Học sinh làm cách khác đúng đáp án vẫn được điểm tối đa..[r]
KHUNG MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn Tốn Cấp độ Nhận biết Thơng hiểu Vận dụng Cấp độ thấp Cấp độ cao Tổng Tên chủ đề 1.Các tốn thực phép tính Số câu Số điểm Tỉ lệ % 2.Tìm x Số câu Số điểm Tỉ lệ % 3.Bài tốn tính chất dãy số Số câu Số điểm Tỉ lệ % 4.Vận dụng tích chất phép tính để tìm a, b Số câu Số điểm Tỉ lệ % 5.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Số câu Số điểm Tỉ lệ % 6.Phương pháp chứng minh hình học Số câu Số điểm Tỉ lệ % 7.Các dạng toán chia hết Số câu Số điểm Thứ tự thực phép tính 1,25 12,5% 1,25 12,5% Vận dụng cách tìm đại lượng chưa biết 0,75 7,5% Vận dụng cách tìm tỉ lệ 0,75 7,5% 1,0 10% Vận dụng tích chất phép tính để tìm a, b 1,25 12,5% 1,0 10% 1,25 12,5% Tìm giá trị lớn 0,75 7,5% Vận dụng tính hai cạnh nhau, trung điểm 2,25 22,5% Dấu hiệu chia hết 0,75 0,75 7,5% 2,25 22,5% 0,75 Tỉ lệ % 8.Giá trị nguyên biến, giá trị biểu thức Số câu Số điểm Tỉ lệ % Tổng số câu Tổng số điểm Ti lệ % 7,5% 1,25 12,5% 3,75 37,5% 7,5% Vận dụng tính giá trị nguyên biến, giá trị biểu thức 1,5 15% 4,5 45% Vận dụng tính giá trị nguyên biến, giá trị biểu thức 0,5 5% 0,5 5% 2,0 20% 12 10,0 100% PHÒNG GD&ĐT NAM TRÀ MY TRƯỜNG PTDTBT THCS TRÀ MAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2015-2016 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề: Câu (4,5 điểm) a) Cho biểu thức: M =a+ 2ab−b Tính giá trị M với |a|=1,5 ; b = -0,75 b) Tìm x, biết: x +2 x+1 x =10800 c) Xác định dấu c, biết a3 bc trái dấu với −3 a5 b3 c Câu (4,5 điểm) a) Tìm đa thức M, biết: M + ( x2−2 xy ) =6 x 2+ xy − y b) Tìm giá trị lớn biểu thức: B= x2 + y +3 x 2+ y +2 c) Tìm số x, y, z biết rằng: x y y z = ; = x−3 y + z=6 Câu (5,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1:2:3 b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho: 2a +37=|b−45|+ b−45 c) Chứng minh khơng có số tự nhiên n để n2 +2002 số phương Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng A ABD, ACE có AB = AD, AC = AE Kẻ AH vng góc với BC, DM vng góc với AH, EN vng góc với AH a) Chứng minh rẳng: DM = AH b) MN qua trung điểm DE Câu (1,0 điểm) Cho 20 số nguyên khác 0: a1 , a2, a3, …, a20 có tính chất sau: * a1 số dương * Tổng ba số viết liền số dương * Tổng 20 số số âm Chứng minh rằng: a1 a14 +a14 a12 ⟺ c> ( a b > với a ≠ ; b ≠ ) Vậy c > tức mang dấu dương Câu (4,5đ) 0,5đ 0,25đ 0,25đ M =6 x 2+ xy− y 2−5 x 2+ xy a/ ¿ x +11 xy − y 0,5đ 0,5đ b/ B= x2 + y +2+1 x 2+ y + 0,25đ x2 + y +2 B= 2 + 2 x + y +2 x + y + B=1+ 2 x + y +2 0,25đ B đạt giá trị lớn ⇔ x + y 2+ đạt giá trị nhỏ ⇔ x=0 y=0 Vậy giá trị lớn B ⇔ x=0 y=0 0,25đ 0,5đ 0,25đ c/ Vì x y x y = ⇒ = 12 y z y z = ⇒ = 12 20 x y =¿ =¿ ⇒ 12 z 20 ⇒ 2x y z = = 18 36 20 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: 2x y z = = 18 36 20 ¿ x−3 y + z = =¿ 18+36 +20 Suy ra: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2x =3 ⟹ x=27 18 3y =3 ⟹ y=36 36 0,5đ z =3⟹ z=60 20 Câu (5,5đ) a/ Gọi a, b, c chữ số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c ≤ Ta có: 1≤ a+b+c ≤27 Mặt khác: Số cần tìm bội 18 nên bội Do đó: a + b + c a + b + c = 18 a + b + c = 27 Theo đề ta có: a b c a+b+ c = = = 0,5đ 0,25đ Như vậy: a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18 Từ suy ra: a = 3; b = 6; c = Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, hai số cần tìm là: 396; 936 0,25đ b/ Nhận xét: Với x ≥ |x|+ x=2 x Với x< |x|+ x=0 Do |x|+ x số chẵn với 0,5đ ∀xϵ Z Áp dụng nhận xét |b−45|+b−45 số chẵn với b ϵ Z Suy ra: 2a +37 số chẵn ⇒2a lẻ ⇔ a=0 Khi đó: |b−45|+b−45=38 +Nếu b < 45, ta có: −( b−45 )+ b−45=38 (loại) +Nếu b ≥ 45, ta có: ( b−45 )=38 ⟺ b−45=19 ⟺ b=64 (TM) Vậy (a;b) = (0;64) c/ Ta có: n2 +2002=m2 với m ϵ N Suy ra: m2−n2=2002 suy m n tính chẵn lẻ +Nếu n, m chẵn m2 n2 chia hết cho suy 2 m −n chia hết cho 4, mà 2002 không chia hết cho ( vơ lí ) +Nếu n, m lẻ m n2 chia cho dư Suy ra: m2−n2 chia hết cho mà 2002 không chia hết cho ( vơ lí ) Vậy khơng có số tự nhiên n để n2 +2002 số phương Câu (4,5đ) 0,25đ a/ Xét ∆ AMD ∆ BHA có: ^ DMA=^ AHB=90 ; AD = AB ^ DAM = ^ ABH ( phụ với góc BAH ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ ⇒ ∆ AMD=∆ BHA ⇒ DM =AH ( cạnh huyền – góc nhọn ) 0,5đ 0,5đ b/ Chứng minh được: ∆ ANE=∆ CHA ( cạnh huyềnN – góc nhọn ) ⇒ NE= AH Suy ra: NE = AH Gọi O giao điểm MN DE Suy ra: ∆ DMO=∆ ENO ⇒ OD=O E Vậy MN qua trung điểm DE E 0,5đ 0,25đ O D M 0,5đ 0,5đ 0,25đ A C B Câu (1,0đ) 0,5đ H Ta có: 11+¿ a12+ a13> 0; a15 + a16 +a17 >0 ; a18+ a19+ a20 >0 ⇒a 14< a1 + ( a2+ a3 +a ) +…+ ( a11 + a12+ a13 ) +a14 + ( a15+ a16 +a17 ) + ( a18 +a19 +a 20) < 0; a2 +a3 +a >0 ; … ; a ¿ Cũng vậy: ( a1 + a2+ a3 ) +…+ ( a10 +a 11 +a12 ) +( a 13+ a14 ) + ( a 15+ a16+ a17 ) +( a18+ a19+ a20 ) 0⇒ a12 >0 Từ điều kiện a1 >0 ; a 12>0 ; a14< ⇒ a a14 +a 14 a12< a1 a 12 (đpcm) (Học sinh làm cách khác đáp án điểm tối đa.) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ