Tài liệu Kinh tế lượng cơ sở - Bài 3 docx

Bài 3. MÔ HÌNH HỒI QUI bội (Multiple regression) 1. Mô hình hồi qui 3 biến. 1.1. Mô hình: Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào 2 biến giải thích X 2 , X 3 có dạng PRF: E(Y/ X 2i , X 3i ) = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i (1) Đồ thị là một mặt phẳng PRM: Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u i trong đó: β 1 gọi là hệ số chặn ( intercept) β j ( j = 2,3) gọi là hệ số góc riêng phần ( partial slope) Giả sử mọi giả thiết của OLS đều thoả mãn, lúc đó với mẫu kích thước n được lập từ tổng thể sẽ xác định được: SRF: = + X i Y ˆ 1 ˆ β 2 ˆ β 2i + X 3 ˆ β 3i (2) SRM: Y i = β ˆ 1 + β ˆ 2 X 2i + β ˆ 3 X 3i + e i Tìm ( j = j β ˆ 3,1 ) sao cho Q = → min ∑∑ == =− n i i n i ii eYY 1 2 1 2 ) ˆ ( ⇒ ∂ Q/ ∂ β ˆ 1 = 0 ∂ Q/ ∂ β ˆ 2 = 0 ∂ Q/ ∂ β ˆ 3 = 0 ⇒ β ˆ 1 n + β ˆ 2 ∑X 2i + β ˆ 3 ∑X 3i = ∑Y i β ˆ 1 ∑X 2i + β ˆ 2 ∑X 2i 2 + β ˆ 3 ∑X 2i X 3i = ∑X 2i Y i β ˆ 1 ∑X 3i + β ˆ 2 ∑X 2Ü X 3i + β ˆ 3 ∑X 3i 2 = ∑X 3i Y i Ký hiệu: Y = (∑Y i )/n X 2 = (∑X 2i )/n X 3 = (∑X 3i )/n y i = Y i – Y x 2i = X 2i – X 2 x 3i = X 3i – X 3 ⇒ β ˆ 1 = Y - β ˆ 2 X 2 - β ˆ 3 X 3 ∑x 2i y i ∑x 3i 2 - ∑x 3i y i ∑x 2i x 3i β ˆ 2 = ∑x 2i 2 ∑x 3i 2 – (∑x 2i x 3i ) 2 ∑x 3i y i ∑x 2i 2 - ∑x 2i y i ∑x 2i x 3i β ˆ 3 = ∑x 2i 2 ∑x 3i 2 – (∑x 2i x 3i ) 2 ⇒ = → Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ. i y ˆ ii xx 3322 ˆˆ ββ + 1.2. Các tham số của các ước lượng OLS. E( β ˆ j ) = β j j = 3,1 Var( β ˆ 1 ) = ⎢ ⎣ ⎡ n 1 + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − −+ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 32 2 3 2 2 3232 2 2 2 3 2 3 2 2 )( 2 iiii iiii xxxx xxXXxXxX σ 2 Var( β ˆ 2 ) = ∑∑ ∑ ∑ − 2 32 2 3 2 2 2 3 )( iiii i xxxx x σ 2 = ∑ − )1( 2 23 2 2 2 rx i σ Var( ) = 3 ˆ β ∑∑ ∑ ∑ − 2 32 2 3 2 2 2 2 )( iiii i xxxx x σ 2 = ∑ − )1( 2 23 2 3 2 rx i σ Se( ) = j β ˆ ) ˆ var( j β trong đó = 22 ˆ σσ ≈ 3−n RSS Cov( ) = 32 ˆˆ ββ 2 3 2 2 2 23 2 23 )1( ii xxr r − − σ 1.3. Hệ số xác định bội R 2 ESS RSS R 2 = = 1 - TSS TSS Với mô hình ba biến: R 2 = ∑ ∑ ∑ + 2 3322 ˆˆ i iiii y yxyx ββ 1.4. Hệ số tương quan. a. Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức độ tương quan tuyến tính chung giữa Y, X 2 và X 3 . b. Hệ số tương quan cặp r ij : Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình. = 2 12 r ∑∑ ∑ 22 2 2 2 )( ii ii yx yx = 2 13 r ∑∑ ∑ 22 3 2 3 )( ii ii yx yx = 2 23 r ∑∑ ∑ 2 3 2 2 2 32 )( ii ii xx xx c. Hệ số tương quan riêng phần r ij , k : Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình với điều kiện biến k không đổi. r 12,3 = )1)(1( 2 23 2 13 231312 rr rrr −− − r 13,2 = )1()1( 2 23 2 12 231213 rr rrr −− − r 23,1 = )1)(1( 2 13 2 12 131223 rr rrr −− − Ví dụ: Bảng sau đây cho Tỷ lệ lạm phát Y(%), Tỷ lệ thất nghiệp X 2 (%) và Tỷ lệ lạm phát kỳ vọng X 3 (%) của Mỹ giai đoạn 1970- 1982: Năm Y X 2 X 3 1970 5.92 4.9 4.78 1971 4.30 5.9 3.84 1972 3.30 5.6 3.13 1973 6.23 4.9 3.44 1974 10.97 5.6 6.84 1975 9.14 8.5 9.47 1976 5.77 7.7 6.51 1977 6.45 7.1 5.92 1978 7.60 6.1 6.08 1979 11.47 5.8 8.09 1980 13.46 7.1 10.01 1981 10.24 7.6 10.81 1982 5.99 9.7 8.00 a. Hồi quy Y với X 2 và cho nhận xét. Yt = õ1+ õ2*X2 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến. Kết quả do õ2>0 mô hìn sai. b. Hồi quy Y với X 2 và X 3 và so sánh với kết quả thu được ở phần a. c. Hãy phân tích kết quả thu được ở mô hình 3 biến. Yt = õ1+ õ2*X2 + õ3*X3 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến. Kết quả õ2 < 0 và õ3>0 (Tỷ lệ TN tỷ lệ thuận với LP kỳ vọng) vậy thêm mô hình thêm biến X3 là phù hợp hơn. Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 02/17/09 Time: 09:40 Sample: 1970 1982 Included observations: 13 Variable Coefficie nt Std. Error t-Statistic Prob. C 6.127172 4.285283 1.429817 0.1806 X2 0.244934 0.630456 0.388502 0.7051 R-squared 0.013536 Mean dependent var 7.75692 3 Adjusted R- squared - 0.076143 S.D. dependent var 3.04189 2 S.E. of regression 3.155577 Akaike info criterion 5.27685 8 Sum squared resid 109.5343 Schwarz criterion 5.36377 3 Log likelihood - 32.29958 F-statistic 0.15093 4 Durbin-Watson stat 0.969568 Prob(F-statistic) 0.70505 8 Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 02/17/09 Time: 09:35 Sample: 1970 1982 Included observations: 13 Variable Coefficie nt Std. Error t-Statistic Prob. C 7.193357 1.594789 4.510538 0.0011 X2 - 1.392472 0.305018 -4.565214 0.0010 X3 1.470032 0.175786 8.362633 0.0000 R-squared 0.876590 Mean dependent var 7.75692 3 Adjusted R- squared 0.851907 S.D. dependent var 3.04189 2 S.E. of regression 1.170605 Akaike info criterion 3.35209 2 Sum squared resid 13.70316 Schwarz criterion 3.48246 5 Log likelihood - 18.78860 F-statistic 35.5152 1 Durbin-Watson stat 2.225465 Prob(F-statistic) 0.00002 9 2. Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của mô hình 2.1. Mô hình Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào k – 1 biến giải thích X 2 , ,X k có dạng PRF: E(Y i ) = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + … + β k X ki (1) PRM: Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + … + β k X ki + u i (2) trong đó: β 1 gọi là hệ số chặn β j ( j=2,k) gọi là các hệ số góc riêng phần Với mẫu W = {(X 2i , X 3i ,…,X ki , Y i ); i = 1 ÷ n}, SRF: = + X i Y ˆ 1 ˆ β 2 ˆ β 2i + X 3 ˆ β 3i + … + X k β ˆ ki (3) SRM: Y i = + X 1 ˆ β 2 ˆ β 2i + X 3 ˆ β 3i + … + X k β ˆ ki + e i (4) 2.2. Dạng ma trận Y 1 = β 1 + β 2 X 21 + …+ β k X k1 + u 1 Y 2 = β 1 + β 2 X 22 + …+ β k X k2 + u 2 … Y n-1 = β 1 + β 2 X 2n-1 + + β k X kn-1 + u n-1 Y n = β 1 + β 2 X 2n + …+ β k X kn + u n ⇔ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− k knn knn k k n n u u u u XX XX XX XX Y Y Y Y 2 1 2 112 222 121 1 2 1 . 1 1 1 1 β β β → Y (n×1) = X (n×k) × β (k×1) + U (n×1) Y = X×β + U → E(Y) = Xβ Tương tự, đặt = ; Y ˆ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − n n Y Y Y Y ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 1 β ˆ = ; e = , th× ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ k β β β ˆ ˆ ˆ 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − n n e e e e 1 2 1 Y ˆ = X β ˆ Y = X β ˆ + e 2.3. Phương pháp bình phương nhỏ nhất Tìm β ˆ sao cho ∑ = e’e → min = n i i e 1 2 ⇔ (Y - X β ˆ )’ (Y - X β ˆ ) → min ⇔ X’X β ˆ = X’Y Nếu tồn tại (X’X) -1 thì β ˆ = (X’X) -1 X’Y Khi đó β ˆ = (X’X) -1 X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất của β 2.4. Các tham số của ước lượng Kì vọng : E( β ˆ ) = β Phương sai – hiệp phương sai Cov( β ˆ ) = = σ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ) ˆ ( ) ˆ , ˆ () ˆ , ˆ ( ) ˆ , ˆ ( ) ˆ () ˆ , ˆ ( ) ˆ , ˆ ( ) ˆ , ˆ () ˆ ( 21 2212 1211 kkk k k VarCovCov CovVarCov CovCovVar βββββ βββββ βββββ 2 (X’X) -1 Với σ 2 được ước lượng bởi = 2 ˆ σ kn − ee' 2.5. Sự phù hợp của hàm hồi qui : Hệ số xác định béi: R 2 = TSS ESS = 1 - TSS RSS Đánh giá sự phù hợp của hàm hồi qui Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất cả các biến giải thích có trong mô hình. R 2 có các tính chất sau: + 0 ≤ R 2 ≤ 1. Tính chất này dùng để đánh giá mức độ thích hợp của hàm hồi quy. + Giá trị của R 2 đồng biến với số biến giải thích của mô hình. Tuy nhiên không thể lấy điều đó để xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình. KHông thể quyết định đưa thêm biến vào đúng hay sai. Phải tính thêm 2.6 2.6. Hệ số xác định bội hiÖu chỉnh. ⎯R 2 = 1 – (1 – R 2 ) kn n − − 1 R 2 có các tính chất sau: + R 2 có thể nhận giá trị âm.(khi nào R 2 nhận giá trị âm?) + Khi số biến giải thích của mô hình tăng lên thì R 2 tăng chậm hơn R 2 . ⎯ R 2 ≤ R 2 ≤ 1 Tính chất này được dùng làm căn cứ xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình. Khi đưa thêm biến vào mô hình mà 2 R còn tăng hoặc khi giá trị t của kiểm định về sự bằng không của hệ số hồi quy tương ứng với biến đưa thêm còn lớn hơn 1 thì việc đưa thêm biến còn hợp lý. 2.7. Hệ số tương quan. a. Hệ số tương quan bội R. b. Hệ số tương quan cặp r ij (i,j = k,1 ) Các hệ số tương quan cặp thường được cho trong ma trận sau: r ij = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 321 22321 11312 kkk k k rrr rrr rrr rij = rji(i,j = 1,k) c. Hệ số tương quan riêng phần r 12,34. . . k . . . r k-1k,12 . . . k-2 r k-1k,12 . . . k-2 : : Biểu thị sự tương quan giữa biến X k-1,Xk trong12 . . . k-2 → Các hệ số tương quan cặp được gọi là hệ số tương quan riêng phần bậc 0. 3. Suy diễn thống kê. 3.1. Ước lượng khoảng i. Khoảng tin cậy cho từng hệ số j β ˆ – Se( )t j β ˆ α 2 (n – k) < β j < + Se( )t j β ˆ j β ˆ α 1 (n – k) (j = k,1 ) → Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái. ii. Khoảng tin cậy cho hai hệ số ( ) – Se( )t ji ββ ˆˆ ± ji ββ ˆˆ ± α 2 (n – k) < β i ± β j <( ) + Se( )t ji ββ ˆˆ ± ji ββ ˆˆ ± α 1 (n – k) Se : Đ ộ l ệch chu ẩn Với Se( ) = ji ββ ˆˆ ± ) ˆˆ ( ji Var ββ ± = ) ˆ () ˆ , ˆ (2) ˆ ( jjii VarCovVar ββββ +± iii. Khoảng tin cậy cho sai số ngẫu nhiờn )(2 2 2 )( ˆ kn kn − − α χ σ < σ 2 < )(2 11 2 )( ˆ kn kn − − − α χ σ → Khoảng tin cậy hai phía, bên phải, bên trái. 3.2. Kiểm định giả thuyết : a. Kiểm định T: Cặp giả thuyết Tiêu chuẩn kiểm định Miền bác bỏ H 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = * 1 * 0 :H :H jj jj ββ ββ ⏐T qs ⏐> )( 2/ kn t − α ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = * 1 * 0 :H :H jj jj ββ ββ T qs = ) ˆ ( ˆ * j jj Se β ββ − T qs > )( kn t − α ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < = * 1 * 0 :H :H jj jj ββ ββ T qs < – )( kn t − α ⎩ ⎨ ⎧ ≠± =± a a ji ji ββ ββ :H :H 1 0 T qs = ) ˆˆ ( ˆˆ ji ji Se a ββ ββ ± −± ⏐T qs ⏐> )( 2/ kn t − α b. Kiểm định χ 2 : Đối với σ 2 việc kiểm định cũng tiến hành tương tự với tiêu chuẩn kiểm định: χ 2 = 2 0 2 ˆ )( σ σ kn − 4. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi qui ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0:H 0:H 2 1 2 0 R R ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≠≠∃ === )1(:0:H 0 :H 1 20 j j k β ββ Tất cả các biến giải thích không giải thích cho Y Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y F qs = )/(1 )1/( )/( )1/( 2 2 knR kR knRSS kESS −− − = − − F qs > F α (k - 1; n - k) thì bác bỏ H 0 : hàm hồi qui là phù hợp. Tất cả các kiểm định trên cũng đều có thể tiến hành bằng phương pháp P-value. Ví dụ: Với tệp số liệu đã cho, hãy tìm các ước lượng bằng phương pháp ma trận và các tham số tương ứng của mô hình. Hãy tiến hành các ước lượng và kiểm định cần thiết. β ˆ 5. Kiểm định thu hẹp hồi qui (Kiểm định Wald): 5.1. Thủ tục: Xét mô hình: E(Y/X 2 , ,X k - m , ,X k ) = β 1 + β 2 X 2 + … + β k X k (UR) [...]... Ví dụ Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui H0: 3 = 1; H1: 3 ≠ 1 H0 đúng ⇒ Yi = β1 + β2X2i + X3i + ui ⇔Yi – X3i = β1 + β2X2i + ui ⇔ Yi* = β1 + β2X2i + ui (R) H0: β2 = 3; H1: β2 ≠ 3 H0 đúng ⇒ Yi = β1 + β2X2i + β2X3i + ui ⇔ Yi = β1 + β2(X2i +X3i) + ui ⇔Yi = β1 + β2Xi* + ui H0: β2 + 3 = a; H1: β2 + 3 ≠ a (R) H0 đúng ⇒ Yi = β1 + β2X2i + (a – β2)X3i + ui ⇔ Yi– aX3i = β1 + β2(X2i–X3i) + ui ⇔ Yi*= β1+ β2Xi*+... dưới trục hoành 7.4 Hàm mũ – Hàm Loga tuyến tính Mô hình kinh tế có dạng Yi =β0X2iβ2 X3i 3 ⇔ lnYi = lnβ0 + β2lnX2i + β3lnX3i Xét mô hình LYi = β1 + β2 LX2i + β3LX3i + vi ⇔ E(Y / X2i , X3i) = eβ1X2iβ2X3i 3 β1 : E(Y/X2i = X3i = 1) = eβ1 β2 = εE(Y)/X2 : Khi X2 thay đổi 1%, yếu tố khác không đổi, thì E(Y) thay đổi β2 % Ví dụ mô hình : E(Qi) = eβ1Kiβ2Li 3 7.5 Hàm nửa Loga *Mô hình : Yi = β1 + β2 lnXi + ui β1... Kinh tế 7.1 Hàm thu nhập – chi tiêu Yi : Thu nhập Ci : Chi tiêu Ci = β1 + β2Yi + ui - C là chi tiêu cho tiêu dùng : β1 > 0; 1 > β2 > 0 - C là chi tiêu cho hàng hóa thông thường - C là chi tiêu cho hàng hóa cao cấp - C là chi tiêu cho hàng hóa thứ cấp 7.2 Hàm cầu Qi : cầu về hàng hóa Pi : giá cả hàng hóa PTi : giá hàng hóa thay thế PBi : giá hàng hóa bổ sung Qi = β1 + β2Pi + β3PTi + β4PBi + ui = 7 .3. .. kỳ gốc Yt = Y0(1+ r)t ⇒ LnYt = LnY0 + t.Ln(1 + r) ⇒ Y’t = β1 + β2.t 7.4 Hàm chi phí – sản lượng Qi : sản lượng TCi : tổng chi phí, MCi : chi phí cận biên, ACi: chi phí trung bình, FCi: chi phí cố định TCi = β1 + β2Qi + 3 Qi2 + β4 Qi3 + ui → FCi = β1 + ui → MCi = β2 + 2β3Qi + 3 4 Qi2 + ui → ACi = β1 Qi + β2 + β3Qi + β4 Qi2 + ui 7.5 Hàm hyperbol Y= β 1 + β 2 1 X Là hàm phi tuyến đối với X song tuyến... RSSur/(n − k) (1 − Rur ) /(n − k ) Nếu Fqs > Fα(m, n – k) bác bỏ H0 - Trường hợp m = 1: Fqs = (Tqs)2 với Tqs ứng với hệ số duy nhất cần kiểm định - Trường hợp m = k – 1 : Fqs trong kiểm định thu hẹp chính là Fqs trong kiểm định sự phù hợp - Kiểm định thu hẹp hồi qui còn dùng cho những trường hợp khác Ví dụ: Với tệp số liệu ch3bt5 hãy ước lượng hàm cầu về thịt lợn phụ thuộc vào giá và thu nhập theo dạng...Nghi ngờ m biến giải thích Xk-m+1,…, Xk không giải thích cho Y ⎧ H 0 : β k − m +1 = β k − m + 2 = β k = 0 ⎨ ⎩H 1 : ∃β j ≠ 0 : ( j = k − m + 1 ÷ k ) Tất cả m biến giải thích không giải thích cho Y Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y Nếu giả thuyết H0 là đúng thì mô hình trở thành: E(Y/X2,…, Xk - m) = β1 + β2X2 + … + βk-mXk - m (R) Tiêu chuẩn kiểm định: 2 2 (RSSr− RSSur... 1) β2: Khi X t¨ng 1% thì E(Y) thay đổi β2 đơn vị *M« h×nh : LnYi = β1 + β2Xi + ui β 2 : Khi X t¨ng 1 ®¬n vÞ th× E(Y) thay ®æi β 2 % 7.6 Hàm chi phí – lợi ích Ci : chi phí Ui : lợi ích Ui = β1 + β2Ci + 3 Ci2 + ui β2: >0 do LI đồng biến CP β2 . không đổi. r 12 ,3 = )1)(1( 2 23 2 13 231 312 rr rrr −− − r 13, 2 = )1()1( 2 23 2 12 231 2 13 rr rrr −− − r 23, 1 = )1)(1( 2 13 2 12 131 2 23 rr rrr −− − . X 3i – X 3 ⇒ β ˆ 1 = Y - β ˆ 2 X 2 - β ˆ 3 X 3 ∑x 2i y i ∑x 3i 2 - ∑x 3i y i ∑x 2i x 3i β ˆ 2 = ∑x 2i 2 ∑x 3i 2 – (∑x 2i x 3i ) 2