Lấy E trên đoạn thẳng AB, qua E kẻ đưởng thẳng vuông góc với EC cắt Bx tại F.. Chứng minh EC = EF..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:
a) A =
2
10 5 1 : 1
b) B =
1 1 1 1 1
2 6 12 20 90
Câu 2: ( 5,0 điểm)
a) Tìm x biết: 5x1 5x3 650 b) Tìm x biết: x 1 x2 x100 605x c) Tìm x , y biết :
2 1 4 5 2 4 4
x
Câu 3: ( 4,0 điểm)
a) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2 a+b+c +d
a+2 b+c+d
a+b+2 c+d
a+b+c+2 d d
TÝnh M= a+b
c+d+
b+c
d +a+
c +d a+b+
d +a b+c
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B =
2016
2017 x 2016 c) Tìm các số nguyên x, y biết: 2x2 3y2 77
Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, lấy điểm D trên đoạn
BM Kẻ BH, CK lần lượt vuông góc với tia AD tại H và K
a) Chứng minh BH = AK;
b) Tam giác HMK vuông cân;
c) Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ tia Bx sao cho ABx1350 Lấy E trên đoạn thẳng AB, qua E kẻ đưởng thẳng vuông góc với EC cắt Bx tại F Chứng minh EC = EF
Câu 5: ( 1,0 điểm) Cho dãy số 10, 102, 103, , 1020 Chứng minh tồn tại một số
chia 19 dư 1
-HẾT -Họ và tên thí sinh:………SBD:…………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC
Môn thi: Toán 7 Năm học: 2016 – 2017
1
(4,0
đ)
a
2,0đ
2
10 5 1 : 1
10 1 1 :
10 6 :
25 5
2 5 1
5 6 3
A
1,0 0,5 0,5
b
2,0đ
1 1 1 1 1
2 6 12 20 90
2 2.3 3.4 4.5 9.10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 4 5 9 10
1 1 1 1
2 2 10 10
B
1,0
0,5 0,5
2
(5,0
đ)
a
2,0đ
3 2 3
3 2
3
3 2
5 5 1 650
5 25
3 2 5
x x
x
x
x
x x
0,5 0,5
0,25 0,25
0,25 0,25
b
1,5đ
1 2 100 605
Ta có: x 1 x2 x100 0 với x
1 0
2 0
100 0
x x x
0,25 0,25
0,25
Trang 3
100 1 2 3 100 605
100 5050 605
0,25 0,25 0,25
c
1,5đ
2 1 4 5 2 4 4
x
ĐK: x 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 1 4 5 2 4 4 2 4 4
x
TH1: Nếu
1 1
14 7
x
2.2 1 4 5 7
y
y
2 7 2
x y
TH2: Nếu
2 1 0
2 4 4 0 4 5 0
2 4 4 0
x
x y
1
2 5 4
x y
(tm)
0,5 0,25 0,25
0,25
0,25
3
(4,0
đ)
a
2,0đ
Từ 2 a+b+c +d
a+2 b+c+d
a+b+2 c+d
a+b+c+2 d d
a b c d a b c d a b c d a b c d
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = - ( c + d) ; ( b + c) = - ( a + d)
4
M
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d
M= a+b c+d+
b+c
d +a+
c +d a+b+
d +a b+c = 4
0,5 0,5
0,25 0,25 0,25 0,25
b
1,0đ
2016
2017 2016
B
x
Ta có: B.2017 B x 2016 2016 Nên
2017 2016
x
B
B
2016 2017
và B < 0 Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của B
0,5 0,25 0,25
c
1,0đ
2x 3y 77 2x 77 3 y 0 với x y, 0,25
Trang 42 2 77
3
Vì 2x2 chẵn nên 77 – 3y2 chẵn suy ra y2 lẻ
2 1,9,25
y
Nếu y2 = 1 2x2 = 77 – 3 ( không thỏa mãn ) Nếu y2 = 9 2x2 = 77 – 27 = 50 x2 = 25 x = 5 hoặc x = -5 Nếu y2 = 25 2x2 = 77 – 75 = 2 x2 = 1 x = 1 hoặc x = -1 Vậy
0,25
0,25
0,25
4
(6,0
đ)
D
N K
H
x F
E
M
C B
A
0,5
a
2đ
Xét ACK và BAH có :
AKCAHB900
BAH ACK ( vì cùng phụ với KAC)
AB = AC ( gt)
0,5 0,5 0,5
0,25 0,25
b
2đ Xét
AKM
và BHM có :
AM là trung tuyến ABC nên AM BC AMB vuông cân tại M
AK = BH ( chứng minh trên)
0,25 0,25 0,25
Trang 5
KAM HBM ( vì cùng phụ với ADM )
Ta có: KMA KMD 900 mà BMH AMK
(2)
BMH KMD
Từ (1) và (2) => KMHvuông cân tại M
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
c
1,5đ
Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = AE
=> EB = NC và ANE vuông cân tại A
Xét EBF và CNE có:
NC = EB
NCE BEF ( vì cùng phụ với AEC)
( ) EF
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
5(1,
0đ)
Theo nguyên lí diriclet dãy có 20 số nên tồn tại hai số cùng dư khi chia cho 19
Giả sử hai số đó là 10m và 10n (0=<n < m=<20)
Ta có: 10m – 10n chia hết cho 19
10m(10m-n – 1) chia hết cho 19, do 10m không chia hết cho 19(là số nguyên tố)
10m-n – 1 chia hết cho 19 hay 10m-n chia cho 19 dư 1 (đpcm)
0,25 0,25 0,25 0,25
Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa