(Luận văn thạc sĩ) phân tích ứng xử của tấm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HỨA THÀNH LUÂN PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP HÀM DẠNG HIERARCHICAL NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 1520414 S K C0 Tp Hồ Chí Minh, tháng 2/2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HỨA THÀNH LUÂN PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP HÀM DẠNG HIERARCHICAL NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 1520414 Hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS.NGUYỄN HỒI SƠN HVTH: Hứa thành luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn i LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC: Họ & tên: Hứa Thành Luân Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 14/04/1991 Nơi sinh: Biên Hịa Q qn: Sóc Trăng Dân tộc: Kinh Chỗ riêng địa liên lạc: Điện thoại cá nhân:0988201778 Điện thoại nhà riêng: 0613846035 Fax: E-mail: huathanhluan1404@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: Đại học: Đại Học Lạc Hồng Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo: 2009 -2013 Nơi học (trƣờng, thành phố): Đồng Nai Ngành học: Cơ Điện Tử III Q TRÌNH CƠNG TÁC CHUN MƠN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Thời gian 8/2013 - 4/2014 4/2014- đến Nơi công tác Công việc đảm nhiệm Trƣờng Cao Đẳng nghề Đồng An Nhân viên Cơ Sở Cơ khí Liên Thành Quản lý HVTH: Hứa thành luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hồi Sơn iii LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc công bố công trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 04 năm 2017 (Ký tên ghi rõ họ tên) HVTH: Hứa thành luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn iv LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật, em gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên đƣợc giúp đỡ nhiệt tình từ quý thầy cơ, gia đình bạn bè giúp em hoàn thành luận văn Đặc biệt Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ theo sát trình làm luận án Đây điều quan trọng giúp em hoàn thành luận án Em xin cảm ơn anh Nghiên cứu sinh Trƣờng nhiệt tình chia sẻ kiến thức giúp đỡ em trình học tập làm luận văn Quý thầy cô khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy tồn thể q thầy cô Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật giảng dạy tận tình để giúp em có đủ kiến thức hồn thành tốt luận văn.Vì em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô Rất cám ơn bạn bè chia sẻ kiến thức liên quan đến luận án Cảm ơn động viên nhiệt tình bạn, điều giúp tơi vƣợt qua đƣợc khó khăn q trình hồn thành luận án Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình ủng hộ, giúp đỡ em suốt thời gian họctập Em xin đƣợc gởi lời chúc sức khỏe chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn Hồi Sơn, q thầy cơ, bạn bè học tập công tác Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật Em xin chân thành cảm ơn ! HVTH: Hứa thành luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn v TÓM TẮT Phƣơng pháp phần tử hữu hạn phƣơng pháp số gần để giải tốn đƣợc mơ tả phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng miền phần tử xác định có hình dạng điều kiện biên bất kỳ, mà nghiệm xác khơng thể tính đƣợc phƣơng pháp giải tích Phƣơng pháp phần tử hữu hạn hierarchical trƣờng hợp đặc biệt phƣơng pháp Rayleigh-Ritz, khác biệt lớn FEM HFEM hàm nội suy Mặc dù HFEM có nhiều điểm chung với phƣơng pháp Rayleigh-Ritz cổ điển nhƣng việc sử dụng hàm chuyển vị HFEM tính linh hoạt cao cải thiện tỷ lệ hội tụ nhƣ tính xác cao Việc nghiên cứu lĩnh vực không để giải yêu cầu kỹ thuật đại mà chứng minh cho việc sử dụng lý thuyết nâng cao để khắc phục giới hạn lý thuyết học vật liệu ABSTRACT Finite element method (FEM) is an approximate numerical method for solving problems described by partial differential equations on the bounded domain of any shape and boundary condition that method formulation of the problem results in a system of algebraic equations Hierarchical Finite element method is a special case of the Rayleigh-Ritz method, the biggest difference between FEM and hybrid finite element (HFEM )is the interpolation function Although HFEM has much in common with the classical Rayleigh-Ritz methods, the results of approximation functions in HFEM method is greater flexibility and improved convergence rates as well as greater accuracy Research in these areas not only solves modern problems technical requirements, but also demonstrates the use of advanced theories to overcome the limitations of the fundamental mechanics of materials HVTH: Hứa thành luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn vi CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Vật liệu compsite với nhiều ƣu điểm trội nên chúng sử dụng rộng rãi đời sống hết chúng đƣợc sử dụng phổ biến nhiều lĩnh vực nhƣ hàng khơng, vũ trụ, đóng tàu, tơ, khí, xây dựng dân dụng Trong thực tế kết cấu composite mỏng làm ổn định đàn hồi, biến dạng, tính giảm Do vấn đề ổn định composite đƣợc nhiều nhà khoa học quan tâm giải đạt đƣợc số kết đáng kể Vấn đề ổn định composite đƣợc ý nhiều ngành chế tạo máy, kĩ thuật hàng khơng có ý nghĩa quan trọng tiền đề để khai thác sử dụng vật liệu composite Tuy nhiên nay, kết nghiên cứu xác, tốc độ hội tụ nhƣ sai số composite nhiều hạn chế Vì đề tài : “Phân tích ứng xử phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical.” vấn đề cấp thiết, có ý nghĩa khoa học thực tiễn 1.2 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN Vật liệu composite loại vật liệu đƣợc ngƣời sáng tạo sử dụng từ lâu Nhẹ - - bền - không gỉ - chịu đƣợc yếu tố tác động mơi trƣờng, ƣu điểm chủ yếu vật liệu composite Sự đời vật liệu composite cách mạng vật liệu nhằm thay cho vật liệu truyền thống ngày đƣợc ứng dụng rộng rãi ngành công nghiệp tiên tiến giới: hàng khơng, vũ trụ, đóng tàu, tơ, khí, xây dựng dân dụng đƣợc sử dụng rộng rãi đời sống hàng ngày Mặc dù composite loại vật liệu có từ lâu, nhƣng ngành khoa học vật liệu lại vô non trẻ Khoa học vật liệu composite đƣợc hình thành gắn với xuất cơng nghệ tên lửa Mỹ vào năm 1950 kỷ XX Cho đến nay, ngành khoa học phát triển vƣợt bậc không Mỹ, Nga mà cịn nƣớc cơng nghiệp nhƣ Anh, Pháp, Đức, Nhật Bản,… Nhƣng vấn đề cần đặt làm để giải toán phân tích tĩnh động có độ xác cao phƣơng pháp phân tích nay, điều vốn quan trọng việc chế tạo Vì sai số so với kết thực nghiệm tạo điều kiện thuận lợi cho việc chế tạo sau Trong luận văn, việc phân tĩnh rung động composite đƣợc tiến hànhđơn giản theo công thức phần tử hữu hạn theo quy ƣớc hàm dạng HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 13 hierarchical dựa thuyết biến dạng cắt (FSDT) dƣới dạng đơn giản Cơ sở phƣơng pháp phần tử hữu hạn làm rời rạc hóa miền xác định tốn, cách chia thành nhiều miền (phần tử) Các phần tử đƣợc liên kết với điểm nút chung Trong phạm vi phần tử nghiệm đƣợc chọn hàm số đƣợc xác định thơng qua giá trị chƣa biết điểm nút phần tử gọi hàm xấp xỉ thoả mãn điều kiện cân phần tử Tập tất phần tử phải ý đến điều kiện liên tục biến dạng chuyển vị điểm nút liên kết phần tử Kết dẫn đến hệ phƣơng trình đại số tuyến tính, mà ẩn số giá trị hàm xấp xỉ điểm nút Giải hệ phƣơng trình tìm đƣợc giá trị hàm xấp xỉ điểm nút phần tử, nhờ hàm xấp xỉ hoàn toàn đƣợc xác định phần tử Để khắc phục hạn chế này, việc xây dựng phƣơng pháp phần tử hữu hạn hierarchical (HFEM) đƣợc phát triển luận văn phân tích tĩnh dựa thứ tự lý thuyết biến dạng cắt Kết đƣợc so sánh tính hiệu nhƣ độ xác HFEM dựa phƣơng pháp FEM để giải thích Hiệu độ xác việc xây dựng phát triển đƣợc thiết lập so với giải pháp gần với phƣơng pháp Ritz mà đƣợc phát triển cho cáctrƣờng hợp nghiên cứu Các nghiên cứu ban đầu đƣợc thực dựa đặc tính động lực học tuyến tính hình chữ nhật đẳng hƣớng Leissa [1] cho kết xác tồn diện cho rung động tự hình chữ nhật Cải thiện tính xác giải pháp giảm phần tính tốn đƣợc thực cơng trình nghiên cứu Dickinson Di Blasio [2], Bhat [3] Liew et al [4] Tất nhà nghiên cứu sử dụng phƣơng pháp rời rạc Rayleigh-Ritz với giả thuyết lựa chọn hàm chuyển vị khác nhƣ chấp nhận tính Dựa đặc tính động lực học composite, hầu hết cơng trình đƣợc cơng bố dựa phân tích rung động tự Lin King [5] đƣợc sử dụng lý thuyết composite cổ điển để tính tốn tần số tự nhiên hình chữ nhật đối xứng Các lý thuyết cổ điển phần mở rộng lý thuyết cổ điển dành cho composite bỏ qua thành phần ứng suất ngang mơ hình nhƣ hệ thống lớp tƣơng đƣơng Biến dạng cắt ngang ứng suất ngang đƣợc bỏ qua lý thuyết cổ điển Reissner [6] Mindlin [7] cải thiện lý thuyết cổ điển cách bao gồm biến dạng trƣợt ngang momen quán tính Trong hệ thống tấm, thành phần ứng suất biến dạng trƣợt theo phƣơng ngang tác động mạnh đến động lực học Do đó, độ dày của vỏ, khơng tính đến hiệu thành phần ứng suất biến dạng Một số lý HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 14 thuyết biến dạng cắt đƣợc đề xuất ngày Đối với đẳng hƣớng composite lý thuyết đƣợc phát triển Stavsky [8] sau khái quát hóa cho đẳng hƣớng composite Yang, Norris Stavsky [9]The YangNorris-Stavsky (YNS) lý thuyết đủ để dự đoán ứng xử composite đẳng hƣớng Ambantsumyan [10] phát triển cách tiếp cận khó để xác định ứng suất cắt ngang đáp ứng điều kiện liên tục giao diện lớp Lý thuyết uốn đƣợc giới hạn để cán mỏng bao gồm lớp xếp chồng lên trực hƣớng đối xứng liên quan đến mặt phẳng có trục đối xứng phân tử trùng với phù hợp với trục Yang et al [9] mở rộng lý thuyết Mindlin [7] cho đẳng hƣớng đồng để cán mỏng dày bao gồm số tùy ý lớp đẳng hƣớng Cách tiếp cận Yang et al [9] đƣợc sử dụng Whitney Pagano [11] Whitney [12] sau kết luận đời biến dạng cắt xác định đƣợc phân bố ứng suất mặt phẳng từ lý thuyết cổ điển Trong tìm kiếm để có đƣợc tính tốn xác tác động composite, Lo [13] [14] Kant [15] đề xuất lý thuyết bậc cao Whitney Sun [16] Nelson Lorch [17] giới thiệu biến thể bậc hai Lo [18] giới thiệu biến thể khối dịch chuyển mặt phẳng thông qua độ dày Reddy [19] thu đƣợc cách áp đặt điều kiện biên ứng suất cắt ngang dƣới bề mặt Cao lý thuyết thứ bậc xuất phát Whitney Sun đƣợc áp dụng Pagano [20] trƣờng hợp cạnh tự vấn đề giá trị điều kiện biên với mặt phẳng đối xứng Các lớp khác lý thuyết laminate gần đƣợc đƣa Srinivas [21], số lƣợng phƣơng trình điều kiện biên không phụ thuộc vào số lƣợng lớp Giải pháp Thcoretical lý thuyết đàn hồi không gian đƣợc phát triển cho dự đoán áp lực thành lớp liên kết Pagano [22] Srinivas Rao [23] Những giải pháp đƣợc giới hạn trƣờng hợp đặc biệt cán mỏng cross-ply chịu tải phân bố đƣợc hỗ trợ điều kiện biên đơn giản Tƣơng tự hàm dạng hierarchical dạng đặc biệt phƣơng pháp Rayleigh-Ritz cổ điển Sự khác biệt việc lựa chọn phƣơng pháp nội suy Ở Việt Nam, nghiên cứu ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn vào việc giải vấn đề học vật liệu composite nhiều nhƣng cách tiếp cận cịn mẻ Nhƣ: PGS.TS Ngơ Nhƣ Khoa “Mơ hình hóa tính tốn vật liệu - kết cấu composite” [4] HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 15 PGS.TS Nhữ Phƣơng Mai “Nghiên cứu tính tốn ứng suất, biến dạng vật liệu composite cốt sợi nhiều lớp”.[5] GS.TS Trần Ích Thịnh “Nghiên cứu ứng xử học vật liệu composite cốt vải chịu tải trọng mơi trƣờng” GS.TS Trần Ích Thịnh “Mơ hình hóa tính tốn số kết cấu composite lớp theo lý thuyết chuyển vị bậc cao” PGS Trần Ích Thịnh, PGS Lê Ngọc Thạch “Ảnh hƣởng nhiệt độ độ ẩm đến độ bền ổn định kết cấu composite lớp” Các đề tài vật liệu composite đƣợc nghiên cứu rộng rãi nƣớc Tuy nhiên nay, kết nghiên cứu ổn định nhƣ sai số composite cịn ngƣời quan tâm Tóm lại: Phƣơng pháp phần tử hữu hạn phƣơng pháp số gần để giải tốn đƣợc mơ tả phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng miền xác định có hình dạng điều kiện biên mà nghiệm xác khơng thể tìm đƣợc phƣơng pháp giải tích.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn trƣờng hợp đặc biệt phƣơng pháp Rayleigh-Ritz, khác biệt lớn FEM HFEM hàm nội suy Có phƣơngthức khác việc phát triển phƣơng pháp phần tử hữu hạn Các phƣơng thức phổ biến liên quan đến việc tinh chỉnh lƣới giữ mức độ xấp xỉ đa thức cố định Điều đƣợc gọi phƣơng pháp hữu hạn ổn định phƣơng pháp phần tử hữu hạn đơn giản Phƣơng thức thứ hai liên quan đến việc giữ kích thƣớc mắt lƣới liên tục cho phép bậc đa thức xấp xỉ có xu hƣớng đến vô [24],[ 25] Cách tiếp cận đƣợc gọi phƣơng pháp phần tử hữu hạn phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical (HFEM) Mặc dù HFEM có nhiều điểm chung với phƣơng pháp Rayleigh-Ritz cổ điển nhƣng việc sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ kết HFEM tính linh hoạt cao cải thiện tỷ lệ hội tụ Việc nghiên cứu lĩnh vực cịn tiếp tục khơng để giải yêu cầu kỹ thuật đại mà chứng minh cho việc sử dụng lý thuyết nâng cao để khắc phục giới hạn lý thuyết học vật liệu.[5] HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 16 CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả tiến hành phân tích dƣới dạng 2D 3D Kết từ HFEM đƣợc so sánh với FEM để chứng minh hiệu độ xác HFEM Thƣờng phần tử phƣơng pháp phần hữu hạn đƣợc phát triển Mindlin bao gồm chín nút, nút có năm bậc tự Việc xây dựng hierarchical cải thiện khả phần tử cách làm cho mức độ xấp xỉ đa thức để có xu hƣớng đến vơ Các phƣơng trình liên quan đến tính cơng thức đa thức thực việc sử dụng phần mềm Matlab Các thuộc tính phần tử nhƣ ma trận độ cứng chuyển vị đƣợc tính tốn số sử dụng thơng số khảo sát từ thực tiễn nhƣ cơng trình nghiên cứu khác Những ảnh hƣởng đến tỉ lệ, mô đun đàn hồi, cấu hình điều kiện biên đƣợc xem xét nghiên cứu tham số đƣợc tham khảo cơng trình nghiên cứu Các cơng việc thực luận văn cung cấp số kết luận việc thực công thức HFEM dựa lý thuyết biến dạng để cắt Độ xác thu đƣợc cách tăng số lƣợng phần tử, hay tăng số bậc đa thức Một so sánh FEM HFEM chứng minh đƣợc nhƣ khác hội tụ HFEM vƣợt trội sô với FEM Một số kiến nghị: Tiếp tục chứng minh khả xác HFEM với vật liệu composite nhiều lớp Việc xây dựng HFEM đƣợc mở rộng để phân tích động composite Phát triển dạng lƣới khác để đạt đƣợc xác cao Mô thực tiễn so sánh kết đạt đƣợc Các HFEM đƣợc mở rộng cách sử dụng lý thuyết biến dạng để cắt thứ hai thứ ba HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hoài Sơn (chủ biên), “ Ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn tính tốn kết cấu”, Nhà Xuất Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 [2] Nguyễn Hoài Sơn (chủ biên), “ Ứng dụng Matlab tính tốn kỹ thuật”, Nhà Xuất Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2010 [3] Nguyễn Hồi Sơn (chủ biên), “Phƣơng pháp phần tử hữu hạn với Matlab”, Nhà Xuất Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2000 [4] Trần Ích Thịnh, Ngơ Nhƣ Khoa, “Phƣơng pháp phần tử hữu hạn” Hà Nội 2007 [5] Nhữ Phƣơng Mai, “ Lý thuyết đàn hồi” Nhà Xuất Bản Giáo Dục , 2009 [6] Chu Quốc Thắng, “Phƣơng pháp phần tử hữu hạn” Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật”, 1997 [7] Nguyễn Hoa Thịnh, Nguyễn Đình Đức, “Vật liệu composite công nghệ”, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, 2002 [8] TS Nguyễn Chiến Hạm, “Nghiên cứu ảnh hƣởng tải trọng xung, nhiệt độ đến độ bền ống phóng composite cốt sợi sử dụng tổ hợp phóng loạt”, Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2007 [9] Nguyễn Hải, “Phân tích ứng suất thực nghiệm”, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật 2005 [10] Ngơ Nhƣ Khoa, “Mơ hình hóa tính tốn vật liệu, kết cấu composite lớp”, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, 2005 [11] Trần Công Nghị, “Độ bền kết cấu vật liệu composite lớp”, Nhà Xuất Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2004 Tiếng Anh HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 76 [1] Leissa, A w., "The Free vibration of Rectangular Plates", Joumal of Sound and Vibration, Vol 31, 1973, pp.257-293 [2] Dickinson, s.M and Blasio, A.Di On the use of orthogonal polynomials in the Rayleigh-Ritz Method for the study of flexural vibration and buckling of isotropic and orthotropic rectangular plates' Joumal of sound and vibration, vol 108 1986, pp 5162 [3] Bhat, RB Natural Frequencies of rectangular plates using characteristic orthogonal polymomials in the Rayleigh Ritz Method", journal of sound and Vibration, Vol 102, 1985, pp.493-499 [4] Liew, K M Lam, KY, Chow, ST "Free vibration analysis of rectangular plates using orthogonal plate functions Computers and Structures, vol, 34, 1990 pp 79-85 [5] Lin, cc, King, w w Free transverse vibration of rectangular un- symmetrically laminated plates" Joumal of Sound and Vibration, Vol 36, 1974, pp 91-103 [6] Reissner, E., "On the bending of elastic plates' Quart Appl Math., vol 1947, pp 55-68 [7] Mindlin, RD, "Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates", Joumal of Applied Mecbanics vol 18, 1951 pp 31.38 [8] Stavsky, Y., "On the theory of symmetrically hetcrogencous plates having the same thickness variation of the elastic moduli", Topics in Applied Mechanics 1965, pp 105 [9] Yang, P.C., Norris, CH Stavsky, Y "Elastic wave propagation in heterogeneous plates", Intemational journal of solids and structures., Vol 2, 1966, pp 665-684 [10] Ambantsumyan, 1966,TTF- 118 S A "Theory of anisotropic shells", NASA Report, [11] Whitney, J.M., Pagano, NJ, "Shear deformation in hetrogenous anisotropic plates", Journal of Applied Mechanics, vol 37 1970, pp, 1031-1036 [12] Whitney, JM "Stress analysis of thick laminated composite and sandwich plates", Joumal of Composite materials, Vol 6, 1972, pp 426-440 HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 77 [13] Lo, KH ristensen, R M., Wu, E.M "A higher order theory of plates deformation Part I: Homogenous plates Joumal of Applied Mechanics, Vol 44, 1977, pp 663-668 [14] Lo, KH Christensen, R Ma, Wu, EM "A higher order theory of plates deformation Part 2: Laminated plates", Joumal of Applied Mochanics, vol, 44 1977, pp 669-676 [15] Kant T, owen, D R J., Zienkiewicz, OC"A refined higher order c plate bending element" Computers and structures, vol 15, 1982, pp 177-183 [16] Whitney, J.M Sun, CT, "A higher order theory for the tensional motion of laminated composites", Joumal of sound and vibrations, vol 30, 1973, pp 859T [17] Nelson, R.B., Lorch, D.R., "A refine theory of laminated orthotropic plates", Journal of Applied Mechanics, vol 41, 1975, pp 171-183 [18] Lo, K.He, Christensen, R.M., wu, EM "Stress solution determination for higher order plate theory", International journal of solids and structures vol 14, 1978 pp 655-662 [19] Reddy, J.N "A simple higher order theory for laminated composite plates" Joumal of Applied Mechanics., Vol 51, 1989, pp 745 [20] Pagano, NJ"On the calculation of inter-laminar normal stress in composite plates", Journal of Composite Materials, vol 1974, pp 65-82 [21] Srinivas, S., "A refined analysis of composite laminates", Joumal of Sound and Vibrations Vol 30, 1973, pp 495-507 [22] Pagano, NJ., "solution for composite laminate in cylindrical bending", Journal of composite materials., Vol 3, 1969, pp 398 [23] srinivas, S., Rao, A.K., "Bending vibration and buckling of simply supported thick orthotropic rectangular plates and laminates", International Joumal of solids and stLrtures, vol 1970, pp.1463-1481 [24] S.P Timoshenko, J.N Goodier, “Theory of Elasticity”, Mcgraw-Hill Book Company, Inc, 1970 HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 78 [25] ASCA, “Automated system for composite analysis, user manual”, Technomic, 1992 [26] B.D Agarwal, L.J Broutman “Analysis and Performance of Fiber Composites”, Wiley-Interscience Pub., 2004 [27] J.E Aston, J.M Whitney “Theory of Laminated Plates”, Technomic, 1970 [28] S.W Tsai, “Composite Design”, Technomic, 1986 [29] S.W Tsai, H.T Hahn “Introduction to Composite Materials”, Technomic, 1980 [30] R.M Jones, “Mechanics of Composite Materials”, McGraw Hill, N.Y, 1975 [31] Boca Raton, “Mechanics of laminated composite plates theory and analysis”, Technomic, 1992 [32] Pagano N.J and Hatfield S.J, “Elastic behavior of mutilayer by derectional composite”, AIAA Jounal, 1972 [33] SS Rao, “The Finite Element Method in Engineering”, Second Edition Pergamon Press, 1989 [34] Panda S.C and Natarajan, “Finite Element Analysis of composite plates”, Inr J Numer Meth Engineering, 1979 [35] Reddy J.N, “The Finite Element Analysis of composite laminates”, Texas A&M University, 1988 [36] SS Rao, “The Finite Element Method in Engineering”, Second Edition Pergamon Press, 1989 BÀI BÁO [1] G C Mekalke, M V Kavade, S S Deshpande “IOSR Journal of Mechanical and Civil Engineering (IOSR-JMCE)” HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hồi Sơn 79 PHỤ LỤC MATLAB CHƢƠNG TRÌNH CHÍNH TẤM 2D %======================================================================= % EXAMPLE - 2D %======================================================================= clear all; clc; close all % -tic format long n=2; order=2; % -quni=1; E=2e11; v=0.3; t=0.5; ptype=2; ep=[ptype t order]; D=hooke(ptype,E,v); Ndofs=2; % -[Coord]=Coord2Dh(n); [pdof,Edof,Dof,numdof]=connect2Dh(n,Ndofs,order); [Ex,Ey]=coordxtr(Edof,Coord,Dof,4); [elnumload,cloaduni,ampl]=elnumloadh(Ex,Ey,n,quni); % numel=size(pdof,1) numdof %break disp('processing !!!') K=zeros(numdof,numdof); f=zeros(numdof,1); % Computed global matrices dk=1; for i=1:numel [Ke,fe,dofel]=plani4edai(Ex(i,:),Ey(i,:),ep,D); [fe]=load2D(i,order,elnumload,dofel,dk); if sum(fe)~=0 dk=dk+1; end [K,f]=assem(pdof(i,:),K,Ke,f,fe); end; % Boundary conditions [bcdof,bcval]=bc2Dhollow(n,order,0); bc=[bcdof; bcval]'; % Solves global system of equations [a,Q]=solveq(K,f,bc); % Cumpute physicial displaments ed=extract(pdof,a); gp=[-1 -1;1 -1;1 1;-1 1]; HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 80 N=shapequadril(gp,order); % edphysics(:,1:2:size(gp,1)*2)=[N*ed(:,1:2:size(ed,2))']'; edphysics(:,2:2:size(gp,1)*2)=[N*ed(:,2:2:size(ed,2))']'; % Posprocessing [es,et,eci,Enorm]=plani4sdaiH(Ex,Ey,ep,D,ed); % Draw the undeformed and deformed 2D mesh plotpar=[1,2,0]; figure(1); zoom on; position=[1 0;5 0]; support1(10,0.06,position,1); hold on position=[0 1;0 5]; support1(10,0.06,position,3); hold on plot(cloaduni(:,1),cloaduni(:,2),'m'); hold on % eldraw2(Ex,Ey,plotpar,Edof(:,1)); hold on % %eldisp2(Ex,Ey,ed,[2 0],10e3); hold on arrowuniload([5 0],[5 5],10,ampl,0,-1,'r'); title('Deformed Model'); h=get(gca,'Title'); set(h,'FontSize',12,'FontName','VNI-Centur'); hold off; xlabel('x'); ylabel('y'); figure(2); zoom on; position=[1 0;5 0]; support1(10,0.06,position,1); hold on position=[0 1;0 5]; support1(10,0.06,position,3); hold on eldraw2(Ex,Ey,plotpar,Edof(:,1)); hold on eldisp2(Ex,Ey,ed,[2 0],10e3); hold on title('Deformed Model'); h=get(gca,'Title'); set(h,'FontSize',12,'FontName','VNI-Centur'); hold off; xlabel('x'); ylabel('y'); % Draw the displacement field figure(3); zoom on; position=[1 0;5 0]; support1(10,0.06,position,1); hold on position=[0 1;0 5]; support1(10,0.06,position,3); hold on for i=1:size(edphysics,1) % displacement in the x direction fill(Ex(i,:),Ey(i,:),edphysics(i,1:2:size(edphysics,2))); hold on % displacement in the y direction % fill(Ex(i,:),Ey(i,:),edphysics(i,2:2:size(edphysics,2))); hold on % total displacement % fill(Ex(i,:),Ey(i,:),sqrt(edphysics(i,1:2:size(edphysics,2)-1).^2+ % edphysics(i,2:2:size(edphysics,2)).^2)); end title('Displacement field in x direction'); %title('Displacement field in y direction'); %title('Total displacement field'); h=get(gca,'Title'); set(h,'FontSize',12,'FontName','VNI-Centur'); colorbar ; hold off; xlabel('x'); ylabel('y'); % Draw the stress field figure(4) zoom on; position=[1 0;5 0]; support1(10,0.06,position,1); hold on position=[0 1;0 5]; support1(10,0.06,position,3); hold on HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 81 gp=Gauss2d(1); fill4sdai(Ex,Ey,ep,D,ed,gp); title('Von Mises Stress field'); %title('Normal Stress field in the x direction'); %title('Normal Stress field in the y direction'); %title('Shear Stress field'); h=get(gca,'Title'); set(h,'FontSize',12,'FontName','VNI-Centur'); colorbar ; hold off; xlabel('x'); ylabel('y'); % -fidd = fopen('data2Dhollowp.m','a'); data=[numdof Enorm]; fprintf(fidd,' %10.15f %40.15f \n',data); fclose(fidd); Enormfem=Enorm Enormexact=7.693654002/E sqrt((Enormexact-Enormfem)/Enormexact) % [esexact,esmfem]=exacthollow(Ex,Ey,es); disp('cumputers has completed !!!') toc % end of file CHƢƠNG TRÌNH CHÍNH 3D %======================================================================== % EXAMPLE - 3D %======================================================================== clear all; clc; close all % -tic format long lenghtx=5; lenghty=5; lenghtz=1; % -udiv=4; vdiv=4; wdiv=1; order=2; % -Ndofs=3; q=-1; E=1; v=0.3; D=hooke(4,E,v); A=lenghty*lenghtz/(vdiv*wdiv); [Coord,numnodes]=Coord3DL(udiv,vdiv,wdiv,lenghtx,lenghty,lenghtz); [pdof,Edof,Dof,numdof]=connect3DL(udiv,vdiv,wdiv,Ndofs,order); [Ex,Ey,Ez]=coordxtr(Edof,Coord,Dof,8); numel=size(pdof,1); numdof ; %break K=zeros(numdof,numdof); f=zeros(numdof,1); % Computed global matrices for i=1:numel HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 82 [Ke]=soli8edai(Ex(i,:),Ey(i,:),Ez(i,:),D,order); [K]=assem(pdof(i,:),K,Ke);%,f,fe); end; % Boundary conditions [bcdofxz,bcvalxz]=bcyzp(udiv,vdiv,wdiv,order,0); [bcdofyz,bcvalyz]=bcxzp(udiv,vdiv,wdiv,order,0); bc=[bcdofxz bcdofyz; bcvalxz bcvalyz]'; % Faceload [bcfacedofx,bcvaload]=bcloadp(udiv,vdiv,wdiv,A,order,q); for i=1:size(bcfacedofx,2) f(bcfacedofx(i))=bcvaload(i); end % Solve global system of equations [a,Q]=solveq(K,f,bc); % Cumpute physicial displaments ed=extract(pdof,a); gp=[-1 -1 -1; -1 -1;1 -1; -1 -1; -1 -1 1; -1 1; 1 1;-1 1]; N=shapebrick(gp,order); edphysics(:,1:3:size(gp,1)*3)=[N*ed(:,1:3:size(ed,2))']'; edphysics(:,2:3:size(gp,1)*3)=[N*ed(:,2:3:size(ed,2))']'; edphysics(:,3:3:size(gp,1)*3)=[N*ed(:,3:3:size(ed,2))']'; % Posprocessing [es,et,eci,Enorm]=soli8sdai(Ex,Ey,Ez,D,ed,order); % Draw the undeformed and deformed 3D mesh % The global node index for each element Epoint=zeros(numel,8); for i=1:1:numel for j=1:1:8 Epoint(i,j)=Edof(i,1+3*j)/3; end end % draw the model model(Coord,Epoint); title('Finite Element Model'); h=get(gca,'Title'); set(h,'FontSize',12,'FontName','VNI-Centur'); % Draw the deformed 3D mesh figure(2) Epointel=[1 8 6]; scale=0.02; for j=1:numel Coordel=[Ex(j,:);Ey(j,:); Ez(j,:)]'; ad=edphysics(j,:)'; k=1; for i=1:3:size(ad,1) displace(k,:)=[ad(i,1) ad(i+1,1) ad(i+2,1)]; k=k+1; end dispmodelel(Coordel,displace,Epointel,scale); hold on; end HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 83 title('deformed 3D mesh'); h=get(gca,'Title'); set(h,'FontSize',12,'FontName','VNI-Centur'); % Draw the stress field figure(3); [gps]=Gauss3d(1); %compwuted at Gauss points stressfill(Ex,Ey,Ez,D,ed,order,gps); title('VonMisses Stress field'); %title('Normal Stress field in the x direction'); %title('Normal Stress field in the y direction'); % title('Shear Stress field'); h=get(gca,'Title'); set(h,'FontSize',12,'FontName','VNI-Centur'); % -fidd = fopen('dataL3D.m','a'); data=[numdof Enorm]; fprintf(fidd,' %10.15f %40.15f \n',data); fclose(fidd); Enorm disp('cumputers has completed !!! '); toc % -end of file CÁC CHƢƠNG TRÌNH CON function [Coord]=Coord2Dh(n) % - Geometry % n=3; %3 10 11 12 %%BEGIN GEOMETRY Geometry=gnewdai('geometry'); Geometry=gmpoint(Geometry,1,1,0); Geometry=gmpoint(Geometry,2,5,0); Geometry=gmpoint(Geometry,3,0.7071,0.7071); Geometry=gmpoint(Geometry,4,5,5); Geometry=gmpoint(Geometry,5,0,1); Geometry=gmpoint(Geometry,6,0,5); Geometry=gmpoint(Geometry,7,0.9239,0.3827); Geometry=gmpoint(Geometry,8,0.3827,0.9239); Geometry=gmcurve(Geometry,1,'line',[1 2],n+2); Geometry=gmcurve(Geometry,2,'pc',[1 3],n); Geometry=gmcurve(Geometry,3,'line',[2 4],n); Geometry=gmcurve(Geometry,4,'line',[3 4],n+2); Geometry=gmcurve(Geometry,5,'pc',[3 5],n); Geometry=gmcurve(Geometry,6,'line',[4 6],n); Geometry=gmcurve(Geometry,7,'line',[5 6],n+2); Geometry=gmsurf(Geometry,1,'coon',[1 2]); Geometry=gmsurf(Geometry,2,'coon',[4 5]); %%END GEOMETRY % - Meshing/creating domains ndomains=size(Geometry.surfaces,2); HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 84 casemesh=[0 0]; % graded mesh %casemesh=[0 0]; % uniform mesh Domains=gnewdai('domain'); for i=1:ndomains Domains(i).casemesh=casemesh(i); [Domains]=mesh2dai(Geometry,Domains,i,'plani4'); end; Coord=[]; Coord1=Domains(1).Coord; Coord2=Domains(2).Coord; Coord=[Coord1; Coord2(n+4:1:(n+3)*(n+1),:)]; % % size(Coord) % % (n+3)*(n+1)*2-3-n % -end of file -function [gp,wp]=Gauss2d(order) p=order; irx=p+1; iry=p+1; ngp=irx*iry; % Gauss points -num=ngp; gp=zeros(num,2); wp=zeros(num,2); d=1; % find corresponding integration points and weights [pointx,weightx]=feglqd1(irx); % quadrature rule for x-axis [pointy,weighty]=feglqd1(iry); % quadrature rule for y-axis for i=1:irx for j=1:iry gp(d,:)=[pointx(j) pointy(i)]; w(d,:)=[weightx(j) weighty(i)]; d=d+1; end end wp=w(:,1).*w(:,2); gp; % end -function [elnumload,cloaduni,ampl]=elnumloadh(ex,ey,n,quni) udiv=(n+2); vdiv=2*n; numnode=(udiv+1)*(vdiv+1); % 2-dimension numedge=vdiv*(udiv+1)+(vdiv+1)*udiv; % 2-dimension numface=udiv*vdiv; % 2-dimension elnumver=[udiv:udiv:numface/2]; t=size(elnumver,2); edgeverload=zeros(1,t); for i=1:t edgeverload(i)=2; end % tem=[elnumver; edgeverload]'; % HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 85 lengthel=zeros(size(tem,1),1); q=zeros(size(tem,1),2); for i=1:size(tem,1); j=tem(i,1); lengthel(i)=sqrt((abs(ex(j,3)-ex(j,2)))^2+(abs(ey(j,3)-ey(j,2)))^2); q(i,1)=quni; q(i,2)=quni; end elnumload=[tem lengthel q(:,1) q(:,2)]; % -end xuni=[4+quni/2]; yuni=[0]; tem=0; for i=1:vdiv/2 tem=tem+elnumload(i,3); xuni=[xuni 4+quni/2]; yuni=[yuni tem]; end cloaduni=[xuni; yuni]'; ampl=quni/2; % end -function [fe]=load2D(numel,p,elnumload,dofel,dk) if dk > size(elnumload,1); fe=zeros(dofel,1); elseif numel~=elnumload(dk,1); fe=zeros(dofel,1); else edge=elnumload(dk,2); L=elnumload(dk,3); q1=elnumload(dk,4); q2=elnumload(dk,5); if (p==1); fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(6)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); end elseif (p==2); fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(14)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(15)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(11)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 86 end elseif (p==3); fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(6)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(14)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(15)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); fe(23)=L/2*(1/30*10^(1/2)*q11/30*10^(1/2)*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(11)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); end elseif (p==4); fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(6)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(14)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(15)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); fe(23)=L/2*(1/30*10^(1/2)*q11/30*10^(1/2)*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(11)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); end elseif (p==5); fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(6)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(14)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(15)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); fe(23)=L/2*(1/30*10^(1/2)*q11/30*10^(1/2)*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(11)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); end elseif (p==6); fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(6)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(14)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(15)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); fe(23)=L/2*(1/30*10^(1/2)*q11/30*10^(1/2)*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(11)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); end elseif (p==7); HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 87 fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(6)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(14)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(15)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); fe(23)=L/2*(1/30*10^(1/2)*q11/30*10^(1/2)*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(11)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); end elseif (p==8); fe=zeros(dofel,1); if edge==3 fe(6)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(8)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(14)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); elseif edge==4 fe(7)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(1)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(15)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); fe(23)=L/2*(1/30*10^(1/2)*q11/30*10^(1/2)*q2); elseif edge==2 fe(3)=L/2*(2/3*q1+1/3*q2); fe(5)=L/2*(1/3*q1+2/3*q2); fe(11)=L/2*(-1/6*6^(1/2)*q1-1/6*6^(1/2)*q2); end end end % end -function [d,Q]=solveq(K,f,bc) if nargin==2 ; d=K\f ; elseif nargin==3; [nd,nd]=size(K); fdof=[1:nd]'; % d=zeros(size(fdof)); Q=zeros(size(fdof)); % pdof=bc(:,1); dp=bc(:,2); fdof(pdof)=[]; % s=K(fdof,fdof)\(f(fdof)-K(fdof,pdof)*dp); %A=K(fdof,fdof); %B=(f(fdof)-K(fdof,pdof)*dp); %s=pcg(A,B); % d(pdof)=dp; d(fdof)=s; end Q=K*d-f; % end HVTH: Hứa Thành Luân GVHD: PGS.TS.Nguyễn Hoài Sơn 88 ... gọi phƣơng pháp phần tử hữu hạn phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical (HFEM) Mặc dù HFEM có nhiều điểm chung với phƣơng pháp Rayleigh-Ritz cổ điển nhƣng việc sử dụng hàm chuyển... sử dụng vật liệu composite Tuy nhiên nay, kết nghiên cứu xác, tốc độ hội tụ nhƣ sai số composite cịn nhiều hạn chế Vì đề tài : ? ?Phân tích ứng xử phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm dạng hierarchical. ”... SƢ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HỨA THÀNH LUÂN PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP HÀM DẠNG HIERARCHICAL NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ - 1520414