I/ Một số bài tập trắc nghiệm về khối cầu, khối trụ , khối nón 0001 là mặt phẳng không vuông góc với đáy một hình trụ và cắt 2 đáy theo 2 dây cung có độ dài bằng nhau.. Thiết diện tạo [r]
Trang 1Bài viết số 5
MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ , KHỐI NÓN
Khối cầu, khối trụ , khối nón là một nội dung có khối lượng bài tập phong phú
Chúng tôi giới thiệu một lượng bài tập tương đối trong đó gồm một nửa số lượng bài tập tự soạn Bài tập được xếp theo từng loại hình- trong đó có những bài tập phối hợp cả 2 loại hình Trước khi làm bài tập học sinh phải chắc chắn rằng mình đã nắm vững được kiến thức cơ bản của phần này Không nắm vững khái niệm sẽ không hiểu nội dung đề toán yêu cầu điều gì- không nắm công thức
sẽ không biết tính toán thế nào
Học sinh thử làm và sau đó mới đối chiếu lời giải, hướng dẫn để hiểu hơn về khả năng của mình ,
để rút kinh nghiệm
Trong quá trình biên tập có thể có sự nhầm lẫn trong khâu tính toán hoặc lỗi máy tính các học sinh thông cảm Chúc các học sinh mọi điều tốt đẹp
I/ Một số bài tập trắc nghiệm về khối cầu, khối trụ , khối nón
0001 là mặt phẳng không vuông góc với đáy một hình trụ và cắt 2 đáy theo 2 dây cung có độ dài
bằng nhau Thiết diện tạo bởi mp và hình trụ
0002 Cho hình trụ có bán kính đáy R= 5 AB là dây cung của đáy trên có độ dài bằng 6 Mặt
phẳng qua tâm hình trụ và chứa AB cắt đáy dưới theo dây cung CD Biết tứ giác ABCD có diện tích bằng 60 Tính thể tích V hình trụ
0003 Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng
hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn Gọi S1 là tổng
diện tích của ba quả bóng bàn,
2
S là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số
1 2
S
S bằng :
A 3
6 5
0004 Người ta muốn sản xuất lon sữa hình trụ hoàn toàn bằng thiếc có thể tích bằng 500 cm3 với chi phí nguyên liệu ít nhất- Lon sữa như mong muốn có bán kính đáy gần nhất với số đo
0005 Cho hình trụ có bán kính đáy r =2 và chiều cao h= 2 3 Hai điểm A và B lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 Khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ là
3
6 2
0006 ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy R=5 và
chiều cao h =8 Tính gần đúng độ dài l đoạn ngắn nhất nối hai điểm A và D’ trên mặt xung quanh hình trụ
0007 Một hình chóp tam giác đều SABC có thể tích bằng V Thể tích hình nón ngoại tiếp hình
chóp tam giác đều này có giá trị gần nhất giá trị
0008 Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông AB =3 , AC=4 Thể tích khối tròn xoay có
được khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa đường cao AH là:
A.1026
125 B.
1028
125 C.
1042
125 D
1024
125
0009 Cho hình nón có chiều cao h= 4, bán kính đáy R= 3 Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là:
Trang 2A r =2 B r = 1 C r =3
2 D r =
5 2
00010 Thiết diện qua trục hình nón cụt là hình thang cân có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a và góc
giữa cạnh bên và đáy lớn bằng 600 Thể tích khối nón cụt là:
A
3
7 3
2
a
B
3
7 3 3
a
C
3
7 3 6
a
3 a
00011 Cho mặt cầu (S) có bán kính R=5 cm ,và điểm A nằm ngoài (S) Qua A dựng mặt phẳng (P)
cắt (S) theo một đường tròn có bán kính 4cm Số lượng mặt phẳng (P) là:
0012 Độ dài cạnh tứ diện đều nội tiếp trong hình cầu bán kính R bằng:
6 3
R
C
4 3
R
D
4 6
R
0013 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA a OB b OC c ; ; Bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC bằng:
2
3
C R 2(a2b2c2) D R a2b2c2
0014 Cho mặt cầu (S) tâm O và bán kính R= 5 A là điểm mà OA=13 Từ điểm A kẻ các tiếp
tuyến đến mặt cầu (S) Tập hợp các tiếp điểm là một đường (L) Tính độ dài l của đường (L) Giá trị gần đúng của l là:
0015 Cho tứ diện ABCD có AD = 3
2 ,các cạnh còn lại đều bằng 1 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện là
A
14
15
13
3 3
II/ Hướng dẫn giải các bài tập trong mục I
0001 Chú ý: tứ giác ABCD không phải là thiết diện vì hai đoạn thẳng
AD và BC nằm bên trong hình trụ - không nằm trên bề mặt hình trụ
( thiết diện không là tứ giác lồi bình thường) Trên đường bao quanh
thiết diện thì đoạn nối 2 điểm A,D là một đoạn cong Chọn D
0002.
Có thể thấy tứ giác ABC’D’
là hình chữ nhật , S= 60 ,
AB=6 BC’ =10 MI=5
Tính được MO =4 OI =3
h =6
V= R2h= 25.6 = 150
Chọn A
0003 Hình trụ có bán kính R và chiều cao h Quả bóng có bán
kính r
Theo đề ta có: h= 6r, R=r
S1 = 3.4 r2 = 12 r2
B
D
C A
Trang 3S2 = R2h = 6 r2
Chọn C
0004 Chi phí nguyên liệu ít nhất đồng nghĩa diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất
Gọi r,h là bán kính đáy và chiều cao lăng trụ Ta có V= r2h = 500
Diện tích toàn phần lăng trụ là S = 2r2 + 2 rh= 2 (r2+rh) = 2 (r2+
500 )
r
Ta có: r2+
2
2
500 500 500 500
3
r
4.30127
r
Chọn A
0005 Gọi O,O’ là tâm 2 đáy , A’ là hình chiếu của A lên đáy dưới.
Dựng O’H A’B, O’H là khoảng giữa đường thẳng AB và trục OO’
Tính O’H
3
2
0006 Cắt hình trụ theo đường sinh AA’ và trải trên mặt phẳng ta
được hình phẳng là hình chữ nhật có kích thước 8x 10 Trên hình ta có AD’ =
2
25
4
chọn A
Chú ý : Có thể đặt câu hỏi hay hơn:
Tính chu vi thiết diện tạo bởi mặt phẳng ABC’D’ với hình trụ
0007 a là độ dài cạnh ABC h là chiều cao hình chóp (hình nón)
Gọi R là bán kính đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Thể tích hình chóp tam giác đều Vchóp=
2
3 4
a h
Tính R theo a Ta có: R=
Thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp là Vnón=
2
Chọn B
0008 Khối tròn xoay có được khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH là khối tròn xoay có
được khi quay tam giác AHC quanh đường thẳng AH
Thể tích khối tròn xoay này ( khối nón) là V=
2
1 16 12 1024 ( )
30 0
h=2 3 r=2
B A'
O
O' A
H
Trang 40009 Hình nón có độ dài đường sinh
l=5
Bán kính r mặt cầu nội tiếp hình nón
là bán kính đường tròn nội tiếp thiết diện qua trục
Thiết diện qua trục là tam giác cân có cạnh bên bằng l=5, cạnh đáy bằng 2R= 6
Tính diện tích tam giác cân này theo 2 cách (S=pr =
1
2ah) ta có: 8.r = 4.3 r =
3
0010 Tính được đáy lớn hình thang bằng 2a, chiều cao thang ( chiều cao hình nón cụt ) là h =
3
2
a
.Sử dụng công thức tính thể tích hình nón cụt V=
1 1 2 2
1
3h r r r r với r1 =a, r2=2a và h= 3
2
a
.Chon C
Có thể tính khác – tính xem thể tích hình nón cụt theo thể tích hình nón sinh ra nó
0011 Nếu có khả năng tư duy không gian, học sinh sẽ “thấy” :
+ điều thứ nhất là có mặt phẳng (P) như vậy
+ điều thứ hai là có thể cho (P) chạy tròn quanh (S)
có vô số mp(P) - Chọn phương án B
Dưới đây là một lí giải tại sao có vô số(P) ( học sinh đọc thêm)
Xét bài toán phẳng : A là điểm nằm ngoài đường tròn (C) có bán kính bằng 5 Có bao nhiêu đường thẳng cắt (C) theo dây cung BC mà ½ BC=4 M là trung điểm BC
Trên hình ta có IM bằng 3 M nằm trên (I,3)
Kẻ MH AI , (H cố định ) M nằm trên d qua H vuông góc AI M là giao điểm của d và (I,3)
có 2 điểm M có 2 đường thẳng
Xét bài toán không gian :
Trở lại bài toán phẳng , thay (C) bởi mặt cầu (S) tâm I bán kính bằng 5 , thay đường thẳng bởi mp (P) mp (P) cắt (S) theo đường tròn tâm M ,có bán kính bằng 4 – Thay đường tròn (T) bởi mặt cầu (T) , đường thẳng d bởi mp , khi đó M là một giao điểm của (T) và M đường tròn giao tuyến của (T) và
Có vô số M vô số mặt phẳng (P) qua A vuông góc với IM
tại M
0012 Gọi a là độ dài cạnh tứ diện đều chiều cao tứ diện
đều là h= a
6
3
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều là trọng tâm tứ diện
c
b a
B
C
0 A
16/5 12/5
4 3
A
C H
Trang 5 R =
a=
4 6
R
Chọn D
0013 Trên cơ sở có hình tứ diện OABC, ta dựng hình hộp chữ nhật ( hình bên)
Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ( có các kích thước a,b,c) Độ dài đường chéo hình hộp là đường kính mặt cầu
1
2
Chọn A
0014
Gọi M là tiếp điểm Tính được AM =12
Dựng MH OA H đoạn OA và OH=
25
vuông góc với OA
Mặt khác H nằm trên mặt cầu (S) H nằm trên (C) là đường tròn giao tuyến của và (S)
(C) tâm H , bán kính r = MH =
60
13 .
Độ dài đường tròn (C) là
60
2 ( ) 29 13
Chọn A
0015 Xem hình
Chú ý tam giác ADM đều cạnh bằng
3
3
2 .
3
2 =
3 4
OM =
3 3
Tính IO để tính IA(=R)
OMI đồng dạng NMA
3 3
4
OI
3 36 6
Chọn C
-3 2
1
//
//
=
=
M
N
A
B
C
D
O I
60 13 12
13
R=5
M
H