Tìm hai số đó.[r]
(1)Dạng 3.3: Luỹ thừa A - Tìm số dư: Bài 3.3A.1: 10 a)Tìm số dư chia 2006 cho 2000 b) Tìm số dư phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91 Bài 3.3A.2: Tìm số dư chia 29455 - cho Bài 3.3 A.3: Tìm số dư chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111 Bài 3.3 A.4: Tìm số dư chia 15325 - cho Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư chia 10! cho 11 2) Tìm số dư chia 17762003 cho 4000 Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư chia 13! cho 11 b) Tìm số dư phép chia: 715 : 2001 Bài 3.3 A.7: Tìm số dư chia 570 + 750 cho 12 Bài 3.3 A.8: Tìm số dư chia 51200 cho 41 Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có: 5120041 51200(mod 41) 32(mod 41) Mặt khác:21 2(mod 41) , 22 4(mod 41) , 23 8(mod 41) , 24 16(mod 41) , 25 32(mod 41) , 26 23(mod 41) , 27 5(mod 41) 2100 = 214.7+2 = (27)14.22 (5)14.22(mod 41) Ta có:52 25(mod 41) , 53 2(mod 41) 514 = 53.4 +2 =(53)4.52 24.52(mod 41) 31(mod 41) Nên: 2100 (5)14.22(mod 41) 31.22(mod 41) 1(mod 41) ABC 2100 = 41q +1 (q N) Vậy: 51200 =5120041q +1 = (5120041)q.51200 (32)q 51200(mod 41) (32)q 32(mod 41) (32)q+1 (mod 41) (q N) Cách này không ra! Cách khác:Ta có:5120040 1(mod 41) ,51200 32(mod 41) Mà: 22 -1(mod5) (22)48 1 (mod5) (22)48 1.2 (mod5) 297 2 (mod5) 297 23 2.23 (mod5.23) 2100 16 (mod 40) Nên: 2100 = 40q +16 Cho nên: 51200 =5120040q +16 = (5120040)q.5120016 3216(mod 41) Mà: 3216 = 280 = (240)2 1(mod 41) Vậy: 51200 1(mod 41) Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư chia (515 + 1) cho (212 +1) b) Hãy tìm số dư r Bài 3.3 A.10: Tính phần dư các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 chia cho 13 và điền vào bảng sau: 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 Số dư Bài 3.3 A.11: a) Tìm số dư chia 19972008 cho 2003 100 100 100 100 (2) b/ Tìm số dư chia 19972001cho 2003 c/ Tìm số dư chia 2100 cho 100 d/ Tìm số dư chia 9100 cho 100 e/ Tìm số dư chia 11201 cho 100 Bài 3.3 A.12: Tìm số dư chia 102007200708 cho 111007 B - Chứng minh chia hết: Bài 3.3B.1: 1) Chứng minh rằng: 42n+1 + 3n+2 13 2) Chứng minh với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức: [7.52n + 12.6n] 19 Bài 3.3B.2: a/ Chứng minh rằng: 24n - 15 b/ Chứng minh rằng: 6969+1919 44 Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 18901930 + 19451975 b) 192007+132004 119 69 220 102 Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220 + 119 +69 Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng: a) 25n - 31 b) (n2 + n - 1)2 - 24 Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: + 461 Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng: a) 1n + 2n + 3n + + mn (mod m ) b) A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ c) B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với số nguyên n Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222 Giải: Ta có:2222 3(mod7) , 5555 4(mod7) Mặt khác:22226 1(mod7) , 5555 = 5(mod6) 5555 = 6q +5 (q N) nên 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 3(mod7) Tương tự: 55552222 4(mod7) Vậy: 22225555 + 55552222 7(mod7) 0(mod7) đpcm Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng: n N* ta có: 2 a) 17 b) 15n 19 2 2 Giải:a) Với n = thì: 4 217 2 Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k N , k 1) tức là: 17 2 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + tức là: 17 Thật vậy: 2 k chẵn và 4 k lẻ 22 k chẵn và 2 k lẻ * 2 Vậy: 17 với k đpcm Bài 3.3 B.10: CMR: 2 a) +3 7 b) 1923 c) 2137 69 220 119 n n n n n 1 k k k 1 k1 k1 k 1 n1 k 1 10 n1 n2 k 1 (3) Giải: c) Ta có:236 1 (mod 37) Mà: 26 1(mod 9) nên:(26)n 1(mod 9) (26)n 22 1.22 (mod9 22) 26n +2 4 (mod36) 26n +2 =36q +4 (q N) Nên: = 236q+ =(236)q.24 16 (mod 37) n2 26 n4 Vậy: 21 16 21(mod 37) 0(mod 37) dpcm Bài 3.3 B.11: Số 312 - chia hết cho hai số tự nhiên nằm khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: a/20012004 + 20032006 10 b/ + 72 + 73+ …+72008 400 Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n thì : 3n+2 - 2n+2 +3n - 2n 10 C - Số tận cùng: Ta có: abcde a.10 b.10 c.10 d 10 e Cho nên: - Tìm chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 101 - Tìm chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 102 - Tìm chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 103 - Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10n Bài 3.3C 1: a/Tìm chữ số tận cùng số:9 14 b/Tìm chữ số tận cùng số: 14 c/Tìm ,3,4,5 chữ số tận cùng số: 521 Bài 3.3 C 2: Tìm chữ số tận cùng số:2 14 Bài 3.3 C 3: Tìm chữ số tận cùng số:14 Giải:Ta có:14 4(mod 10) Mà: 14 - (mod 5) 1413 - (mod 5) 1413 - 1.7 (mod 5) 1413 - 1.7.2 (mod 5.2) 1414 - 14 (mod 10) (mod 10) Nên: 1414 =10q +6 (q N) 14 Vậy: 14 = 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2 Vì : q N nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là Cách 2: Ta có:142 (mod 10) Nên: (142)7 67 (mod 10) (mod 10) 1414 = 10 q +6 (q N) 14 14 = 1410q +6 = (142)5q 146 6 146 (mod 10) 6 (142)3 (mod 10) 14 14 14 14 (4) 6 63 (mod 10) 64 (mod 10) 6 (mod 10) Vậy: Chữ số tận cùng là Bài 3.3 C 4: Tìm 2,3,4,5, chữ số tận cùng số:521 HD: 521=514 54 53 203125 (mod 106) Bài 3.3 C 5: Tìm chữ số tận cùng số:51995 Bài 3.3 C 6: a) Tìm chữ số tận cùng của: 9 99 b)Tìm chữ số tận cùng của: 11 2 (100) 100(1 1 )(1 ) 40 Giải: a) Vì 100 = nên: Ta có: 940 1(mod 100) Mặt khác: 92 1(mod 40) (92)4 1(mod 40) (92)4 1.9(mod 40) 99 = 40q + (q N) Vậy: = 940q + = (940)q.99 99 (mod 100) 89 (mod 100) KL: Hai chữ số tận cùng là:89 9 b) Ta có: 89 (mod 100) nên = 100k + 89 (k N) 9 9 99 119 = 11100k + 89 = (11100)k 1189 mà 115 51(mod 100) (115 )2 1(mod 100) (1110 )10 1(mod 100) 11100 1(mod 100) 99 Nên: 11 1189(mod 100) 1140.2+9(mod 100) (1140)2.119(mod 100) 119(mod 100) 91 (mod 100) 99 KL: Hai chữ số tận cùng 11 là: 91 Bài 3.3 C 7: Tìm chữ số tận cùng 21 + 35 + 49 + + 20048009 Bài 3.3 C 8: Tìm số tận cùng các số: 6713 và 21000 Bài 3.3 C 9: Tìm hai số tận cùng số: 21999 + 22000 + 22001 Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng số:2999 2010 870 41 90 2011 51 19 Bài 3.3 C.11: Tìm số tận cùng số: A 22 Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng số:2007200820072008 99 99 Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng số: Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng số:1012 + 1023+1034+1045 (5)