-type Higher-order shear deformation Theory for Analysis of Laminated Composite Plates Loc V Tran , T Nguyen-Thoi, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan Mechanics of Advanced Materials and Structures [11] H Matsunaga, Vibration and stability of cross-ply laminated composite plates according to a global higher-order plate theory, Compos Struct 48 (2000) 231–244 [12] T Kant, K Swaminathan, Analytical solutions for free vibration of laminated composite and sandwich plates based on a higher order refined theory, Compos Struct 53 (2001)73–85 38 [13] L Liu, L.P Chua, D.N Ghista, Mesh-free radial basis function method for static, free vibration and buckling analysis of shear deformable compositelaminates, Compos Struct 78 (2007) 58–69 [14] Ahmad, S., Irons, B.M and Zienkiewicz, O.C (1970), “Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements”, Int J Num Meth Engrg, 2, pp 419– 451 [15] Zienkiewicz, O.C and Taylor, R.L (1989), “The Finite Element Method”, (Fourth Edition), McGraw Hill [16] Reissner, E (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J Appl Mech., 12, pp 69–76 [17] Mindlin, R.D (1951), “Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates”, J Appl Mech., 18, pp 31–38 [18] Eduardo N Dvorkin, “Nonlinear Analysis of Shells Using the MITC Formulation” Archives of Computational Methods in Engineering, Vol 2, 2, 1–50 (1995) [19] Dvorkin EN, Bathe KJ A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis Eng Comput 1984;1: 77–88 [20] Bathe KJ, Dvorkin EN A formulation of general shell elements – the use of mixed interpolation of tensorial components Int J Numer Meth Eng 1986; 22: 697– 722 [21] Bucalem ML, Bathe KJ Higher-order MITC general shell elements Int J Numer Meth Eng 1993;36:3729–54 [22] Kim J, Bathe KJ The finite element method enriched by interpolation covers Comput Struct 2013;116:35–49 [23] Y.X Zhang, K.S Kim A simple displacement-based 3-node triangular element for linear and geometrically nonlinear analysis of laminated composite plates Comput Methods Appl Mech Engrg 194 (2005) 4607–4632 [24] R.K Kapania, P Mohan, Static, free vibration and thermal analysis of composite plates and shells using a flat triangular shell element, Comput Mech 17 (1996) 343– 357 [25] E Madenci, A Barut, A free-formulation-based flat shell element for nonlinear analysis of thin composite structures, Int J.Numer Methods Engrg 37 (1994) 3825– 3842 [26] O Polit, M Touratier, New laminated triangular finite element assuring interface continuity for displacements and stresses, Compos Struct 38 (1997) 37–44 39 [27] O Polit, M Touratier, High-order triangular sandwich plate finite element for linear and non-linear analyses, Comput Methods Appl Mech Engrg 185 (2000) 305–324 [28] Trung-Kien Nguyen, Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich plates with improved transverse shear stiffness based on the first-order shear deformation theory Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 228 (12), 2110-2131, 2014 (SCI) [29] A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) based on the C0-type higher-order shear deformationfor geometrically nonlinear analysis of laminated composite plates [30] Computers and Structures 110–111 (2012) 93–106.Youngyu Lee, Kyungho Yoon, Phill-Seung Lee.Improving the MITC3 shell finite element by using the Hellinger–Reissner principle [31] Lee PS, Bathe KJ Insight into finite element shell discretizations by use of the ‘‘basic shell mathematical model’’ Comput Struct 2005;83:69–90 [32] Dvorkin EN, Bathe KJ A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis Eng Comput 1984;1:77–88 [33] Bathe KJ, Dvorkin EN A formulation of general shell elements – the use of mixed interpolation of tensorial components Int J Numer Meth Eng 1986;22:697– 722 [34] Bucalem ML, Bathe KJ Higher-order MITC general shell elements Int J Numer Meth Eng 1993;36:3729–54 [35] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, St´ephane Bordas J.F.Debongnie A smoothed finite element method for plate analysis [36] Liu, G.R., Dai, K.Y., Nguyen-Thoi T., A smoothed finite element method for mechanics problems, Computational Mechanics 39(6) (2007) 859–877 [37] Liu, G.R., Nguyen-Thoi T., K.Y., Lam An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for static and dynamic problems of solid mechanics, J Sound.Vib 320(2008) 1100–1130 [38] Nguyen Hoai Nam, Nguyen Van Hieu, Luong Van Hai, Chau Dinh Thanh, Nguyen Ngoc Duong (2013) "A smoothed strain based element for geometrically nonlinear analysis of plate/shell structures" The 4th International Conference of Euro Asia Civil Engineering Forum 2013 (EACEF): Innovations in Civil Engineering for Society and the Environment, National University of Singapore, SINGAPORE, June 26-28, 2013, pp S81-S86 40 [39] Nguyen-Van Hieu, Vo Anh Vu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen Ngoc Duong (2012) “Analysis of shell structures via a smoothed four-node flat element” Proceeding of the International Conference On Advances In Computational Mechanics (ACOME), August 14-16, 2012, Ho Chi Minh City, Viet Nam, pp.219233 [40] Nguyen-Xuan H, Liu GR, Nguyen-Thoi T, and Nguyen-Tran C 2009 An edgebased smoothed finite element method (ES-FEM) for analysis of two dimensional piezoelectric structures Smart Materials and Structures [41] Liu GR, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H, and Lam KY 2009 A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solution to solid mechanics problems Computers and Structures; 87: 14–26 [42] Cheng L and Liu GR 2008 Adaptive analysis using the edge-based smoothed finite element method; (submitted) [43] Liew, K M (1996) Solving the vibration of thick symmetric laminates by Reissner/Mindlin plate theory and the p-Ritz method Journal of Sound and Vibration, 198(3), 343-360 doi:DOI: 10.1006/jsvi.1996.0574 [44] Zhen, W., & Wanji, C (2006) Free vibration of laminated composite and sandwich plates using global–local higher-order theory Journal of Sound [45] Ferreira, A J M., & Fasshauer, G E (2007) Analysis of natural frequencies of composite plates by an RBF-pseudospectral method Composite Structures, 79(2),202-210 doi:DOI: 10.1016/j.compstruct.2005.12.004 [46] Liew, K M., Huang, Y Q., & Reddy, J N (2003) Vibration analysis of symmetrically laminated plates based on FSDT using the moving least squares differential quadrature method Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192(19), 2203-2222 doi:DOI: 10.1016/S0045-7825(03)00238-X 41 42 ... PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HỌC VIÊN: NGUYỄN HỊA PHÂN TÍCH TẤM COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAM GIÁC NÚT (MITC3), SỬ DỤNG THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO (HSDT) NGÀNH: KỸ THUẬT... MITC3 Trong phạm vi luận văn gọi tắt phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa cạnh ES-MITC3 Sau sử dụng phần tử phân tích ứng xử composite dự lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) 1.3 Tổng quan tình... xác phương pháp PTHH truyền thống sử dụng phần tử tứ giác nút với số nút Không xảy tượng dạng mode bị suy biến (spurious mode) phương pháp cho lời giải ổn định với tốn phân tích dao động tự Phương