Sổ tay toán 11 FULL

LỚP TỐN THẦY NGƠ LONG – QUẢNG OAI Học phí lớp đông: 200k/tháng(8 buổi) Ưu tiên Ngô Quyền, Sơn Tây 160k Học thử tháng, nộp học phí học sinh hài lòng tiếp tục theo học Lớp 8: Sĩ số 34 Học phí 200k Time: 17h15 thứ 15h15 chủ nhật Lớp 9: Sĩ số 20 Học phí 400k Time: 17h15 thứ 17h15 thứ Lớp 10: Sĩ số 45, cịn chỗ Học phí 200k Time:17h15 thứ 17h15 chủ nhật Lớp 11: Sĩ số 63 Học phí 200k Time: 17h15 thứ 07h15 chủ nhật Lớp 12: Sĩ số 68 Học phí 200k Time: 17h15 thứ 09h15 chủ nhật Inbox or cal, Zalo 0988666363 để đăng kí học Số nhà 14, ngõ 18, đường Tây Đằng Thầy Ngô Long Quảng Oai - Giảng viên toán, 16 năm kinh nghiệm luyện chấm thi Nếu bạn khơng thích lớp đơng, bạn đăng kí học lớp nhỏ 20hs, học phí 400k/tháng ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Tác giả Lê Hồng Quốc tặng thầy Ngô Long HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phần HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y sin x ● Tập xác định D , có nghĩa xác định với x 1;1 , có nghĩa ● Tập giá trị T sin x ; 1;Tac ● Là hàm số tuần hồn với chu kì , có nghĩa sin x ● Hàm số đồng biến khoảng k2 ; k2 ,k k2 k2 ; sin x với k k2 ; nghịch biến khoảng ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số y cos x ● Tập xác định D ● Tập giá trị T , có nghĩa xác định với x 1;1 , có nghĩa cos x ; 1; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì , có nghĩa cos x k2 cos x với k ; Sổ tay Toán học 11 k nghịch biến khoảng k ; k2 ; k2 ● Hàm số đồng biến khoảng ; ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y tan x ● Tập xác định D \ k ,k ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì ● Tập giá trị T ; , có nghĩa tan x ; tan x với k k ; ● Hàm số đồng biến khoảng k ; k ,k ; 2 ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số y cot x ● Tập xác định D \ k ,k ; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì ● Tập giá trị T , có nghĩa tan x ● Hàm số đồng biến khoảng k ; k tan x với k k , k ; ; ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số chẵn, lẻ: Cho hàm số y ● f x ● f x ● f x f x hàm số y f x hàm số y f x f x Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 f x có tập xác định D Với x x thuộc D Nếu f x hàm số chẵn f x hàm số lẻ f x hàm số y Trang f x hàm số không chẵn, không lẻ k2 , Phần CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bảng giá trị lượng giác 0 sin cos tan 30 45 60 90 2 2 2 3 3 3 cot 120 3 2 135 2 2 3 Cung liên kết: COS đối, SIN bù, PHỤ chéo, TAN – COT Góc đối cos a Góc bù sin cos a sin a a sin a sin a cos a cos a cos tan a tan a tan a tan a tan cot a cot a cot a cot a cot 2 2 3  sin a  cot a cos2 a 1 cot a Góc sin a sin a a sin a cos a cos a cos a cot a tan a tan a tan a tan a cot a cot a cot  tan a cos a sin a sin 2 2 tan a sin a cos a  tan a.cot a Công thức cộng  cos a b cos a.cos b sin a.sin b  cos a b cos a.cos b sin a.sin b  sin a b sin a.cos b sin b.cos a  sin a b sin a.cos b sin b.cos a  tan a b  cot a b tan a tan b tan a.tan b cot a.cot b cot a cot b tan a tan b tan a.tan b sin(b a )  cot a cot b sin a sin b  tan a b Công thức nhân đôi cos a  sin 2a sin a.cos a  cos 2a cos a cos a a  Công thức lượng giác  sin2 a 360 Góc Góc phụ sin 180 150 sin a cos a 1 sin a a cos a a sin a a cot a a tan a Sổ tay Toán học 11  tan 2a tan a tan a cot a cot a  cot 2a Công thức nhân ba  sin3a  tan 3a 3sin a sin3 a tan a tan a tan a cos3 a 3cos a cot a 3cot a 3cot a  cos3a  cot 3a Công thức hạ bậc cos 2a cos 2a  tan a cos 2a 3sin a sin 3a  sin a Tổng thành tích  sin a  cos a cos b  tan a tan b  tan a tan b cos a cos 2a cos 2a cos 2a 3cos a cos 3a  cos a  cot a  cos3a b cos sin a b cos a cos b sin a b cos a cos b a b  cos a cos b  tan a tan b  cot a cot b sin a b sin a b cos a cos b sin b a sin a sin b sin a b Tích thành tổng  cos a cos b  sin a cos b cos a b sin a b cos a b  sin a sin b sin a b  cos a sin b 10 Cơng thức tang góc chia đôi (biểu diễn theo t  sin a 2t t2  cos a tan t2 t2 cos a sin a cos a b b b sin a b  cot a t2 2t x )  tan a 2t t2  sin x cos x 11 Một số kết thường gặp  sin x cos x  sin x cos x  sin x cos4 x sin x sin x c os4 x  sin x  tan x cos x cos x cot x x x sin cos  sin x 2  cos x 2sin2 x  sin x cos x cos x  cos x  cos x sin x 12 Công thức nghiệm Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang  sin x sin x 3cos x sin x sin x.cos x sin x x ; cos x 2cos2 x cos cos x sin x sin x 2 cos x  sin x m x x arcsin m k m ; arcsin m k k k2 ; k k2  cos x m x x arccos m k m ; arccos m k k x k ; k  tan x m x arctan m k ; m ,k x k ; k  cot x m x arccot m k ; m ,k  cos x x  cos x x  sin x sin x x k2  cos x cos x x  tan x tan  cot x cot ; k k2 1 13 Công thức nghiệm đặc biệt  sin x x  sin x x  sin x k ; k k2 ; k x k2 ; k  cos x k ; k k2 ; k k2 ; k x 14 Phương pháp giải số dạng phương trình lượng giác phương trình lượng giác SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PTLG Phương trình lượng giác đơn giản Phương trình lượng dạng đa thức hàm số lượng giác Đối chiếu điều kiện ĐỀ BÀI ĐÁP SỐ Đưa phương trình tích Đặt ẩn phụ Đánh giá Sử dụng Hàm số - Bất đẳng thức 15 Phương trình đa thức hàm lượng giác Dạng: an u n an 1u n a1u1 a0 sin x ; u Trong đó: u tan x u cos x ; u Phương pháp giải:  Bước 1: Biến đổi phương trình cho dạng chứa hàm số lượng giác  Bước 2: Đặt ẩn phụ (tìm điều kiện cho ẩn phụ) để đưa phương trình đại số ẩn phụ phương trình Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: PP  a sin x b sin x c 0, a Đạ t t sin x , điề u kiệ n t  a cos2 x b cos x c 0, a  a tan x b tan x c 0, a  a cot x b cot x c 0, a PP PP PP Đạ t t cos x , điề u kiệ n Đạ t t tan x , điề u kiệ n cos x Đạ t t cot x , điề u kiệ n sin x 16 Phương trình bậc theo sin cos  Dạng: a sin x b cos x c a, b, c a b2 t 0 cot x Sổ tay Toán học 11 Phương pháp giải:  Bước 1: Kiểm tra +) Nếu a b c phương trình vơ nghiệm +) Nếu a b c phương trình có nghiệm, ta thực tiếp bước a2  Bước 2: Chia vế phương trình * cho a a a Đặt cos a2 sin x.cos b2 b b sin a2 b2 c cos x.sin a2 b sin x b , ta được: a b a b2 Khi ta c sin x b2 c cos x a2 b2 (phương trình bản)  Một số dạng mở rộng:  a sin u b cos u a2 b sin v  a sin u b cos u a2 b cos v  a sin u b cos u a sin v 2 a PP a2 b2 a b sin u a sin v b a a2 b2 a a b cos v với a b sin u a b b b2 b sin u a2 b sin u a a b a b2 cos u sin v sin u cos u cos v cos u sin v cos v a cos u b2 b sin v b a b cos v 17 Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai  Dạng: a.sin x c.cos2 x b.sin x cos x d a, b, c , d Phương pháp giải: Cách 1: +) Bước 1: Kiểm tra cos x có nghiệm hay khơng, có nhận nghiệm +) Bước 2: Nếu cos x chia hai vế cho cos2 x đưa phương trình bậc hai theo tan x : sin x sin x cos x cos2 x d a b c 2 cos x cos x cos x cos2 x +) Bước 3: Đặt t tan x đưa phương trình bậc hai để giải tốn Cách 2: Sử dụng công thức sau: cos x cos x sin x sin x ; cos x ; sin x.cos x 2 Đưa phương trình cho phương trình: b sin x c a cos x d c a Đây phương trình bậc sin cos ta biết cách giải 18 Phương trình lượng giác đối xứng  Dạng 1:  Dạng 2: a sin x cos x b sin x cos x c a sin x cos x Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ t sin x cos x sin x b sin x cos x c Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ , t t sin x cos x sin x , t t2 Thay vào phương trình giải phương trình t2 Thay vào phương trình giải phương trình bậc ẩn t bậc ẩn t sin x cos x Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang sin x cos x  Dạng 3: (Nâng cao) a sin x cos x b sin x cos x c  Dạng 4: (Nâng cao) a sin x cos x b sin x cos x Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ t sin x cos x sin x c Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ , t t2 Thay vào phương trình giải phương trình bậc ẩn t sin x cos x sin x t cos x sin x , t t2 Thay vào phương trình giải phương trình bậc ẩn t sin x cos x HOÁN VỊ – TỔ HỢP – CHỈNH HỢP Phần KIẾN THỨC CẦN NHỚ I QUI TẮC CỘNG: Định nghĩa Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m n cách thực Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực ,…, hành động Ak có mk cách thực cách thực hiên hành động không trùng cơng việc có m1 m2 m3 mk cách thực Công thức quy tắc cộng Nếu tập A1 , A2 , , An đôi rời Khi đó: A1 A2 An A1 A2 An Công việc Hành động A1 Hành động A2 …….……… Hành động Ak Có m1 cách Có m2 cách …….……… Có mk cách m2 mk cách thực cơng việc Có m1 II QUY TẮC NHÂN Định nghĩa Một cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu công đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak liên tiếp Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện, … hành động Ak có mk cách thực cơng việc có m1 m2 m3 mk cách hồn thành Sổ tay Tốn học 11 Cơng thức quy tắc nhân Nếu tập A1 , A2 , , An đơi rời Khi đó: A1 A2 An A1 A2 An Công việc Hành động A1 Hành động A2 …….……… Hành động Ak Có m1 cách Có m2 cách …….……… Có mk cách Có m1 m2 mk cách thực cơng việc III HỐN VỊ Giai thừa  n ! 1.2.3 n    Qui ước: 0!  n! n – !n  n! p!  n! n p ! p p n (với n n– p n– p p) n (với n p) Hoán vị Một tập hợp gồm n phần tử ( n ) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn n! Hoán vị lặp Cho k phần tử khác nhau: a1 , a2 , , ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1 ; n2 phần tử a2 ; ; nk phần tử ak n1 n2 nk n theo thứ tự gọi hốn vị lặp cấp n kiểu n1 , n2 , , nk k phần tử Số hoán vị lặp cấp n kiểu n1 , n2 , , nk k phần tử là: n! Pn n1 , n2 , , nk n1 ! n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh (Thường gặp toán xếp người bàn tròn) Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử n –1 ! Số hoán vị vòng quanh n phần tử là: Qn IV CHỈNH HỢP Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A k n theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank n n n n  Công thức cho trường hợp k n Ann  Khi k k n! n k ! k n n! Pn Chỉnh hợp lặp Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A , phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank nk V TỔ HỢP Tổ hợp Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k ( k chập k n phần tử Ank n! Số tổ hợp chập k n phần tử: C nk k! k! n k ! Qui ước: C n0 n ) phần tử A gọi tổ hợp Tính chất:  C n0 C nn  k C nk 1; n C nk 11 ;  C nk C nn Cnk  k k  C nk ; n Cnk 11 ; C nk 1 C nk ;  C nk  k k Cnk n k k C nk n n Cnk 11 Tổ hợp lặp Cho tập A a1 ; a2 ; ; an số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk Cnk k Cnn k Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp  Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank k !C nk  Chỉnh hợp: có thứ tự  Tổ hợp: khơng có thứ tự Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử ta dùng chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử k n : +) Không thứ tự, khơng hồn lại: C nk +) Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank +) Có thứ tự, có hồn lại: Ank Phần CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP I Phương pháp giải toán đếm Ta thường gặp toán đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải toán ta thường giải theo hai cách sau: Phương án 1: Đếm trực tiếp Sổ tay Toán học 11  Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm  Đếm số phương án thực trường hợp  Kết toán tổng số phương án đếm cách trường hợp Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù tốn:  Đếm số phương án thực hành động H (khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta a phương án  Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a b Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên a1 an ta cần lưu ý: Khi lập số tự nhiên x 0,1,2, ,9 a1 Một số dấu hiệu chia hết:  x chia hết cho an số chẵn Khi giải toán tìm số chữ số chẵn tốn chứa chữ số ta nên chia trường hợp: an , an  x số lẻ an số lẻ  x chia hết cho a1 a2  x chia hết cho  x chia hết cho an chia hết cho an 1an chia hết cho an 0,5 x số chẵn chia hết cho  x chia hết cho  x chia hết cho an an 1an chia hết cho  x chia hết cho a1 a2 an chia hết cho  x chia hết cho 11 tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11  x chia hết cho 25 hai chữ số tận 00,25,50,75 Các kết thường gặp giải tốn liên quan đến hình học  Cho n điểm khơng gian, khơng có ba điểm thẳng hàng n n  Số đường thẳng qua điểm: C n2  Số vêctơ nối hai điểm bất kì: n  Số vêctơ khác nối hai điểm bất kì: An2 n n n n n  Nếu n điểm khơng có điểm đồng phẳng, số tứ diện tạo thành: C n4  Cho đa giác lồi n đỉnh: n n  Số đường chéo đa giác: C n2 n  Số đường chéo qua đỉnh đa giác: n  Nếu khơng có đường chéo đồng qui số giao điểm đường chéo n n n n C n4 24 n n n  Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: C n3  Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: nCn1 n n  Số tam giác tạo thành: C n3  Số tam giác có cạnh đa giác, cạnh lại đường chéo: n  Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác: Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang 10 C n3 n n n n n2 9n 20 Sổ tay Toán học 11 Đạo hàm lần nữa: n n a n x 1.2C n2 a n 2b n n.C nnb n x n 2 Thay a , x số thích hợp Lưu ý: Có nhiều tốn phải nhân x vào vế trước sau đạo hàm để có hệ số phù hợp đề tốn MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT SỬ DỤNG NHỊ THỨC NEWTON n Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có C ni với i số tự nhiên i liên tiếp Trong biểu thức có n i i C ni ta dùng đạo hàm i i  Trong biểu thức có n k C ni ta nhân hai vế với x k , lấy đạo hàm i i i  Trong biểu thức có n a kC ni ta chọn giá trị x a thích hợp i  Trong biểu thức có n i i C ni ta lấy tích phân xác định a; b thích hợp  Nếu toán cho khai triển xa xb n n C ni x a n i xb i i cho phương trình a n i bi  C ni đạt giá trị lớn k n hay k n C ni x a n i ib hệ số x m C ni i m có nghiệm i n với n lẻ, k n với n chẵn XÁC SUẤT Biến cố • Khơng gian mẫu : tập kết xảy phép thử • Biến cố A : tập kết phép thử làm xảy A Suy A • Biến cố khơng: • Biến cố chắn: • Biến cố đối A : A \A • Hợp hai biến cố: A B • Giao hai biến cố: A B (hoặc A B ) • Hai biến cố xung khắc: A B • Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất • Xác suất biến cố: P A •0 P A 1; P 1; P • Qui tắc cộng: Nếu A B n A n (nghĩa A , B biến cố xung khắc) P A B P A P B Mở rộng: A , B (hai biến cố liên quan đến phép thử): P A B P A P B P A.B •P A P A ( A , A hai biến cố đối nhau) • Qui tắc nhân: Nếu A , B độc lập P A.B Thầy Ngơ Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang 14 P A P B DÃY SỐ – CẤP SỐ I Dãy số Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n mệnh đề với giá trị nguyên dương n , ta thực sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n k tuỳ ý k , chứng minh mệnh đề với n k Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A n với với số nguyên dương n +) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n p ; +) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n k mệnh đề với n k Dãy số u: u1 , u2 , , un , Dạng khai triển: un n u n Dãy số tăng, dãy số giảm (Cách chứng minh dãy tăng giảm)  un dãy số tăng un un với n un  un dãy số giảm un un với n un 1 un với n un un với n un un un với n un Dãy số bị chặn  un dãy số bị chặn M : un M, n  un dãy số bị chặn m : un m, n  un dãy số bị chặn M, m :m un M, n II CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: un cấp số cộng Số hạng tổng quát: un u1 un p phải chứng minh với n un un n d ; với n d, n ( d : cơng sai) p thì: Sổ tay Tốn học 11 uk Tính chất số hạng: uk uk ; với k Tổng n số hạng đầu tiên: Sn u1 un u2 n u1 un n 2u1 n 1d III CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: un cấp số nhân u1.q n Số hạng tổng quát: un k Tính chất số hạng: u un un q ( q : công bội) với n uk 1.uk với k Tổng n số hạng đầu tiên: Sn nu1 q u1 q n Sn q q GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC I GIỚI HẠN DÃY SỐ Các giới hạn đặc biệt: 1 ; lim k ; lim n k  lim với k nguyên dương n n  lim c c ; lim q n q ; lim q n q Giới hạn hữu hạn: a (Định lý giới hạn kẹp) Cho dãy số un , wn có : b Nếu lim un c Nếu un a ; lim 0; lim un d Nếu lim un un b thì: lim un a lim un lim a ; lim Giới hạn vô cực: a Quy tắc Nếu lim un a un lim un c Quy tắc Nếu lim un L ; lim thì: lim L lim un thì: Dấu L lim un thì: lim Dấu L Thầy Ngơ Long – Quảng Oai - 0988666363 a.b ; lim lim un ; lim b ; lim un lim wn a ; lim b Quy tắc Nếu lim un lim wn n Trang 16 lim un a un lim un a b b a (dấu ) (dấu ) (dấu ) (dấu ) Cấp số nhân lùi vô hạn:  Cấp số nhân lùi vô hạn: cấp số nhân có cơng bội q thõa mãn q  Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S u1 u2 un u1 q Dạng toán thường gặp P n với P x , Q n đa thức: Q n  Dạng Giới hạn dãy số un với un  Nếu deg P deg Q k ( deg bậc đa thức), hệ số cao P a0 , hệ số cao a0 Q b0 chia tử số mẫu số cho n k để đến kết quả: lim un b0  Nếu deg P deg Q  Nếu k k , chia tử mẫu cho n k để đến kết quả: lim un deg Q , chia tử mẫu cho n k để đến kết quả: lim un deg P f n , f g biển thức chứa g n  Dạng Giới hạn dãy số dạng: un  Chia tử mẫu cho n k với k chọn thích hợp  Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp II GIỚI HẠN HÀM SỐ Các giới hạn đặc biệt: x c với c số x x x0 x với k nguyên dương; lim x k với k lẻ, lim x k x ; lim c  lim x x x0  lim x k c ; lim c ; lim c x x Giới hạn hữu hạn: L ; lim g x a Nếu lim f x x x0 x lim f x x b Nếu f x c lim f x x x0 x x x x x x0 lim f x L M ; lim f x g x L L lim 0; lim f x x0 Giới hạn vô cực: a Quy tắc Cho lim f x x x0 lim f x x x x0 lim f x b Quy tắc Cho lim f x x x0 x0 x0 L ; lim g x x x0 L.M ; lim x x0 f x g x L M M L f x L (Chứng minh hàm số tồn giời hạn) ; lim g x x0 x với k chẵn M thì: x0 g x x0 x L Ta có: Dấu L 0; L Ta có: lim f x g x x x0 Sổ tay Toán học 11 lim g x Dấu L x lim x0 x (dấu ) (dấu ) (dấu ) (dấu ) x0 f x g x Dạng toán thường gặp  Dạng Giới hạn hàm số dạng: lim x a f x 0 g x  Nếu f x , g x hàm đa thức chia tử số, mẫu số cho x a x a  Nếu f x , g x biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp  Dạng Giới hạn hàm số dạng: lim x f x g x  Chia tử mẫu cho x k với k chọn thích hợp Chú ý x coi x đưa x vào khỏi bậc chẵn x  Dạng Giới hạn hàm số dạng: lim f x g x coi x , x Ta biến đổi dạng:  Dạng Giới hạn hàm số dạng: lim x  Đưa dạng: lim x f x f x g x g x f x III HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số liên tục:  Cho hàm số y f x xác định K x0 lim f x x x lim f x x x lim f x x x0 g x K Hàm số y f x liên tục x f x0  Hàm số y f x liên tục khoảng liên tục điểm khoảng  Hàm số y f x liên tục a ; b liên tục a ; b lim f x f a lim f x f b x x a b Các định lý:  Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục khoảng xác định  Tổng, hiệu, tích hàm số liên tục x liên tục x  Nếu hàm số y  Cho hàm số y f x y g x liên tục x g x f x liên tục a ; b f a f b hàm số y Khi phương trình f x nghiệm a ; b Các dạng toán thường gặp  Dạng Xét tính liên tục hàm số dạng: f x Tìm lim g x Hàm số liên tục x0 x x0 Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 lim g x x x0 Trang 18 a f x liên tục x g x g x x x0 a x x0 có  Dạng Xét tính liên tục hàm số dạng: f x lim f x x x x0 a x x0 h x x x0 lim g x x0 x Tìm: lim f x x g x x0 lim g x Hàm số liên tục x x0 x x0 x0 lim f x x x0 lim f x x x0 f x0 a f x0  Dạng Chứng minh phương trình f x có nghiệm khoảng a ; b  Chứng tỏ f x liên tục đoạn a ; b  Chứng tỏ f a f b có nghiệm thuộc a ; b Khi f x Lưu ý: Nếu chưa có a ; b ta cần tính giá trị f x để tìm a b Muốn chứng minh f x có hai, ba nghiệm ta tìm hai, ba khoảng rời khoảng f x 0 có nghiệm ĐẠO HÀM – TIẾP TUYẾN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa đạo hàm điểm Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định khoảng a ; b x điểm x là: f Chú ý:  Nếu kí hiệu lim x0 x x x x0 f x x x0 ; y f  Nếu hàm số y f x0 x0 f x0 x0 f x : x lim x f x0 x x x0 f x0 lim x0 x y x f x có đạo hàm x liên tục điểm Ý nghĩa đạo hàm a) Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y f x có đồ thị C f x M x ; y0 x hệ số góc tiếp tuyến đồ thị C hàm số y  f a ; b , đạo hàm hàm số  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y y f x0 f x điểm M x , y0 x x0 s t thời điểm t s t0  Gia tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình: v a t0 C là: y0 b) Ý nghĩa vật lí :  Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình: s v t0 C v t thời điểm t v t0  Cường độ tức thời điện lượng Q Q t thời điểm t là: I t Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm Các công thức:  C  xn n.x n x 1 un n.u n 1.u , n ,n Q t0 Sổ tay Toán học 11 x  , x x  sin x cos2 x  cot x sin x Các quy tắc: Cho u u x ; v u cos2 u u cot u sin2 u v x ; C : số  tan x  u  u.v  u v u v v u v u v u v v u v  Nếu y u sin u cos u sin x tan u C u C u , v f u ,u u cos u sin u cos x  cos x u , u u u C u u2 C u yx u x f u ux Một số công thức đạo hàm nhanh (với điều kiện phân thức tồn tại)  ax b cx d ax  a1 x ad bc cx d ad a b x a1 b1 bx c b1 x c1 a c x a1 c1 a1 x a.a1 x ax bx c  a1 x b1 bc f x b1 c1 y ac1 a1 x a.a1 x 2 2a.b1 x a1 x bb1 b1 a1c b1 x f x có đạo hàm f f x Kí hiệu : d f x f f c1 bc1 b1c f x điểm x : x0 x f x x gọi vi phân hàm số x tích f x x a1c x có đạo hàm x vi phân hàm số y d f x0  Cho hàm số y a1b x ab1 b c a1 b1 2a.b1 x a1 x Vi phân Định nghĩa:  Cho hàm số y b1 x b c b1 c1 x dx hay dy y dx Cơng thức tính gần đúng: f x0 x f x0 f x0 x Đạo hàm cấp cao a) Đạo hàm cấp 2:  Định nghĩa: f x f x  Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s b) Đạo hàm cấp cao: f n x f n x , n ,n f t thời điểm t a t II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng Tìm đạo hàm theo định nghĩa Phương pháp: Để tìm đạo hàm thêo định nghĩa ta có cách sau : Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang 20 f t0 Cách 1: Theo quy tắc Bước : Cho x số gia x tìm số gia Bước : Tìm giới hạn lim y x x Cách 2: Áp dụng cơng thức: f x0 lim x x0 y tìm f x x y f x y x f x Lập tỉ số x f x0 x0 Cách 3: Áp dụng bảng công thức Chú ý: Khi gặp hàm số phức tạp ta rút gọn hàm số tính đạo hàm, đặc biệt hàm số có chứa hàm số lượng giác  Dạng Phương trình tiếp tuyến đường cong C : y f x tiếp điểm M x ; y0 có dạng: d:y Trong đó:  f f x0 x y0 x0 x hệ số góc tiếp tuyến  x hoành độ tiếp điểm  y0 tung độ tiếp điểm Áp dụng trường hợp sau: Trường hợp Cần tìm Viế t phương trình tiếp tuyến d Hệ số góc: f x C điểm M x ; y0 Ghi Viế t phương trình tiếp tuyến d Hệ số góc: f x C điểm có hồnh độ x x Tung đọ tiế p điể m y0 f Từ x f x0 x0 f x0 Viế t phương trình tiếp tuyến d Hoành độ tiếp điểm x C điểm có tung độ y y0 Hệ số góc: f x Giải phương trình y0 f x Hồnh độ tiếp điểm x Giải phương trình f x0 k Viế t phương trình tiếp tuyến d C Tung độ tiếp điểm y0 f x , biết hệ số góc k tiếp tuyến d Chú ý: Gọi k1 hệ số góc đường thẳng d1 k2 hệ số góc đường thẳng d  Nế u d1 song song với d thì k1 k2  Nế u d1 vng góc với d thì k1.k2  Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đường cong C qua điể m A x A ; y A Phương pháp: Cách 1: Sử dụng tiếp tuyến Bước 1: Gọi tiếp điểm M x ; y0 Bước 2: Phương trình tiếp tuyến Bước 3: Vì tiếp tuyến C điểm M là: y f x0 x qua điểm A nên ta có phương trình y A f x0 x0 x A y0 x0 y0 Giải phương trình trên, tìm nghiệm x , sau thay nghiệm x tìm vào tìm phương trình tiếp tuyến cần tìm Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điể m A có hệ số góc k d : y k x x1 y1 Bước 2: Tìm điều kiện để d tiếp tuyến đường cong C : d tiếp xúc với đường cong C Bước 3: Khử k , tìm x , thay x vào f x k x f k x x1 y1 có nghiệm để tìm k , từ suy tiếp tuyến cần tìm ta Sổ tay Tốn học 11 HÌNH HỌC 11 PHÉP BIẾN HÌNH Phép biến hình  Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng F M gọi điểm M ảnh M hay M  Nếu ký hiệu phép biến hình F ta viết F M điểm M qua phép biến hình F  Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H / F H tập điểm M / , với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H , hay hình H hình H qua phép biến hình F  Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Phép tịnh tiến Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang 22 / F M ảnh  Tv : M M  Tv M M , Tv N v MM  Tv : M x ; y N MN MN x y' M x ; y Khi đó: x y a b Phép đối xứng trục (Đọc thêm – chương trình giảm tải)  Ð :M M M M ( M hình chiếu M M0M Ð : M M Ð : M M ,Ð : N Ð : M ) M N MN  ÐOx : M x ; y M x ; y Khi đó: ÐOy : M x ; y M x ; y Khi đó: x MN x y y x x y y Phép đối xứng tâm (Đọc thêm – chương trình giảm tải)  ÐI : M M IM IM  ÐI : M M ÐI : M  ÐI : M M , ÐI : N M N MN  Cho I a ; b ÐI : M x ; y  Đặc biệt: ÐO : M x ; y MN M x ; y Khi đó: M x ; y Khi đó: x 2a x y 2b y x x y y Phép quay  Q I, : M IM M IM IM ; IM  Q I, : M Khi đó:  Q I, :  Q O ,90 : M x ; y  Q O, 90 : M x;y , M x ; y Khi đó: M x ; y Khi đó: x y y x x N MN y y M , Q I, : N x Phép vị tự  V I ;k : M M  V I ,k M M , V I ,k N IM k.IM  Cho I a ; b V I ; k : M x ; y N k MN k.MN M x ; y Khi đó: x kx k a y ky k b Chú ý:  Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm - Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm phép quay phép dời hình - Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình MN Sổ tay Tốn học 11  Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ABC thành A B C biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp A B C QUAN HỆ SONG SONG Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng Hình Hình  Phương pháp: Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp Tóm tắt: Nếu A d A a A mp ta tìm giao điểm (hình 1) mp d  Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm a sau: - Tìm mp chứa d cho mp cắt mp - Tìm giao tuyến a hai mp mp Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (hình 2) Cách - Bước 1: Tìm hai điểm chung A B - Bước 2: Đường thẳng AB giao tuyến cần tìm ( AB ) Cách - Xác định điểm chung song song với đường thẳng cho trước: Dựa vào định lý sau: a  Đlý (SGK trang 57): Nếu b a b c a , b , c đồng quy (hình 3,4) c a  Hệ quả: Nếu a b ,b d a b d trùng a d trùng với b (hình 5) d Thầy Ngơ Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang 24 Hình Hình Hình a  Đlý 2: (SGK trang 61) Nếu a a b (hình 6) b d  Hệ quả: Nếu a d d (hình 7) a Hình Hình  Đlý (Sgk trang 67) Nếu a Hình b a b (hình 8)  Nhận xét: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Nếu hình vẽ có điểm chung ta chuyển sang cách hai (dựa vào định lý hệ nêu trên) Đường thẳng a song song với đường thẳng b Phương pháp Cơ sở phương pháp cần thực hai bước cho định nghĩa a a, b a b - Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng mặt phẳng hay hiểu điều hiển nhiên xảy chúng nằm hình phẳng - Bước 2: Dùng định lý Thalês, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba), hai đáy hình thang, hai cạnh đối hình bình hành… để khẳng định hai đường thẳng khơng có điểm chung Suy điều phải chứng minh Đường thẳng d song song với đường thẳng Phương pháp: (Đlý SGK trang 61 ) d Nếu d a d a Chứng minh hai mp mp song song b Sổ tay Toán học 11 Phương pháp: (Đlý SGK trang 64) a, b Nếu a b a I mp mp ,b QUAN HỆ VNG GĨC Phần KIẾN THỨC CẦN NHỚ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp P đường a, d d a, b b P d P a b thẳng d vuông góc với mp P ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp P đường thẳng b nằm P Khi a đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a a P b P ,b a b P , a Hai mặt phẳng vng góc ĐL1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với ĐL2: Nếu hai mặt phẳng P P P a Q Q P d a Q a P Q vng góc với đường thẳng a nằm P , vng góc với giao tuyến a Q P Q P Q a P ,a d vng góc với mặt phẳng Q ĐL3: Nếu hai mặt phẳng P Q P Q vng góc với A điểm P đường thẳng a qua A P ,A a điểm A vuông góc với Q nằm a Q P Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang 26 P ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Q P R Q R a a R Phần KHOẢNG CÁCH – GÓC Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp:  Tìm đường thẳng qua M vng góc với H Suy MH MH d M; Lưu ý: Tỉ số khoảng cách Gọi C AB Kẻ AH BK Dựa vào tam giác đồng dạng, suy AH d A ; BK d B; AC BC Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mp P song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp P d O; P OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d Q ; P OH Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d a ;b AB  Cách làm: Cách Chọn mp chứa b vng góc với a Gọi a hình chiếu a lên mp gọi a Từ B dựng đường thẳng vng góc với b B cắt a A AB đường vuông góc chung Cách Ta chuyển khoảng cách từ hai đường thẳng theo thứ tự sau:  Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng khoảng cách điểm đến đường thẳng b Chọn I b Khi  Cụ thể: Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng a cho d a ;b Góc hai đường thẳng d b; d I; Sổ tay Tốn học 11 Góc hai đường thẳng a b : góc hai đường thẳng a b qua điểm phương với a b Góc hai đường thẳng Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng P : góc a hình chiếu a mp P Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng P ta nói góc đường thẳng a mp P 90 Góc hai mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng: góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm Diện tích hình chiếu Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác H mp P S diện tích hình chiếu H H mp P S Với S.cos góc hai mặt phẳng P , P Bài toán khoảng cách Bài toán, xác định khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt bên ABC Xác định khoảng cách từ Cho hình chóp S.ABC , có SA A đến mặt phẳng SBC Lời giải Kẻ AH BC H BC Kẻ AK Ta có: BC BC SA AH BC SAH Lại có AK AK BC SH AK SBC SH BC AK AK d A ; SBC  CHÚC CÁC EM HỌC TỐT  Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363 Trang 28 ... hai cách sau: Phương án 1: Đếm trực tiếp Sổ tay Toán học 11  Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm  Đếm số phương án thực trường hợp  Kết toán tổng số phương án đếm cách trường... x0 x L Ta có: Dấu L 0; L Ta có: lim f x g x x x0 Sổ tay Toán học 11 lim g x Dấu L x lim x0 x (dấu ) (dấu ) (dấu ) (dấu ) x0 f x g x Dạng toán thường gặp  Dạng Giới hạn hàm số dạng: lim x a... sin x 16 Phương trình bậc theo sin cos  Dạng: a sin x b cos x c a, b, c a b2 t 0 cot x Sổ tay Toán học 11 Phương pháp giải:  Bước 1: Kiểm tra +) Nếu a b c phương trình vơ nghiệm +) Nếu a b c