The principles of quantum mechanics paul a dirac 4ed

www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net ' PRINCIPfOS DE MECANICA CUANTICA www.elsolucionario.net ~ ( www.elsolucionario.net PRINCIPIOS DE MECANICA CUANTICA por P A M DIRAC Profesor Lucasiano de Matemáticas de la Universidad de Cambridge EDICIONES ARIEL Eaplugues de Uobregat Barcelona : www.elsolucionario.net , -.' ~-.,",":" , , , Título original de la obra: rHE PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS Traducci6n de ANTONIO MONTES e e 1958 O"ford Uai1'enity PH•• 1967 de l traducci6a oaltell• • p E.pafi Y AmoSrie•• Edioioilél Ariel S A B.roelOila Impreao ea E.p.ii Dep6sito legal B 18.229 -1968 1968•• Áriel, S Á •• ÁflÑ J Álfftmio, 108 BqlwgwlI th Llo/w.g/Jf· BlWe"OfI/J www.elsolucionario.net " PROLOGO A LA CUARTA EDICION El cambio más importante f'especto a la tef'Cef'a edición ea la nueoa vef'sión del capítulo que tf'ata de la electrodinámica ~nUca: La elflcltodinámica cntica expuel8ta en la tef'Cef'a edición describía el ~ de panículas caf'gadas individuale8, en e8tf'echa analogía la electrodinámica clá.sica Ef'a una forma de la teoria en que se cón8et'Vaba necesariamente el númef'O de parlículal caf'gadas, y no podía gen81'alhaf'86pata p6f'mitif' la variación del n6mef'o de ellas Actualmente, en físicá de altas en6f'gÚIB se da frecuencia la Cf'eaQĨft Y aniquilación de panículas caf'gadas POI' consiguiente, una electf'odinámIctI cntica que exija la conseroación del númef'O de panículas caf'gtulM est6 lejos de la f'ealidaclfísica A.9t pueB, la hemos substituido p01'una ~ dinámica cuántica que incluye la Cf'eación Y aniquilación de pa1'eB e1ecir6nporitf'6n EllO nos obliga a a.bandonaf' toda analogÚJ BBtf'BCha la , , clá.sica de los electf'ones, pet'o nos 'P"DpOf'cWna una descripción m4s tada de la natuf'aleza Paf'ece pu68 que el concepto ~o de el.ectróA de Sef' un modelo v6lido en física, salvo paf'a algUna8;~ ~1 que se limiten a considef'af' fenómenos de baja enef'gíá f u¡s P.A.M.D St.1ohn's College, Cambridge 11 de moyo de 1957 J , , ' - , www.elsolucionario.net • www.elsolucionario.net ' " DEL PROLOGO A LA PRIMERA EDICION Los fn4todos de trabato de la física trica han sufridc un proJuntlD cambio en el prB8tmtB liglo La tradición clásiCa consideraba el munclo como la tuOCiación de obfetos obsef'VQbles, (partículas, fluidos, campos, etc.) q., mueven según leyes de fuerza fiias, pudiéndose, pues, formar una ,imc:J¡Itl, mental de todo el esquema en el espacio y el tiempo Ello coniluc{a a una física cuyo método consistía en hacer hipótesis sobre el mecanÍlmO y la ~ que relacionan dichos obfetos observables, que explicartln BU com-' portamiento de la forma má8 senc~ posible En los últimos tiempos se ido Moiendo t¡pdo vez más f!!iide~ue la naturaleza actúa en un ~ dNtioto Sus le~mentales ooriíZeQ el mundo directamemeUil corno éste aparece en nuestra imagen mental, sino que actúan sobre un sub_ato ' d8l q" no podemos formamos mnwmcl impgen.!!1§ntal ain cometer de8G- ' finDl La f~ de dichas leyes enge el empleo de las matem4tlca de trtlna/Of'f1IlICÍOt1U Los elementos importantes del mundo fí$lco ~pat'«Hm: como < los "'variantes de dichas transformaciones (o má8 engentm4 IoI, , " oa8l-fnVG1'lant68 o cantidades que se tr:ansforman de modo sencíllp) 'Las COMlB que ConoCBm08 de modo inmediato son las relaciones de estos cad- ÍfWtlf'i(Intes un cierto sistema de referencia, que generalmente elsgjmos de forma que lB· introduzcan simplificaciones particulares sin· importanoicl t.ÜIdB el púnlo de oWa de la teOf'Ú.l genertlZ ~ augs de ltI "Mía de trtlnsformaciones, aplieadtl pritnef'o a la , , UoIdtuI Y tlup ti la teoría Cfttica, constituye el fundamento a loa , ,." tn6todo6 de la f'sica teórica Otra caracterlatica del desaN'Ollo , , ĐOf'Ía , 'la obtención de ecuacione8 que B.eIJn inoariantes ~ • tranrformtJCWnes cada vez mM· glmBf'sles Este modo de procBd8, ti! ~ "'iII4'*'d4 dlJldeel punto 1)iaRJ filo.tófico, pues reconocB el tJBriliüliio papel d8I obwoatlor permili8ndo englobar las reglas que lB 'deducart '"' ~ parttculoru cm un uquema único, y mtJ8fra.ndtJ fItMJ k , ".• 110 le comporta de modo tlf'bitrario; pero a cambio dIfiouTta, ~ ptmJ el estudioso de 16 física Las Bue0a8 teorlaB, 18 coneI- cIenm ~e de BU estructura matemática, UIÓn consUIuId4I ' por concsptos físicos que no pueden expresarse mediante fÍNTrinOl' o mento.f conocid08 previamente por el· estudiante, y que ni 'siquiera f*6den explicitarae adecuadamente paltsbras Al igutlZ que los conceptot ~ (como por ejemplo, proximidad, identidad) que cada uno de aprender desde que nace, los nuevos conceptoade la fíalca sólo ~ ~ ftJ.m4llariZándo8e sus propiedades y UBOS ce., u , ; www.elsolucionario.net PRÓLOGO Desde el punto de vista matemático, la comprensión de las nuevas teot'Ía$ no presenta ninguna dificultad, ya que las matemáticas necesaria8 (por lo menos las que se necesitan para el desarrollo de la física hasta nuestros días) no son esencialmente distintCll$ de las que se empleaban anteriormente Las matemáticas son el instrumento especialmente indicado para tratar conceptos abstractos de cualquier clase, y en este campo su poder o tiene lím.ites Por esta razón tl!,do libro sobre la nuev~ : C!.4~qu.e no s!.,.a puramente una descripción de trava 'os ex eri'fn!31!J.a'lijs, de se! esencial-' - nte mat~_ t!E!!.' m em argo, las matemáticas no son rđJi(jüé fin instru~nto yaeberíamos aprender a ap~mos dé 1i# id!3ª·t~-Sin !!feflOOcia a $U fOl nw 3-Wfemahca Eñ este libro hemos procurado poner en primer pllino el aspecto físico, comenzando por ún capítulo enteramente físico y procurando examinar en lo posible el significado físico que encierra el formalismo en los capítulos siguientes Se necesita gran cantidad de conocimientos teóricos para poder resolver problemas de valor práctico, pero este hecho es una consecuencia inevitable del importante papel que tiene la teoría de transformaciones y que está destinado a acentuarse en la,.¡ísica trica del futuro Respecto al formalismo matemático en que puede presentarwe la teona, el autor de decidirse desde el principio entre dos métodos Uno es el método simbólico, que considera directamente y de forma abstracta las éantidades de importancia fundamental (invariantes, etc., de las transformaciones) y el otro se basa en el empleo de coordenadas o representaciones y trata confuntos de números que corresponden a dichas cantidades Por regla general siempre se.ha utilizado el segundo método para presentar la mecánica cuántica (de hecho se utilizado práeticamente siempre a excepción del libro de Weyl titulado Gruppentheorie und Quantenmechanik) moho método se conoce los nombres de 'mecánica ondulatorltl y '1Tiecánicade las matrices según a cual de los elementos físicos, estados· o cariables dinámicas del sistema, se le conceda mayor importancia Tiene la ventaja de que los matemáticas que exige son más familiares para el ,estudiante medio y además es el método histórico Sin embargo, el método simbólico parece atacar más profundidad la naturaleza de las cosas Nos permite expresar las leyes física8 de una , torma cZara y concisa, y probablemente se irá utilizando cada vez m4a en el futuro a medida que vaya siendo mejor conocido y se vayan desarrollando las matemáticas especiales que emplea Por esta razón hemos elegido 11l método simbólico, introduciendo sólo después las representaciones como ayuda parlJ los cálculos prácticos Ello exigido romper completamente la línea de desarrollo histórica, pero nos permite el' acceso a las nuevas ideas de la forma más directa posible P.A.M.D Sto ]ohn's College, Cambridge 29 de mayo de 1930 n.· l www.elsolucionario.net 316 ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA Veamos cuáles son las ecuaciones de movimiento de Heisenberg que se obtienen el hamiltoniano (91) Tenemos ih8lfrax/8xo = t/raxH-Ht/rax = ifJax(Hp +HQ)-(Hl' +HQ)t/rax = J[t/rax,¡Jibx,]+{lXr(-iJit/rx/' -eA'x,t/rx') + + ml/Jx' -eAox,¡frx,h d x' {lXr(- iht/r xr - eArx t/rx) + mt/rx -eAoxl/Jx}a IXm IXm Luego, (92) que está de acuerdo la ecuación de onda (11) del capítulo XI para un electrón Como H es real, la ecuación de movimiento para ¡Ji será la conjugada de la ecuación de movimiento para t/r y, por tanto, coincidirá (12) del capítulo XI Por consiguiente, la interacción (90) da correctamente la acción del campo sobre los electrones y positrones Por otro lado, haciendo uso de los P.B (46) 8Ap./8xo = [Ap., H] = [Ap., H F ] = B" y éB"x/8xo (93) = [B"X' H] = [B"X' H + [B"X' HQ] = V2Ap.x+ J[Bp.x,Avx']ivx,d~x' F] = V2Ap.x +47tj"x' (94) De (93) y (94) resulta (95) que concuerda la teoría de Maxwell y nos dice que la interacción (90) da correctamente la acción de los electrones y positrones sobre el campo Para completar la teoría hemos de introducir las condiciones suplementarias (54) Hemos de comprobar que están de acuerdo las ecuaciones del movimiento El método empleado en § 77, que consistía en demostrar que las condiciones suplementarias en los distintos instantes en la imagen de Heisenberg eran coherentes, deja de ser aplicable ahora, pues las condiciones cuánticas que relacionan las variables dinámicas en los distintos instantes quedan modificadas por la interacción de forma demasiado complicada para ser desarrolladas Así pues, 10 que haremos será obtener todas las condiciones suplementarias que afectan a las variables dinámicas en un instante y comprobar que son coherentes Tenemos nuevamente las ecuaciones (56) Derivando de nuevo respecto a Xo resulta (96) D8Aj8xp ~ o www.elsolucionario.net 79 LA INTERACCIĨN 317 Por otro lado, la ecuación de movimiento (92) para ¡f¡, como en § 68, nos lleva a que es equivalente a (97) pues la diferencia entre - ei¡;t¡f¡ y fo aunque sea infinita es constante en el tiempo De (95) resulta que (96) se verifica también como ecuación fuerte Luego, las ecuaciones (56) son las únicas condiciones suplementarias independientes que afectan a las variables dinámicas en un instante de tiempo De la primera resulta, como antes, (57), y de la segunda, ayuda de (95) para !Jo = 0, obtenemos ahora (98) Esta puede escribirse (99) o también, según (39), (100) que es precisamente una de las ecuaciones de Maxwell Puede verse, sin que hagamos los cálculos, que en un mismo instante, para dos puntos x y x' [¡Ox, iox'] = 0, pues la diferencia entre - ei¡;ti¡; y jo aunque sea infinita es constante en el no puede contener derivadas de o(x - x'), y a la vez tiene que ser antisimétrico en x y x' Luego, los términos extra 47tiox de la ecuación (98) para los distintos valores de x, comparados las correspondientes ecuaciones (58), conmutan entre sí y a su vez todas las variables dinámicas que figuran en (58) y (57) Por consiguiente, dichos términos extra no alterarán la coherencia de (58) y (57), luego, (98) y (57) son coherentes Nuestro método de introducir la interacción en la teoría no es relativista, pues la energía de interacción (90) llevaba consigo variables dinámicas en un instante en una referencia de Lorentz particular Así pues, podemos preguntarnos si la teoría interacción es relativista o no Las ecuaciones de campo (92) y (95) así como las condiciones suplementarias (54), son evidentemente relativistas Queda por saber si las condiciones cuánticas son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz Conocemos las condiciones cuánticas que relacionan todas nuestras variables dinámicas A¡tx, B¡tx, !/Iax, i¡;ax en un instante dado xo Como ya hemos dicho, no podemos desarrollar las condiciones cuánticas generales que relacionan las variables dinámicas en dos puntos cualesquiera del espacio-tiempo, porque la interacción las hace demasiado complicadas Por www.elsolucionario.net 318 ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA tanto, lo que haremos será llevar a cabo una transformación de Lorentz infinitesimal y desarrollar las condiciones cuánticas en el nuevo sistema de referencia Si podemos demostrar que las condiciones cuánticas en un instante dado son invariantes frente a las transformaciones de Lorentz infinitesimales, quedará demostrado también su invariancia frente a las transformaciones de Lorentz finitas Sea la coordenada temporal en el nuevo sistema de referencia Estará relacionada las coordenadas originales mediante la ecuación x: x~ = Xo + w,.xr, (101) siendo e un número infinitesimal y V r un vector tridimensional tal que sea la velocidad relativa entre las dos referencias Despreciaremos los términos del orden de e2 Una cantidad de campo x en el punto x y en el instante x~ de la nueva referencia tendrá el valor W r x.(X, x~) = x.(x, x o) + (x: - xo) 8x.x/8xo = x.(x, xo) + w,.x)[x.x, H] (102) Su P.B otra cantidad de campo análoga A(x', x*) será (l [x.(X, x~), A(X', x:)] [x.(x, xo) + W r xr[x'x' H] ,A(X', xo) + ev •x~ p.'x', H]] [x.(x, xo), A(X', xo)] + w.x'.[x.x, [A x ', H]] + + w,.xr[[x."" H], Ax '] = [x.(x, xo), A(x', xo)] + Wr(x'r - xr)[x.x, [A x', H]] + w,.xr[[x.x, Ax '], H] + (103) Si x y A son variables if¡ o ifi, nos interesará su anticonmutador y no su P.B Utilizando la notaci6n (69) del anticonmutador, tenemos [x.(x, x:), A(X' x:)]+ = = + wrx'r[x."" [A x', H]]+ + WrXr[[x.x, H], Ax']' [x.(x, xo), A(x', xo)]+ + wr(X~ - xr)[x.x, [A x', H]] +wrXr[ [x.x, Ax']+, H] [x.(x, xo), ) (x', xo)]+ (104) Si x y) son dos variables básicas cualesquiera AJL,B JL , i/!a, ifia, el P.B [x.x, Ax'] o el anticonmutador [x.x, Ax']', según los casos, es un número y, en consecuencia, el último término de (103) o (104) es nulo Llegamos pues a [x.(x, x:), A(X', x: )] ± = [x.(x, xo), A(X', xo)] ± + Wr(Xr' -xr)[x.x, [A x ', H p +H F ]]± + + evr(X'r-Xr)[x.x, [A x ', H Q ]]±, (105) donde [x., A]± significa P.B o anticonmutador, según los casos A partir de la forma (90) de H Q vemos que [A x ', H Q] s6lo puede contener las variables www.elsolucionario.net 80 319 VARIABLES FÍSICAS dinámicas Al'x" l/IGX/' i/fax' no pudiendo contener las derivadas de dichas variables Por tanto, si ['X x, [A.x', H Q ]]± no es nulo, habrá de ser un múltiplo de a(x - x'), y no contendrá términos en las derivadas de a(x - x') Luego, el último término de (105) es nulo Resulta, pues, que ['X.(x, X¿),A(X', xt)] ± tiene el mismo valor que cuando no hay interacción, y, según lo visto en este caso, es invariante frente a las transformaciones de Lorentz Es posible una crítica de la demostración anterior Hemos desarrollado, en los distintos puntos, expresiones en potencias de e despreciando t • Por ese procedimiento no podemos calcular ['X.(x), A(X')]± para dos puntos cualesquiera del espacio-tiempo x y x' próximos entre sí, para los que xI' - x'1' sea del orden de e, pues el resultado de dicho cálculo tiene que ser una función de (xl' - x') que tiene una singularidad cuando el cuadrivector x - x' está sobre el cono de luz y, en consecuencia, tal función no puede desarrollarse en serie de potencias de las (xl' - x'1')' Para que el argumento sea válido hemos de volverlo a formular de modo que se evite el empleo de la función a En lugar de [l!.(x,x~), A(X',X¿)]±, hemos de calcular [J ax'X.(x, xt) d x, Jbx,A(X', x:) d x']± , 3 (106) donde a x y b x son dos funciones continuas arbitrarias de Xl X2, Xa Entonces las cantidades que tenemos que desarrollar en serie de potencias de E: varían todas continuidad, un cambio continuo en la dirección del eje de tiempos, quedando así justificados los desarrollos Las ecuaciones que obtenemos ahora son las de la demostración multiplicadas por a x b x ,d3 xd3 x' e integradas Llegamos a la misma conclusión de antes: los P.B o los anticonmutadoras tienen los mismos valores que en ausencia de interacción Podríamos ver que la razón de que la integración no modifique las condiciones cuánticas es su simplicidad, es decir, el hecho de que sólo sea función de las variables dinámicas básicas y no de sus derivadas Los P.B y anticonmutadores tienen los mismos valores que en ausencia de interacción, siempre que se refieran a variables de dos puntos del espacio-tiempo consideradas en el mismo instante por algún observador Esto significa que los dos puntos han de estar cada uno fuera del cono de luz del otro y únicamente se pueden aproximar a través de líneas que vayan por fuera del cono de luz 80 Variables físicas Todo ket IP> que represente un estado físico de verificar las condiciones suplementarias (B o A,r)JP> = O, (div eS - 4";o)JP> = O (107) + www.elsolucionario.net 320 ELECTRODI:-IÁMICA CUÁNTICA Una variable es física, si al aplicarla a cualquier ket que verifique dichas condiciones da como resultado otro ket que también las verifica Ello exige que conmute las cantidades Bo + A/, (108) Veamos qué variables dinámicas sencillas gozan de esta propiedad Las variables de campo transversales sir, fJlJ r conmutan las cantitidades (108), y en consecuencia son variables físicas La variable ¡/fa conmuta la primera de las cantidades (108) pero no la segunda, luego, no es una variable física Tenemos (¡/fax ifjbx' + ifjbx,¡/fax)¡/fbx' = aab a(x - X/)ifjbx' = ¡/f4X a(x - x') Lllego, (109) A partir de (42) [e ieV xl", div x '] = 41Cie/lí eieVx lfia(x -x') Por tanto, [e ieV x lfi¡fax, div x,-41Cjox'] = [e"v xiI!, div 8x,]¡Jrax-41t'eteV x lfi [¡fax, jox'] = O Luego, si hacemos /,* = o.v x lfi.7, (110) "P ax 'fax' ¡/f:x conmuta las dos expresiones (108) y es una variable física Análogamente también es variable física·7.:* Las variables sir, fJlJ r, ¡/f*, ~ax u ifj* a son las únicas variables físicas independientes, además de las propias cantidades (108) Tenemos io = - ~e(ifj*t¡f¡* - ¡/f*tifj*), (111) Luego, la densidad de carga y la corriente son variables físicas También es fácil ver que y N son variables físicas, como sucedía cuando no existían electrones ni positrones Todas las variables que no quedan modificadas por la arbitrariedad que existe en la determinación de los potenciales electromagnéticos en la teoría de Maxwell, son variables físicas El operador ¡/fax representa la creación de un positrón o la aniquilación de un electrón en el lugar x Veamos cuál es el significado físico del operador ¡/f*ax Según (44), y por tanto, www.elsolucionario.net 80 VARIABLES FÍsICAS 321 o sea, (112) Consideremos un estado IP) en el cual Sr 'tenga ciertamente el valor en el punto x', o sea, Cr Entonces según (112) Srx,if¡:xI P) luego, en el estado if¡!xIP), Sr en el punto x' tiene ciertamente el valor Cr + e(x'r - xr)lx' - xl-a Esto significa que el operador ¡frtx, además de crear un positrón o aniquilar un electrón en el punto x, aumenta el campo eléctrico en el punto x' en la cantidad e(x~ - xr)lx' - xl-a, que coincide precisamente el campo de Coulomb clásico en el punto x' creado por un positrón de carga e en el punto x Luego, el operador ¡fr:x crea un positrón en el punto x junto su campo coulombiano, o bien aniquila un electrón en el lugar x junto su campo coulombiano Para electrones y positrones en interacción el campo electromagnético, más que las variables if¡, i/i, son las variables ¡fr*, i/i* las que corresponden al proceso físico de creación o aniquilación de electrones y positrones, pues dichos procesos siempre deben ir acompañados por el cambio correspondiente de Coulomb en el campo eléctrico alrededor del punto en que sido creada o aniquilada la partícula Puede verse fácilmente que las variables ,7.* ,.T.:* verifican las mismas relaciones de anticonmutación ~ ax 'P ax (70) que las variables sin estrella Al pasar a la representación de momentos, las cantidades importantes no serán las variables no físicas ljJ p definidas por (67), sino las variables físicas i¡J; definidas por ifJ*, = h-j f e'(XP)/fiifJ~dap, Ahora hemos de sustituir (68) por s* y tomar para representar la aniquilación de un electrón de momento p, P ~* para la creación de un electrĨn de momento p, t* para la creación de p p un positrón de momento - p y t*p para la aniquilación de un positrón de momento - p Las variables ¡fr*, i/i*, ~*, ~*, t*, t* verificarán las mismas p P P P P p' relaciones de anticonmutación que las correspondientes variables sin estrella 21.- CUÁNTICA www.elsolucionario.net 322 ELEcrRODINÁMICA CUÁNTICA Podemos expresar el hamiltoniano enteramente en funciĨn de variables físicas Tenemos Luego, Hp+H Q = = J {ifit~r[-i1íl/rr-e(.>1r_vr)¡frJ + ifita",rrnP-+AOjo}d x J {¡P:*t~r(- iliif¡*r - e.>1r¡fr*) + ¡P:*T~m 1"fUj¡* + AOjo} d x El último término del integrando de combinarse HIn De (49) Y (57) H FL ~ - ~! (8'ltt f (U - f (U - Ao)(U + Ao)" d x Ao)io d3 x ayuda de (99) Luego, H FL + I AOjo d3x ~ ! J(U + Ao)io d x Integrando (99) ayuda de la fórmula (72) de § 38 resulta A Ox +U X ~ y por tanto, H FL J , , + {'lAo.10 d3 x "'2 iox, Ix-x'l JI d ! ~, iOxiox' , Ix _ x'l d dSx' x Luego, se tiene H::::: H* H* f {¡P:*t~r(- i1íl/i*r -e.>1rifi*) + ¡p:*ta", m¡fr*} d x + +H + ~ff Ixfoxiox' _ x'l d xd x F7' ' (114) En la ecuación de Schrodinger de un ket IP> que representa un estado físico, podemos emplear H* en lugar de H, pues para dicho ket se tiene i1ídIP>/dxo = HIP) = H*[P> (115) H* s610 contiene variables físicas Las variables de campo longitudinales no aparecen En su lugar aparece el último término de (114), que es precisamente la energía de interacción de Coulomb de todas las cargas presentes Es bastante extraño que aparezca un término de este tipo en una teoría relativista, pues representa la energía asociada la propagación www.elsolucionario.net 80 VARIABLES FfslCAS 323 instantánea de fuerzas Dicho término aparece como resultado de habemos separado de la imagen de Heisenberg, que es donde se pone de manifiesto la invariancia de la teoría Podríamos haber establecido una representación tomando como ket standard el producto del ket standard 10.F) del campo electromagnético aislado, dado por (61) y (62), por el ket standard 10p) de los electrones y positrones aislados, dado por (74) Sin embargo, esta representación no sería adecuada, pues su ket standard no verificaría la segunda de las condiciones suplementarias de (107) Otra representación más conveniente se obtiene tomando un ket standard 100) que verifique (116) (117) Estas condiciones son coherentes, pues los operadores que actúan sobre 10Q) en ellas conmutan o anticonmutan entre sÍ, y además son suficientes para fijar completamente 10Q) salvo en un factor numérico, pues hay el mismo número de ecuaciones que las que se necesitan para fijar 10.F)IOp) Las condiciones (116) muestran que 10Q) verifica las condiciones suplementarias y, por tanto, representa un estado físico Las condiciones (117) nos dicen que 10Q) representa un estado en el que no existen fotones, electrones ni positrones Cualquier ket IP) que verifique las condiciones suplementarias (107) y que, en consecuencia, represente un estado físico puede expresarse en forma de una variable física aplicada al ket 10Q)' Las únicas variables físicas independientes que no dan resultados nulos al ser aplicadas a 100) son d rk , g * ,t*ap Luego, ap (118) Así pues, IP) está representado por un funcional de onda W de las varia* ~* Es una serie de potencias en dichas variables, cuyos bles d rk , ~ ap' al;) distintos términos corresponden a la existencia de los distintos números de fotones, electrones y positrones sus campos coulombianos Empleando la representación (118) y el hamiltoniano H*, podemos no tener en cuenta las condiciones (116), ya que no jugarán ningún papel en la resolución de la ecuación de Schrodinger (115) Las variables longitudinales ya no vuelven a aparecer en la teoría 21 *- CUÁNTICA www.elsolucionario.net , , 324 ELEGrRODINAMICA CUANTICA 81 Dificultades de la teoría El ket standard 100) representa un estado en el que no existen fotones, electrones ni positrones Podríamos inclinarnos a pensar que dicho estado representa el vaCÍo perfecto, pero no puede ser así pues no es estacionario Para que fuese estacionario necesitaríamos que H*IOo) siendo e = qoo) un número Pero H* contiene los términos que al aplicarlos al ket 10Q) no dan factores numéricos, y en consecuencia, destruyen el carácter estaciL1nario de 10Q)' Dichos términos pueden ser considerados como una perturbación que da lugar a una probabilidad de que el estado 10Q) pase a otro estado, de acuerdo la teoría de § 44 El primero de dichos términos descompuesto en componentes de Fourier contiene una parte -e(ar)ab f f J1rk~:pt~P'kfid3kd3p, que da lugar a transiciones en las que se emite un fotón táneamente se crea un par electrón-positrón Tras un tiempo, la probabilidad de transición es proporcional longitud del ket que se obtiene aplicando (120) al ket e2((Xr)ab( a.)Cd X X f f f f