Cac bai toan chung minh bat dang thuc

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tài liệu sưu tầm, ngày 09 tháng 10 năm 2021 Coin : my > Coin 0, x+y=4 CMR : a Max : coins cain K, : A : , y> B, Trim Cñn*6 Coin : C> : £2 Ota, b, c £1 OEA , b, c y , F¥yz CĐW 10 : P a, = b , x, K + y + a y Z , y -12-2 + 2- + c + " be b -1C -14C = 1- a -15 Tab + tic + gey + 2b at > + Max > clay 2(a3+b + d) btc CMR 2-2 2- + =3 + Vai a + ' Y -12kt b y 7- abc Gac + ' + + 1- Y a + = A=5Ñ+y-4kg P=(3a+2b+cK1a+1b 1) ' c> I , + ca + oib Cmr £1s Min + Max maxP= sit 2-70 =3 Gbc + b>0 9, 4- x + P=4aa+bzb min Ig + Zab , C K, : I , 1- > b(3b+aJ + F5 = Ka B, Tim Caird , 7: Cđn*8 A P=Đ+y43÷y b + Alba + b) Coin Min P b' + + sexy -12=6 et Cain Coin 11 : b a, 12 : b a, >0 c , Coin 13 : ok , 20 , y Q Coin 14 : B, A, coin 15 : Coin 16 : Coin 17 8(a Coin 18 A, + b K, : Tim coin 19 : K, P = y Vai + =3 car + B + be C>0 , b, b.43 c >0 y , 2-70 Max y>0 , = I abloitbj > b¥ze3z b + 8g =3 + c CMR E¥y > + +3 ( a + b + Max 2%2+04-3 + a + be Trim Max c) P c 204 at-13 Cmr : c) lab + + ca + Cmr , a' + b- + i =3 Abc , "-1b£ a Q ¥ a + Otc ← , at+ : + a = y 26 + btc -12 be + -11 a %¥+{-¥ ab = A, p K + C> O by a, p ab If -2K = I c > Cmr , + be + calf 91 a + b) lb +c) Cc ÷y tyz + P = Fey I + 54¥ +72dg + + ¥ = K TEE Fez 8K¥ = P + a) Coin 21 K, y , 2-70 D= I Coin 22 X, [ y Kt Coin 23 K, Coin 24 a ,b > o + 2- =3 ✗ + y -12=2019 y>0 K+y > , ab , a ,b , c > Max Coin 26 X y , -_ P= 2-70 + + CMR + + -111g b a , tinea + 2- =L + be b4 + at £1 £+9b Max YZ get Ky A,b,c20 Min Xyz p=4K+2Y -12¥ CMR Icty , icy 2- + Coin 27 Max 0,1g +1%+1-2=1-3 P=¥e , -11+20%-10, , Icty , P ZK + yz Yt ZK atbtc =3 S=( a' + 2) ( b'+21642 ) ai-b-1.mn/- fa-1-aY-(b-1-bjCan29a,b20,a+b4-4minp-coin 28 a ,b > , ¥+5 +3¥ , + Lab Cair 30 coin 31 a,b c > , , ' Cain 32 so Coin 33 34 Coin 35 albino Abc =L , , c> o Kay Cain 37 Aib Coin 38 Cate 39 [ 7C , A, y> , kg - + + tong co a a + be 1010 = + b , ofeb + be + > c) cmr > =3 ca + £2 Min [ CMR Max C>O [ Cmr - by ÷, 8g 2-70 , H+ B, a , c> , y -11g +1b¥ I¥+TÉ ' c btc % abc 38 Cmr > , 9C , + ab , -2¥ CĐW 36 b, a+ a a, P= abc =L CMR during A , B, C > , Asb 20 c> , P=[ 1010 atbc Max late by 12 19 , a> 't y p Ta rant £4 = + Ey = + at as ' Z Ky + + Tb [ A + (b -143 ZKYZ YZ + Fa - + F n Tb ' = 1 2- K = > 242 XYZ - Cmr CÑW 40 K, K' + y4 2-2+4 XYZ y, 2-20 , Max coin 41 coin ok , , 2- so 42 Cair 43 CÑW y coin 45 11=941 YKI Z) Fzk Fy TYZ K > y y >0 ZY I p Min " y ✗ + EF 2kt Cmr =L + p=I = £1 2- , - - + Max OCK , 44 , ICKY -142-+2-14 = ✗ E 1+4 + Kz ✗ + YTZ 2kt -142-2 KY = Ky atb-c-abc-2.maxIF-y.com a ,b, 46 c) , Asb, c> coin 47 a ,b > , CÑU 48 94420 > a + , a'+ b' Cmr - b' + Bats 6ab TAFE minp=¥g< Zb tab + minimax A= 90 -193+4 KY Coin 49 Aib, Cyo , abebctca P 9C, y, ÷z 2- go + a' + b'+ it = at b Cate 50 = , + c- 7cL -1 IF + abc Y' + 2K' + =3 Ky } y 162 I § Cmr -11 Cain 51 a ,b, A Atb = CÑW 52 7C , ego B att b' + c- , btc -1 2- 70 y, = Icty , 2- 2021 = cx-iyky-z-czei.LY = it -1 2- + se coin 53 okay , 2- a, b, + ' y +2-2=12 K+ y Cmr -1*+1.1-1*31 rat CÑW 54 70 , get A Cta + + Max c abc > 0, a -1C + P=a÷ b÷,+ =b Max P - , , Cain 55 a, b, c> at -1 b' + c- =L , [¥ £ , Cair 56 K, y, Max Z> V0 3K Coin 57 a b Coin 58 944,2-70 b' + c} +3 Abc I g{ = + y -134+27 cmrr Cmr - p= > a + : -2%1-+1 > 3,9b¥ p=E(Yữz - Ơ ) -1Ơ -7Ơ Coin 59 bozo a, Coin 60 a,b, c > p E = cain 61 a Coin a, 62 -1b£ a , b Coin 63 a, Coin 64 a , b, Cairo a> b , c + P Tak c>0 , -2¥ ¥-2b > 8-7 brb basic > > btc =3 at , Cmr , c> , so , I aebtc > abc =L at ,¥a Cmr b -10=2020 bye > 0min A P = Coin 67 a, a, Cmr Cain 69 -2 [ b, 6( : tag edge tf ) noatb -10 c> o , ab + I aka cmr[xyF3Z c- > % 2a2+ab+2b2 12¥ E.) +3¥ = + , , Aib, 40 Nbc ¥+4 b) c) at-b-ct-3abe.cm Coin 68 a + I , Cain 66 at I be + ca 4- + -2,41-231 1a + 1- I + =L It a' + b'+ at Exist y3 +2-3,71 Ex,y , 2- C- § Cain Phair tain X, y > , Icty K2 -1 xq : ri ing Coin : P = Min P a + Icy Ky + F lxtyi ta, b > I > "Fat Meg stg ' ( Icty) B- + b 33 + ylz 1g ( x yjh 1z(x+yY Jetty = + lqi bat train D- c.it Sit dung coin soy Vaasa + b) : alba + b) exit I Coin Max A Bat town tiny ok , y> 1g , -5C + 2g = = K= = 4K-4mg (2k - 10 A2 ' + y t otpcm Ta a -1b£ 2+5+4 = b) 1, 1- 14 49+39+6 ( 7-a + b) y = 5kt + y = ' → Tb £ 2Ca+b) ✓ 21k -15+4-25) E A E Min A + co - 4kg =3 T2 ' + y the xuiithi.in Cy-2kt ' co si : - + "' 4- K : hiring dieting theirs A 12 4a(3a+bJ = → , + can train otiiim rob : Tao + = 9C -15 = £21 a mhiiu ctiÉm roti cingel Coin bC3b+aJ + K' + Y Yi Hi -2k + 1) + 70 + 2k + 2- ++Ej " 34 34 - Coin b, a, c>0 Min P Zab , + tai chia 1a Do.it 1b Ki = lai = voi qb = 2C a = 7- Abc + 4- be + btc A +4C aim 1- Yi + 99C Gab = a+ Doing Gbc otao phx mghiich 2-+62+25=7 6K Z bat train P = 4- - + 2- Y -12K Sii dung Ia : Coin Mit ✗ sit ok , y " so Ck + y tab CMR go:p to;D + , → BE otpcm 27=7 Y + 2= +2kt 2- + 4.x py 2cal + b' d) Ea > + thi mi caring → a'b > a'+ b } } a + b (1) C.ñng (1) (2) , (3) +4K + (2+3+45 Pz KZ Schoch [ Oil ] + Y + 2Y + + 2- : thi + Xyz Icty : +2-5 a +b +C ; 1) khocinglo Be si du.mg c s hhi a 9C C- +, + 0£ a, b, phair +1 ¥ 2¥ , + + - Cao 4- kill g) 70 - cđngbé ¥ Coin 44 1- xz2y hay Bieri > K=2y ' 4K -9kg coin 45 Q + b, a, rb re + = Vai Any atoning Pz 5z : > - = abe -2 heir - 4kg3 5kg bucketing 20 p=I ¥1 Max V3 s p ' Q + Q 4K42g > Ck -24114k g) atbtc b -11 Atl 5-2 V 319+6+4 E + Icy -12520 c> O 2×2+4 -2kV = P > otoitviohg dining > Va otoain → ' p Min Ctf 26-ib-4-lab-bc-ca.lt = + + at = btc + ab + bee ca + abc I Abc PENTA 2-ia-b-cva.ly =3 Coin 47 Tui a, b> giai thiét at , = ' b + d- rain + babe p=¥b,+zg ab F- 1¥ zÉj+Eab a -1b£ + - Cath : Dring > catch Cd ( at hot -1 b- 2) : a' + b' + C- 2)3- gt [ ] so Dring phair cluing gs/a+b > : 82 > a + b' + Gab = @ + b) ( at b- > at + b' abl - Kab a b C- 2) to to a T + baby 2la+b5=8 32 V&y a -1b£ absl Pz loaf ¥+7,2 -12.5-2-2 Cmr Voit b' - Bab + - b' Mối quan hệ khiên ta liên hệ + Y d- be > latte (1) Haiti > VK.taf-ly-bfci-ba-rbc-lb-rza.it si + y2 + Kĩ thuật tạo đẳng thức ghép phù hợp (E) b' + d- be Note Cz = - = (Cz - b) + ' (EET Ezaki @z+EEY a' + c ' Nhìn qua đề thấy Xấu nên phát sinh tâm lý ngại làm, người học tốn đến mức khơng cịn bị cảm giác thích hay khơng thích, ngại hay không ngại chi phối Bởi họ hiểu rõ cảm giác số trường hợp có ích dựa vào cảm giác mà làm Ý tưởng người đề dùng BĐT (1) sau dựa vào đẳng thức (2),(3),(4) mà sinh tốn Vậy (1) cịn sinh tốn đẹp khơng? BĐT (1) có cách diễn đạt hình học tổng cạnh tam giác lớn cạnh cịn lại, nên diễn đạt lời giải theo lối hình học học sinh cấp Coin 48 7C , K' + y> , 94+42=2 { ' y 's K' +y Ky pz ? z p= Max 23+43+4 Icy -11 94+14+13324 " + Quan salt Tui sit y 2-70 , K, biiiuotiittriohgd-u.org ' y, xy) Coin 51 P a, Fb = b Cz , + TY at voi Fe + II Max o a4b4i > ( 13 b' + c- =L V3Cx+y+Z) at beef P2 Ufa , b, P Csl ' = a> a 2( aebtc) % Coin 52 f) , 9C + y 4kt g) ( y -12-112-+70 p 2T atbtc > + (o , o, 1) 2021 = / I GTB + > c- 2É+b§o + 2- = +2T c 44+6+434 944,2-70 = + by hi, ' EB maxp 2( a-ib.to/t2V(a+bKbt4 = P Max PENG Catbtc) → atbtc → → min Cta + Tz + + FEY + ✓ Ytz z xtY.VCZ-NCZ-YJZK-zY.CZ + ✓ 2- Y n + Fey ) = +x ) @ + g) try X+y ) Z Xt z y + Z 4) 2kt ( x -173 2kg ) 2- Cñng 41,121,131 212+4+2-7 pig + ( Hdz + p P 7 4(x+y+z) 40202T YIN ZIG ) + ✗+ y + 2- Cain 53 atzb Abe 2- ok, 1- + y 2-70 , I + Y' + Z → + K' + KÉL hop Coin 54 P= 41 b= P ate 1- , 1+62 → ac > Abc = -122+42+2-2 12 (2) + ate b = Max P & + - It at ÷yL+÷z2 12 , a,b,c> 2- 91 g , -1kt -11cL atbtc 1¥37 Cmr : 12 -_ > 119-1ì14 -1Ơ, > ' -1cL p=ữ+z+ữg - 1+4+45 4- act f) = 211+4+311+04 - 211 act - < a-icf-a4-c4-1-a2-c-C-a-kc-cy-2.lt + at )(dtc4 G- a c) -101+311+94-211 - an + ( - a+a4( 1+4 Ta cm Ps 1oz ←→ ( a- 24 ( - + ( Gac -15>0 fair ; :-p ) Cain 556 K, y Z >0 , ,Ơy=6 = (4+71+31ì+4) 6ì+44+47 Ơz + 9- g = 3×+24+-27 34+81 a,b,c> ( + b4c2 + be c4a2 - svae 1+345-2-1 ữ+y+Ơz+Ơn ) > # ' P ¥ a' + b' +4-1 , (1) ⑨ +2-1 -131kt g) 34+2-1 Niki , -131¥ 4+3+35 y , + PE Coin 55 rmaxp 2 cñng I , £ CMR +d -13 ① 2abc Thay tổng số bình phương ta chuyển dạng gọn ' ' a b'+ i + b c4a2 ' + C a4b2 £ & zbc + b ' zca + " Lab Sử dụng Cô si so sánh cặp ta thu lời giải Bài toán sử dụng động tác đánh giá đơn giản biểu bề cồng kềnh trơng nguy hiểm :) => Cảnh giác với tâm lý nghĩ toán khó Càng nghĩ Nó khó lớn lên ta ngày nhỏ đi, tướng tâm sinh mà! 57 A,b,c > CMR atb + 1+ab2 b" 3abct-b.cz da + > , yea Dấu xảy a=b=c Đánh giá chung liên hệ đến BĐT Svac Đánh giá riêng khó thành Khi sử dụng Svac để tử số gì? Có thể ① ltabc ' atb : Thử với tử a " at b- + + ab b " + be g eat Ca+b+ci (2) t-a-1-b-I-ab-bc-cafl-abcla-b-cfz3abcfl-a.tk { + + Kết hợp (2) (1), nhân chéo ta thu cần phải chứng minh (3) + > { + )④ abtbctca [@ btcf-3cab-bc-caif-abe.fca-b-CY-3lab-bc-eai.is + 30 70 Với ý tưởng dùng Svac để đánh giá, vấn đề ta chọn tử số nào? Vì có nhiều lựa chọn nên khơng cách khác phải kiên trì thử, làm nhiều tích luỹ kinh nghiệm, lần sau làm nhanh Trong q trình thử, có lúc khơng dễ biết liệu tiếp khơng, thực tế khơng tiếp mà ta tiếp tục vơ ích gì? Nhưng đồng thời thường xảy tình huống, ta giải gần lại không tiếp tục tiến tiếp mà lùi lại tìm hướng khác Cuối khơng giải Một kĩ thuật cho biến trường hợp đặc biệt suy biến phát không tiếp nữa, đánh giá bị 58 My ,z > P= Diễn đạt lại toán CMR ( " k - Yxz K4 YTZ + Y %) -12¥ " 2- -1K + 2-4 , x3+y> +2-3 (1) Icty Sử dụng Svac mà xuất bậc 3, ta nhân thêm x2 gc6 *Ơ, + ã ã I ẹ+y3 -12-3,2 (2) XY( Icty / 1- YZCYTZITZKCZTK ) Từ (1) (2) ta cần chứng minh (3) 21×3+4>+2-317 xycxtyl-YZCY-ZI-ZK.CZ -1K ) , ④ Có (4) nên dễ dàng thu (3) từ việc tìm lời giải hồn thành Testy> xyCx+y)③ Dạng toán quen thuộc khéo người đề diễn đạt dạng mẻ thú vị, đồng thời tăng bậc lên thành bậc 3,4 Tuy nhiên tư kĩ thuật giải tốn khơng đổi Vẫn dùng công cụ Svac với kĩ thuật nhân thêm tử mẫu để sau xuất yếu tố tương thích với vế phải Vậy nên dùng thành thục BĐT Svac với động tác nhân thêm tử kĩ xử lý tổng phân số 59 A,bzo a -1b£ Cmr , -1A 1- + Ita 2b -12b£ ¥ ① Động tác biến đổi đặc thù gặp bậc nhất/ bậc -1A a -11 -11 = Ita = + att at 1- 2b = - 1- 2b -1+2 = - l + 2- 2b -11 1+26 2b -11 Do ta diễ'n đạt (1) dạng (2) sáng sủa Atl +2}+ , > 8- (2) 7- Làm để đốn điểm rơi, ta dùng kĩ thuật cộng thêm yếu tố chứa mẫu Kĩ thuật tham số hoá, giả ta cộng thêm k(a+1) p(2b+1) ^ + k( a -111+2 a+ , + +, p(2bb -11 ) - [ katzpbtktp] Cân điểm rơi k p cần thoả mãn điều kiện kla -115=1 { I I p( 26+15=2 k=2p a+b=2 { ai-1-I.pe 2b -11 = ?Đ=fÉ 24+11+(26+1)=24+61+3 = Fq+Fq=7 Đ=¥→h=¥g Với q trình tư ta thu lời giải, cần trình bày ngắn gọn nên số người đọc khơng hiểu lại tìm điểm rơi Tìm điểm rơi nhờ tham số hoá kĩ làm BĐT Coin A,b, c > 60 P= b atbte =3 , CK b ✓ 2a+b+c + + V2b+cta Tim ara 42C # atb Phán đoán điểm rơi a=b=c=1, kĩ thuật quen thuộc xử lý mẫu cách nhân thêm brb V29 + ' ' = b = ✗ b ( 29+6+4 bye ' 2b 44 b (2a+btc) 2b z 4bt2a+btc 4bar = 29+5 btc Đến áp dụng Svac thành cơng ' b Cũng dùng kĩ thuật cộng mẫu 29+5 + 64 2A -15 btc AZ bye > Min p= a + bta b ° + Ctb by Cain 61 btc ate Thử với b=c b=a cho P=1 Nên từ ta dự đốn Min=3/2 dấu b=c a=b a+b+bb+c+÷a a a- b + 2latb) 2(atb) ÷ > , > ° Catch > I ' be ữ, - I -1Ơ %ữ+ > , > 1- Ơ , 4Ơ ữ - Â+41b-143 2c(a+b, Â - a) ( c- b) 70 ( D- wing Việc phán đốn dấu quan trọng Đồng thời giảm ẩn cách đặt a=xc, b=yc cịn biến x,y, nhìn gọn đẹp hơn! 62 atbtc > A,b,c > , at I Cmr -1K£ & a Hình dáng quen thuộc, liệu có dùng Cơ si số kết hợp với Svac không? At atbc 63 % a a,b,c > P Coin cmr , abc=1 minp + % ÷z = } 1- a+b+c= 2020 5-4 ( atb) Z guy 2-+ µ , a4Cbt4 1b -11C } , % - 2a4ab -1257 68 I = = ok : 79+1%3-2 z(a+bee, a4( btc) Aib,c> (Atb -14 } -1b¥ Ytz 64 VT abc -2 = " At > @ =1a > Đ Skee \Âhiimaii "" mimp=[|2a4ab+Ñ€ " abi-bc-ca-1.cmr-za4-atsl-at-bl-ca.nl Cubic > etat , = all @+ b) ( Atc) E al a+b+a+c) = a' + abtac 41 Ling ① 141,34 VTE a'+ b'+ its Cotpcm) 65 a> , bye > minA-1-zlba-b-F-3-aa-c.be Do tính đồng bậc nên ta có động tác chia ¥+1 Atb Từ liên hệ đến kết phổ biến + like (2) FK, 1+4%1 -17cg y> , + = Ky > ¥+1 ① Từ (1) (2) đặt ẩn phụ x=E ta thu 1-1%+1 !bz a t-VA-b.bz % Vñy Az girl , , aye 1µg tix 22 = a + c 1+fE= = = ° ° > * 3N 41>112+3-2 + , 221 ✗ , Ta chứng minh (*) biến đổi tương đương * 39C - Hoi l ¥2 f- 31kt 1) - 211+14 " - -1K , ,+ Ex 1) ( 3146k -13 - be 1) ( - 4- 1) "→ - ,, , 1- 2×2+62+217,0 Kĩ chính: Đồng bậc động tỏc chia [ 31ì+11 - ,e Ơ120 KYZO ( luñrotungttic> 17 Sử dụng kết phụ (2) Đoán điểm rơi biến đổi tương đương 66 a b c> o a- + b' + i=3abc , ¥-2 -1b¥ -1%-231 Cmr , Gt + aAữ Kataeb =3 > Ơ-22 + , 3- a 1a VT it → VT → 69 t 1£ Kay , 4-3 E 2- I Cmr VTE + gey 67 Aib , } V4 -32 > Ex axbtc ) + ' y -12-3 el + > y + 2- 3) + 611A -11,2+1,213 adey 23-12 > = a¥+e→a+b+c > a+b 2-3223-1 x.y.t4-3-Z-sxy-K.y.IE } XYY -11 I I + + EVP " , minp=E¥_đ V04 Tui La fg-il-aztzcta-t.tt + , ÷ + ty -112-7 GP E ← 3,11A -127,22cL > f + ^ + → + + 4W a E) - 1a -1%+1