Câu I.
Cho hàm số y = (x + 1)
2
(x-1)
2
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phỷơng trình (x
2
-1)
2
-2m+1=0.
3) Tìm b để paraboly=2x
2
+ b tiếp xúc với đồ thị đã vẽ ở phần 1).
Viết phỷơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Câu II. 1) Giải bất phỷơng trình
2-2+1
2-1
1- x x
x
Ê
0.
2) Cho hàm số y =
x+1
x+a
2
. Xác định a để tập giá trị của y chứa đoạn [0 ; 1].
Câu III. 1) Tìm m để phỷơng trình
x
2
-mx+m
2
-3=0
có nghiệm x
1
,x
2
là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài 2.
2) Tìm các nghiệm x ẻ (
p
2
;3p) của phỷơng trình sin (2x +
5
2
p
) - 3 cos (x -
7
2
p
)=1+2sinx.
Câu IVa.
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai đỷờng thẳng
()
D
1
,
()
D
2
có phỷơng trình tham số
(
D
1
)
xt
yt
zt
=-
=
=-
ỡ
ớ
ù
ù
ù
ợ
ù
ù
ù
1
;(
D
2
)
xt
yt
zt
=
=-
=
ỡ
ớ
ù
ù
ù
ợ
ù
ù
ù
2
1
'
'
'
1) Chứng minh rằng hai đỷờng thẳng (
D
1
), (
D
2
) chéo nhau.
2) Viết phỷơng trình các mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và lần lỷợt đi qua
()
D
1
,(
D
2
).
3) Tính khoảng cách giữa (
D
1
) và(
D
2
).
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
__________________________________________________________________
Câu I. Xét
2222
y(x1)(x1) (x 1)=+ =
42
x2x1= +
.
1) Hàm số xác định với mọi x. y' = 4
3
x
4x, y ' = 0 khi x = 0 ; 1 ; 1.
Bảng biến thiên :
x
1
0 1
+
y'
0 +
0 +
y
+
CT
CĐ
CT
+
y'' = 4(3
2
x
1) ;
y'' = 0 khi
1
x
3
=
x
1
3
1
3
y'' + 0
0 +
y uốn uốn
1
u
1
x
3
= ,
1
u
4
y
9
=
,
2
u
1
x
3
= ,
2
u
4
y
9
=
,
Vẽ đồ thị :
x 2
2
3/2
3/2
y 9 9 25/16 25/16
2) Xét
22
(x 1) 2m 1 0+=
22
(x 1)
= 2m 1. (1)
Xét đờng thẳng y = k = 2m 1, trên đồ thị ta thấy :
a) k < 0 m <
1
2
: (1) vô nghiệm ;
b) k = 0 m =
1
2
: (1) có 2 nghiệm kép
1
x1
=
,
2
x1
=
;
c) 0 < k < 1
1
2
< m < 1 : (1) có 4 nghiệm ;
d) k = 1 m = 1 : (1) có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép x = 0 ;
e) k > 1 m > 1 : (1) có 2 nghiệm.
3) Hoành độ tiếp điểm của parabol y = 2
2
x
+ b với đồ thị hàm số
22
y(x1)(x1)=+
là nghiệm của hệ
+=
=
222
3
(x 1) (x 1) 2x (1)
4x 4x 4x (2)
(2) 4x(
2
x
2) = 0 x = 0,
x2
=
Thế vào (2) ta đợc b = 1, b = 3
Từ đó ta có phơng trình tiếp tuyến chung
b = 1 : y = 1 (hoành độ tiếp điểm x = 0)
b = 3 : y = 4
2
x 7 (hoành độ tiếp điểm x =
2
)
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
__________________________________________________________________
y = 4
2
x 7 (hoành độ tiếp điểm x =
2
).
Câu II.
1) Giải
1x x
x
221
0
21
+
, điều kiện x 0. Đặt
x
2t
t0
=
>
ta có
2
tt2
0
t(t 1)
=
(t > 0, t 1)
(t 1)(t 2)
0
t(t 1)
+
(t > 0, t 1) t (0 ; 1) hoặc t [2 ; +) x < 0 hoặc 1 x.
2) Điều kiện cần. Ta có y = 0 x = 1, với điều kiện mẫu không chia hết cho tử, vậy a 1. Đồng thời
2
x1
y1
xa
+
==
+
2
x x + (a 1) = 0 = 5 4a 0 a
5
4
. Thành thử a
5
4
, a 1.
Điều kiện đủ. Ngợc lại, giả sử a
5
4
, a 1.
2
x1
y
xa
+
=
+
y
2
x
x + ay 1 = 0. (1)
Ta phải chứng tỏ phơng trình có nghiệm với mọi y (0 ; 1) (các giá trị y = 0, y = 1 đã đợc xét), tức là (1) có
biệt số = 4a
2
y
+ 4y + 1 0. (2)
Với a 0 (a 1), và với y (0 ; 1) hiển nhiên (2) đợc nghiệm. Với a > 0
5
(a )
4
xét hàm số
f(y) =
4a
2
y
+ 4y + 1.
Hàm số có đồ thị là một parabol với bề lõm quay xuống dới, vậy
y[0;1]
min
f(y) = min{f(0) ; f(1)} = min{1 ; 5
4a}
0
Thành thử (2) đợc nghiệm đúng với các điều kiện đã đặt cho a và cho y.
Vậy đáp số là :
5
a
4
, a 1.
Câu III.
1) Phơng trình
22
xmxm30
+=
phải có nghiệm : = 12 3
2
m
0
|m| 2
.
Đồng thời phải có
12
22
12
x,x 0
xx4
>
+=
2
S, P 0
S2P4
>
=
2
2
m0
m30
m2
>
>
=
vô nghiệm.
2)
57
sin 2x 3cos x
22
+
= 1 + 2sinx
cos2x + 3sinx = 1 + 2sinx 2sinx
1
sinx
2
= 0
1
x
= k ;
2
x2n
6
=+
;
3
5
x2m
6
= +
.
Xét điều kiện x
;3
2
, ta có k = 1, 2, 3 ; n = 1 ; m = 0,1.
Câu IVa. 1) Các đỷờng thẳng D
1
, D
2
lần lỷợt có vectơ chỉ phỷơng
r
u
1
=(-1;1;-1),
r
u
2
=(2;-1;1).
Rõ ràng
r
u
1
không song song và cũng không trực giao với
r
u
2
. Ta phải chứng minh thêm rằng D
1
và D
2
không cắt
nhau, quả vậy nếu chúng cắt nhau thì phải tồn tại 2 giá trị t, t sao cho
1-t=2t
t=1-t
-t=t
nhỷng hệ này vô nghiệm.
2) Ta tìm một vectơ
n
đ
Ă
vuông góc đồng thời với
rr
uvmu
12
,vàđỷợc
n
đ
Ă
=(0;1;1).Vậycácmặtphẳng (P), (Q) có cùng
vectơ pháp tuyến là
Ă
n
đ
=(0;1;1),suyraphỷơng trình của chúng có dạngy+z+d=0.
ứngvớit=0tađỷợc điểm M
1
(1,0,0)thuộc D
1
;ứngvớit=0tađỷợc điểm M
2
(0,1,0)thuộc D
2
. (P) đi qua M
1
,
nên0+0+d=0ị d = 0, vậy (P) có phỷơng trìnhy+z=0.(Q)điquaM
2
,nên1+0+d=0ị d = -1, vậy (Q) có
phỷơng trìnhy+z-1=0.
3) Khoảng cách giữa D
1
và D
2
cũng là khoảng cách giữa (P) và (Q) và bằng
2
2
.
Câu IVb. 1) Xét hai trỷờng hợp
a)k=1 :BM=CNị BMNC là hình bình hành ị MN//BC ị
Giao tuyến của (ABC) và (AMN) là đỷờng thẳng đi qua A và song
song với BC ị Giao tuyến ấy cố định.
b) k ạ 1 : Khi đó đỷờng thẳng MN sẽ cắt đỷờng thẳng BC ở I.
Theo định lí Talét :
IB
IC
=
BM
CN
=k
ị IB = kIC.
Mặt khác : |IB-IC| =aị|kIC-IC| =aị IC =
a
|k - 1|
ị I cố định.
Vậy đỷờng thẳng AI cố định là giao tuyến của (AMN) và (ABC).
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_____________________________________________________
__________
2) Gọi K là điểm giữa BC ị PK//Bx//Cy ị BK^(ABC) ị BK là hình chiếu của PB trên (ABC), AK là hình chiếu
PA trên (ABC).
Mặt khác:
BK =
a
2
<
a3
2
=AKị PA > PB.
Nhỷng :
MBN
^
nhọn ị PB > PM, vậy PM < PA. Theo hệ thức lỷợng trong tam giác thỷờng ta có:
2PA
2
=AM
2
+AN
2
-
MN
2
2
=MN
2
+2AM.ANcosA-
MN
2
2
= 2AM.ANcosA +
MN
2
2
=2AM.ANcosA + 2PM
2
ị 2(PA
2
-PM
2
) = = 2AM.ANcosA > 0 ị cosA>0 ị A nhọn.
3) k = 0,5, CN =
a2
:Tacó BM =
CN
2
=
a2
2
ị IB=BC=a=ABị MI=MN=MA=MC=
a+
a
2
=
a6
2
2
2
.
Hạ KJ ^ MN, theo định lí ba đỷờng vuông góc suy ra : AJ ^ MN.
Vậy :
j
=
KJA
^
là góc phẳng của nhị diện (AMN; CBMN).
Tính :
j
Ta có : KJ.IN = 2S
D
IKN = NC.IK ị KJ =
NC.IK
IN
=
a2.
3a
2
2a + 4a
22
=
3a 2
2a 6
=
3a
23
=
a3
2
2
.
Do đó KJ =
a3
2
=AKịDAKJ vuông cân ở K ịj=45
o
.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_____________________________________________________
__________
Câu IVb.
Cho tam giác đều ABC. Các nửa đỷờng thẳng Bx, Cy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và ở về cùng một phía đối
với mặt phẳng ấy. M, N lần lỷỳồt là hai điểm di động trên Bx, Cy ; P là trung điểm đoạn MN. Đặt
BM
CN
=k
(k > 0).
1) Chứng minh rằng với k không đổi thì hai mặt phẳng (ABC), (AMN) cắt nhau theo giao tuyến cố định.
2) Chứng minh rằng
PM
PA
<1
, từ đó suy ra tam giác AMN có góc A nhọn.
3) Biết k =
1
2
,CN=AB
2
, hãy tính góc phẳng của nhị diện tạo bởi các nửa mặt phẳng (MNA) và (MNB).
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________________________
. (2x +
5
2
p
) - 3 cos (x -
7
2
p
)=1+2sinx.
Câu IVa.
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai đỷờng thẳng
()
D
1
,
()
D
2
có phỷơng. phỷơng
r
u
1
=(-1;1;-1),
r
u
2
=(2;-1;1).
Rõ ràng
r
u
1
không song song và cũng không trực giao với
r
u
2
. Ta phải chứng minh thêm rằng D
1
và D
2
không cắt
nhau, quả vậy nếu chúng