Lấy E trên đoạn thẳng AB, qua E kẻ đưởng thẳng vuông góc với EC cắt Bx tại F.. Chứng minh EC = EF..[r]
PHỊNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Câu 1: ( 4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: 1 1 10 1 : 1 a) A = 1 1 90 b) B = 12 20 Câu 2: ( 5,0 điểm) x x a) Tìm x biết: 650 b) Tìm x biết: x x x 100 605 x x 1 y 2x y 7x c) Tìm x , y biết : Câu 3: ( 4,0 điểm) a) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = a b c d TÝnh M = a+b + b+c + c +d + d +a c+ d d +a a+b b+c 2016 2017 x 2016 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = 2 x y 77 c) Tìm số nguyên x, y biết: Câu 4: ( 6,0 điểm) Cho ABC vuông cân A, gọi M trung điểm BC, lấy điểm D đoạn BM Kẻ BH, CK vuông góc với tia AD H K a) Chứng minh BH = AK; b) Tam giác HMK vuông cân; c) Trên mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ tia Bx cho ABx 135 Lấy E đoạn thẳng AB, qua E kẻ đưởng thẳng vng góc với EC cắt Bx F Chứng minh EC = EF Câu 5: ( 1,0 điểm) Cho dãy số 10, 102, 103, , 1020 Chứng minh tồn số chia 19 dư HẾT - Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán Năm học: 2016 – 2017 Câu Ý a 2,0đ (4,0 đ) b 2,0đ (5,0 đ) Đáp án 1 1 A 10 1 : 1 6 10 1 : 25 10 : 25 5 1 6 1 1 B 12 20 90 1 1 2.3 3.4 4.5 9.10 Biểu điểm 1,0 0,5 0,5 1,0 1 1 1 1 10 2 3 4 1 10 10 x 5x 650 0,5 0,5 x 32 5x 650 0,5 x 52 1 650 0,5 a 25 2,0đ x 52 x 2 x 5 x b 1,5đ 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x 100 605 x x x x 100 0 Ta có: 605 x 0 x 0 x 1 x x 100 với x 0,25 0,25 0,25 với x x x x x 100 605 x 100 x 100 605 x 100 x 5050 605 x 505 x 5050 x 10 0,25 0,25 0,25 x 1 y x y 7x ĐK: x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x 1 y x y x y 14 7x 1 x y 0 x 2 14 x TH1: Nếu 0,5 0,25 x 2 c 2.2 y y 1,5đ y (tm) 0,25 x 0 x y 0 4 y 0 x y 0 0,25 TH2: Nếu (4,0 đ) a 2,0đ x y 5 (tm) a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = Từ a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d Nếu a + b + c + d = a + b = - ( c + d) ; ( b + c) = - ( a + d) a b bc c d d a M c d d a a b b c Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d a+b b+c c +d d +a M= + + + =4 c+ d d +a a+b 2016 B 2017 x 2016 b+c Ta có: B.2017 B x 2016 2016 b 2017 B 2016 x 2016 1,0đ B Nên 2016 B 2017 B < c 1,0đ Vậy không tồn giá trị nhỏ B x y 77 x 77 y 0 với x, y 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 y 77 y 77 Vì 2x2 chẵn nên 77 – 3y2 chẵn suy y2 lẻ y 1,9,25 Nếu y2 = 2x2 = 77 – ( không thỏa mãn ) Nếu y2 = 2x2 = 77 – 27 = 50 x2 = 25 x = x = -5 Nếu y2 = 25 2x2 = 77 – 75 = x2 = x = x = -1 Vậy x 1 -1 -1 5 -5 -5 y -5 -5 -3 -3 (6,0 đ) 0,25 0,25 0,25 A K E N D B C M H 0,5 F x a 2đ b 2đ Xét ACK BAH có : AKC AHB 900 BAH ACK ( phụ với KAC ) AB = AC ( gt) ACK BAH (ch gn) AK BH Xét AKM BHM có : AM trung tuyến ABC nên AM BC AMB vuông cân M AM BM AK = BH ( chứng minh trên) 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 KAM HBM ( phụ với ADM ) AKM BHM c.g c MK MH (1) AMK Ta có: KMA KMD 90 mà BMH BMH KMD 900 KM MH (2) Từ (1) (2) => KMH vuông cân M Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = AE => EB = NC ANE vuông cân A Xét EBF CNE có: c NC = EB 1,5đ NCE BEF ( phụ với AEC ) EBF ENC 1350 EBF CNE ( g.c.g ) EC EF Theo nguyên lí diriclet dãy có 20 số nên tồn hai số dư chia cho 19 Giả sử hai số 10m 10n (0=