Đang tải... (xem toàn văn)
Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, hằng đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,… Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải [r]
CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm a; b , nửa khoảng a; b , a; b Cho K khoảng f x hàm hàm số K nếu: hay đoạn a; b Hàm số F x gọi nguyên F ' x f x , x K F x Neesu nguyên hàm C số f x họ nguyên hàm f x là: f x dx F x C , - Phương pháp đổi biến số: Nếu x u t có đạo hàm liên tục K thì: f x dx f u t u ' t dt Nếu t v x có đạo hàm liên tục K thì: f x dx g t dt thì: f x dx g t dt - Phương pháp nguyên hàm phần: Nếu u x ,v x có đạo hàm liên tục K udv uv vdu Tích phân: Giả sử f x F x f x liên tục khoảng K a, b K nguyên hàm thì: b b f x dx F b F a F x a a - Phương pháp tích phân đổi biến số: b a f x dx f u t u ' t dt Nếu t v x có đạo hàm liên tục b v b a v a f x dx g t dt f x dx g t dt - Phương pháp tích phân phần: Nếu u x ,v x b có đạo hàm liên tục đoạn b udv u.v a a Tổng tích phân b v.du a a; b thì: http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải liên hệ để nhận tài liệu hay Cho f hàm số xác định a; b a b Phân hoạch T đoạn a; b thành n đoạn nhỏ x ,x điểm chia tùy ý a x0 x1 xn b , đoạn i j ta lấy điểm i lập tổng tích phân n T f j x j xi i 1 Kí hiệu d T max x j xi 1 i n I lim Nếu tồn giới hạn đoạn a; b dT n f x j i 1 j xi giới hạn gọi tích phân xác định hàm f b kí hiệu là: Ta chọn phân hoạch xi a I f x dx a i b a n , tổng tích phân n S n f j x j xi i 1 b lim S n f x dx a Nguyên hàm đa thức phân thức: dx x C kdx kx C với k số x dx ln x C u' u dx ln u C x 1 u 1 x dx C; u u '.dx C Với Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,… Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé mẫu Nếu bậc tử bé bậc mẫu phân tích mẫu thừa số bậc x a x hay px q A Bx C ; bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo phần tử đơn giản: x a x px q ; Đồng hệ số tử thức tính số A, B, C, … Kết hợp với biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ: b P x dx a : Chia miền xét dấu b x mx n dx a mx n px qx r a x m x m dx a b - Dạng px a dx qx r b 0 , : Đặt u mx n phân tích, b b P x dx : Đặt u px qx r , : Nếu đặt u x n : Lập q pr dx mx n a : Dùng công thức b 0 dx x2 k a b 0 x a b - Dạng px a dx k2 : Đặt x k tan t 1 1 2k x k x k : Biến đổi x k mx n dx qx r : Lập q pr 0 Phân tích dùng cơng thức A px qx r ' mx n B 0 2 px qx r px qx r x k b - Dạng x x a b x n 1dx n n m a x 1 x dx n m Chú ý: Cho hàm số Nếu f lẻ f x n : đặt t 1 x liên tục đoạn a; a a a f x dx 0 f x 2f x dx a Nếu f chẵn a a Nguyên hàm lượng giác: cos xdx sin x C cos u.u '.dx sin u C sin xdx cos x C dx cos x dx sin x sin u.u '.dx cos u C u' tan x C cos cot x C sin u u' Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ u dx tan u C dx cot u C t tan x ,… sin x a x b 1 sin x a sin x b sin a b sin x a sin x b 1 2 a sin x b cos x a b sin x a sin x b cos x a b 1 a b cos x 2 sin x cos x A a sin x b cos x c ' B a sin x b cos x c a sin x b cos x c a sin x b cos x c 1 2 a sin x b sin x cos x cos x a tan x b tan x c cos x sin x cos x a sin x b2 cos x A a sin x b cos x ' a sin x b cos x t x, t x, t x Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ đặt tương ứng Tích phân liên kết, để tính I đặt thêm J mà việc tính tích phân I J I J I kJ I mJ dễ dàng lợi Tích n n phân truy hồi I n theo I n hay I n sin x,cos x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân n n phần tan x,cot x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân đổi biến số Nếu hàm số /2 f x liên tục đoạn /2 a; b thì: f sin x dx f cos x dx; xf sin x dx f sin x dx 20 0 Các dạng tích phân lượng giác: b b P x sin xdx, P x cos xdx a a : đặt u P x , v ' sin cos x /2 R x,sin x,cos x dx x t : đặt R x,sin x,cos x dx : đặt x t 2 R x,sin x,cos x dx b R sin x,cos x dx a : đặt x 2 t x t tan , đặc biệt: : đặt Nếu R sin x,cos x R sin x,cos x đặt t cos x Nếu R sin x, cos x R sin x,cos x đặt t sin x Nếu R sin x, cos x R sin x,cos x đặt t tan x,cot x CÁC BÀI TỐN Bài tốn 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: i3 un i 1 n a) i2 un 3 i 1 i n b) n n Hướng dẫn giải a) Xét hàm số Sn f x x3 n n i 1 Tổng tích phân hàm số f đoạn là: i n i f un n i 1 n Ta có: 0;1 lim S n x 3dx Vậy lim un 1 n n i n un n i 1 i 1 i n x2 f x n x b) Ta viết nên un tổng tích phân hàm số đoạn 0;1 Do đó: x2 ln lim un dx ln x 1 x 1 3 0 Bài tốn 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: 1 1 n 2n un 1 Hướng dẫn giải n i 1 i Ta có: S Đặt 2n n n 1 un 2 i 1 i i 1 2i i 1 i n n 1 n S n Sn n i 1 i i 1 i i 1 i n n Do un tổng tích phân hàm số f x x đoạn 0;1 Suy 1 lim un dx ln x 1 ln x 1 Bài toán 7.3: Chứng minh: a) lim x n sin xdx 0 x b) f x t 1 t4 dt hàm số chẵn Hướng dẫn giải a) Với x 0;1 n n x sin x x 1 n Do đó: Vì lim x sin xdx x n dx 0 n 1 0 n 1 đpcm x b) Đặt t s tích phân x ta f x t 1 t4 f x x dt t 1 t4 s s4 dt ds f x đpcm Bài tốn 7.4: Tính đạo hàm hàm số: x a) f x cos tdt 3x b) t2 g x dt t 2x Hướng dẫn giải a) f ' x cos x x ' cos2 xx t2 f t t Gọi F nguyên hàm f, theo định nghĩa tích phân, ta có: b) Đặt g x F x F x x 1 9x2 1 g ' x 3F ' x F ' x 3 f x f x nên x 1 x2 1 Bài toán 7.5: x2 f t dt x cos x a) Cho f 4 Tính b x x dx b) Tìm số b dương để tích phân có giá trị lớn a Hướng dẫn giải a) Lấy đạo hàm vế có xf x x sin x cos x x 2 : f 2 sin 2 cos 2 f Cho x b) Xét hàm số Ta có f x t t dt F ' x x x , F ' x 0 x 1 Lập bảng biến thiên F x 0; F x đạt giá trị lớn x 1 , b 1 Bài toán 7.6: Chứng minh rằng: a) 1 f x dx f x dx b) 1 Hướng dẫn giải a) Đặt u 1 x du dx, x 0 u 1, x 1 u 0 1 f x dx f u du f u du f x dx 0 f x dx f x f x dx b) 0 f x dx f x dx f x dx 1 1 Do f x dx f u du f x dx 1 1 f x dx f x f x dx 1 Bài toán 7.7: Cho hàm số f x liên tục a; a Chứng minh: a a) Nếu f hàm số lẻ f x dx 0 a a b) Nếu f hàm số chẵn a f x 2f x dx a Hướng dẫn giải a a I f x dx f x dx f x dx a a 0 Đổi biến x t đổi với tích phân a) Nếu f lẻ f x dx a ta được: a a f x dx f t dt f t dt f x dx a a 0 I 0 b) Nếu f chẵn a a) a f x dx f t dt f x dx a Bài toán 7.8: Cho hàm số /2 a f x liên tục đoạn I 2f x dx a; b Chứng minh: /2 f sin x dx f cos x dx b) xf sin x dx f sin x dx 20 Hướng dẫn giải x t dx dt , x 0 t , x t 0 2 a) Đặt /2 /2 /2 f sin x dx f sin t dt f cos t dt f cos x dx /2 0 b) Đặt x t dx dt , x 0 t , x t 0 xf sin x dx t f sin t dt f sin t dt tf sin t dt f sin x dx 0 0 xf sin x dx f sin x dx Do xf sin x dx đpcm x 1 Bài tốn 7.9: Tính: a) x x 3 dx x4 dx b) x x Hướng dẫn giải a) Đặt x 1 A B x x 3 x x nên x A x 3 B x A ,B 5 , đồng hệ số A B 1,3 A B 1 nên Do x A B x A B Do đó: x 1 dx x 2 x 3 x x 3 dx ln x ln x C 5 b) x4 x2 x2 x x x3 x x3 x x x 1 x 1 Đặt x2 A B C x x 1 x 1 x x x A 2, B nên x A B C x B C x A 1 , C 2 , đó: 1 1 f x dx x dx x 2ln x ln x C x x x 1 2 57 Bài tốn 7.10: Tính: a) x x dx x3 x 18 1 dx b) Hướng dẫn giải a) Đặt u 3 x x 3 u dx du x 5 dx u u du u 3u du , đồng hệ số 1 3 x u u C x C 2 x3 x2 u du dx x dx 6du 18 b) Đặt 57 58 x3 58 x3 57 x 18 1 dx 6u du 29 u C 29 18 1 C dx x x Bài tốn 7.11: Tính a) x2 dx b) x x Hướng dẫn giải a) d x8 dx x dx 1 x8 x x8 x8 x8 8 x8 x8 8 ln x8 C 1 dx x 1 x2 x 1 x x x dx ln x x 1 C x x b) Bài tốn 7.12: Tính: a) A x x 3 dx b) B x x dx 1 Hướng dẫn giải a) Đặt u x x u 3, dx du Khi x 2 u 1, x 3 u 0 A u u du u 10u 25 u 8du 1 1 0 u11 25 185 u 10u 25u du u10 u 1 99 11 1 10 b) B x x 3 dx x x dx x x 3 dx 1 1 3 x3 x3 x3 28 2 x 3x x 3x x 3x 1 1 3 /2 /2 cos xdx D sin x cos x dx 0 0 /2 dx cos x Bài tốn 7.29: Tính: a) sin x 1 sin x dx b) Hướng dẫn giải t tan a) Đặt x 1 x 2dt dt tan dx dx 2 2 1 t2 Khi x 0 /2 t 0; x t 1 1 dx 1 t2 dt dt 1 cos x t 0 b) Đặt x t dx dt , x 0 t , x t 0 sin x sin x sin 4t sin x dx dt dt dx sin x sin t sin x sin t 0 Do sin x sin x 2 dx 0 dx 0 sin x sin x 0 Bài tốn 7.30: Tính /2 sin xdx A x sin x 2cos x cos 2 a) /6 b) tan x B dx cos x Hướng dẫn giải a) sin x 2cos x cos x sin x cos x cos x 1 cos x /2 nên sin xdx A cos x /6 b) /2 d cos x /2 ln cos x ln cos x /6 tan x tan x B dx dx 2 cos x 0 tan x cos x Đặt t tan x 1/ dt 1/ t4 B dt 1 t2 dx t t 0, x cos x Khi x 0 thì 1/ t 1 dt 1 t2 1 t dt t t 1 1/ t3 t 1 t ln t 10 10 ln Bài tốn 7.31: Tính: /2 /2 a) cos xdx I 13 7sin x cos x b) J dx 2sin x cos x Hướng dẫn giải t sin x dt cos xdx, x 0 t 0, x t 1 a) Đặt /2 1 cos xdx dt dt I sin x 7sin x 12 t 7t 12 t t 1 t dt ln t t 3 t 0 ln 2sin x cos x sin x cos x sin x b) Ta có 2 cos , sin 1 Vì nên có số để /2 /2 dx 1 J cot x 5sin x 5 Bài tốn 7.32: Tính: /2 a) 3sin x cos x K dx sin x 2cos x b) L dx cos x Hướng dẫn giải a) Xét 3sin x cos x A sin x 2cos x 3 B cos x 2sin x A B sin x A B cos x A Đồng A B 0, A B 0,3 A 3 nên A 1, B , đó: cos x 2sin x K dx x ln sin x 2cos x ln sin x 2cos x 0 u tan b) Đặt x 1 du tan 2 2 x 2du dx dx 2 1 u2 ...http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải liên hệ để nhận tài liệu hay