Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a Phần ảo của z bằng 2 lần phần thực của nó cộng với 1.. b Tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z bằng[r]
(1)Chuyên đề Email: nguyenhygv@gmail.com Naêm hoïc : 2015 – 2016 (2) Email: nguyenhygv@gmail.com CHƢƠNG IV: SỐ PHỨC Vấn đề 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Số i i2 = - ( i : đơn vị ảo) Chú ý: (1+ i)2 = 2i Số phức a,b ĐN: z a bi i 1 i: đơn vị ảo, a: phần thực, b: phần ảo Chú ý: o z a 0i a gọi là số thực (a ) o z bi bi gọi là số ảo (hay số ảo) o 0i vừa là số thực vừa là số ảo Biểu diễn hình học số phức: Trong mp(Oxy) Điểm M(a;b) biểu diễn cho số phức z = a + bi Môđun số phức z = a + bi o z a b2 zz OM o z z C , z z o z.z' z z' , z z' z z' z,z' Số phức liên hợp số phức z = a + bi là z a bi o z là số thực z z ; z là số ảo z z Các phép toán số phức Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i với o Hai số phức nhau: o a,b,a ',b' a a ' z z' b b' Cộng và trừ số phức: z z' a a ' b b' i z z' a a ' b b' i Số đối z = a + bi là –z = – a – bi (a, b o Nhân hai số phức: o Chia hai số phức: ) z.z' aa ' bb' ab' a 'b i a bi a bi a ' b ' i a ' b ' i a ' b ' i a ' b ' i x2 y a x, y o Khai z = a + bi Đặt ( x+ yi)2 = a+bi 2 xy b II CÁC DẠNG TOÁN y b O M a x (3) Chuyên đề: Số phức - 3- Bài toán 1: Tìm phần thực và phần ảo và môđun các số phức sau: b) z (1 i)3 (2i)3 a) z i (2 4i)(3 2i) c) z 1 i 1 i Giải: a) z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i Phần thực a = 14; Phần ảo b = - ; môđun z b) z (1 i)3 (2i)3 2i (8i) 10i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z 26 i i i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z 1 i BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài Tìm phần thực và phần ảo và môđun các số phức sau: a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (2 + i)3 – (3 – i)3 c) d) (2 3i)3 3i c) z e) (1 + i)2 – (1 – i)2 f) 3i i g) (2 + i)3 – (3 – i)3 h) (1 2i)2 (1 i)3 (3 2i)3 (2 i)2 Bài Tính: a) 2i f) 5i 2i b) (1 – 2i) + 1i 2i c) 3i i 1 i i d) 2i i i 2i 4i 1 4i (2 3i) Bài a) (TN2010CB) Cho hai số phức z1 = + 2i và z2 = – 3i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 – 2z2 b) (TN2010CB) Cho hai số phức z1 = + 5i và z2 = – 4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 – z2 25i biết z = – 4i z Bài 4.(TN 2013CB) Cho số phức z thỏa (1+i)z – – 4i = Tìm số phức liên hợp z Bài 3(TN 2012CB) Tìm các số phức 2z z và Bài (ĐH 2010A) a) CB:Tìm phần ảo số phức z, biết z 1 3i b) NC: Cho số phức z thỏa z 1 i i 1 2i Tìm môđun số phức z iz Bài (ĐH 2011A) a)CB: Tìm tất các số phức z biết z2 z z b) NC: Tính mo đun số phức z biết 2z 11 i z 1 i 2i Bài 7.(ĐH 2012A,A1) Cho số phức z thỏa i Tính mô đun số phức w = 1+ z + z z i z 1 Bài (ĐH 2014A,A1) Cho số phức z thỏa : z i z 5i Tìm phần thực và phần ảo z (4) Email: nguyenhygv@gmail.com Bải (THPTQG 2015) Cho số phức z thỏa (1 – i)z – + 5i = Tìm phần thực và phần ảo z 3i Bài 10.(ĐH 2011B) Tìm phần thực và phần ảo số phức 1 i Bài 11 (ĐH 2014B) Cho số phức z thỏa 2z + 3(1 – i) z =1 – 9i tính mô đun z Bài 12 (ĐH 2012D-CB) Cho số phức z thỏa (2 i)z 2(1 2i) 8i Tìm môđun số phức 1 i w=z+1+i Bài 13 (ĐH 2013D-CB) Cho số phức z thỏa (1+i)(z – i)+2z=2i Tính mô đun w= z 2z z2 Bài 14 (ĐH 2014D) Cho số phức z thỏa điều kiện: 3z z 1 i 5z 8i Tính mô đun z Bài toán 2: Tính (1 i) 2012 Giải: 1006 (1 i)2012 (1 i)2 (2i)1006 21006.i1006 21006.(i )503 21006.(1)503 21006 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ 1) Tính: 100 c) (1 i)2008 (1 i)2008 a) i i i3 i 2016 b) 1 i 2) Tính a) P 3i 3i (TN-2008L1) Bài toán 3: Tìm các số thực x và y biết : 2x yi 2i x yi 4i Giải: 2x yi 2i x yi 4i (2 x 3) ( y 2)i ( x 2) (4 y)i 2 x x x y y y 1 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Tìm các số thực x và y biết: a) (2x + 3) + (y + 2)i = x – (y – 4) b) (2 – x) – i = + (3 – y)i a) (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)Id) (2x + y) + (y + 2)i = (x + 2) – (y – 4)i Bài toán 4: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) z i z 3i b) z Giải: Đặt z x yi , đó: a) z i z 3i x yi i x yi 3i x ( y 1)i x ( y 3)i x2 ( y 1)2 ( x 2)2 ( y 3)2 x y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x 2y b) z x yi x yi ( x 3)2 y ( x 3)2 y (5) Chuyên đề: Số phức - 5- Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn (x 3)2 y2 tâm I(-3;0) và bán kính BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: z i a) z z b) z z 4i c) d) z i 1 zi e) z2 z f) z i z Bài Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) z b) z c) z i 1 d) z và phần ảo z thuộc đoạn ; 2 Bài Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) Phaàn aûo cuûa z baèng -2 b) Phần thực z thuộc đoạn [-1; 2], phần ảo z thuộc đoạn [0; 1] Bài Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) Phần ảo z lần phần thực nó cộng với b) Tổng bình phương phần thực và phần ảo z 1, phần thực z không âm Bài Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a) z 2i là số thực b) z i laø soá thuaàn aûo c) z i z là số thực tùy ý d) z i z laø soá aûo tuøy yù Bài (ĐH 2010B) Trong mp Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z i 1 i z Bài (ĐH 2009D) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:| z – (3-4j)| = Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số phức o z có bậc hai là o z a là số thực dương có bậc là a o z a là số thực âm có bậc hai là a i x y2 a o z x yi là số phức có bậc là w = a + bi cho w z (a,b,x,y ) 2xy b Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (1) (a, b, c là số thực, a ) Tính b2 4ac o : (1) có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2 o : (1) có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2 b 2a b i 2a (6) Email: nguyenhygv@gmail.com b 2a Phương trình bậc hai: Az2 + Bz + C = (2) (A, B, C là số phức, A ) Tính B2 4AC B o : (2) có hai nghiệm phân biệt z1 ,2 ( là bậc hai 2A B o : (2) có nghiệm kép là z1 z 2A II CÁC DẠNG TOÁN : (1) có nghiệm kép là x o Bài toán 1: Tìm bậc hai các số phức sau: Giải: a) 4 ) b) 4i (NC) a) Hai bậc hai – là : 4 i 2i b) Gọi w x yi là bậc hai 4i , ta có: x x 1 (loại) x x y2 x 3x x y x x 2 y 1 2 x 2 2xy 4 y y y x x y y x x Vậy 4i có hai bậc hai là i và 2 i BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài Tìm bậc hai các số phức sau: 9 ; 11 ; 2i ; 3i ; 4i Bài Tìm bậc hai các số phức sau: 5 12i ; 6i ; 33 56i ; 3 4i ; + 4i; – 12i 9i 5i Bài 3.(TN 2012NC) Tìm bậc hai số phức: z 1 i Bài toán 2: Giải các phƣơng trình sau trên tập số phức: z 3i 2i a) (3 2i)z 5i 3i b) 3i Giải: 8i 25 18 i a) (3 2i)z 5i 3i (3 2i)z 8i z 2i 13 13 z z 3i 2i i z (3 i)(4 3i) 15 5i b) 3i 3i BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài Giải các phương trình sau trên tập số phức: 5i 2i 1 3i z 4i a) b) c) z (2 3i) 2i z 1 i 2i 3i d) z i i e) [(2 i)z i](iz ) f) (iz –1)(z + 3i)( z –2+3i) = 2 2i Bài Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 a) 2iz + – i = b) (1 – i)z + – i = 2z + I c) 2i z i 3i (7) Chuyên đề: Số phức d) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z - 7e) (3 + 4i)z =(1 + 2i)( + i) f) (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) 2i Bài Tìm số phức 2z z , biết z = – 4i z Bài toán 3: Giải các phƣơng trình sau trên tập số phức: a) 7z2 3z b) 3x 2x Giải: a) Ta có: 7z2 3z b2 4ac 47 Phương trình có nghiệm phức phân biệt: b i 3 47.i 3 47.i 47 47 i ; z2 i 2a 14 14 14 2a 14 14 14 b) 3x 2x ' b'2 ac 2 Phương trình có nghiệm phức phân biệt: z1 b i b' i ' 1 2.i 1 2.i 2 i ; x2 i a 3 3 a 3 3 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài Giải các phương trình sau trên tập số phức: x1 b' i ' a) x2 3.x b) 2.x2 3.x c) 3x2 x 2 d) x x e) –5z + 7z – 11 = f) –8z2 + 4z – = Bài Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z3 + = b) x3 – = c) z4 + = d) z – = d) x + = f) x2 – = Bài Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z4 – 5z2 – = b) z4 + 6z2 + 25 = c) 8z4 + 8z3 = z + d) z4 +7z2 – = Bài Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: 5i a) (2 i)(3 i) b) 2i Bài Giải phƣơng trình sau trên tập số phức a) x2 – 4x + = (TN2007 L1) b) x2 – 6x +25 = (TN-2007 L2) c) x2 – 2x + = (TN2008 L2) d) 8z2 – 4z + = (TN2009CB) e) 2z2 – iz + = (TN2009NC) f) (1–i )z +(2–i) = 4–5i (TN 11) f) (z– i)2 + = (TN 2011 NC) g) z2–(2+3i)z+5+3i=0 (TN-13NC) h) z2+3(1+i)z+5i=0 (ĐH2012D) Bài toán 4: Giải các phƣơng trình sau trên tập số phức: (NC) a) x (3 4i)x 5i b) z2 2iz 2i Giải: a) x (3 4i)x 5i b2 4ac 3 4i (1 2i)2 Gọi là bậc hai , ta có 2i Do , phương trình có nghiệm phân biệt: x1 b 4i 2i b 4i (1 2i) 3i ; x 1 i 2a 2a (8) Email: nguyenhygv@gmail.com b) z2 2iz 2i ' b'2 ac 2i (1 i)2 Gọi ' là bậc hai ' , ta có ' i Do ' , phương trình có nghiệm phân biệt: b' ' i i b' ' i (1 i) z1 ; z2 1 2i a a BÀI TẬP TƢƠNG TỰ (NC) Bài Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x2 – (3 – i)x + – 3i = b) x2 1 i x i c) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = d) x2 8i x 14i 23 e) z 14i z 12 5i f) (1 + i)x2 – 2(1 – i)x + – 3i = Bài Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = b) z i 2 z i 13 c) z 81 i z 63 16i d) z 24 1 i z 308 144i Bài Giải các hệ phương trình: z1 z2 i 2 z1.z2 5 5.i a) b) c) z1 z2 2i 2 z z i z z i 2 z1 z2 i z 2i z d) z i z Bài Tìm hai số biết tổng và tích chúng làø: a) 3i vaø 3i b) 2i vaø 4i Bài Giaûi caùc phöông trình sau, bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo: a) z3 (1 i)z2 (i 1)z i b) z3 (4 5i)z2 (8 20i)z 40i Bài Cho đa thức: P(z) z3 (3i 6)z2 (10 18i)z 30i a) Tính P(3i) b) Giaûi phöông trình P(z) Bài Cho z1 , z2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình 1 i z2 (3 2i)z i Tính giaù trò cuûa các biểu thức sau: a) A z12 z22 b) B z12 z2 z1z22 c) C z1 z2 z2 z1 Bài 8.(ĐH-A 2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z +10 =0 Tính A z1 z2 Bài (ĐH 2010D)Tìm số phức z thỏa z và z2 là số ảo Bài 10 (ĐH 2009B) Tìm số phức z thỏa z (2 i) 10 và z z 25 Bài 11(ĐH2010B) Tìm số phức z biết: z 5i 1 z Bài 12(ĐH 2010D) Tìm số phức z Biết z2 z z Bài 13 (ĐH 2011D-CB) Tìm số phức z biết z (2 3) z 9i Bài 14 (TN- 2013) Cho số phức z thỏa: (1 + i)z – – 4i = Tìm số phức liên hợp z Vấn đề 3: DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT (9) Chuyên đề: Số phức - 9- Dạng lượng giác số phức: z = r(cos isin ) (r > 0) là dạng lương giác z = a + bi (a, b , z 0) o r a b2 là môđun z a b o (số thực) là acgumen z thỏa : cos ; sin r r Nhân chia số phức dạng lượng giác: Nếu z = r(cos isin ) , z' r '(cos ' isin ') thì : z r [cos( ') isin( ')] z' r ' o z.z' r.r '[cos( ') isin( ')] Công thức Moa-vrơ: [r(cos isin )]n r n (cos n isin n) Nhân xét: (cos isin )n cos n isin n Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Căn bậc hai số phức z = r(cos isin ) (r > 0) là r (cos i sin ) và r (cos i sin ) r [cos( ) isin( )] 2 2 2 II CÁC DẠNG TOÁN Bài toán 1: Viết dạng lƣợng giác các số phức sau: a) z 2i b) z 1 3.i Giải: cos a) Mô đun r a b2 2 Gọi là acgumen z ta có sin Dạng lượng giác z 2 cos isin 4 cos 2 b) Mô đun r a b Gọi là acgumen z ta có 3 sin 2 2 2 Dạng lượng giác z cos isin BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài Tìm acgumen số phức sau: 1 i a) 2 3.i b) (1 i 3)(1 i) c) d) cos i.sin e) sin i.cos 1 i 4 8 Bài Thực phép tính: a) (cos i.sin ).3(cos i.sin ) b) 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) 6 4 (10) Email: nguyenhygv@gmail.com c) 2 2 i.sin ) 3 2(cos i.sin ) 2 2(cos 2(cos 450 i.sin 450 ) d) 3(cos150 i.sin150 ) Bài Viết dạng lượng giác các số phức sau: a) i d) c) 2.i.( i) b) (1 i 3)(1 i) 1 i e) 1 i 2i f) z sin i cos Bài (ĐH 2013A,A1) Cho số phức z = + phần ảo số phức w 1 i z5 3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực và Bài (ĐH 2012B) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 3iz Viết dạng lượng giác z1, z2 Bài toán 2: a) (1 i)10 i Tính: b) (1 i)10 3i Giải: 10 a) (1 i)10 cos isin i 5 5 25 cos isin 32 i 32i 2 cos isin 32 cos isin 26 1 0i 26 6 (1 i)10 i 32i. 64 2048i 10 5 5 b) Ta có: (1 i)10 cos isin 25. cos isin 32 i 32i 4 2 i 9 (1 i)10 3 3 cos isin 29 cos isin 512i 16 6 2 3i BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Tính : a) ( i)6 f) 1 i 50 3i 49 Bài toán 3: 1 i b) 1 i 33 12 1 3 c) i 2 g) cos i sin i (1 3i )7 3 i 1 d) i 2010 1i e) i h) 2(cos300 i sin 300 ) 280 (11) Chuyên đề: Số phức - 11- Tìm bậc hai các số phức sau: a) z 1 i b) z 1 i 1 i Giải: a) 1 i 2 2 Dạng lượng giác: z cos isin Hai bậc hai z là 1 w1 cos isin i i i và 2 2 2 3 1 w cos isin i i i 2 2 3 2 b z 7 1 i 7 Dạng lượng giác z cos isin 1 i 12 12 7 7 Hai bậc hai z là w1 cos isin và 24 24 7 17 7 17 w cos isin cos isin 24 24 24 24 BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Tìm bậc hai số phức sau: a) –1 + 3.i b) + 5.i f) ( i)6 i g) 1i c) –1 – i 2004 h) 1 i d) 1+ I k) cos isin 3 e) 11 3i (12) Email: nguyenhygv@gmail.com Danh ngôn học tập Vĩ nhân phần trăm thiên phú còn lại 99% là mồ hôi Thomas Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng (13)