Chứng minh b d Câu 4: 2,5đ Cho ABC AB < AC, qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N.[r]
Trang 1PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ)
a/ Rút gọn:
5 6 10 6 2 15
5 6 10 2.6 10
b/ Biết 14 + 24 + 34 + + 94 + 104 = 25333
Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + + 184 + 204
Bài 2: (2,0đ)
Cho tỉ lệ thức
x y x y
a/ Tính tỉ số
x y
b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82
Bài 3: (3,0đ)
a/ Cho M =
2
3
1
x x
N = (x + 1)2 + (y - 2)2 + 2008
Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất
b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B =
1 2
x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5
Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y
c/ Tìm x N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52
Bài 4: (2,5đ)
Cho ABC cân tại A (AB > AC) M là trung điểm AC Đường thẳng vuông góc với
AC tại M cắt BC tại P Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP
a/ Chứng minh rằng:
+/ APC BAC
+/ PC = QC
b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ CP
Bài 5: (1,0đ)
Cho ABC có A = 300 Dựng bên ngoài tam giác đều BCD
Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
Trang 2PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ)
Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:
a/
5 5 9
11 4 12
4 9 6 30
6 8 3
b/
Bài 2: (3,0đ)
a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2
Tìm m biết P(3) = Q(-2)
b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - x 7 - (2m + 4)2008
c/ Tìm x biết x 2 x 4 5
Bài 3: (2,5đ)
a/ Cho a + b + c = 2009 và
7
a b b c c a Tính S =
b c a c a b
b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009 Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai
là
2
3 , giữa số thứ nhất với số thứ ba là
4
9 Tìm 3 số đó
Bài 4: (2,0đ)
Cho ABC có A < 900 Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB
a/ Chứng minh DC = BE và DC BE.
b/ Gọi N là trung điểm của DE Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA =
NM Chứng minh AB = ME và ABC = EMA
Bài 5: (1,0đ)
Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và
E Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
Trang 3ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/
1,0đ
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7
(2 3) 8 3 (125.7) 5 14 2 3 2 3 5 7 5 2 7
12 4 10 3 12 4 10 3
12 5 9 3 3 12 5 9 3
2 3 (3 1) 5 7 (1 7) 2 3 2 5 7 ( 6) 1 10 7
2 3 (3 1) 5 7 (1 2 ) 2 3 4 5 7 9 6 3 2
0,25đ 0,75đ 2a/
0,5đ
(x – 1)3 = -8 x – 1 = -2
x = -1 Vậy x = -1
0,25đ 0,25đ 2b/
0,5đ 9 7 x 5x 3 ĐK
3 5
x
9 7 5 3
9 7 3 5
x x
12 12 1
2 6 3
0,25đ 0,25đ
2c/
0,5đ x - 3 x = 0 ĐK x ≥ 0
0 ( 3) 0
9
x
x x
x
2d/
0,5đ 12x = 15y = 20z
48
4 20; 16; 12
5 4 3 12 12
x y z x y z
0,5đ 3a/
0,75đ
Vì a Z+ 4a 1 (mod 3) 4a + 2 0 (mod 3)
Mà 4a + 2 0 (mod 2) 4a + 2 6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 6 thì 4a + a + b 6
0,25đ
0,25đ 0,25đ 3b/
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74/6 mà x Z x{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 y2 = 10 (loại vì y Z)
Nếu x2 = 9 y2 = 4 (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
0,25đ
0,25đ 0,25đ 4a/
1,0đ
a c a c c a
b d b d d b
. .
a c a c a c
b d b d b d
( ) ( ).
( ) ( ).
a c a c a c a ac c ac
b d b d b d b bd d bd
0,5đ 0,5đ 4b/
x y z t x y z x y x y z t x y t x y
x y z t y z t z t x y z t x z t z t
M
x y z t x y x y z t z t
Hay 1 < M < 2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
AB + BM = AC – BM 2BM = AC – AB BM = (b – c):2
AM = AB + BM AM = (b + c):2
0,5đ 0,5đ 5/
1,0đ
Qua M kẻ HK // BC (H AB; K CD)
MA2 = MH2 + HA2
K
H M
B A
Trang 4MC2 = MK2 + KC2
MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2
Ta có AH = DK; HB = KC
MA2 + MC2 = MB2 + MD2
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 5PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau:
12 5 6 2 10 3 5 2
Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết a/ (x – 1)3 = -8 b/ 9 7 x 5 x 3
c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6
b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
Bài 4: (2,0đ) a/ Cho
a c
b d Chứng minh rằng:
a ac b bd
c ac d bd
b/ Cho x, y, z, t N Chứng minh rằng:
M =
x y z x y t y z t z t x có giá trị không phải là số tự nhiên
Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A,
CAE vuông cân tại A Chứng minh:
a/ DC = BE; DC BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K C/m K là trung điểm của BC
Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với gócBAC = 600 Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/
1,0đ
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7
(2 3) 8 3 (125.7) 5 14 2 3 2 3 5 7 5 2 7
12 4 10 3 12 4 10 3
12 5 9 3 3 12 5 9 3
2 3 (3 1) 5 7 (1 7) 2 3 2 5 7 ( 6) 1 10 7
2 3 (3 1) 5 7 (1 2 ) 2 3 4 5 7 9 6 3 2
2a/
0,5đ
(x – 1)3 = -8 x – 1 = -2
x = -1 Vậy x = -1
2b/
0,5đ 9 7 x 5x 3 ĐK
3 5
x
9 7 5 3
9 7 3 5
x x
12 12 1
2 6 3
2c/
0,5đ x - 3 x = 0 ĐK x ≥ 0
0 ( 3) 0
9
x
x x
x
2d/
0,5đ 12x = 15y = 20z
48
4 20; 16; 12
5 4 3 12 12
x y z x y z
3a/ Vì a Z+ 4a 1 (mod 3) 4a + 2 0 (mod 3)
Trang 60,75đ Mà 4a + 2 0 (mod 2) 4a + 2 6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 6 thì 4a + a + b 6
3b/
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74/6 mà x Z x{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 y2 = 10 (loại vì y Z)
Nếu x2 = 9 y2 = 4 (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
4a/
1,0đ
a c a c c a
b d b d d b
. .
a c a c a c
b d b d b d
( ) ( ).
( ) ( ).
a c a c a c a ac c ac
b d b d b d b bd d bd
4b/
x y z t x y z x y x y z t x y t x y
x y z t y z t z t x y z t x z t z t
M
x y z t x y x y z t z t
Hay 1 < M < 2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
5a/
1,0đ
CM được ABE = ADC (c.g.c) DC = BE
CM được DC BE
5b/
1,0đ
Viết được CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;
BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2
BD2 + CE2 = BC2 + DE2
5c/
1,0đ
Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
CM được ADE = CPA CP = AD CP = AB
CM được P BAK ; ABK PCK
CPK = BAK (g.c.g) BK = KC đpcm
5/ Hình vẽ bài 5: Hình vẽ bài 6
6/
0,5đ Kẻ BH AC Vì BAC 60 0
30 0
2
AB ABH AH
(1)
M
P K
E D
C B
A
A
60 0
C H
B
Trang 7Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + HC2
BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) đpcm
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:
1/ A =
5
3 7 13 4 16 64 256 .
1
2/ B =
2.5 9.5 5.(3.7 19.7 )
:
Trang 8Câu 2: (3đ)
a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 +
1 5
y
- 10 đạt giá trị nhỏ nhất
c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Câu 3: (1,5đ)
Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời
2
a c
b d
Câu 4: (2,5đ)
Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E
a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giác cân
b/ Chứng minh BM = CN
c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c
Câu 5: (1,0đ)
Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD Chứng minh:
MA2 + MC2 = MB2 + MD2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/
1,5đ
A =
3 1 1 1
1 1 1 1
5
4 4 16 64
3 7 13
1 1 1
2
4 16 64
3 7 13
1 3 5 1
2 4 8
0,5đ
0,5đ 1b/
1,5đ
B =
21 14
10 15 2
5 2.5 9 5.7 3.7 19
:
7 7 3 5
=
1
5 : 35
7
0,5đ 0,5đ
Trang 91,0đ
M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1
= 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45
0,25đ 0,25đ 0,5đ 2b/
1,0đ Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0;
1 0 5
y
N ≥ -10 GTNN của N là -10
Tìm được x = -2; y = 1/5
0,25đ
0,25đ 0,5đ 2c/
1,0đ
Ta có f(-2) = 0 4a – 2b + c = 0
f(2) = 0 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3
4b = 0 b = 0
Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 a = 3/5 ; c = -12/5
0,25đ 0,25đ 0,5đ 3/
1,5đ
Vì b là trung bình cộng của a và c b = (a + c)/2 2b = a + c
Từ
1 1 1 1 1 1
b d
bd c b d
Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d)
ad = bc
a c
b d
0,25đ
0,5đ 0,25đ 0,5đ 4/
2,5đ
AMN cân (đ/c vừa là p/g)
BE // AC BEM ANM
BMEANM (AMN cân tại A)
BEM BME BME cân tại B
0,25đ
0,5đ
4b/
0,75đ
BED = CND (g.c.g) BE = NC
BM = NC (= BE)
0,5đ 0,25đ 4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
AB + BM = AC – BM 2BM = AC – AB BM = (b – c):2
AM = AB + BM AM = (b + c):2
0,5đ 0,5đ 5/
1,0đ
Qua M kẻ HK // BC (H AB; K CD)
MA2 = MH2 + HA2
MC2 = MK2 + KC2
MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2
Ta có AH = DK; HB = KC
MA2 + MC2 = MB2 + MD2
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
N
M
D E
C B
A
K
H M
B A