Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh một số nội dung như sau: Tính toán để đường đi được ngắn nhất, tính toán để diện tích được lớn nhất, hay cũng có thể đơn giản là tính diện tích hoặc thể tích của một vật… Ta chú ý một số kiến thức sau:
ATRẮC NGHIỆM BÀI TỐN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính tốn để đường ngắn nhất, tính tốn để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình * Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH Chu vi tam giác : P = a + b + c Diện tích tam giác : S 1 ah ab.sin C 2 ( với p p( p a )( p b)( p c ) P ) * Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm (tính theo radian) Chu vi hình quạt : P 2 R � P R 2 Diện tích hình quạt : S 2 R � S R2 2 * Hình nón, khối nón: Trang Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường trịn đáy r có độ dài đường sinh l là: S xq rl Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp rl r V r h Thể tích khối nón trịn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: *Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq 2 rl Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp 2 rl 2 r Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h = l *Mặt cầu, khối cầu: Trang 2 Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S 4 R S R3 Khối cầu bán kính R tích là: Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: Cho hàm số y ax bx c, a > hàm số cho đạt giá trị nhỏ �khi x Cho hàm số y ax bx c, a < hàm số cho đạt giá trị lớn � x b 2a b 2a Với a , b số thực dương ta có: ab AM GM a b � ab (a b) Đẳng thức xảy a = b Vớia , b, c số thực dương ta có: abc AM GM abc � abc ( a b c) 27 Đẳng thức xảy a = b = c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối trịn xoay Trang Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a;b] diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y f ( x), y 0, x a, x b S� f ( x) dx a Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x ) g ( x) liên tục b đoạn [ a; b] hai đường thẳng x = a, x = b S� f ( x) g ( x) dx a Cho hàm số y = f(x) liên tục [a , b] Thể tích V khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y 0, x a, x b, : quay xung quanh trục b hồnh tính theo cơng thức : V � f ( x) dx a Thể tích V khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y g ( x ), (0 �f ( x) �g ( x); f ; g liên tục đoạn [a;b]), x = a, x = b , quay xung b quanh trục Ox tính theo cơng thức : V � g ( x) f ( x) dx a B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3,25 km B km C km D 1,5 km Trang Lời giải Giả sử AS x, x � BS x Tổng chi phí mắc đường dây điện : f ( x) 300 x 500 (4 x) Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn f ( x) (0;4) Cách 1: Ta có: � 13 x � (4 x) 2 F '( x) � 300 500 � (4 x) 5(4 x) � ( x 4) �� 19 16 (4 x) � x � So sánh với điều kiện ta có x 13 3, 25 Đáp án A Cách 2: Ta có: Ta có: f (3,25) =1600; f (1) =1881,13883; f (2) =1718,033989; f (1,5) =1796,291202 Như ta tìm A đáp án Bình luận: Khơng bạn đọc cho cách giải thứ hai không khoa học làm vẻ đẹp toán học Quan điểm tác giả Cách Cách sau: Cả hai cách phải tìm giá trị lớn f (x) (0;4) Cách 1: Chúng ta giải cách khảo sát hàm số f (x) khoảng (0;4) để tìm giá trị x mà f (x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết tìm với đáp án A, B, C, D để tìm câu trả lời cho câu hỏi Cách 2: Sau lập hàm số f (x) Cách 1, tính f (3,25), f (1), f (2), f (1,5); số lớn bốn số tính giá trị lớn f (x) Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng tìm câu trả lời cho câu hỏi Có thể thấy, rõ ràng Cách giúp ta tìm đáp án nhanh cách Sự khác biệt Cách Cách nêu nằm quan niệm tình đặt Với Cách 1, ta coi phương án A, B, C, D liệu đưa để đối chiếu; với Cách 2, ta coi phương án A, B, C, D giả thiết tình đặt Có lẽ tập trắc nghiệm làm theo Cách đơi phần hạn chế việc kiểm tra Trang theo hình thức trắc nghiệm, nhiên trình làm thi câu hỏi người đề ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, theo tác giả gặp câu hỏi phịng thi học sinh nên làm theo Cách Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình trịn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ m A m B C 2m m2 D Lời giải Gọi độ dài IA AB a b ( < a, b < 4) Vì chu vi cửa sổ 4m nên ta có: a (2a 2b) � b a 2a (1) Diện tích cửa sổ là: S (a ) a2 a 2a a2 � �2 a � S ( a ) 4a a � 2 � a 4a 2 � 2� Bài toán trở thành tìm giá trị lớn S(a) (0;4) Cách 1: Ta có: S '(a) � 4a a � a �4 max S (a) S � 0 x �4 Suy : � � � Đáp án B Cách 2: Do S(a) hàm số bậc hai có hệ số a2 âm nên đạt giá trị lớn khi: Trang a 4 �4 �a � max S (a ) S � 0 x 4 �� � � �4 � � 2 � � �� � � � � � Đáp án B Bình luận: Vì (1) không biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu có bạn đọc nghĩ việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a bước làm khơng ảnh hưởng đến q trình làm Liệu điều có đúng? Câu trả lời khơng? Chúng ta biết cửa gồm hai phận (bộ phận hình chữ nhật phận có dạng nửa đường trịn), hai phận tính diện tích phải tính theo a Như biểu diễn a theo b việc tính tốn phức tạp biểu diễn b theo a Công việc tưởng chừng đơn giản giúp ích nhiều cho bạn đọc tính tốn Ví dụ Có hai cột dựng mặt đất cao m m, đỉnh hai cột cách m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài dây ngắn A 41m B 37 m C 29m D 5m Lời giải Trang 2 Kẻ AF BE � DE AF= Đặt DC x, (0 x 4) � CE x Độ dài đoạn dây cần giăng : f ( x) x 16 (4 x) � f ( x ) x x x 32 Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) (0;4) f '( x) � Ta có: x x2 x4 x x 32 0 Dùng MTCT sử dụng tính nhẩm nghiệm ta tính được: f '( x ) � x 0,8 � f ( x) f (0,8) 41 Đáp án A Ví dụ Một hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn ( góc nhìn) Hãy xác định độ dài AO để nhìn rõ BOC Trang A AO = 2,4 m B AO = m C AO = 2,6 m D AO = m Lời giải 2 Đặt : AO x,( x 0) � OB x 3, 24, OC x 10, 24 Ta có: cosBOC OB OC BC x 3, 24 x 10, 24 1,96 2OB.OC x 3, 24 x 10, 24 x 5, 76 x 3, 24 x 10, 24 Góc nhìn BOC lớn bé cosBOC Cách 1: Đặt: t x , t Xét: f (t ) t 5, 76 t 5, 76 t 3, 24 t 10, 24 t 13, 48t 33,1776 t 13, 48t 33,1776 Ta có: t 13, 48t 33,1776 t 13, 48t 33,1776 f '(t ) f '(t ) 0,98t 5, 6448 t 6, 74 t 13, 48t 33,1776 (t 5, 76) � f '(t ) � t 5, 76 Suy cos BOC lớn x 5, 76 2, Đáp án A Cách 2: Ta thử xem đáp án cho đáp án làm nhỏ đáp án cần tìm cosBOC f ( x) Đặt: f (2, 4) x 5, 76 x 3, 24 x 10, 24 Ta có: 24 0,96; f (2) 0,9612260675; f (2, 6) 0,960240166; f (3) 0,960240166 25 Từ suy A đáp án Trang Ví dụ Mỗi trang giấy sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề lề 3cm, lề trái lề phải cm Hãy cho biết kích thước tối ưu trang giấy A Dài 24 cm; rộng 16 cm B Dài 23,5 cm; rộng 17 cm C Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D Dài 25,6 cm; rộng 15 cm Lời giải Trang giấy có kích thước tối ưu diện tích phần trình bày nội dung lớn 384 x , ( x 6), Gọi chiều dài trang giấy suy chiều rộng x 2304 �384 � f ( x) ( x 6) � � 4 x 408 x �x � Diện tích để trình bày nội dung là: Ta cần tìm giá trị lớn f ( x) với x Ta có : f '( x ) 4 2304 � f '( x ) � x 24 x2 Đáp án A Ví dụ (Đề minh hoạ lần kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho nhôm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn Trang 10 Bài 47 Gọi chiều cao mực nước dâng lên x (cm) Bán kính viên bi là: r x 4,56 x 4,56 ( ) x. 6,12 Vì phần nước dâng lên tích thể tích viên bi nên: Sử dụng tính nhẩm nghiệm MTCT ta tính được: x 0, 6176533847 r �0, 59 Bài 48 Gọi r bán kính miệng ly, h chiều cao (phần hình nón) ly V r h Thể tích ly là: �r � h Vn � � r h �3 � 81 Thể tích lượng nước đổ vào là: 26 r h Thể tích cịn lại cốc là: 81 (1) Gọi h - k chiều cao nước úp ngược lại �h � � r �.k Thể tích cịn lại cốc là: �k � (sử dụng tam giác đồng dạng) (2) h 26 k 26 h k 26 r r h k 81 n h Từ (1) (2) suy ra: Bài 49 Ta có: abc = 1,296 Diện tích phần kính dùng để làm bể cá là: S ab 2ac 3bc 36 � ab.2ac.3bc 6.a b c AM GM 3 2 � �a 1,8 b 2c � � S ab 2ac 3bc � �b 1, a 3c � � c 0, � � Đẳng thức xảy khi: Trang 66 Bài 50 Chiều cao gàu là: h 42 1,52 55 (dm) 55 V 1,52 8, 732573719(dm3 ) Thể tích gàu là: Suy cần múc 28 lần để đổ đầy thùng tích 240 lít l2 S Bài 51 Diện tích xung quanh hình nón là: S rl , mà ta lại có: l2 rl �r 3 Suy ra: Do đó: Sin r 1 2 arcsin l 3 Bài 52 Thể tích khối lăng trụ lớn diện tích đáy lớn Diện tích đáy lăng trụ là: S ( x) (60 x) x (30 x) (30 x) 60 x 900 Sử dụng MTCT ta tính được: S '( x ) � x 20 Nếu để ý chút bạn đọc thấy có đáp án A thoả mãn đáp án B, C, D x �60 Bài 53 Gọi r bán kính khối nón, h chiều cao khối nón Khơng tính tổng qt ta có 2 thể xem R = Ta có: h R r r Do diện tích xuang quanh hình nón ằng diện tích phần hình quạt đem quấn nên: R2 x x x rR � r � r 2 2 1 x �x � V r h ( )2 � � 3 2 �2 � Thể tích khối nón là: �x � g '( y ) y y � � y ( y 0) g ( y) y y y � � Đặt Xét hàm số: , ta có: Trang 67 g '( y ) � 2(1 y ) y � y Suy ra: x 2 6 �x � � x � � 3 � � Do đó: Bình luận: Nếu bạn đọc tính theo R tốn khó khăn phức tạp nhiều Bài 54 Gọi độ dài hàng rào xây xi măng x (x > 5) độ dài hai hàng rào vng góc với y Vì diện tích khu đất rào 600m2 nên: Độ dài dây thép để làm hàng rào là: xy 600 y ( x 5) y x 600 x 600 1200 x 5 x x 16800000 � 1200 � f ( x) �x 5� 14000 x.28000 42000 x 70000 x x � � Suy tổng chi phí là: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Đẳng thức xảy khi: 42000 x f ( x) �2 42000 x 16800000 1610000 x 16800000 � x 20 x � 600 � 2( x y) � 20 � 100( m) 20 � � Suy chu vi khu đất là: Bài 55 Gọi x y bán kính đáy chiều cao hình trụ Dải dây ruy băng thắt nơ là: 160 – 40 = 120 (cm) Ta có: (2 x y ).4 120 � y 30 x Thể tích hộp quà là: V ( x) x (30 x) x.x(30 x) x x (30 x) � 27 ۣ V ( x) 1000 Trang 68 Đẳng thức xảy khi: x 30 x � x 10(cm) Bài 56 Gọi chiều dài chiều rộng đáy khối gỗ lần luột x y 2 2 Ta có: x y 2r x y Thể tích khối gỗ lớn diện tích đáy lớn nhất, tức là: xy lớn x2 y xy � 2 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Đẳng thức xảy khi: x y V 4(m3 ) Suy thể tích lớn khối gỗ sau cưa xong là: Bài 57 Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi parabol qua điểm I (P1) có phương trình: y ax bx x Do ( P )đi qua gốc toạ độ nên ( P1 ) : y ax bx Sử dụng tiếp kiện (P1 ) qua I A ta suy Do parabol phía có phương trình ( P1 ) : y ( P2 ) : y 2 x x 625 25 2 x x 625 25 Trang 69 Khi diện tích nhịp cầu là S S1 với S1 phần diện tích giới hạn parabol ( P1 ) ( P2 ) khoảng (0;25) 0,2 25 � � � 2 � S �� x x dx dx � 9,9(m ) � � � 25 � 0,2 � �0 � 625 Suy ra: Thể tích nhịp cầu là: V1 S 0, 9,9.0, 1,98( m ) Suy lượng bê tông để xây dựng nhịp cầu là: 2.(1,98.10) 39, 6(m ) (*) Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 40m Chú ý: Tại (*) nhân phải xây dựng hai bên cầu Bài 58 Gọi bán kính đáy hình nón R, (R > 0) Suy chiều cao hình nón 3R chiều cao hình trụ 2R r HB Gọi bán kính hình trụ r DC SD R r Ta có: AH SH Trang 70 16 �R � 16 � �.2 R � R Do thể tích khối trụ nên ta có: �3 � 2 2 Suy đường sinh hình nón là: l SH AH 10 Diện tích xuang quanh hình nón là: Rl 2.2 10 10 ( dm ) Bài 59 Gọi m số mảnh da ngũ giác, n số mảnh da lục giác (để cho thuận tiện tác giả gọi mảnh da ngũ giác mảnh da đen, mảnh da lục giác mảnh da trắng) Số mảnh da bóng là: M = m + n Mỗi mảnh da đen tiếp xúc với mảnh da trắng nên số đường khâu ghép mảnh da đen mảnh da trắng 5m (1) Mỗi mảnh da trắng tiếp xúc với mảnh da đen nên số đường khâu ghép mảnh da trắng mảnh da đen 3n (2) Từ (1) (2) ta có: 5m 3n � m 3n Suy số mảnh da bóng là: mn 3n 8n n 5 3n Số đường khâu ghép mảnh da trắng với Vì mảnh da trắng lại tiếp xúc với mảnh da trắng khác đường khâu ghép ta đếm lần Tổng số đường khâu ghép bóng là: Số đường khâu mảnh da màu + Số đường khâu mảnh da khác màu 3n 3n 9n 2 Số đỉnh tất mảnh da 5m hay 3n (bằng tổng tất đỉnh mảnh da đen) Theo công thức Euler ta có: Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh + nên ta có: 3n 8n 9n 3.20 2� n2�m 12 10 Bài 60 Gọi R h theo thứ tự bán kính chiều cao phễu Trang 71 Thiết diện song song với đáy phễu, qua tâm viên gạch hình trịn bán kính R1 R1 h h R h h Ta có: R (1) Thiết diện song song với đáy phễu, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy phễu hình trịn có bán kính R2 R2 h h2 R h h Ta có: R (2) h 2 h Từ (1) (2) suy ra: h 2 R 1 V R h 23 22, 27 Thể tích cịn lại phễu là: Bài 61 V 50.20.10 10.20.1 49.20.1 8820 (lít) Bài 62 Gọi I tâm hình vng ABCD, H tâm hình vng A’B’C’D’, EF đường sinh qua hình vẽ bên Do hình lập phương tích nên ta có: AA ' HI 1, A ' H AI Trang 72 x A'H x 2 �x � � � FI ( r ) � � FI x FI �x � Đặt EH = x ta có: EI 2 �x � ( x 1)3 r EI � �( x 1) �x � x2 Thể tích khối nón là: Xét hàm số f ( x) ( x 1)3 ( x 2)( x 1) f '( x ) x2 x3 x > ta có Do thể tích khối nón 9 đạt giá trị nhỏ x = Thể tích khối nón là: Bài 63 Diện tích hình thang nhỏ S S AEH SCGF S DGH lớn Ta có: S x y (6 x)(6 y ) xy x y 36 (1) AE AH xy Mà hai tam giác AEH CGF đồng dạng nên CG CF (2) � 18 � 18 S 42 � 4x � 4x x � � 2S lớn x nhỏ Thay (2) vào (1) ta có: Suy ra: 4x 18 x y 2 x y x 2 Bài 64 Gọi điểm hình vẽ, kẻ PQ vng góc với CD Để N chạm đáy CQ MB > MC nên x > Trang 73 Hai tam giác MNC NPQ đồng dạng nên ta có: MN NC x NC NP PQ PB y x y x2 x (8 x)2 x3 x4 2 Ta ý thêm điều kiện PB �AB 12 y x �12 18 �x �18 Suy ra: 18 �x �8 x0 � x ( x 6) x3 f '( x ) , f '( x ) � � f ( x) x6 ( x 4) � x ta có: Xét hàm số Ta suy ra: y f (6) Bài 65 Gọi O tâm miếng bìa.Ta có: AOB 45 AB A0.sin 22,50 40 cos450 20 2 2 2 Suy ra: BE AE AB 40 (20 ) 20 Chiều cao hộp gấp là: Trang 74 h ( BE AB ) 10( ) h 10 2 2 10 2 Thể tích hộp gấp là: V AB h 4000(2 2) 2 Bình luận: Nếu bạn đọc sử dụng định lý hàm số cos để tính AB đơn giản chút Bài 66 Gọi x bán kính viên bi Điều kiện: x 10 � x Vbi x3 Thể tích viên bi là: Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào là: � h� � � 416 V1 h �R � 16 � 10 � � 3� � 3� Thể tích khối nước hình chỏm cầu thả viên bi vào là: � x � 4 x (30 x ) V2 (2 x) �R � � � Ta có phương trình: 4 x (30 x) 416 x � 4 x (30 x) 416 4 x3 3 3 � x 30 x 104 0(1) V2 V1 Vbi � Giải phương trình (1) ba nghiệm sau so sánh với điều kiện làm tròn đến hàng đơn vị ta x = Bài 67 Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Trang 75 Thể tích chum thể tích hình giới hạn đường trịn có phương trình y 25 x đường thẳng x �3 quay xung quanh trục Ox Suy ra: V � (25 x )dx 132 3 Bài 68 Gọi h khoảng cách từ bóng đèn đến mặt bàn Ta có : sin h l h l C C ( h) c Suy cường độ sáng mép bàn là: C (1) Ta có: h l3 ch h2 c 1, 2c 1,5c 2c ; C (1, 2) ; C (1, 5) ; C (2) ( 3)3 ( 3, 44)3 ( 4, 25)3 ( 6) Suy h = m cường độ sáng mép bàn lớn Bài 69 HD: Diện tích xung quanh hộp diện tích miếng bìa Bài 70 Bán kính đáy lọ là: R r 2r 3r 2 Diện tích đáy lọ là: s R (3r ) 9 r h h y y Bài 71 Ta có: Trang 76 Do thể tích hố ga nên ta có: xyh xy y � x y2 Tổng diện tích mặt cần xây là: xy xh yh y2 Ta có: 3 27 y 2 y y.4 y y2 y2 4y 4y 4y y 4y 27 27 27 AM GM 27 27 y2 � 33 y2 4y 8y 8y 8y 8y Đẳng thức xảy khi: y2 27 � y x 8y a (0 x ) Bài 72 Gọi x độ dài cạnh bốn hình vng cắt bỏ Thể tích hộp là: 3 AM GM a a a x x � � 2a V (a x)(a x) x (a x)(a x).4 x � � � 4� � 27 a a 2x 4x � x Đẳng thức xảy khi: Bài 73 Gọi x độ dài cạnh góc vng ( x > ),thì độ dài cạnh huyền 120 - x độ dài cạnh góc vng cịn lại 14400 240 x Diện tích miếng nhơm cắt là: Ta có: f ( x) f ( x) x 14400 240 x 2 x (14400 240 x) 120 x.120 x.(14400 240 x) 2.120 Suy f(x) lớn 120 x 14400 240 x � x 40 cạnh huyền 80 cm diện tích miếng nhôm lớn Bài 74 Trang 77 Gọi H giao điểm AB với tim cột cờ Ta cần tính chiều cao cột cờ tức tính HC ' '' Xét tam giác ABC ta có: C A B 1012 AB AC 10.sin 45039' AC ' '' sin 601012 Theo định lý hàm sin tam giác ABC ta có: sin C sin B ' '' Ta có: HC AC.sin CAH AC.sin 51 4912 � HC ' '' 10sin 45039' sin 510 4912 �52,30(m) ' '' sin 601012 2 Bài 75 Đặt HM x, (0 �x �4,1) Suy : AM x 1, 44, BN (4,1 x) 2, 25 Gọi a số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Khơng tính tổng quát giả sử a = 2 số tiền để làm đường là: f ( x) x 1, 44 1,3 (4,1 x) 2, 25 f '( x) Ta có: x x 1, 44 1,3 4,1 x (4,1 x ) 2, 25 Sử dụng MTCT ta tính f '( x ) x �2, 630356850 x0 Suy ra: HM = 2,630 (km) 2 Bài 76 Diện tích mặt cắt ống là: S R r với r = 0,0075 (m) R = 0,0095 (m) Trang 78 Thể tích phần thép tạo nên ống là: V 6S (m ) Khối lượng ống thép là: m = 7800.V(kg) 10000 �2000 Suy số ống thép tạo từ 10 thép nguyên liệu là: 7800V (ống) Bài 77 Ta có: Stp 2 R 2 R.h � Stp 2 R 2 R Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Đẳng thức xảy khi: 2 R Stp 2 R V 2V � Stp 2 R R R V V V V �3 2 R Stp 3 2 V R R R R V V R R 2 Bài 78 Thể tích lon sữa là: V 10. 90 (cm ) Bán kính đáy lon sữa là: 8. R 90 R 45 (cm) Bài 79 Thể tích lượng vữa cần trát thêm vào cột là: � � �1 � V 400 � 21 � 20.20.sin 600 � 138203,8062( cm3 ) � �2 � � � Thể tích xi măng tương ứng là: V ' (10V ).80% 1105630, 449(cm ) V' 17, 27547577 Số lượng bao xi măng cần dùng là: 64000 suy cần dùng 18 bao xi măng 4800 400(cm ) 12 Bài 80 Diện tích đáy hộp là: Suy cạnh đáy hộp là: 20 (cm) Cạnh bìa hình vng là: 20 + 2.12 =44 (cm) Bài 81 Số khối lập phương nhỏ sơn đỏ số mặt là: 8, 12 = 96 (khối) Bài 82 Trang 79 VS DEF V Gọi (DEF) thiết diện cắt viên đá Ta có: S ABC SD SE SF SD �SD � � � � 3 SA �SA � Suy ra: SA SB SC DE a DE 2 Do đó: AB Dễ thấy DEF tam giác nên: Bài 83 Ta có: 2 R a � R S DEF a a a2 sin 60 2 4 a 2 Trang 80 ... là: *Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq 2 rl Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình. .. ( x ) x Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ S ( x) x 100 100 AM GM 100 100 S ( x) � x x x x x x Ta có Đẳng thức xảy khi: x2 500 x2 200 x 200 x (0; �) S ( x ) 300 100 � x 10(cm)... nhịp cầu mơ hình vẽ) Hỏi lượng bê tơng để xây nhịp cầu (làm tròn đến hàng đơn vị) A 20m 3 B 50m C 40m D 100m Bài 58 Một hình nón có chiều cao gấp lần bán kính đáy Một hình trụ nội tiếp hình nón