Trên đây là một số phương pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài[r]
Trang 1Đặc trưng của bài tập bộ môn toán nói chung và thể loại toán về "căn bậc hai
nói riêng" nó có một vị trí quan trọng trong chương trình dạy và học toán lớp 9.
Các bài toán này rất phong phú về thể loại, về cánh giải Nó đòi hỏi học sinh phảibiết vận dụng một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo Nó luôn là cơ sở, là nền tảngvững chắc cho bộ môn toán học và các bộ môn khoa học tự nhiên khác Loại bàitập này vận dụng cho nhiều đối tượng học sinh trong một lớp, là loại bài tập đượcđóng vai trò quan trọng trong các đề kiểm tra, đề thi học kì và các đề thi học sinhgiỏi lớp 9, đề thi vào 10
Toán học là môn học luôn mang tính kế thừa, có nắm chắc kiến thức cơ bản về
"căn bậc hai", biết vận dụng thành thạo kiến thức này trong việc giải bài tập thì đómới là cơ sở ban đầu để các em tiếp tục mở rộng và nâng cao kiến thức sau này Đó
là cơ hội để bước vào trường THPT, tương lai vào các trường đại học theo mongước
Từ thực tế giảng dạy liên tục nhiều năm ở bộ môn Toán 9 đặc biệt là môn Đại
số, qua nhiều kì kiểm tra, thi học kì, thi vào 10 và những lần được phân công đichấm thậm định bài thi ở các trường trong Huyện Hữu Lũng, bản thân tôi nhận thấykhả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh về mảng kiến thức "căn bậchai" của một số không ít học sinh vẫn còn nhiều lúng túng và hay mắc sai lầm Nếumỗi giáo viên chúng ta đều nhìn thấy được tầm quan trọng của loại toán này, biếtkhai thác sự phong phú và tính đa dạng của loại toán này thì chắc chắn khi đứng
Trang 2lớp chúng ta có thể tự tin, chủ động được kiến thức Khôn khéo lựa chọn đượcphương pháp giải phù hợp đối với từng loại bài tập cụ thể Hơn thế, mỗi giáo viênchúng ta có thể linh hoạt hơn trong việc giúp học sinh khắc phục sai lầm khi giảibài tập Tự cải biên đề bài, ra đề phù hợp với khả năng của học sinh Có thể mởrộng, nâng cao kiến thức ngay trong một tiết học Việc làm này không những phùhợp với nhiều đối tượng học sinh, tạo cho không khí lớp học thêm phần sinh động
mà còn phát huy được tố chất toán học đang tiềm ẩn trong mỗi học sinh Đáp ứngđược nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay Thuận lợi cho giáo viêntrong việc phụ đạo học sinh yếu kém, đồng thời bồi dưỡng học sinh khá giỏi
Do đó để mỗi giáo viên chúng ta tự tin hơn, làm chủ được mảng kiến thức về
“căn bậc hai” khi truyền tải đến với học sinh, hướng dẫn và giúp học sinh biết tránhnhững sai lầm thường mắc khi giải bài toán về căn bậc hai Từ đó biết cải biên đềbài, tạo ra được một hệ thống bài tập mới, để học sinh lắm vững kiến thức và vậndụng thành thạo khi giải bài toán về căn bậc hai nhằm dễ dàng đạt được điểm tối đatrong các bài kiểm tra, bài thi, đặc biệt là kỳ thi vào 10 Đó chính là lí do mà tôi
chọn sáng kiến cải tiến kỹ thuật " Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về căn bậc hai theo hướng phát hiện những sai lầm thường gặp và hướng khắc phục sai lầm đó”
2 Mục đích nghiên cứu.
Tôi viết SKCTKT này với mục đích như sau
+ Tổng hợp lại một số lỗi mà học sinh thường hay mắc phải trong quá trìnhlĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phụccác lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểmtra Mà tôi đã nhận thấy trong nhiều năm trực tiếp giảng dạy bộ môn toán 9 vàtrong quá trình chấm bài kiểm tra, bài thi của học sinh, qua chao đổi cùng đồngnghiệp Từ đó tôi đưa ra hướng khắc phục những sai lầm cho học sinh
Trang 3+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 nói riêng nắm đượcmột số lỗi học sinh thường mắc phải khi giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra ởdạng bài toán về căn bậc hai và có được hướng khắc phục kịp thời trong quá trìnhgiảng dạy để học sinh không bị mắc những lỗi đó nữa.
+ Giúp giáo viên đang giảng dạy toán 9 tại Trường THCS xã Yên Bình cóthêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giảitoán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tưduy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm ẩn trong con ngườimỗi học sinh thông qua hệ thống các bài tập
+ Từ SKCTKT này tôi cũng tự đúc rút ra cho bản thân mình những kinhnghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi trong những năm họctiếp theo
3 Đối tượng nghiên cứu.
Trong sáng kiến cải tiến kĩ thuật này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đốitượng cụ thể sau:
1 Giáo viên dạy toán 9 ở Trường THCS xã Yên Bình
2 Học sinh lớp 9 Trường THCS xã Yên Bình: bao gồm 3 lớp 9 với tổng số 65học sinh, trong đó chủ yếu là lớp 9A lớp tôi trực tiếp giảng dạy
4 Phạm vi nghiên cứu.
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số“nhóm sai lầm” mà học sinh thường
mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I - Đại số 9
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được nhữnglập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai đểhọc sinh tránh được những lỗi đã nêu
Trang 45 Phương pháp nghiên cứu :
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinhnghiệm lâu năm ở trường THCS xã Yên Bình, đặc biệt là những GV có kinhnghiệm nâu năm giảng dạy ở bộ môn Toán 9 và vốn kinh nghiệm của bản thân đãđúc rút.Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng nhữngphương pháp sau :
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm
- Thông qua học tập bồi dưỡng thường xuyên các chu kỳ
- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh
- Từ thực tế qua các bài kiểm tra, bài thi của học sinh
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong 3 lớp 9 của khối 9 trườngTHCS Yên Bình với tổng số 65 học sinh để thống kê học lực của học sinh Tìmhiểu tâm lý của các em khi học môn toán, những khó khăn của các em khi giải bàitoán về căn bậc hai
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và thực hành, nghiên cứu sản phẩm hoạtđộng của giáo viên và học sinh để phát hiện trình độ nhận thức, phương pháp vàchất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đangnghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm màhọc sinh thường mắc phải khi giải toán, tạo lập hệ thống bài tập mới cho học sinhkhá, giỏi Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo
Trang 5- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, trongcác buổi ôn thi học sinh giỏi, tiết trả bài kiểm tra tôi đã đưa vấn đề này rahướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau nhưhoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, đưa rahướng tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập và làm phong phú thêm đượccác dạng bài tập Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sáchgiáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xétmức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
Trang 6II PHẦN NỘI DUNG
1 Cơ sở lý thuyết
1.1 Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huytính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng chongười học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươnlên"
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạođức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân,tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủnghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tụchọc lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc";Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu : "Phảiphát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặctrưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng đối tượng họcsinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khảnăng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đếntình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS"
- Quan điểm dạy học : là những định hướng tổng thể cho các hành độngphương pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng,những cơ sở lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chứccũng như những định hướng về vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học.Quan điểm dạy học là những định hướng mang tính chiến lược, cương lĩnh, là môhình lý thuyết của PPDH Những quan điểm dạy học cơ bản : DH giải thích minh
Trang 7hoạ, DH gắn với kinh nghiệm, DH kế thừa, DH định hướng HS, DH định hướnghành động, giao tiếp; DH nghiên cứu, DH khám phá, DH mở.
1.2 Phương pháp dạy học tích cực :
Việc thực hiện đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mớiđồng bộ từ mục tiêu (theo chuẩn kiến thức kĩ năng), nội dung, phương pháp, PTDHđến cách thức đánh giá kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới PPDH
Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy họctruyền thụ một chiều sang dạy học theo phương pháp dạy học tích cực(PPDHTC)nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyệnthói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vàonhững tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềmvui, hứng thú trong học tập Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; HS tìm tòi, khámphá, phát hiện luện tập khai thác và sử lý thông tin… HS tự hình thành hiểu biết,năng lực và phẩm chất Tổ chức hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm rachân lý Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạyphương pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng nhữngyêu cầu của cuộc sống hiện tại và tương lai Những điều đã học cần thiết, bổ íchcho bản thân HS và cho sự phát triển xã hội
PPDH tích cực được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với khônghoạt động, thụ động PPDHTC hướng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thứccủa HS, nghĩa là hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động của người học chứkhông chỉ hướng vào phát huy tính tích cực của người dạy
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy quyết định cáchhọc, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hưởng đến cách dạycủa thầy Mặt khác, cũng có trường hợp HS mong muốn được học theo PPDHTC
Trang 8nhưng GV chưa đáp ứng được Do vậy, GV cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trìcách dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp,
từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS Trong đổi mới phương pháp phải có
sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới cókết quả PPDHTC hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học
* Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực :
a) dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạothông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học củaHS
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá
e) Tăng cường khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiệnthực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV
2 Cơ sở thực tiễn
2.1 Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 9 ở trường THCS xã Yên Bình vàtham khảo ý kiến của các đồng nghiệp có nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy :Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán về căn bậc hai thì học sinh rất lúngtúng khi vận dụng các hằng đẳng thức, các phép khai phương, quy tắc, các phépbiến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, các công thức toán học
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linhhoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy, tìm tòi thì họcsinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặckhông làm được bài
Trang 9Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một sốhọc sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương
I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắcphải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán vềcăn bậc hai”
2 Chương “Căn bậc hai, căn bậc ba” có hai nội dung chủ yếu là phép khaiphương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổibiểu thức chứa căn bậc hai Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba
3 Qua đợt khảo sát chất lượng học sinh lớp 9 của sở giáo dục và đào tạo lạng sơn năm học 2011 – 2012 tôi nhận thấy số học sinh đạt điểm từ 0,25 đến 0,75 ở cáctrường trong huyện hữu lũng nói chung và trường THCS Yên Bình nói riêng chiếm
tỉ lệ khá cao, mà theo cấu chúc đề thi thì câu 1 là bài toán về căn bậc hai (chiếm 2 điểm) trong đó có 1 điểm là dành cho học sinh yếu mà tỉ lệ học sinh điểm dưới 1 chiếm tỉ lệ cao, tức là các em đã mắc sai lầm khi làm phần này, qua theo dõi tôi nhận thấy đa số học sinh nếu không làm được 1 điểm ở phần này thì sẽ khó lấy được điểm ở phần kiến thức khác
3 Nội dung đề tài
3.1 Kiến thức
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậchai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậchai số học của số không âm)
Trang 10- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a ≥ 0, có(√a)2=a ; với a bất kỳ có √a2
= ¿a∨¿ )
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý về
so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔√a<√b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý
“ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : √ab=√a√b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có :
√B ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)
√A2B=¿ A∨√B ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
Trang 11* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau vàchủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ Một số phép gắn với trìnhbày tính chất phép tính khai phương).
3.2 Kü n¨ng :
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán như :
- Tìm khai phương của một số (số đó có thể là số chính phương trong khoảng
từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số
đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tínhtheo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khaiphương)
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phầntrên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biếnđổi B thành A) Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn (thức) bậc hai có thể coi là vậndụng công thức √AB=√A√B theo chiều từ phải qua trái
- Phối hợp các kỹ năng đó(và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để
có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai Chẳng hạn kỹ năngtrục căn thức ở mẫu
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mụcđích của các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khihình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằmphong phú thêm cách thức rèn kỹ năng(để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điềukiện nào đó.)
Trang 12Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành
và củng cố trong phần này như :
- Giải toán so sánh số
- Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thứcnêu ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phương trình tích)
- Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu củaphần kiến thức này ( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năngtương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hìnhthành kỹ năng)
4 Các giải pháp thực hiện
4.1 Các bước tiến hành :
1 Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm
2 Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp
3 Đăng ký sáng kiến, làm đề cương
4 Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến Quakhảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập
5 Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc haithành từng nhóm
Trang 136 Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó Vận dụng vàocác ví dụ cụ thể.
7 Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm
2.5 Giải pháp mới của sáng kiến
Sáng kiến đưa ra một số giải pháp mới như sau:
- Tổng hợp một số lỗi mà học sinh thường mắc phải khi giải bài toán vềcăn bậc hai
- Xây dựng các phương pháp giải bài toán về căn bậc hai
2.5.1 Đối với học sinh yếu, kém
- Chủ yếu đưa ra các phương pháp để học sinh“củng cố kiến thức cơ bản” đó là
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
2.5.2 Đối với học sinh đại trà
- Thì các em cần phải có khả năng “Vận dụng và phát triển kỹ năng”bằng phươngpháp
- Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
- Ngoài ra giáo viên cần chữa các sai lầm thường gặp cho học sinh tronggiải toán , củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thựchành cho học sinh
- Hướng dẫn các em tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán
2.5.3 Đối với học sinh khá, giỏi
-Giới thiệu hai phương pháp nâng cao để học sinh “ Phát triển tư duy ”+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
Trang 144.2 Những điểm khó về kiến thức trong chương “căn bậc hai – căn bậc ba” so với khả năng tiếp thu của học sinh ở trường THCS Yên Bình :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với sốtiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹnăng tính toán, biến đổi Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi màkhông giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậchai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểukhái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thứclấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức ở mẫu)
4.3 Các dạng toán về căn bậc hai mà học sinh thường mắc sai lầm khi giải
“ hướng khắc phục sai lầm đó”
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề màhọc sinh mắc phải Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tradưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm mà học sinhthường mắc phải khi giải bài tập Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm
cơ bản sau:
1 Hướng khắc phục sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Hướng khắc phục sai lầm về định nghĩa về căn bậc hai và định nghĩa căn bậc hai số học :
- Tình huống: Giải bài tập 1 (sgk - 6) Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi
suy ra căn bậc hai của chúng
+ HS giải:
225 = 15 số 225 có 2 căn bậc hai được viết là 225 = 15 và 225 = -15 (!)
+ Cách giải đúng là:
Trang 15Căn bậc hai số học của 225 là: 225 = 15, còn căn bậc hai của 225 là:
dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a
+ Khi nói đến a ta phải có: a0 và a 0, nghĩa là a không thể âm Vì vậy
không được viết : Số 225 có hai căn bậc hai là 225 = 15 và 225 = - 15
Như vậy học sinh đã mắc sai lầm về thuật ngữ “ căn bậc hai” và"căn bậc hai sốhọc”
Vì vậy khi dạy về các định nghĩa căn bậc hai và căn bậc hai số học giáo viêncần phải làm sáng tỏ các định nghĩa này thông qua các bài tập
b) Hướng khắc phục sai lầm trong thuật ngữ ở phần chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học:
Trang 16Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x2 = a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x =
√a và x =- √a học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trênnhư sau :
Do x ≥ 0 nên ( x)2= 152 hay x = 225 và x = - 225
Vậy tìm được hai nghiệm là x1 = 225 và x2 = - 225
Lời giải đúng: Cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152
Vậy x = 225
d) Hướng khắc phục sai lầm về so sánh các căn bậc hai số học :
Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ √a<√b
Ví dụ 4 : so sánh 9 và 21
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vìtheo định nghĩa số 21 chính là căn bậc hai số học của 21 do đó nếu đem so sánhvới số 9thì số 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽđưa ra lời giải sai như sau : 9 < 21 (vì trong cả hai căn bậc hai của 9 đều nhỏ hơn
21)
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngaysau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mớithì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa
Lời giải đúng : Ta có 9 = 81, vì 81 > 21 nên 81 21 Vậy 9 > 21
Thông qua bài toán trên giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai cănbậc hai số học Tức là giáo viên cần cho HS thấy được 9 là căn bậc hai số học của
81 Từ đó HS có thể vận dụng tốt định lí và mở rộng cho các bài tập:
Ví dụ 5: Tìm số x không âm, biết:
Trang 17b) Ta có: 3 9nên x 3 x 9 Vì x 0 nên x 9 x9 Vậy 0 x < 9
e) Hướng khắc phục sai lầm trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương
Ví dụ 6 : Hãy bình phương số - 7 rồi khai phương kết quả vừa tìm được
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) :
(- 7)2 = 49 , nên khai phương số 49 lại bằng - 7
Lời giải đúng : Ta có: (- 7)2 = 49 và 49 7
Mối liên hệ a2 a cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả
đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”
Trang 18Ví dụ 7 : Với a2 = A thì √A chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-3)2 = 9 nhưng 9 3 ; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định đượckết quả như ở trên
2 Hướng khắc phục sai lầm trong các kỹ năng tính toán:
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại căn thức bậc hai :
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
Thông qua bài toán trên giáo viên tạo mới một số bài toán sau;
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
a) 1 x 2 ; b) 2
2
x ; c) 2
5 6
Trang 19*Sai lâm học sinh có thể mắc phải là x 3 x 1 x 12 x 1 2 0
Điều kiện xác định của phương trình (3) là x 3 0 x 3 (4)
Với điều kiện (4) thì: (3) 2x 3x 32
Trang 20Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6.
Trong bài toán trên học sinh có thể mắc sai lầm nếu không đặt diều kiện
(vì x – 3 là căn bậc hai số học của 2x – 3)
Từ bài toán trên giáo viên mở rộng cho học sinh bài tập sau