Luan VanSKKN 5

§èi víi nh÷ng häc sinh mµ kh¶ n¨ng nhËn thøc cßn h¹n chÕ , th× viÖc hÖ thống lại các tính chất , các bất đẳng thức thông dụng , các phơng pháp giải và các bài toán vận dụng sẽ giúp cho h[r]

lí chọn đề tài Các bài toán bất đẳng thức là bài toán khó, để giải đợc các bài toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất bất đẳng thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thøc Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải vào đặc thï cña mçi bµi to¸n mµ sö dông ph¬ng ph¸p cho phï hîp Mçi bµi to¸n chøng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác , còng cã bµi ph¶i phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p mét c¸ch hîp lÝ Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức và đợc sử dụng nhiều ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì học sinh cần thiết phải nắm đợc kiến thức bất đẳng thức Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y ë trêng THCS , häc sinh gÆp nhiÒu khã kh¨n giải các bài toán liên quan bất đẳng thức, vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thờng khong có cách giải mẫu, không theo phơng pháp định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả t cha tốt đó häc sinh cßn lóng tóng nhiÒu vµ kh«ng biÕt vËn dông kiÕn thøc vµo gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp kh¸c Trong nội dung đề tài xin đợc tập trung giới thiệu số phơng pháp hay đợc sử dụng chứng minh bất đẳng thức nh: dùng định nghĩa, biến đổi tơng đơng, dùng các bất đẳng thức đã biết, phơng pháp phản chứng và mét sè bµi tËp vËn dông, nh»m gióp häc sinh bít lóng tóng gÆp c¸c bµi toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú học bất đẳng thức nãi riªng vµ bé m«n To¸n nãi chung V× thêi gian cã h¹n, kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cßn cha nhiÒu vµ kh¶ n¨ng nghiên cứu cha tốt nên nội dung đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn gãp ý thªm phÇn i : C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhá h¬n b , kÝ hiÖu a < b + a lín h¬n b , kÝ hiÖu a > b , + a nhá h¬n hoÆc b»ng b , kÝ hiÖu a < b, + a lín h¬n hoÆc b»ng b , kÝ hiÖu a > b , 2, Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt d¼ng thøc : a, TÝnh chÊt 1: a > b <=> b < a b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c c, TÝnh chÊt 3: a > b <=> a + c > b + c HÖ qu¶ : a > b <=> a - c > b - c a + c > b <=> a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > => an > bn a > b <=> an > bn víi n lÎ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : a+b Víi sè d¬ng a , b ta cã : ≥ √ ab Dấu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 Dấu đẳng thức xảy <=> a = b x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : |a|+|b|≥|a+ b| Dấu đẳng thức xảy : ab phÇn ii : (a2 + b2)(x2 + y2) Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp : Dùng định nghĩa - KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A-B >0 - Lu ý : A2 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = - VÝ dô : Bµi : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 víi mäi x (y - 1)2 víi mäi y (z - 1)2 víi mäi z => H víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y <=> x = y = z = Bµi : Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiÖu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) = ( a − b )2 + ( a − c )2 + ( a − d )2 + ( a − e )2 Do ( Do( Do ( Do ( a −b a −c a −d a −e => H )2 víi mäi a, b )2 víi mäi a, c )2 )2 víi mäi a, d víi mäi a, e víi mäi a, b, c, d, e 2 DÊu '' = '' x¶y <=> b = c = d = e = a Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 +b2 a+ b ≥ 2 ( ) Gi¶i : 2 XÐt hiÖu : H = a +b − a+b ( ) = = 2 2 2( a +b )−(a2+ ab+b2 ) a − b ¿2 ≥0 Víi mäi a, b 1 (2 a2 +2 b2 −a − b2 − ab)= ¿ 4 DÊu '' = '' x¶y a = b Phơng pháp ; Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng - Một số bất đẳng thức thờng dùng :  (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2  (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC  (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3  VÝ dô : Bµi : Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng Chøng minh r»ng : 1 + ≥ a+1 b+1 Gi¶i: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) 9 4ab + 1 4ab  (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng Suy điều phải chứng minh Bµi 2: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Gi¶i: Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = [( a+b)+c ]2 ≥ (a+ b) c => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc T¬ng tù : b + c abc c+a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a3 +b3 a+b ≥ 2 ( ) ; đó a > ; b > Gi¶i : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > ; b > => a + b > a3 +b3 a+b ≥ 2 a+b a+b (a2 − ab+b 2)≥  2 a+b  a2 - ab + b2 ( ) ( ) a+b 2 ( ) ( ) ( )  4a2 - 4ab + 4b2  3a2 - 6ab + 3b2 a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2) 3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy : a +b ≥ a+b (2) Bµi 4: Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab <=> a3 + b3 + ab - <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - V× a + b = <=> 2a2 + 2b2 - <=> 2a2 + 2(1-a)2 - ( v× b = a -1 ) <=> 4a2 - 4a + <=> ( 2a - )2 Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab DÊu '' = '' x¶y a = b = 3 Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a +b ≥ a+b Trong đó : a > , b > Gi¶i : Víi a > , b > => a + b > 3 Ta cã : a +b ≥ a+b 0 <=> a2 + b2 - 1 (2) (2) <=> <=> a+b ( a+ b a − ab+b ) ≥ 2 a+b a2 −ab+ b2 ≥ ( ) a+ b 2 ( )( ) ( ) <=> 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 <=> 3(a2 - 2ab + b2 ) <=> 3(a - b)2 Bất đẳng thức này đúng 3 => a +b ≥ a+b (2) DÊu '' = '' x¶y a = b Bài : Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a −√a √b √b − b √a Gi¶i : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a −√a √b √b − b √a  ( a √ a+b √b ¿ − √ab ( √ a+ √ b) √ b ¿3  √ a ¿ +¿ − √ ab ( √ a+ √ b)≥    ¿ ¿ ( √ a+ √ b)(a − √ ab+b)− √ ab( √ a+ √b)≥ ( √ a+ √ b)(a − √ ab+ b)≥ ( √ a+ √ b)( √ a − √b)≥ Bất đẳng thức cuối đúng ; suy : a −√a √b √b − b √a Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy Víi a, b > , a + b ≥2 b a C¸c vÝ dô : Bµi : Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè d¬ng , chøng minh r»ng: Gi¶i a b c + + >2 b+ c c+ a a+ b √ √ √ ¸p dông B§T Cauchy , ta cã :  a + (b + c) √ a(b+ c) Tơng tự ta thu đợc : √ b 2b ≥ c +a a+ b+c c 2c ≥ a+ b a+b+ c √ , √ a 2a ≥ b+ c a+ b+c Dấu ba BĐT trên không thể đồng thời xảy , vì đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c lµ sè d¬ng ) Từ đó suy : a b c + + >2 b+ c c+ a a+ b √ √ √ Bµi 2: Cho x , y lµ sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x √ 1− y 2+ y √ − x Chøng minh r»ng : 3x + 4y Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( x √ 1− y 2+ y √ − x )2 ( |x|≤1 ; | y|≤1 ) (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x + y2 Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y x2 + y 2=1 x >0 , y >0 x y = { §¼ng thøc x¶y   { y= x= §iÒu kiÖn : ≤ x ≤ 2 Bµi 3: Cho a, b, c ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √ b, √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Gi¶i a, ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã : ( √ a+b 1+ √ b+c 1+ √ c +a ) ≤ ( 1+1+1 ) [ ( √ a+b ) 2+ ( √b+ c )2+ ( √ c+ a )2 ] => ( √ a+b+ √ b+c +√ c+ a )2 ≤3 (2 a+2 b+ ac)=6 => √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √ DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a+1)+1 a = +1 2 b ; √ b+1 ≤ +1 √ a+1 ≤ T¬ng tù : c √ c+ 1≤ +1 Cộng vế bất đẳng thức trên ta đợc : √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ a+b+ c +3=3,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = VËy : √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Bµi : Cho c¸c sè d¬ng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : + + ≥ a b c Gi¶i : Ta cã : a + b >0 , a , b > b a 1 + + =¿ a b c 1 1 1 ( + + ) = ( + + ) (a + b + c) a b c a b c a a b b c c = 1+ + + +1+ + + + b c a c a b a b b c = 3+( + )+( + )+( c + a ) ≥ + + + = b a c b a c 1 + + ≥9 => a b c DÊu ''='' x¶y : a = b = c = Ta cã : Bµi a, Cho x , y > Chøng minh r»ng : + ≥ x y x+ y b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh cña tam gi¸c ) Chøng minh r»ng : 1 + + ≥2 p − a p −b p − c 1 ( + + ) a b c Gi¶i a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x+ y ≥ √ xy 1 + x y => (x + y)( + ) x => + b, Ta cã : p - a = x y b+c − a >0 T¬ng tù : p - b > ; p - c > ; áp dụng kết câu a , ta đợc ; T¬ng tù : 1 + ≥ p − b p −c a 1 + ≥ p − a p −c b y x+y √ xy 1 4 + ≥ = p − a p −b ( p − a)+( p −b) c => 2( + + )≥ ( + + ) p−a p−c p−c a b c => ®IÒu ph¶i chøng minh DÊu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi đó tam giác ABC là tam giác Phơng pháp ; Dùng các tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bµi tËp C¸c vÝ dô : Bµi : Cho sè x , y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x + y = Chøng minh r»ng : x4 + y4 Gi¶i Theo tÝnh chÊt b¾c cÇu ta cã : (x2 - y2)  x + y4 2x2y2  2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2  x2 + y2 2xy  2(x2 + y2 ) (x +y)2 2(x2 + y2 ) V× : x + y =  x + y2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 DÊu '' = '' x¶y x = y = Bµi 2: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b T¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Ph¬ng ph¸p : Chøng minh ph¶n chøng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết đề bài để suy điều vô lý §iÒu v« lý cã thÓ lµ tr¸i víi gi¶ thiÕt , hoÆc lµ nh÷ng ®iÒu tr¸i nhîc , từ đó suy đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều đúng + Phủ định suy hai đIều tràI ngợc + Phủ định suy kết luận C¸c vÝ dô : Bài : Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh ; ít có bất đẳng thức sau lµ sai : 2a(1 - b) > 3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Gi¶i: Giả sử ngợc lại bốn đẳng thức đúng Nhân ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a(1 − a) ][ b( 1− b) ][ c (1 −c ) ][ d (1 − d) ] > (1) 256 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a+ 1− a = => a(1 - a) √ a(1 −a) ≤ T¬ng tù : b(1 - b) c(1 - c) 4 d(1 - d) Nhân các bất đẳng thức ; ta có : [ a(1 − a)][ b( 1− b)][ c (1 −c )][ d (1 − d)] > 256 (2) Tõ (1) vµ (2) suy v« lý Điều vô lý đó chứng tỏ ít bất đẳng thức cho đầu bài là sai Bài : ( Phủ định suy hai điều trái ngợc ) Chứng minh không có số dơng a, b, c nào thoả mãn ba bất đẳng thøc sau : a+ <2 ; b+ < ; c + < b c a Gi¶i Giả sử tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức : 1 a+ <2 ; b+ < ; c + < b c a Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta đợc :  1 a+ +b+ + c+ <6 b c a 1 (a+ )+(b+ )+( c+ )<6 a b c V× a, b, c > nªn ta cã : => (1) (a+ )≥ a 1 (a+ )+(b+ )+(c+ ) ≥ a b c ; (b+ )≥ ; (c + )≥ b c §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1) Vậy không tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức nói trên => ®pcm Bài : Chứng minh không có các số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thøc sau : 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a ) > Híng dÉn : t¬ng tù nh bµi : Bài :( Phủ định suy trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b Gi¶i : Gi¶ sö : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = ) Chia hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => > (a - b)2 V« lý VËy : a + b Ph¬ng ph¸p : §æi biÕn sè - Kiến thức : Thực phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho dạng đơn giản , gọn , dạng bài toán đã biết cách giải C¸c vÝ dô : Bµi : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a b c + + ≥ b+c c +a b+ a Gi¶i: §Æt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = x + y + z => a = y + z − x , b = z + x − y , c = x + y − z 2 Khi đó : VT = a + b + c = y + z − x + z + x − y + x+ y − z b+c c +a b+ a 2x 2y 2z y x z x z y 3 ( + )+ ( + )+ ( + ) − ≥ 1+1+ 1− = x y x z y z 2 = Bài : Chứng minh ; với số thực x, y ta có bất đẳng thức : 2 Gi¶i: 1+ y ¿ ¿ 1+ x ¿2 ¿ ¿ 2 2 ( x − y )(1 x y ) ≤ ¿ 2 x −y vµ b = 2 (1+ x )(1+ y ) 1+ y ¿ 1+ x ¿2 ¿ => ab = ¿ ( x − y 2)(1 − x y ) ¿ §Æt : a = Ta cã dÔ thÊy víi mäi a, b th× : - Mµ : (a - b)2 = [ 1− 2 x +1 ] 2 1−x y 2 (1+ x )(1+ y ) a+ b ¿2 a −b ¿ ≤ ab ≤ ¿ ¿ (a + b)2 = Suy : - [ ab 1− 2 y +1 ] Bµi : Cho a, b, c > ; a + b + c Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a +2 bc b +2 ca c + 2ab Gi¶i : §Æt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bµi to¸n trë thµnh : Cho x, y, z > , x + y + z Cøng minh r»ng : 1 + + ≥9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( + + ¿ ≥9 x Theo bất đẳng thức Côsi Mµ : x + y + z nªn suy y z 1 + + ≥9 x y z 7.Ph¬ng ph¸p 7: Dïng phÐp quy n¹p to¸n häc - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n > phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > (n > n0) - VÝ dô : Bµi : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× 2n > 2n + (*) Gi¶i : + Với n = , ta có : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) đúng với n = + Giả sử (*) đúng với n = k (k N;k 3) , tøc lµ : 2k > 2k + ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + hay : 2k+1 > 2k + (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + ( theo gi¶ thiÕt quy n¹p ) đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( Vì : 2k - > 0) Vậy (**) đúng với k + KÕt luËn : 2n > 2n + víi mäi sè nguyªn d¬ng n Bµi : ( T¬ng tù ) T×m sè nguyªn d¬ng n cho 2n > 5n Bµi : Chøng minh r»ng : 1 n −1 (*) (n lµ sè nguyªn d¬ng ) 2n √3 n+1 Gi¶i : + Với n = , ta có : VT = VP = Vậy (*) đúng với n = + Giả sử (*) đúng với n = k ta cã : k −1 2k √ k +1 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + , tức là : k +1 ≤ k −1 đó cần chứng minh : 2k √ k +1 2( k +1) k +1 2(k +1) k +1 2( k +1) √ k +1 √3( k +1)+1 dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k + 12k3 + 28k2 + 20k +4 k => (**) đúng với k VËy (*) dóng víi mäi sè nguyªn d¬ng n Ngoài còn có số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , dùng bất đẳng thức tam giác , tam thức bậc hai ta phải vào đặc thù bàI toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ đề tàI này không hệ thống phơng pháp đó Phần iii : ứng dụng bất đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - KiÕn thøc : NÕu f(x) m th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ m NÕu f(x) M th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ M Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị T×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc cã d¹ng lµ ®a thøc , ta hay sö dông ph¬ng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chó ý : | A|+|B|≥| A+ B| X¶y dÊu '' = '' AB | A|≥ DÊu ''= '' x¶y A = VÝ dô : Bµi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biÕt a vµ b tho¶ m·n : a + b = Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta cã : 2(a2 + b2) (a + b)2 = => a2 + b2 VËy B = a = b = Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) §Æt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - -4 DÊu b»ng x¶y : t =  x2 + x - = (x - 2)(x + 2) =  x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ; b, T¬ng tù Bµi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc a, C = |2 x −3|+|2 x −1| b, D = |x 2+ x+3|+|x 2+ x −6| c, E = |x − 1|+|x − 2|+|x −3|+| x − 4| Gi¶i : a, ¸p dông B§T : | A|+|B|≥| A+ B| DÊu '' = ''x¶y AB => C = |2 x −3|+|1− x|≥|2 x −3+1 −2 x|=|−2|=2 DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x) ≤x ≤ 2  ≤x≤ 2 VËy minC = b, T¬ng tù : minD = : -3 x c, minE = : x Bµi : Cho a < b < c < d , t×m : Minf(x) = |x − a| + |x − b| + |x − c| + |x − d| Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a b x c 1 Bµi : Cho ba sè d¬ng x , y , z tho¶ m·n : + + 1+ x 1+ y 1+ z T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch : P = xyz Gi¶i : 1 y z (1 )+(1- )= + √ 1+ x yz (1+ y)(1+ z ) 1+ y 1+ y 1+ z 1+ z 1+ y 1+ z zx (1+ x)(1+ z) xy (1+ x)(1+ y ) Từ đó suy : P = xyz MaxP = x = y = z = T¬ng tù : Bµi : √ √ Cho sè d¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : F = c+ ¿ c b+ ¿2 +¿ b a+ ¿ +¿ a ¿ Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 + + )+6 a2 b2 c2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 1 T¬ng tù : a + b + c ¿ 1 ( 2+ 2+ 2) a b c ¿ MÆt kh¸c : + + =¿ ( + + ).1 = ( + + )(a + b + c) a b c a b c a b c = + ( a+b ) + ( b+ c ) + ( c + a ) 3+2+2+2=9 b a c b a c => + + a b c 1 => a + b + c ¿ 81 ¿ 1 => ( + + ) 27 a b c F + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = 1 Vậy MinF = 33 : a = b = c = yz √ x −1+zx √ y −2+ xy √ z − Bài : Cho G = xyz Tìm giá trị lớn G : Giải : Tập xác định : x ; y 2; z x−1 y −2 z −3 Ta cã : G = √ + √ + √ x y z x − 1+ z −3 √ ≤ z 2√ Theo BĐT Côsi ta có : √ x −1 ≤ T¬ng tù : √ y −2 ≤ ; y 2√ 1 + + => G 2√ 2 √ VËy MaxG = 1 + + 2√ 2 √ 3 x−1 => √ x đạt đợc x = ; y = ; z = Bµi a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña H = x √x − víi x > b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña K = |x| √ 1− x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài : II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) phơng trình sau đó suy luận để nghiệm phơng trình Nếu VT = VP giá trị nào đó ẩn ( thoả mãn TX§) => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu VT > VP hoÆc VT < VP t¹i mäi gi¸ trÞ cña Èn => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - C¸c vÝ dô : Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 13 √ x −1 + √ x+1 = 16x Gi¶i: §iÒu kiÖn : x (*) Cách : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 √ x −1 + √ x+1 = 13.2 √ x −1 + 3.2 √ x+1 2 13( x - + ) + 3(x + + ) = 16x 4 DÊu '' = '' x¶y { √ x+1= √ x −1=  x= tho¶ m·n (*) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiÖm x = Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña L = √ x −3 + √ 5− x b Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x −3 + √ 5− x - x2 + 4x - = (*) Gi¶i : a Tãm t¾t : ( √ x −3 + √ 5− x )2 2(2x - + - 2x) =  √ x −3 + √ 5− x => MaxL = x = b TX§ : ≤ x ≤ 2 (*)  √ x −3 + √ 5− x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + 2 , dÊu '' = '' x¶y x = => víi x = ( tho¶ m·n TX§ ) th× VT = VP = => ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x = Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ − x + √ x+2 = x2 - 6x + 13 Gi¶i : TX§ : -2 x VP = (x - 3)2 + 4 DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = ( √ − x + √ x+2 1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT , dÊu '' = '' x¶y √ − x = √ x+2  x = => không có giá trị nào x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x −12 x +16 + √ y − y +13 = HD : √ x −12 x +16 ; √ y − y +13 => VT {xy−−2=0 2=0 DÊu '' = '' x¶y :  {x=2 y=2 => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = ; y = III - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình : - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi phơng trình hệ , suy luËn vµ kÕt luËn nghiÖm Lu ý : Mét sè tÝnh chÊt : a, a2 + b2 2ab b a + c < ; c > => a < b c a >1 b nÕu a > b > - C¸c vÝ dô : Bµi : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x +2 y − y +3=0 2 x + x y − y=0 { (1)  x3 = - - 2(y - 1)2  x3 (2)  x2 2y 1+ y -1 x ( v× + y2 - (*) 2y)  -1 x (**) Tõ (*) vµ (**) => x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta cã : y = => HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : x = -1 ; y = - Kiến thức : Biến đổi phơng trình hệ , sau đó so sánh với phơng trình còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc Bµi : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x+ y + z =1 x + y + z =xyz { Gi¶i : ¸p dông : B§T : A2 + B2 2AB dÊu '' = '' x¶y A = B Ta cã : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) M¾t kh¸c : x2y2 + y2z2 2x2yz y2z2 + z2x2 2xy2z x2y2 + z2x2 2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz (**) Tõ (*) vµ (**) => x4 + y4 + z4 xyz DÊu '' = '' x¶y : x = y = z mµ x + y + z = nªn : x = y = z = VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = y = z = C¸ch 2: ¸p dông B§T C«si ; - KiÕn thøc : Dïng ph¬ng ph¸p thÕ Bµi : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x + y 2+ z3 =14 1 x y z ( + + )( + + )=1 2x y z { (víi x, y, z > 0) Gi¶i : ¸p dông : NÕu a, b > th× : a + b ≥2 b a (2)  ( x + y + z )(3 x+2 y + z)=36 x y x z y z  ( y + x )+3( z + x )+ 2( z + y )=22 MÆt kh¸c : v× x, y, z > nªn ( x + y )≥ 12 y x x z 3( + )≥ z x x y x z y z ( + )+3( + )+ 2( + )≥ 22 y x z x z y ; z y 2( + )≥ y z Dấu '' = '' xảy x = y = z , thay vào (1) ta đợc : x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = <=> x - = <=> x = VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : x = y = z = * Ngoài còn có số ứng dụng khác bất đẳng thức , đòi hái häc sinh ph¶i linh ho¹t vµ s¸ng t¹o gi¶i , häc sinh ph¶i n¾m ch¾c đợc các kiến thức bất đẳng thức thì vận dụng đợc Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên Bµi : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 1 + + x y z =2 Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , ta gi¶ sö x = + +1 => 2z x y z z y z , ta cã : , mµ z nguyªn d¬ng Vậy z = Thay z = vào phơng trình ta đợc : 1 + =1 x y Theo gi¶ sö , x y , nªn = 1 + x y y Y nguyªn d¬ng nªn y = hoÆc y = Víi y = kh«ng thÝch hîp Víi y = ta cã : x = VËy (2 ; ; 1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm phơng trình là : (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Thùc nghiÖm s ph¹m Bài vận dụng Bất đẳng thức để giải phơng trình A Môc tiªu - Giíi thiÖu vµ híng dÉn häc sinh néi dung kiÕn thøc gi¶i ph¬ng tr×nh nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki và tính chất bất đẳng thøc - Hình thành kỹ giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức thông qua việc chữa các bài tập đợc đa trên sở các bài toán chứng minh bất đẳng thức , kết suy từ các bất đẳng thức quen thuộc hay tính chất bất đẳng thức - Học sinh nắm đợc ph]ơng pháp giải , nhận dạng đợc dạng bài tập và biÕt vËn dông vµo gi¶i c¸c bµi tËp t¬ng tù - học sinh đợc rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính xác , ph¸t huy tÝnh tÝch cùc vµ s¸ng t¹o cña häc sinh B ChuÈn bÞ : C Các hoạt động dạy học 1, ổn định lớp 2, KiÓm tra bµi cò HS1: T×m Min cña M = x2 - 6x + 13 HS2: T×m Max cña N = √ x −3 + √ 5− x HS3: Bất đẳng thức Côsi ; Bunhiacôpxki ? Dấu đẳng thức xảy nµo ? GV: Ch÷a bµi HS1: M = x2 - 6x + + = (x - 3)2 + 4 => Min M = x = HS2 : VËn dông B§T Bunhiac«pxki ta cã : ( √ x −3 + √ 5− x 1)2 (1 + 1)(2x - + - 2x) = => √ x −3 + √ 5− x => Max N = 2x - = - 2x  x = HS3 : ViÕt c¸c B§T 3, Bµi míi : a, Đặt vấn đề : §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh Èn x ? c¸ch gi¶i ? HS : Có dạng A(x) = B(x) , đó A(x) , B(x) là các biểu thức biÕn x C¸ch gi¶i : T×m §KX§ (nÕu cã) T×m tÊt c¶ ¸c gi¸ trÞ cña biÕn tho¶ m·n §KX§ nghiệm đúng phơng trình đã cho GV : NÕu ta cã A(x) a ; B(x) a , vËy ph¬ng tr×nh A(x) = B(x) cã nghoiÖm nµo ? HS : Khi A(x) = B(x) = a ( x¶y trêng hîp dÊu b»ng ) GV : Đặt vấn đề vào bài B, Bµi gi¶ng : Hoạt động thày và trò Néi dung 1, Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : a, √ x −3+ √ −2 x=2 (1) b, √ x −1+ √ 5− x=10 (2) Gi¶i a, §k : ≤x ≤ 2 VT 2; x¶y '' = '  x = GV : yªu cÇu hs lµm c©u b VËy 91) cã nghiÖm x = Hs tr×nh bµy lêi gi¶i b, §k : x (3 √ x −1+ √ 5− x )2 (9+ 16)(x - + - x) = 25 = 100 => VT 10 61 DÊu '' = '' x¶y x= 25 61 VËy (2) cã nghiÖm x= 25 Hoạt động 2: Vận dụng hớng dẫn HS Bài 2: Giải PT √ x −3+ √ −2 x − x +4 x −6=0 biến đổi  √ x −3+ √ −2 x=x − x +6 GV: Yªu cÇu hs nhËn d¹ng pt HD : HS : biến đổi suy VT DÊu '' = '' x¶y x = VP DÊu '' = '' x¶y x = - VT VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm - VP x=2 ? VËy PT cã nghiÖm kh«ng ? cã nghiÖm nµo ? Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh : HS : PT cã nghiÖm VT = VP = 13 √ x −1 + √ x+1 = 16x HS: tr×nh bµy lêi gi¶i §iÒu kiÖn : x (*) Cách : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : GV : Yªu cÇu HS lµm bµi tËp 13 √ x −1 + √ x+1 ? Em h·y nªu c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh GV gäi ý : Em cã nhËn xÐt g× vÒ VT cña = 13.2 x −1 + 3.2 √ √ x+1 ph¬ng tr×nh 2 HS : Chứng minh đợc VT 16x 13( x - + ) + 3(x + + )= => t×m nghiÖm cña PT 4 16x DÊu '' = '' x¶y √ x −1= GV : NhËn xÐt HS hoµn thµnh bµi tËp vµo vë  x= tho¶ m·n √ x+1= Hoạt động 1: Dạng 1: GV: yªu cÇu HS gi¶i bµi tËp Gîi ý: ? NhËn xÐt vÕ tr¸i cña (1) HS : VT VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµo ? { PT (1) cã nghiÖm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiÖm x = Hoạt động 3: Dạng GV : Lu ý √ A ≥ ; A2 X¶y dÊu '' = '' nµo ? HS : dÊu '' = '' x¶y A = Gv: yªu cÇu hs t×m L ? ¸h tr×nh bµy lêi gi¶i GV : híng dÉn HS t×m GTNN cña √ x −10 x+ ? => ®pcm GV đề xuất bài toán ; ? Nêu đặc điểm biểu thức c¨n ? HS rót nhËn xÐt : VT ? Tìm x để VT = VP Hoạt động : Vận dụng GV : yªu cÇu HS gi¶i ph¬ng tr×nh HS lªn b¶ng tr×nh bµy lêi gi¶i HS díi líp lµm vµo vë BT Bµi a, T×m cña L = √ x +6 x +12 b, Chøng minh r»ng : √ x +6 x +12+ √5 x − 10 x +9 ≥ gi¶i: a, Ta cã : 3(x + 1)2 + 9 => L = √ x +6 x +12 X¶y dÊu '' = '' x = -1 VËy L = x = -1 b, T¬ng tù ; √ x −10 x+ 9≥ VËy : √ x +6 x +12+ √5 x − 10 x +9 ≥ Bµi : Gi¶i PT √ x +6 x +12+ √5 x − 10 x +9=5 HD : √ x +6 x +12 dÊu '' = '' x¶y x - √ x −10 x+ 9≥ dÊu '' = '' x¶y x = VËy PT v« nghiÖm Bµi : GPT √ x +6 x +7+ √ x2 +10 x+ 14=4 − x − x Gi¶i; x +1 ¿ +4 ¿ 3¿ √ x +6 x +7= √¿ X¶y dÊu '' = '' x = -1 x+1 ¿2 +9 ¿ 5¿ √ x +10 x+14= √¿ X¶y dÊu '' = '' x = -1 VËy PT cã nghiÖm : x = -1 Hoạt động Củng cố ? Kh¸i qu¸t c¸ch gi¶i PT A(x) = B(x) A(x) m x¶y dÊu '' = '' x = a B(x) m x¶y dÊu '' = '' x = b => PT cã nghiÖm x = a nÕu a = b NÕu a # b => PT v« nghiÖm 4, Híng dÉn häc ë nhµ : Xem lại cách giải các bài tập đã chữa lớp Vận dụng tốt các kiến thức đã học để giải các bài tập Bµi tËp vÒ nhµ : Bµi 1: Gi¶i PT : a, √ x −12 x +6+ √ y − y +13=5 b, √ x − x +5+ √2 x2 − x+ 14=−2 x2 +2 x+ √ −1 D, Tæng kÕt - Rót kinh nghiÖm PhÇn kÕt luËn Bất đẳng thức là kiến thức khó , có nhiều phơng pháp giải , có nhiều ứng dụng việc giải các dạng toán , bài toán bất đẳng thức lại đa dạng và phong phú , thông thờng không có lời giải mẫu Vì để giúp học sinh có thể học tốt kiến thức bất đẳng thức và vận dụng đợc mét sè kiÕn thøc cÇn thiÕt , mét sè ph¬ng ph¸p suy nghÜ cÇn thiÕt cña bé m«n to¸n ViÖc hÖ thèng l¹i c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh , nh÷ng vÝ dô vµ bµi tËp minh ho¹ kÌm theo , nh÷ng kiÕn thøc lu ý , gîi ý häc sinh , sÏ gióp cho häc sinh hiểu đợc rộng và sâu phơng pháp giải , số bài tập vận dụng đa nhằm để củng cố kiến thức bất đẳng thức và phần nào đó đinhj hớng cho học sinh biết cách lựa chọn phơng pháp để giải đợc các bài tập vËn dông RÌn luyÖn kh¶ n¨ng t , kh¶ n¨ng ph©n tÝch , tæng hîp , ph¸t huy tÝnh tÝch cùc vµ trÝ th«ng minh cña häc sinh §èi víi nh÷ng häc sinh mµ kh¶ n¨ng nhËn thøc cßn h¹n chÕ , th× viÖc hÖ thống lại các tính chất , các bất đẳng thức thông dụng , các phơng pháp giải và các bài toán vận dụng giúp cho học sinh hiểu đợc các công việc cần thiết giải bài toán bất đẳng thức , nắm đợc cách trình bày cho dạng bài toán , tập dần cách phân tích đề bài để biết cách lựa chọn hớng , kiến thức và vận dụng kiến thức phù hợp , nâng dần hiểu biết kiến thức bất đẳng thức V× kinh nghiÖm häc tËp , gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu cßn nhiÒu h¹n chÕ , nên đề tài không tránh khỏi thiếu xót , có vấn đề nội dung đặt cha , việc trình bày đề tài cha tốt , nên tôi mong nhận đợc quan tâm , bảo đóng góp ý kiến và giúp đỡ từ phía các thấy cô giáo , các bạn đồng nghiệp , các em học sinh , để việc nghiên cứu kiến thức bất đẳng thức tôi ngày tốt , sâu , để áp dụng vào giảng dạy có hiệu tốt , để giúp các em học sinh ngày giỏi T«i xin tr©n thµnh c¶m ¬n ! H¶i D¬ng , Ngµy 14 th¸ng n¨m 2006 Tµi liÖu tham kh¶o 1.T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 340 th¸ng 10 n¨m 2005 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 341 th¸ng 11 n¨m 2005 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 342 th¸ng 12 n¨m 2005 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 343 th¸ng 01 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 344 th¸ng 02 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 345 th¸ng 03 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 346 th¸ng 04 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 347 th¸ng 05 n¨m 2006 - NXBGD SGK , SGV , SBT To¸n - Nhµ xuÊt b¶n GD - n¨m 2004 3.LuyÖn gi¶i vµ «n tËp To¸n tËp - Vò D¬ng Thuþ ( chñ biªn ) NXBGD - 2004 4.To¸n n©ng cao §¹i sè - Vò H÷u B×nh - NXBGD - N¨m 2001 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số - Vũ Dơng Thuỵ (chủ biên) NXBGD - 2004 ¤n tËp vµ kiÓm tra §¹i sè - Vò H÷u B×nh - T«n Th©n NXBGD - 1996 Nh÷ng bµi to¸n chän läc cho trêng chuyªn líp chän TËp P.TS §ç §øc Th¸i - N¨m 1993 Thùc hµnh gi¶i to¸n - s¸ch C§SP - Vò D¬ng Thuþ (chñ biªn) NXBGD - N¨m 1999 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ( Quyển thợng ) Chñ biªn : NguyÔn §øc §ång - NguyÔn V¨n VÜnh - NXB TrÎ 10 T¹p chÝ To¸n tuæi th¬ - Sè th¸ng n¨m 2003 Tæng biªn tËp : Vò D¬ng Thuþ