Luan VanSKKN 10

C¬ së thùc tiÔn: Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một phơng trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho häc sinh nh÷[r]

Phần I: Những vấn đề chung I Lí chọn đề tài C¬ së lÝ luËn: Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là đợc sinh và lớn lên thời đại mà các cách mạng khoa học kĩ thuật công nghÖ ®ang trµo d©ng nh vò b·o, th«ng tin bïng næ tõng phót tõng giê, c¸i míi nµy cha kịp đăng quang đã phải nhờng chỗ cho cái khác đến thay Vậy thì thầy cô giáo, học sinh phải hành động nh nào? Việc học tập có xu hớng vào chiều sâu “học phải đôi với hµnh”, vËy ph¶i cã nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y vµ häc cã hiÖu qu¶ tèi u nhÊt nh»m tìm đờng ngắn nhất, hay việc học tập để giúp chúng ta nắm vững đợc kiến thức và đào sâu lợng kiến thức đã học Để đạt đợc điều đó th× mçi ngêi gi¸o viªn, mçi häc sinh ph¶i trau dåi kiÕn thøc, su tÇm vµ hÖ thèng cho chÝnh m×nh nh÷ng ph¬ng ph¸p häc tËp vµ nghiªn cøu riªng Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, viÖc ®i ph©n lo¹i c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i mét d¹ng to¸n hay bÊt k× mét lÜnh vùc nµo, nã gióp chóng ta cã nhiÒu c¸ch nh×n, cách lý giải cho cùng vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải cho nhanh nhất, hiÖu qu¶ nhÊt C¬ së thùc tiÔn: Hiện nay, các trờng THCS và bậc phổ thông việc giải phơng trình vô tỉ là vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc, nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i nhng cha cã tÝnh hÖ thèng cao, cha ®i s©u vµo ph©n tÝch nh÷ng u ®iÓm, nh÷ng tån t¹i vµ kh¶ n¨ng øng dông cña phơng pháp chính, lẽ đó mà phơng pháp giảng giải giáo viên thờng hay chồng chéo lên khiến cho việc tiếp thu học sinh thờng bị động vµ cha cã tÝnh quyÕt to¸n viÖc t×m cho m×nh mét ph¬ng ph¸p tèi u nhÊt đứng trớc bài toán giải phơng trình vô tỉ MÆt kh¸c, ®a sè c¸c em häc sinh kh«ng cã kh¶ n¨ng hÖ thèng cho m×nh nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i lo¹i ph¬ng tr×nh nµy, hay cßn phÇn lín c¸c em kh«ng biÕt cách giải nào cho đúng, cho hay, là với học sinh bậc THCS Các em thờng giải theo phơng pháp lũy thừa và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc phơng trình sau có tơng đơng với phơng trình đã cho hay không? Chính lí trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ vớng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt và đạt hiệu mong muốn II Mục đích nghiên cứu đề tài: Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải bài giải phơng trình vô tỉ Trên sở đó, tìm đợc vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải qu¸ tr×nh gi¶i lo¹i bµi tËp nµy Hai là, hệ thống đợc các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, trên sở đó ph©n tÝch nh÷ng u viÖt hay h¹n chÕ cña tõng ph¬ng ph¸p Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc cách lựa chọn nhiều phơng pháp khác để giải bài toán cho nhanh và đạt hiệu qu¶ tèi u nhÊt III §èi tîng vµ kh¸ch thÓ nghiªn cøu: §èi tîng nghiªn cøu: Nghiªn cøu nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ §¸nh gi¸ tÝnh u viÖt, h¹n chÕ vµ kh¶ n¨ng øng dông cña tõng ph¬ng ph¸p gi¶i Kh¸ch thÓ nghiªn cøu : Tập trung nghiên cứu chơng trình đại số lớp 8, lớp và chơng trình to¸n phæ th«ng Ph¹m vi nghiªn cøu: Do yêu cầu đề tài nên tập trung nghiên cứu phần đại số lớp và líp cßn l¹i lµ ch¬ng tr×nh to¸n cÊp III IV Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài: Phải hệ thống đợc cách giải phơng trình vô tỉ Phải phân tích đợc u việt và hạn chế phơng pháp, từ đó đa khả ứng dụng phơng pháp bài giải phơng trình vô tỉ Ph¶i ph©n tÝch vµ t×m tõng chç thiÕu sãt, chç sai mµ häc sinh thêng hay m¾c ph¶i vµ ®a cho häc sinh nh÷ng c¸ch kh¾c phôc V Phơng pháp nghiên cứu đề tài: - Phơng pháp đọc và phân tích tài liệu - Ph¬ng ph¸p tæng hîp nh÷ng kinh nghiÖm s¸ng kiÕn cña nh÷ng gi¸o viªn d¹y giái - Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tÕ Phần II: Nội dung chính đề tài Ch¬ng I: Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n I Những vấn đề chung phơng trình: Tập xác định phơng trình: a Định nghĩa: Tập xác định phơng trình là tập hợp các giá trị ẩn làm cho biểu thức phơng trình có nghĩa Tập xác định đợc viết tắt lµ TX§ VÝ 2dô : x −6 x =1 a Ph¬ng tr×nh x – 7x + = 6x + Có tập xác định là D x +4 =R b Ph¬ng tr×nh √ x −2=x2 +2 có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x + ≠ 0} = R - {4} c có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x - ≥ 0} = R – [4] Hai phơng trình tơng đơng: 2.1 §Þnh nghÜa : Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng chúng có cùng chung tập nghiệm cïng mét tËp sè 2.2 VÝ dô : a Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 - 7x + = và 2x2 – 14x + 12 = là hai phơng trình tơng đơng vì chóng cã cïng tËp nghiÖm S = {1; 6} b Hai ph¬ng tr×nh: x + = và (x + 7).(x - 5) = là hai phơng trình không tơng đơng vì tập nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thø nhÊt lµ S = {- 1} cßn cña ph¬ng tr×nh thø hai lµ S = {- 1; 5} c Hai ph¬ng tr×nh: x2 + = và x2 + x + = là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung mét tËp nghiÖm lµ S = φ NghiÖm cña ph¬ng tr×nh: Cho ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) NghiÖm cña ph¬ng tr×nh xÐt trªn tËp A lµ sè α ∊ A cho f(α) = g(α) II C¸ch gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh c¬ b¶n: b x=− a Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt: - ax + b = ⇔ ax + b > ⇔ (víi a ≠ 0) b x a (víi a > 0) b x (víi a < 0) a BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai: b ' (b = ) a Ph¬ng tr×nh bËc hai cã: ∆ = b2 – 4ac ∆’ = b’2 – ac b x= ∆ < – ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2a - b ±√Δ x= ∆ = – ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp 2a ∆> – ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt b Quy t¾c xÐt dÊu tam thøc bËc hai: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) * ∆ ≤ th× f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a * ∆ ≥ th× f(x) = cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 NÕu f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a víi ∀ x ∉ (x1; x2); f(x) kh¸c dÊu víi hÖ sè a víi ∀ x ∉ (x1; x2); Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh tÝch: f(x).g(x) = ⇔ f(x) = hoÆc g(x) = f(x) g(x) > ⇔ f(x) > hoÆc f(x) < g(x) > g(x) < Các phép biến đổi tơng đơng: a f(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) – g(x) = h(x) f ( x ) g(x ) = b f(x) = g(x) ⇔ f(x) ± c = g(x) ± c (víi c ∊ R) k k c f(x) = g(x) ⇔ k.f(x) = k.g(x) ⇔ (víi k ∊ R*) d f(x) = g(x) ⇔ (f(x))2k + = (g(x))2k + (víi k ∊ N) e f(x) = g(x) (víi f(x) ≥ 0; g(x) ≥ 0) ⇔ [f(x)]2k = [g(x)]2k (víi k ∊ N) III Ph¬ng tr×nh v« tØ: §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh v« tû lµ ph¬ng tr×nh cã chøa dÊu c¨n thøc C¸ch gi¶i chung: Bớc 1: tìm tập xác định phơng trình Bíc 2: t×m c¸ch khö c¨n thøc vµ t×m nghiÖm Bớc : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm phơng trình 3.VÝ dô : √ 2x+3=x Gi¶i ph¬ng tr×nh : x≥− (1) Điều kiện để thức có nghĩa 2x + ≥ ⇔ víi ®iÒu kiÖn x ≥ (3) ph¬ng tr×nh (1) ⇔ (2x + 3) = x2 (4) (2) ⇔ x2 – 2x – = V× a – b + c = nªn (4) cã nghiÖm lµ: x1 = - 1; x2 = x1 = - kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3) x2 = tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn (2) vµ (3) VËy nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh lµ x = Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí: 4.1 §iÒu kiÖn tån t¹i mét c¨n thøc: 2k √A k+1 tån t¹i ∀ A ≥ (k ∊ N) √A √ A2 tån t¹i ∀ A ∊ R (k ∊ N) = ∣A∣ = A A ≥ - A A ≤ 4.2 Một số bất đẳng thức quan trọng: a Bất đẳng thức Côsi: a1 +a2 + an n ≥ √ a1 a an NÕu a1, a2 an lµ c¸c sè kh«ng ©m ta cã: n đẳng thức xảy và a1 = a2 = = an b Bất đẳng thức Bunhiacopxki: NÕu a1, a2 an vµ b1, b2 bn lµ c¸c sè tuú ý ta cã: (a12 + a22 + + an2).(b12 + b22 + + bn2) ≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 a1 a2 an = = b2 b b n đẳng thức xảy và khi: c Bất đẳng thức Trêbsep NÕu a1 ≥ a2 ≥ ≥ an vµ b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn, ta cã: (a1 + a2 + + an).(b1 + b2 + + bn) ≥ n.(a1b1 + a2b2 + .+ anbn) đẳng thức xảy và a1 = a2 = = an b1 = b2 = = bn d Lợc đồ Hoocle Cho ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (víi x = α), ta cã: an an-1 a1 a0 + + α x an α an + an-1 α.∆ + a1 f(α) Chơng II: Phơng pháp biến đổi tơng đơng I Ph¬ng ph¸p n©ng lòy thõa: ❑ √❑ A ❑√❑B C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n: ⇔ A ≥ hay B ≥ √❑ A A=B b =B ⇔ B≥0 √❑ A A = B2 √ AB c =B ⇔ A = B3 d + = ⇔ A≥0 ⇔A+B+ =C B C A B≥0 Lu ý: Víi ph¬ng ph¸p lòy thõa hai vÕ Muèn n©ng hai vÕ ph¬ng tr×nh lªn lòy thõa bËc ch½n, ta ph¶i biÕt ch¾c ch¾n hai vÕ cïng dÊu, tèt nhÊt lµ cïng d¬ng Để nắm đợc phơng pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu số ví dụ cụ thể: a = ❑ VÝ dô: √ x −5=x − VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) Gi¶i: Điều kiện để thức có nghĩa x – ≥ ⇔ x ≥ (2) Víi ®iÒu kiÖn x – ≥ ⇔ x ≥ (3) phơng trình (1) tơng đơng với: x – = (x – 7)2 ⇔ x2 – 15x + 54 = (4) Giải phơng trình (4) ta đợc: x1 = kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn (3) x2 = tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn (2) vµ (3) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nhÊt lµ x = Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý s phạm Thực kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn nµy ThËt vËy, b×nh ph¬ng hai vÕ cña (1), biÓu thøc x – bình phơng, đơng nhiên không âm, đó các giá trị x thỏa mãn (3) còng sÏ tháa m·n ®iÒu kiÖn (2) x+ 2− √2 x+ 3=0 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: √ x +3=x +2 Chuyển vế phơng trình đã cho, ta có: x≥− (1) ph¬ng tr×nh (1) cã nghÜa vµ chØ khi: 2x + ≥ ⇔ x+2≥0 với điều kiện (2) thì phơng trình (1) tơng đơng với: (2) x≥-2 2x + = (x + 2)2 ⇔ x2 + 2x + = (3) Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm là: x = - Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = - √ x +3=x +2 Lu ý: NhiÒu em gÆp bµi nµy thêng gi¶i theo c¸ch quen thuéc: ⇔ x + ≥ ⇔ x ≥ - 2x + = (x + 2)2 ⇔ (x + 1)2 = x≤− √ x +3 và tìm đợc nghiệm x = - thoả mãn (x ≥ - 2) Nhng víi ®iÒu kiÖn (- ≤ ) th× l¹i kh«ng tån t¹i v× 2x + < √ 1− x + √ 1− x =√ x +4 VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) Gi¶i: 1 x≤ −4≤x ≤ x≤1 2 Điều kiện để thức có nghĩa: – x ≥ – 2x ≥ ⇔ ⇔ (2) x+4≥0 x≥-4 √x+4 ¿ 1− x + √ √ 1− x ¿2=¿ Với điều kiện (2) phơng trình (1) tơng đơng với: ¿ √ (1− x) (1− x )=x +4 ⇔ – x + – 2x + √ (1− x) (1− x )=4 x+2 ⇔ √(1 − x) (1 −2 x)=2 x +1 ⇔ x≥− (3) víi ®iÒu kiÖn 2x + ≥ ⇔ x +1¿ 2 ( √(1 − x ).(1 −2 x) ) =¿ (4) thì phơng trình (3) tơng đơng với: ⇔ 2x2 – 3x + = 4x2 + 4x + Giải phơng trình (5) ta đợc x = x=− ⇔ 2x2 + 7x = (5) (tháa m·n ®iÒu kiÖn (2) vµ (4)) kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn (4) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nhÊt lµ x = √ ab= √a √ b Lu ý: Với điều kiện (2) ta cần x ≤ thì phơng trình (1) đã tơng đơng với phơng trình (3) vì bình phơng thì (x + 4) bình phơng, đơng nhiên là dơng Víi , điều này đúng a ≥ ; b≥ và trờng hợp a ≤ 0; b ≤ th× √ ab= √ − a √− b VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh √3 x+1+ √3 x − 1=√3 5x (1) Gi¶i: Lập phơng hai vế phơng trình ta đợc: √3 5x ¿ 3 √ x+1+ √ x − 1¿ 3=¿ ¿ ⇔ x+1 √¿ x+ 1+ x −1+3 √ (x+ 1).(x - 1).(¿ + √3 x − 1)=5x √3 x2 −1 √3 5x=x (2) ⇔ ⇔ 5x.(x2 – 1) = x3 ⇔ x.[5.(x2 – 1) – x2] ⇔ x=0 x=0 ⇔ 4x2 x= √ – = x=− √ x=± √ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = 0; Thay l¹i vµo ph¬ng tr×nh (1) ta thÊy víi x = hoÆc ph¬ng tr×nh (1) x 2,3=± √ đúng là nghiệm Lu ý: - Do từ (1) suy (2), ta thực phép biến đổi không tơng đơng nên phơng trình (2) tìm đợc nói chung có nhiều nghiệm phơng trình ban đầu, vì việc thay l¹i nghiÖm cña (2) vµo (1) lµ cÇn thiÕt nÕu kh«ng ta sÏ gÆp nghiÖm ngo¹i lai √3 x+1+ √3 x − 1=√3 5x - Víi d¹ng bµi nµy, chóng ta kh«ng thay thÕ th× ch¾c ch¾n lêi gi¶i sÏ phøc t¹p h¬n rÊt nhiÒu II Phơng pháp đa đẳng thức quen thuộc Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa dạng: A ± B ¿2n ¿ ¿ 2n √¿ 2n +1 A ±B¿ ¿ ¿ 2n+1 √¿ ∣A∣ = B ⇔ A = B A = - B (víi B ≥ 0) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ √ x − 2+ x −1 − √ x − 1− √ x − 2=1 √ x - + √ x −2+1 − √ x − 2− √ x −2+1=1 ⇔ 2 √ ( √ x −2+1 ) − √ ( √ x −2 −1 ) =1 ⇔ |√ x −2+1|−|√ x −2 −1|=1 ⇔ |√ x −2+1|=|√ x − 2− 1|+1(∗) ⇔ Điều kiện để thức có nghĩa x – ≥ ⇔ x ≥ |√ x −2+1|≥ 1⇒ |√ x −2+1|=√ x −2+1 ⇒ √ x −2 −1 ≥ √ x −2 ≥ ⇔ ⇔ x–2≥0 ⇔x≥3 x–2≥1 |√ x −2 −1|=¿ √ x −2+1 VËy x ≥ − √ x − 2+ ≤ x < Tóm lại phơng trình sau tơng đơng với: √ x −2+1=1+ √ x −2 −1 √ x −2+1=1− √ x −2+1 x ≥ ≤ x < √ x −2= ⇔ - = (v« lÝ) ≤ x < x − 2= x= ⇔ tháa m·n ≤ x < 4 ⇔ x= VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ: ¿ A khiLu A ≥ý:0 − A A <0 §èi víi ph¬ng ph¸p nµy ta ph¶i thËt khÐo lÐo xö lý qu¸ tr×nh: ¿ √ A =| A|={ ¿ NhiÒu b¹n rÊt hay lµm thiÕu trêng hîp (- A) √ x −2 −2 √ x −3=1 √ x −3 − √ x − 3+1=1 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: (1) ⇔ √ ( √ x −3+1 ) =1 |√ x −3+ 1|=1 ⇔ ⇔ (2) Điều kiện để thức tồn x – ≥ ⇔ x ≥ (3) √ x −3=2 √ x −3 −1=1 ⇔ x=7 với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với: √ x −3 −1=−1 x − 3=4 x − 3=0 ⇔ √ x −3=0 tháa m·n ®iÒu kiÖn (3) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ x1 = 3; x2 = x=3 ⇔ √ A 2=|A|=¿ Lu ý: | A|=B Ta cã thÓ dïng ⇔ A=B A = - B (víi B ≥ 0) th× viÖc gi¶i sÏ nhanh h¬n VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x − √ x − 1−(x − 1) √ x + √ x − x=0 (1) Lêi gi¶i: Điều kiện để thức có nghĩa: x–1≥0 x≥0 x≥1 ⇔ x≥0 x2 – x ≥ ⇔ x ≥ (*) x ≤ hoÆc x ≥ ( ) ⇔ x −1 −2 √ x −1+1 −(x − 1) √ x + √ x √ x −1=0 ⇔ ( √ x − 1− ) − √ x (x −1) ( √ x −1 −1 ) =0 ⇔ ( √ x − 1− ) − [ √ x −1 −1 − √ x ( x −1) ] =0 ⇔ ( √ x − 1− ) − [ √ x −1 −1 − √ x ( x −1) ] =0 ⇔ ( √ x − 1− )=0 ( ) ⇔ √ x −1=1⇔ x −1=1 √ x −1=√ x √ x −1+1 ( ) ⇔ x = tho¶ m·n (*) hoÆc x −1=2 √ x ( x −1)+ x ( x −1)+ với điều kiện x ≥ thì hai vế (3) dơng, bình phơng hai vế ta đợc: x −1 ¿ −1 √ x ( x −1)=− ¿ ⇔ - (x – 1)2 – < víi ∀ x ≥ suy ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nhÊt lµ x = III Phơng pháp dùng miền xác định Khi sö dông ph¬ng ph¸p nµy ta thêng chia nhá TX§ cña ph¬ng tr×nh vµ kÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc ta sÏ cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x(x −1)+ √ x (x +2)=2 √ x Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x(x – 1) ≥ x ≤ hoÆc x ≥ (1) x≥1 x(x + 2) ≥ x ≤ - hoÆc x ≥ - Với x ≤ - ta có phơng trình tơng đơng với: √ − x √ x −1+ √− x √− x − 2=2 √− x √− x √ 1− x +√ − x −2=2 √ − x x≤-2 ⇔ 1− x - x - + √( x −1).(x + 2)=− 4x ⇔ x +x − 2 √ ¿ ¿=1− 2x ⇔ Vì x ≤ - nên hai vế dơng, ta bình phơng hai vế: 9 x= (lo¹i)vi 8 4x2 + 4x – = – 4x + 4x2 ⇔ 8x = ⇔ - Víi x ≥ 1, ta cã: x x   x x  2 x x (1) ⇔ −2 Bình phơng hai vế ta đợc : x2 + x − x - 21 + x + + √ ¿ ¿=4x x +x − x= (tháa m·n) ⇔ √ ¿ ¿=− 1+ 2x x= ⇔ 8x = ⇔ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ : Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ phơng trình cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm nghiệm VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh 4x +13 (1) √ x+1+ √ ¿ ¿=√3x + 12 Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 13 x≥− x+1≥0 x≥-1 4x + 13 ≥ ⇔ ⇔ x≥-1 3x + 12 ≥ x≥-4 x+ 1+ 4x+13+ √(4x+ 13).( x +1)=3x + 12 Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc: (1) ⇔ √(4x+13) ( x+1)=x − ⇔ (3) §Ó ph¬ng tr×nh (3) tån t¹i ⇔ - x – ≥ ⇔ x ≤ - (4) Kết hợp (2) với (4) ta đợc x = - và thỏa mãn (1) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ: x = - VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+2 √ x −1+ √ x −2 √ x −1=2 (1) Lêi gi¶i: 2 √ ( √ x −1+1 ) +√ ( √ x −1 −1 ) =2 Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau: |√ x −1+1|+|√ x −1 −1|=2 ⇔ √ x −1 −1 * Víi (2) ≥0⇔ x–1≥0 ⇔ x–1≥1 ⇔ x ≤ 2√ xx−1<1 −1 ≥ √ x −1+1+ √ x − 1− 1=2 ⇔ √ x −1=1⇔ x=2(Tho¶m·n) * Víi x −1<1 ⇔1≤ x <2 ¿{ √ x −1+1+ √ x − 1− 1=2 ⇔2=2 Th× Th× (2) ⇔ ⇔ (2) luôn đúng với ∀ x ∊ [1;2] Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: ≤ x ≤ IV Ph¬ng ph¸p dïng lîng liªn hîp: - §èi víi ph¬ng ph¸p nµy, chóng ta rÊt dÔ ¸p dông nhng nã thêng ph¶i ¸p dông kÕt hîp víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c th× míi cã hiÖu qu¶ - Khi sö dông chóng ta thêng ¸p dông c«ng thøc sau: ( √ A − √ B ) ( √ A + √ B )=| A|−|B| ( √3 A ± √3 B ) ( √3 A ± √3 AB+ √3 B2 ) =A − B VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 4x +13 √ x+1+ √ ¿ ¿=√3x + 12 (1) Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 13 x≥− x+1≥0 x≥-1 4x + 13 ≥ ⇔ ⇔ x≥-1 3x + 12 ≥ x≥-4 Ta nhËn thÊy r»ng: ( √ x +13+ √ x+ ) ( √ x +13 − √ x +1 )=4 x+ 13− x −1=3 x+12 √ 4x + 13 − √ x+ 1=√ x +12 VËy tõ (1) ta cã : (2) Kết hợp (1) và (2) ta đợc : √ 4x + 13+ √ x+ 1=√ x +13 − √ x+ √ x+1=0 ⇔ ⇔ x + = ⇔ x = - (tháa m·n ®iÒu kiÖn *) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ : x = - Lu ý : Khi khai đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức dơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải VÝ dô : x 2= 16 Gi¶i ph¬ng tr×nh : (1) Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa ⇔ x+ √ x + x ≠ x − √x +x ≠ x2 + x ≥ x≠0 ⇔ x ≤ - (*) x>0 x2 + x ≥ x≠0 Ph¬ng tr×nh (1) tơng đơng với: ( x+ √ x + x ) − = 2 2 ( x+ √ x + x ) ( x − √ x + x ) ( x+ √ x + x ) ( x − √ x + x ) x ( x −√ x + x ) ( x − √ x 2+ x ) ( x+ √ x + x ) − = -x x x √ x 2+ x −3 x=3 √ x + x =3 x +3 ⇔ ⇔ ⇔ x≥-1 x≥-1 25(x2 + x) = (3x + 3)2 16x2 + 7x – = Ta thÊy 16 – – = 0, vËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 16 x1 = - (tháa m·n) x 2= (tháa m·n) 16 x 2= Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm : x1 = - 1; 2+x 2-x − =2 √ VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √2+ √ 2+ x √ 2− √ 2+ x (1) Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: √ 2+ √ 2+ x 2+x≥0 ≠0 ⇔ x≠0 x≥-2 (*) phơng trình (1) tơng đơng với: ( + x ) ( √ 2− √ 2+ x ) ( - x ) ( √2+ √ 2+ x ) + =2 √ ( √ 2+ √ 2+ x ) ( √ − √2+ x ) ( √ 2+ √ 2+ x ) ( √ 2− √ 2+ x ) √ −2 √ 2+ x + x √ 2− x √ 2+ x +2 √ 2+ x +2 √ − x √ 2+ x − x √ =2 √ −x ⇔ √ 2− x √ 2+ x =−2 √ x ⇔ √ 2(2+ x)− x √ 2+ x=0 ⇔ √ √ 2+ x − x=0 ⇔ √ 2+ x ¿ √ 2+ x=0 √ √ 2+ x=x ⇔ x = -2 x 1=4 +4 √ x=-2 x=-2 x>0 x>0 8(2 + x) = x2 - x2 + 8x + 16 = x> ⇔ x 2=4 − √ (lo¹i) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x1 = - (tháa m·n (*) x 2=4 +4 √ (tháa m·n (*) { −2 ; +4 √2 } Tãm l¹i: S = VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 3x2 −7 x+ 3− √ x2 −2= √3 x − x −1 − √ x −3 x +4 (1) Lêi gi¶i: Gọi miền D là miền xác định phơng trình tức là D đợc xác định hệ sau: 3x2 – 7x + ≥ x2 – ≥ 3x2 – 5x – ≥ x2 – 3x + ≥ b»ng c¸ch nh©n liªn hîp cña (1) vÒ d¹ng sau: √ 3x2 −7 x+ 3− √ x −5 x −1=√ x2 −2 − √ x −3 x +4 √ 3x −9 x +1=|x −2|( §S:x=3; x = - ) ⇔ √ x −2 =√ x − (§S:x= 8) √2 x − √ − x + x 2=x+ (§S:x=- 1) ⇔ (5) ¿ x −6 √ x − 2+√ x −3 x + Ta thÊy r»ng víi x > th× ch¾c ch¾n kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (5) v× víi ¿ mçi x > 2, x ∊ D th×: ¿ x −6* – 2x < ⇒ √ x − 2+√ x −3 x + ¿ * 3x – > ⇒ ¿ x −6 T¬ng tù nh vËy víi ∀ x < 2, x ∊ √ x − 2+ √ x −3 x + ¿ x −6* – 2x < ⇒ ¿ √ x − 2+√ x −3 x + ¿ * 3x – > ⇒ D th×: ¿ v×: râ rµng x = ∊ D tháa m·n (5) − 2 2− = ⇔ 0=0 √3 −7 2+3+√ −5 - √2 −2+√ 22 − + ¿ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nhÊt lµ: x = Bµi tËp ch¬ng II Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ sau: √ 25 - x 2=x − 1(§S:x=4 ) √ x2 −9 x +1=x −2(§S:x=3) √ x −2 x − 4=√ − x (§S:x=- 2) √ 3x2 −9 x +1=|x −2|( §S:x=3; x = - ) √ x −2 =√ x − (§S:x= 8) √2 x − 6  x  x x  (§ S : x - 1) 19  2x 1 (§ S : x 5) x 20  x 20  x   (V« nghiÖm) x x 15  x   x 6 (§ S : x -1) 2 10 x 5  11 5x -  10x   15x  10 12 x  - x -  x   x  1 13 5x -  x  2 (§ S : x 4) (§ S : x 1) 4x  x  0    14 x x   x  4 x   x  Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 15 x  Bµi : (§ S : x 10) x 1  x   x  0  1   §S : x   2   § S : x 0 ¿ √12 − x + √ 14 − x=2 3 √ x −2+ √ x +3= √ x+1 3 3 √ x − 1+ √ x −2= √ x − ( S= {1,3/2,2 } ) Bµi 3: ( 2+ √ x −2 ) =2 x + √ x +6 ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : Ch¬ng III : Giải phơng trình vô tỉ phơng pháp đặt ẩn phụ - §Ó khö c¨n thøc, ngêi ta cã thÓ ®a thªm mét hoÆc nhiÒu Èn phô Tuú theo d¹ng cña ph¬ng tr×nh mµ c¸c b¹n lùa chän cho thÝch hîp - Đây là “công cụ” tơng đối mạnh và đạt hiệu cao việc khử thức song nó có nhiều chỗ làm cho các bạn nhầm ẩn đã cho với ẩn I Đặt ẩn phụ để chuyển phơng trình hữu tỉ : - Ta thờng đặt ẩn thay ẩn phơng trình song chúng ta phải chú tới điều kiÖn liªn quan gi÷a Èn cò vµ Èn míi VÝ dô 1: √ x −3=x −2 ( ) Gi¶i ph¬ng tr×nh: Lêi gi¶i : Điều kiện để phơng trình có nghĩa là : x – ≥ ⇔ x ≥ 2 t=√ x −3 ≥ ⇔ t =x − ⇔t +1=x − §Æt (2) Thay vµo (1)2 ta đợc phơnh trình tơng đơng với phơng trình (1) 2 2t =t +1 ⇔t −2 t + 1=0 ⇔ ( t −1 ) =0 ⇒t =1 ( T /M ) t=1⇔ 1=√ x −3 ⇔ x −3=1⇒ x=4 (T / M ) ( ) Víi VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = Chó ý : t=√ A th× cha ch¾c t ≥ mµ cßn ph¶i tuú thuéc vµo - Khi đặt ẩn phụ ví dụ tập xác định A mà ≤ t ≤ α (α ∊ R+) chúng ta phải chú ý điều này, tr¸nh trêng hîp thiÕu hoÆc thõa nghiÖm nh vÝ dô sau ®©y: ( x − )( x +1 ) + ( x −3 ) x+ =−3 x −3 √ x +1 Y =( x −3 ) x−3 §Æt √ VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (1) Lêi gi¶i : th× Y = (x - 3)(x + 1) nªn ph¬ng tr×nh (1) ®a vÒ d¹ng : Y2 + 4Y + = ta cã – + = nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt −1= ( x −3 ) √ x+1 () x−3 Y = -1 vµ Y = - + Víi Y = ⇔ §Ó (*) cã nghÜa th× x – < ⇔ x < (**) Bình phơng hai vế ta đợc = (x - 3)(x + 1) ⇔ x2 – 2x - = Ta cã ∆ = + = > Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1=1+ √5> ( Kh«ng tho¶ m·n ) x2 =1− √ 5< ( Tho¶ m·n ( ** ) ) −3=( x − ) √ x+ ( *** ) x −3 + Víi Y = - ⇔ Với điều kiện (**) phơng trình (***) tơng đơng với = (x - 3)(x + 1) ⇔ x2 – 2x – 12 = Cã ∆’ = + 12 = 13 > Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x 1=1+ √13 ( Kh«ng tho¶ m·n (**)) x 2=1− √13 ( Tho¶ m·n ( ** ) ) x 1=1− √5 ; x 2=1 − √ 13 Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: t=√(x − 3).( x +1) Chú ý: Rất nhiều bạn gặp bài này thờng đặt ẩn phụ là: , điều này cha đúng x – > 0, đó ta phải đặt nh trên VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 2− x=1− √ x −1 (1) Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x – ≥ ⇔ x ≥ t=√3 2− x §Æt ⇔ t3 = – x ⇒ x – = – t v× x ≥ > ⇔ – t3 ≥ ⇔ t3 ≤ ⇔ t ≤ 1, ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: t=1− √ 1−t ⇔ √ 1− t √ 1+t +t 2+t −1=0 ⇔ √ 1− t ( √ 1+t+t − √ 1− t ) =0 ¿ ⇔ √ 1− t=0 √ 1+ t+t 2=√ 1− t ⇔ 1–t=0 + t + t2 = - t t=1 ⇔ t=1 ⇔ thỏa mãn t ≤ t=0 t2 + 2t = t = -2 1=√3 − x * Víi t = ⇔ ⇔ = – x ⇒ x = 0=√2 − x * Víi t = ⇔ ⇔ = – x ⇒ x = −2=√ − x * Víi t = - ⇔ ⇔ - = – x ⇒ x = 10 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt : x1 = ; x2 = ; x3 = 10 Chó ý : Với điều kiện x ≥ ta suy t ≤ 1, việc này giúp chúng ta giải đợc cách nhanh chóng ta tìm đợc nghiệm t không thỏa mãn, tránh đợc quá trình gi¶i lan man víi nh÷ng nghiÖm t kh«ng cÇn thiÕt VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 3+ x+ √ 6+ x − √(3+ x).(6 − x )=3 (1) Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 3+x≥0 6–x≥0 x≥3 ⇔ (3 + x).(6 – x) ≥ √ 3+ x+ √ 6+ x ( √ 3+ x+ √ + x ) x≤6 ⇔ -3≤x≤6 (*) -3≤x≤6 X2− =√ (3+ x ).(6 − x) §Æt X = víi X ≥ ⇔ Ta cã X2 = áp dụng bất¿đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : ∗ 2 ¿|X|≤ 32 √ ⇔ ≤ X ≤3 √ X ≤ (1 + ).(3 + x + – x) = 18 ⇔ X− X −9 ¿ =3 X≥0 Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : ⇔ X2 – 2X – = Ph¬ng tr×nh cã + + = 0, nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: X1 = - Kh«ng tháa m·n víi ®iÒu kiÖn (**) X2 = 3Tháa m·n ®iÒu kiÖn (**) 3= √ 3+ x + √ 6+ x Víi X = ⇔ √(3+ x ).(6 − x)=0 ⇔ ⇔ x+3=0⇔ 6–x=0 x=-3 x=6 Tháa m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: x1 = -3; x2 = VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+ 5) (2 − x)=3 √ x 2+ (1) Lêi gi¶i: −( x +3)+ 10=3 √ x 2+3 (1) ⇔ Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x2 + ≥ ⇔ x ≤ - (2) x≥0 t=√ x2 +3 ≥ 0( ) §Æt ⇔ t2 = x2 + 3x Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: t2 + 3t – 10 = − 3+7 √ 49=7 t1 = =2 ∆ = – 4.1.(-10) = 49 ⇒ t2 = − 3− =−5 (lo¹i) 2=√ x 2+ x Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: Víi t = ⇔ Vì hai vế dơng, bình phơng hai vế ta đợc: = x2 + 3x ⇔ x2 + 3x – = Ph¬ng tr×nh cã a + b + c = (1 + – = 0) nªn ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1; x2 = - VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1; x2 = VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh x +7 x+ =4 √ x(1) x +2 Lêi gi¶i: nghÜa: Điều kiện để phơng trình tcó +7 t 2+ x ≥ =4 t t +2 t=√ x ≥ ⇔ t 2=x t 3+ t −8 t+ 4=0( 2) Phơng trình đã cho ⇔ trët −3 thµnh: t +7 t 2+ =4 t t +2 §Æt ⇔ t −3 t + t −8 t+ 4=0(2) Ta thÊy t = lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) v×: – + – + = áp dụng lợc đồ Hoocle ta có: -4 -8 1 -3 -4 -1 2 VËy ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh : t + t + 2= t - + > t=1 2) =¿ (3) ( ) (t – 1).(t – 2).(t2 – t + t=2 ¿ V× ¿ ¿ Nªn tháa m·n t ≥ ¿ ph¬ng tr×nh (3) ⇔ (t – 1).(t – 2) = ⇔ √ x=1 ⇔ x=1 (tháa m·n) √ x=2 ⇔ x=4 Víi t = th× Víi t = th× (tháa m·n) Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x = 1; x = Chú ý: Việc áp dụng lợc đồ Hoocle giúp ta tách đợc đa thức bậc cao tÝch c¸c ®a thøc bËc nhÊt mét c¸ch dÔ dµng h¬n VÝx dô 7: =1(1) Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2+ 2+ x 1+ √ x +1 Lêi gi¶i: Điều kiện để phơngt2 −1 tr×nh cã nghÜa lµ: x + ≥ ⇔ x ≥ - (2) =1 víi t ≠ −1 t=√ x+1 ≥ ⇔ t −1=x t − 1§Æt 2+ t −1 Ph¬ng tr×nh (1) trë2+ thµnh: t+1 t −1 t −1 t −1 =1 ⇔ =1 ⇔ =1 ⇔t − 1=1 ⇔ t=2 VËy ph¬ng cãt nghiÖm −1 t+1 nhÊt x = t − tr×nh 2+ 2+ 2+t II.−§Æt Èn phô, quy ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh Víi t=0 ⇔ √ x +1=2 ⇔ x +1=4 ⇒ x=3 2 Ngoài việc đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ phơng trình hữu tỉ, chúng ta còn đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ hệ phơng trình Đây là cách giải thích hợp cho c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau x 3+1=2 √3 x −1(1) Lêi gi¶i: ¿ 3 √ x −1 ⇒ y +1=2 x §Æt xy= +1=2 y y +1=2 Khi đó phơng trình đã cho dẫn hệ phơng trình sau: ¿{ ¿ Trừ hai vế hai phơng trình hệ ta đợc: x3 – y3 = - 2(y – x) ⇔ (y – x).(x2 + xy + y2) + 2(x – y) = x −1=0 ¿⇔ (x – y).( x2 + xy + y2 + 2) = (2) x − x −1=02 y y2 x + xy¿ + y + 2= x+ +3 + 2> víi ∀ (x , y )∈ R Do ⇔ ¿ Nªn ph¬ng tr×nh (3) ⇔ x – y = ⇒ x = y (4) x=1 Thay (4) ¿ vào (1) ta đợc : 1+ √5 x= x3 + = 2x ⇔ x3 – 2x + = ⇔ x3 – x – (x – 1) = ⇔ x.(x2 – 1) – (x – 1) = ¿ 1− √ x= ⇔2 (x – 1).(x2 – x – 1) = ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1+ √ 1− √ x 1=1;¿ x 2= ; x 3= 2 ¿ ¿ VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : ¿ 3 tr×nh sau : VÝ dô : Gi¶i¿ph¬ng u + v =2 x+1 √3 x −2+ √3 x +3= √3u23 −x+1 (1) v 3=−5 ¿ u+ v=√ u3+ v 3 §Æt u − v =−5 ¿ ¿ u= √3 x −2 ⇔ u3=x −2 ; v =√3 x +3 ⇔ v 3=x +3 đó Khi { phơng trình đã cho trở thành hệ sau: ⇒ ( ) (I) LËp ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ (I) ta cã : (u + v)3 = u3 + v ⇔ u3 + v + 3uv(u + v) = u3 + v ⇔ 3uv(u + v) = u=0 ⇔ v=0 u=-v v =√ 3 u=− √ - Víi u = th× - v = - ⇔ 5 v = ; u=− 2 - Víi v = th× u = - ⇔ √ √ - Víi u = - v th× u3 – (- u3)= - ⇔ 2u3 = - ⇒ VËy hÖ ph¬ng tr×nh (I) cã nghiÖm : ( ; √3 ) ; ( − √3  ; ) ; ; − ; − ; (√ √ ) ( √ √ ) x=−3 ⇒ x=− ¿ Víi ¿ u=− v= ⇔ ¿ − =√ x −2 = √ x +3 ⇔ −5 ¿ =x −2 =x +3 ⇒ x=− ¿ Víi u= VËy ¿ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt: x=−3 ; x= ; x=2 v=− 2 ⇔4 √3 x+ 4√ 17 − x=3 (1) VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh ¿ = √ x −2 ¿ gi¶i: − 3x ≥Lêi =√ x +3 17 − 2x ≥ ¿ để phơng trình có nghĩa là: ⇔ ≤ x⇔ ≤ 17 §iÒu kiÖn u =x 5{ ¿ ¿=x −2 2¿ v =17− x √4 17−5 x √4 x ⇒ u4 + v =17 − =x+3 §Æt u2¿= ≥ 0; v = ¿ { ⇒ ¿ ⇔ u+ v=3 4 ¿ u + v =17 { Khi đó phơng trình đã cho trở thành hệ phơng trình sau: (I ) ¿ ¿{ ¿ √ √ √ √ √ √ √ √ Tõ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ (I) ta cã u = – v (2) Thế (2) vào phơng trình thứ hai hệ (I) ta đợc: (3 – v)4 + v4 = 17 ⇔ 81 – 108v + 54v2 – 12v3 + 2v4 = 17 ⇔ v4 – 6v3 + 27v2 – 54v + 32 = (3) Ta thÊy v = vµ v = lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v×: – + 27 – 54 + 32 = 16 – 48 + 109 – 108 + 32 = áp dụng lợc đồ Hoocle ta có: -6 27 - 54 32 1 -5 22 - 32 -3 16 Vậy phơng trình (3) đợc phân tích thành các phơng trình sau: (v – 1).(v – 2).(v2 – 3v + 16) = (4) 55 v 2=1 −3 v +16= v − + ≥ V× ¿ v =2 ¿ Nên phơng trình (4) tơng đơng với: ¿ ¿ (v – 1).(v – 2) = ⇔ ¿ ( ) Víi v = th× u = Víi v = th× u = u=1 v=2 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: (1;1)(1;2) 1=√ x 2=√ 17 − x Víi ⇒ ¿ 1=x 1=x VËy ph¬ng ⇒ x=1 tháa tr×nh m·n (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1; x2 = 16 ¿⇒ 1={ VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh { √ x −2+ √ x +1=3 ( ) ¿ v= √ x +1 ≥0 3Lêi gi¶i u=√ x − §iÒu kiÖn ⇔ để phơng trình có nghĩa là x + ≥ ⇔ x ≥ - ¿ v =x +2 u3=x −2 §Æt : ⇒ u − v =−3 ¿¿{ ¿ ( ) đã cho trở thành phơng trình sau u+ v=3 Ph¬ng tr×nh u −v =−3 ( ) ¿ { ¿ Tõ (2) ta cã v = – u (4) ThÕ (4) vµo (3) ta cã u3 – (3 -u)2 = - ⇔ u3 – u2 + 6u – = Ph¬ng tr×nh (5) cã u = lµ nghiÖm v× 1- + – = Theo lợc đồ Hoocle ta có : -1 -6 1 Vậy (5) đợc phân tích thành : (u - 1)(u2 - 6) = ⇔ u – = ⇔ u = Với u = vào (4) ta đợc v = – VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt (1 ; 2) (5) 2¿ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nhÊt x = 2− x ¿VËy u= √ 2−dôx : Gi¶i ph¬ng tr×nh ¿ VÝ 7+v= x ¿2√7+ x ¿ ⇔ ¿ ¿¿u3 =2− x Lêi gi¶i: 3 x¿ §Æt√v¿3 =7+ 2 ⇒ u u+ v+ v=9(2) − vu=3 ¿u{3 +v 3=9 ¿ ⇔ (1) tơng đơng với phơng trình sau: Ph¬ng tr×nh ¿ u2 + v 2=3+ vu ¿u=1 (u+ v)(u 2+ v − vu)=9 v =2 ( I ) ¿ vào (2) ta đợc: ThÕ (1) ¿{ ¿ ¿ v) = ⇔ u + v = ⇔ u = – v (4) ¿ 3(u + u=2 ThÕ (4) ¿ vào (2) ta đợc: v =1 2 ¿ (3 – v) + v – (3 – v)v = ⇔¿¿ – 6v + 2v2 – 3v + v2 = ⇔ 3v2 – 9v + = ⇔ ¿ ⇔¿ v2 – 3v + = (5) ¿ Ph¬ng 1=√ tr×nh − x (5) cã : – + = ¿ Nªn 3ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ : v = ⇒ u = hoÆc v = ⇒ u = 2=√ 7+ x VËy hÖ ¿ (I) cã hai nghiÖm : (1 ;2) vµ (2 ; 1) ¿ ¿ ¿ ¿ 2=√ − x ¿ 1= √ 7+ x ¿ Phơng¿ trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - ; x = ¿ ⇔VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh ¿ √ x¿2 +5 x+2 −2 √ x +5 x −6=1 ( ) ¿ 1=2 − x gi¶i: Lêi ¿ ¿ §iÒu 28=7+ x 2+kiÖn xx+2để ≥ 0ph¬ng tr×nh cã nghÜa: ¿ x +5 ¿ x − ≥0 ¿ ¿{ ¿¿ ¿ ¿y =1 x − 2ph¬ng VËy trình (1) tơng đơng với phơng trình sau: 2 x − y =8 (2) ¿{ ¿ Tõ2 y+1 (2) ta x = 2y + (3) ¿ −cã: y 2=8 Thế 2(3) ¿vào (2) ta đợc : y +4 y −7=0 ¿ (4) ¿ ¿ V× + 4y– =17 = nªn ph¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm ph©n biÖt : y=− (lo¹i)vi y ≥ Víi ¿ y = 1, vào (2) đợc x = Vậy hệ (I) có nghiệm x=1 ; x =− V× + – = nªn ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: ¿ thoả mãn ¿ VÝ v   u  uv  v   u  tr×nh v−32x7 : Gi¶i u  v u= u 3√2dô u  vph¬ng  u33 − v3   0 v= uu−v v= u √x v−5 u  v  u  v   u  uv  v  ⇒ 3  u  v  − x u  uv  v    ¿ u3 =7  0  gi¶i: 2  v=x u  −5 u  uv  v  vLêi 2 ⇒  u  v   u  uv  v  u  uv  v    ¿ u 3+v 3=2  0 u  uv  v2 §Æt3u  v3    u − v =2 ( 6− x )  u  v  3 3 2uv  u v ⇒6 − x= u  −2v ( )  0    uv 0  u  v  u3u+v3 uv  v   u v  tr×nh: ¿ { ¿ VËy tõ (1) vµ (2) ta cã ph¬ng v u − uv +v = u − + v2 v× ⇔ u=v ⇔ (3) (u – v).uv = vì u, v không đồng thời ¿ u=0(4 ) ¿ v=0(5) ¿ ¿¿ ¿ u=v ¿ u=0 u¿ =2 v 32=2 ¿ ⇔⇔ u=v =1 KÕt hîp (3) vµ (2) ta cã: ¿{ ¿ u=0 ¿3 ¿ KÕt vµ (2) ta cã : vv=0 =hîp √2 (4) u=v=1 ⇔ { u3 ¿=2 − x=1 √ 7⇔ ¿ − 5=1 KÕt hîp (5) vµ (2) ta cã : ¿√vx=0 ⇔ u= √2 ¿7 − x=1 ¿{ x − 5=1 ¿ ⇔ x=6 ¿{ 2 ( ) ¿ u=0 v =√ Víi ⇔ ¿ √ −¿x=0 v=0√3 √3 x −5= u= ⇔√ Víi ¿ −⇔ x=0 3 x −5=2 ¿ √ − x=√ − 5=0 √3⇔x x=7 ¿⇔ { ¿ Víi¿7 − x=2 x − 5=0 ⇔ x=5 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt : x = ; x = ; x = ¿{ ¿ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh VÝ √ 3+ x+ ¿ √ 6+ x − √ ( 3+ x ) ( − x )=3(1) 3+ xLêi ≥ gi¶i: 6−x≥0 §iÒu kiÖn để phơng trình có nghĩa là: ¿ ⇔ u= 3+3x ¿ x√≥− v=x√≤66− x ⇔ x≤6 ⇔ − 3≤ ¿ u =3+ ¿{ x ¿−x §Ætv =6 ¿ ⇔ u + v 2=9 u+¿v{− uv =3(2) ¿+v 2=9(3) VËy uph¬ng trình (1) tơng đơng với hệ sau: ⇔ ¿ uv=u+ v − 3(4 ) u+v v=−1 ( u+ ) −2 uv =9(5) ¿ ¿ u+ v=3 { : uv = -3 + (u + v), (4) vào (3) ta đợc: Tõ (2) ta ¿ cã ¿ u +v=3 ⇔ 2 uv =0(u ¿ + v) – 2(u + v) + = ⇔ (u + v) – 2(u + v) – = ¿⇔u≥ §©y lµ ¿ph¬ng tr×nh bËc hai víi u + v, mµ + – = nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm u=0; v=3 v¿ ≥ ¿ v =0 ; u=3 ¿¿ ⇔¿ uv =−4 ¿ ( lo¹i) ¿ √3+ x=0 VËy ta cã : uv =0¿ ⇔ ¿ √ − x=0 ¿ ¿ ¿ ¿ VËy ph¬ng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - ; x = x+1 ⇔≥ x +3 x +1− √3 4x −2 ¿ ≥ √ x −2= (1) VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh ⇔¿ { −1 ¿ x ≥¿Lêi gi¶i: ¿4 Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: ¿ ¿2 x≥ ⇔ x≥ ¿{ ¿ ¿ 2 u =4 x +1 x≥ u= √ x+ 1≥ ; v =√ x −2 ≥0 v2 =3 x −2 §Æt ⇒ u − v 2=x+3 (2) ¿ ¿{ (I) ⇒ ¿ u=v x+ u2 − v2 =0 u − v= VËy phơng trình (1) tơng đơng với: ⇔ x=−3( lo¹i) ¿ ⇔ (u – v).(u + v) ¿– (II)5.(u – v) = ⇔ (u – v).(u + v u=5-v – 5) = x+ VËy 2v=5ta cã hai5 hÖ : 22− x 22 − x 28+ x ⇒ v= ⇒ u=5 − = 10 10 10 ¿ ¿⇒ 28+ x =√ x +1 10 22 − x =√ x − 10 x≥ ¿{ ¿ v× Giải ta đợc x = là nghiệm VÝ dô 10 : Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2+3 x +1=( x +3 ) √ x2 +1(1) Lêi gi¶i: Tập xác định phơng trình D = R t=√ x2 +1 ≥1 ⇔ t 2=x +1 §Æt Thay vào phơng trình ta đợc: t2 + 3x = (x + 3).t ⇔ t2 – (x + 3).t + 3x = (2) §èi víi ph¬ng tr×nh nµy ta coi t lµ Èn, cßn x lµ tham sè, ta cã: ∆ = (x + 3)2 – 43x = x2 + 6x + – 12x = x2 – 6x + = (x – 3)2 ≥ víi x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) √ ( x −3 )2=|x − 3| ⇒ ta lÊy ∆ = (x – 3)2 > ⇒ x ⇒|x − 3|=x −3 Víi t1 = ( x −3 ) ( x − ) =x −3 Ta cã Thế vào (2) ta đợc: x − 3¿ 2=x 2+1 ⇔ x −6 x +9= x2 +1 ¿ 3(lo¹i) ¿ ¿ ¿ ( x +3 ) − ( x −3 ) ¿ t3 = =3 ⇔|x −3|=x − Víi ¿x ( x+ ) + ( x − ) t 4= =x ¿ Ta cã 9=x +1 ¿ x =x 2+1 ¿ ⇔ x 2=8 ⇔ x =±2 √ 2( thỏa mãn) Thế vào (2), ta đợc: ¿ ¿ ¿ ¿ x=−2 √ 2; x=2 √ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: VÝ dô 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh x+ √17 − x2 + x √ 17 − x 2=9(1) Lêi gi¶i: |x|≤ √ 17 Điều kiện để phơng trình có nghĩa: 17 −x+ x ≥y+ 0⇔ xy=9 2 x +−yx =17 y=√ 17 ≥ ⇔ x − y 2=17 (2) §Æt ⇔ GhÐp (1) vµ ¿ (2), ta cã hÖ: ¿ x + y=9 − xy(3) x+ y ¿ −2 xy=17(4) ¿ ¿ { (4) ta đợc : ThÕ (3) vµo ¿ (9 – xy)2 – 2xy = 17 ⇔ (x.y)2 – 20xy + 64 = x y=10+6=16 △¿’= 102 – 64 = 36 x y=10 − 6=4 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ VËy hệ phơng trình trên tơng đơng với hai hệ : x y=16 x+ y=−7 ¿{ ¿ ¿ x+ y=5 x y =4 ¿{ ¿ ¿ ¿ X 1=1 X 1=4 X 2=4 X 2=1 ¿{ ¿{ X2 = ¿4 ¿ ⇒ x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X2 – 7.X +16 = △ = 49 – 4.16 = -15 < (lo¹i) ⇒ x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X2 – 5X + = Ta cã : – + = ⇒ NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : X1 = ; hoÆc ⇔ ¿ 1=17 − x 16=17 − x ⇔ víi ¿ x =16 x 2=1 ⇔ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x = 1; x = ¿ x =± 14 + =2(1) VÝ dô 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh x x √=±1 − x2 ¿{ ¿ ¿ x ≠ 0Lêi gi¶i: 2− xkiÖn > để phơng trình có nghĩa: §iÒu ⇔ ¿ x≠0 |x|< √ ¿{ (I ) y=√¿ 21− x12>0 ⇔ y +x 2=2(2) §Æt + =2 ¿ x + y=2 x y trình (1) tơng đơng với hệ sau: VËy xph¬ng y=1 x¿2+ y 2=2 ¿ ⇔ x y=1 ¿ x¿+¿y=2 xy(3) x yy=− ( x+ )2 −2 2xy=2(4 ) x y= ¿2 ¿ { ThÕx+ (3) vào (4) ta đợc: (2xy)2 – 2xy – = ⇔ 2(xy)2 – xy – 1= (5) ¿y=−1 ⇒ ¿ là phơng trình bậc hai ẩn là (x; y) VËy (5) ¿¿ ¿ x+ y=2 v× cã – – = 0, nªn (5) cã nghiÖm: ⇔ ¿ ¿ x+ y=−1 ¿¿ ¿¿ x=2− y ¿ Hệ (I) tơng đơng với hai hệ sau: ¿¿ ¿ y − ¿2 y +1=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ y + y − =0 1+ ¿ x=1 ; x =− √ x + y +1=0 y=√ 2¿− x ≥ VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: ¿ Chú¿ ý: Với bài này nhiều gặp sai lầm vì đặt điều kiện ¿ (thãi quen ⇔ đặt ẩn phụ) x +9 x 2+7¿x= VÝ dô 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh 28 x+ x +9 ®iÒu kiÖn 4x + ≥ t+ = ≥ ⇔ t 2+ t+ = 28 28 x+ 28 x +14 21 ⇔ t 2+ t = x +7−x=x+ +7 x= Lêi28gi¶i: ⇔t §Æt 28 ¿ t +7 t+ x= ⇔ ( x −t )(x+ t)+ 7( x −t)+ x − t=0 Vậy phơng trình đã cho tơng đơng với hệ phơng ¿ tr×nh sau: ¿ ⇔(x −t )(7 x +7 t +8)=0 ¿{ ¿ ¿¿ √ √ ¿ t +7√t=t + √⇔14 50=5 t + 12t − 1=0 ⇒ Víi x = t, ta cã:¿ − 6+5 √ x1 = 14 ¿ △’= 36 +14= 50; − 12− √ x 2= (lo¹i) 28 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ − x9− 224 151 8 t= x +7 x=x − + ⇔ x +8 x+ =0 Víi 16 −7 ==− x=− ⇔7 =16 14 14 14 ¿ 151 △ 14 = △= bµi tËp ch¬ng III x −10 x+ Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng sau: x 2+ tr×nh x −11 2 ( x +4 ) ( x +1 ) −3 √ x −5 x +2=6 √ x2 −2 x+ √ x −2 x +15=7 √ x 2+ x +7+ √ x + x+ 2=√ x −2 x+15 √ x +8 − √ x +7=2 − √ x+1 − √ x +7 √ x − √ x −1+ √ x+ √ x − 1=2 x 2+15 x +2 √ x +5 x+1=2 √ x2 +x +4 + √ x 2+ x +1= √ x 2+2 x +9 1+ √ x − x 2= √ x + √ 1− x 10 √ − x + √ x −1+ √ −5+ x − x 2=2 ( 1+ √ ) √ x − 2= Híng dÉn gi¶i: t=√ x −2 §Æt t=√ x2 +5 x+ ®/s: x = x= §Æt ®/s: x= - 7; x = 2 t=3 x −2 x+ §Æt §Æt t = x2 – 2x + ®/s: x = 1; ®/s : x = - ; x = t=√ x −2 §Æt t=√ x − √ x − §Æt §Æt t = x2 + 5x ®/s : x = ®/s: x = ®/s: x = 0; x = - t=√ x + x +4 §Æt ®/s: x = 0; x = - t=√ x+ √ − x §Æt ®/s: x = 0; x = t=√ 5− x+ √ x −1 10 §Æt ®/s: x = Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ sau √3 12−u= x+√3√312 14+ − xx=2 ; v= √3 14+ x ⇒ u3 + v 3=26 ⇒ u+ v=2 Híng dÉn u + v 3=26 ¿{ §Æt ®/s: x = -15; x = 13 √4 57 −u= x +4√√457 x +−40=5 x ; v =√4 x + 40⇒ u4 + v 4=26 ⇒ u+ v=5 Híng dÉn: u +v 4=97 ¿{ §Æt ®/s: x = 41; x = - 24 Bµi 3: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau x+ √ 17 − x +x √ 17 − x=9 3 x √ 35 − x ( x + √ 35− x3 ) =30 Híng dÉn: ¿ − x ≥ ⇔ x + y 2=17 §Æt y= √ 17 x + y 2=17 x+ y+ xy=9 Vµ ta chuyÓn vÒ hÖ: ¿{ ¿ ®/s : x = ; x = y=3√ 35¿3− x ≥ ⇔ x + y 3=35 §Æt x + y =35 xy ( x+ y)=30 Ta chuyÓn vÒ hÖ : ¿{ ¿ ®/s : x = ; x = Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau √3 x −2+ √3 x +3= √3 x+1 ¿ Híng dÉn: u+ v=√ u3 +v v =0 ; u=√3 u3 − v =−5 §Æt ¿{ Ta chuyÓn vÒ¿hÖ: u=0; v=√3 ®/s: v =0 ; u=√3 x=2 ; x=−3 ; x=− ta đợc hoÆc Ch¬ng IV phơng pháp áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc I bæ tóc vÒ kiÕn thøc: Cho ph¬ng tr×nh: f(x) = g(x) NÕu ph¬ng tr×nh f(x) ≤ a ∀ x ∊ D g(x) ≤ a ∀ x ∊ D ¿ Ta chuyÓn bµi to¸n vÒ hÖ sau: f ( xsÏ )=a TX§ lµ D g( x)=a ¿{ ¿ Và giải hệ đó ta đợc nghiệm phơng trình Để tìm số a ta thờng sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc a+b ≥ √ ab * Bất đẳng thức Côsi: Víi a, b ≥ ta cã §¼ng thøc x¶y a = b * Bất đẳng thức Bunhiacopxki : a b = c d Cho sè a, b, c, d ∊ R Ta cã (a.b + c.d) ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) b c b b2 b2 §¼ng x¶y rax 2khi a x +thøc bx+ c=a + vµ x + chØ =a x + x + − + c (a ≠ 0) 2 ( a ) ( a a ) 4.a 4a 2 b b − ac b − ac a x+ − ≥− ∀ x∈ R 2a 4a 4a ( bËc hai : ) (víi a ≥ 0) vµ quay dÊu (≤) víi (a < 0) 1 x 2+ x +1=x + x +1+ − = x + + ∀ x ∈ R II VÝ dô: 4 1 x+ =0 ⇔ x=− 2 7 − x +3 x − 4=− x2 +3 x + =− x + − ≤ §¼ng thøc x¶y 4khi 4 ( ) ( ) ( ) 3 x+ =0 ⇔ x=− 2 §¼ng thøc x¶y VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh − x +4 x= √ x −2+4 (1) Lêi gi¶i: * Ph©n tÝch hµm √ x −2 ≥ ⇔ x ≥ 2 Ta cã (1) ⇔ x + x − 4=√ x − ⇔ − ( x − ) =√ 2− x √ x −2 ≥ Ta thÊy TX§ cña ph¬ng tr×nh VP = - (x – 2)2 ≤ ∀ x ∊ R, đẳng thức xảy x = VT = ∀ x ∊ R, đẳng thức xảy x = VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x −2+ ¿ √4 − x=x − x+11 (1) x − 2≥ gi¶i: Lêi 4−x ≥0 §iÒu ⇔ kiện để phơng trình có nghĩa là: ¿ x≥2 x≤4 ⇔2≤x ≤4 { ph¶i cña ph¬ng tr×nh ta thÊy: XÐt¿vÕ ¿ VP= √ x − 2+ √ − x=1 √ x −2+1 √ − x Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 VP2 ≤ ( 12 +12 ) [ ( √ x −2 ) + ( √ − x ) ]=4 ⇒ 0< VP ≤ §¼ng thøc x¶y x = XÐt vÕ tr¸i: VT = x2 – 6x +11 = x2 – 6x + + = (x – 3)2 + ≥ ¿ §¼ng x −2+ x=2 x¶y x = √ √4 −thøc ( x − )2+ 2=2 ¿{ VËy ¿ (1) ⇔ NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x +6 x +7+√ x2 +10 x+ 14=4 − x − x (1) Lêi gi¶i: Ta thÊy: 3x2 + 6x + = 3(x + 1)2 + ≥ ∀ x ∊ R §¼ng thøc x¶y x + = ⇔ x = - ⇒ √ x2 +6 x +7 ≥ MÆt kh¸c: 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + ∀ x ∊ R §¼ng thøc x¶y x + = ⇔ x = - ⇒ √ x +10 x+ 14 ≥3 2 VËy √ x +6 x +7+ √ x +10 x +14 ≥ §¼ng thøc x¶y x = - MÆt kh¸c – 2x – x2 = - (x - 1)2 + ≤ ∀x ∊ R √x¶y − xra+ √ 6+ x=x 5+xx = - §¼ng thøc x + 1+2=x+ √⇔ 2 √ x +3+ √1 − x=2 x − √ − x −2 x+2 x + +2 √ VËy ta thÊy : VP ≥ vµ VP ≤ 2 2 √ x +12 x +10+ √ x −2 x+ 4=− x − 12 x − Vậy để phơng trình (1) có nghiệm thì VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = - Chú ý : Khi áp dụng phơng pháp này cần phải khéo léo thì có đáp án đúng theo yêu cầu, điều kiện cần chú ý áp dụng bất đẳng thức Côsi là các số ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn d¬ng, viÖc thªm bít ë ph¬ng tr×nh bËc ph¶i thËt chuẩn xác Nếu không không thể có đáp số đúng VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 3+ x+ √6 − x+ √( 3+ x ) ( − x )=2 x −6 x +9+ √2 ¿ √ 3+ x ≥ √ 6Lêi − x ≥gi¶i: √ ( 3+ x )( − x ) ≥ Điều kiện để phơng trình có nghĩa: ⇔−3 ≤ x ≤ ¿{{ ( √ 3+ x+ √ − x )2 ≤ ( 12+ ) ( 3+ x +6 − x )=2 32 ⇒ < √ 3+ x+ √ − x ≤ √ √ 3+ x=√ − x ⇔ 3+ x =6 − x §¼ng thøc x¶y ⇔ x= Ta thÊy (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki) 3+ x +6 − x = √ ( 3+ x )( − x ) ≤ 2 Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có: ¿ x= ¿ VP ≤3 √ 2+ x⇔ ¿ x= Và đẳng thức xảy và : + x = – 9 ¿ x − x+ 9+ √2=2 x − + +3 √ 2≥ + √2 2 2 thøc x¶y XÐt vÕ tr¸i ( ) VËy vµ đẳng ¿ VP ≤3 √ 2+ 3¿ ¿ x − =0 ⇔9x= √ 2+ VT ≥3 §¼ng thøc x¶y ¿ ¿ √ − x+ √( 3+ x ) ( − x )= +3 √2 ¿ √ 3+ x+ ¿ { ¿ VËy ta¿ cã: 2¿ x −6 x +9+3 √ 2= +3 √ 2 ⇔ x= ¿ Do đó để có nghiệm th× : ¿ ¿ { ¿ x= ¿ ¿ VËy ¿ -2<1ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ: ¿ -8 <2 ¿ Chú ý: Nếu ta có f(x) ≤ a và g(x) ≤ b thì f(x) – g(x) ≤ a – b (điều đó ¿ { cha¿ ch¾c đã xảy ra) Ví dụ: th× (-8).(-2) < 1.2 lµ v« lý ¿ ¿ bµi tËp ch¬ng iv ¿1 x +3 x +1= √ − x2 +1 Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 −3 x +6 x −1=√ x −2 x+ ( 2 ¿ VP=x +3 x +1= x + + ≥ Híng dÉn: ) Ta thÊy ¿ √ − x ≤1 §¼ng thøc x¶y x = đẳng thức xảy – x2 = ⇔ x = ± Vµ 2 ¿ VP= √ x − x +5= √( x −1 ) +4 ≥ ⇒ Phơng trình đã cho vô nghiệm Ta thÊy §¼ng thøc x¶y x = √ 4c¸c − xph¬ng + √ 6+ x=x x+ √ 5+ x Bµi : Gi¶i tr×nh+2sau √ x +3+ √1 − x=2 x − √ − x −2 x+2 x + +2 √ 2 √ x +12 x +10+ √ x −2 x+ 4=− x − 12 x − 2 Híng dÉn √ x − x + 4= 4, − 32 −2 − 32 + 4=4 C©u 1, lµm nh c©u 3 Ta thÊy x= x= 3 §/s : √( ) ( ) Mµ - (2x + 3)2 + ≤ ⇒ x¶y dÊu b»ng PhÇn III : KÕt luËn chung ViÖc nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ lµ mét nh÷ng vấn đề tơng đối hay và khó Mỗi phơng pháp giải nh là chìa khóa giúp chúng ta tìm đợc đờng ngắn quá trình khám phá chân lý cña tri thøc nh©n lo¹i Quá trình nghiên cứu đề tài đã phần nào đó giúp cho học sinh có cách nh×n mét c¸ch kh¸i qu¸t h¬n vÒ mét c¸ch gi¶i mét ph¬ng tr×nh v« tØ Ngay từ phơng pháp lũy thừa là phơng pháp hay đợc sử dụng quá trình giải, đề tài đã vào phân tích đợc vớng mắc mà đa số học sinh hay nhÇm lÉn sö dông ph¬ng ph¸p nµy Tiếp theo là phơng pháp đặt ẩn phụ là công cụ mạnh quá trình khử thức Đa số học sinh đã biết cách đặt và chuyển phơng trình đã cho vÒ ph¬ng tr×nh h÷u tØ míi, song c¸c em vÉn cha biÕt t×m mèi liªn hÖ h÷u c¬ gi÷a Èn và ẩn cũ Đề tài này đã phần nào giúp các em việc nhìn nhận đợc mối tơng quan gi÷a Èn cò vµ Èn míi Đề tài đã giúp cho các em hệ thống đợc các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, trên sở đó mà các em có đợc tất các công cụ đứng trớc bài to¸n vµ cã thÓ lùa chän ph¬ng ph¸p nµo h÷u hiÖu nhÊt Tóm lại, đề tài này đã phần nào giải đợc vớng mắc giải phơng trình vô tỉ Trên sở đó hệ thống đợc cho các em các phơng pháp gi¶i vµ cã tÇm nh×n bao qu¸t h¬n vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ bµi so¹n LuyÖn tËp: Ph¬ng tr×nh v« tØ A Môc tiªu: - Cñng cè c¸c kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ - RÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ b»ng mét sè ph¬ng ph¸p: + Ph¬ng ph¸p n©ng lªn lòy thõa + Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối + Phơng pháp đặt ẩn phụ + Ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh + Phơng pháp bất đẳng thức - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c lµm viÖc - Phát triển t cho học sinh thông qua việc lựa chọn phơng pháp thích hợp để gi¶i tõng ph¬ng tr×nh B ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh: - Giáo viên: Máy chiếu, giấy ghi đề bài tập và lời giải và số kiến thức cÇn nhí – M¸y tÝnh bá tói – PhiÕu häc tËp - Häc sinh: GiÊy trong, b¶ng nhãm, bót viÕt b¶ng, giÊy nh¸p, «n tËp c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ M¸y tÝnh bá tói C Hoạt động dạy học: Hoạt động thày Hoạt động trò I, Hoạt động : Kiểm tra và nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n HS lªn b¶ng tr¶ lêi HS 1: ThÕ nµo lµ ph¬ng tr×nh v« - PTVT lµ ph¬ng tr×nh chøa tØ LÊy vÝ dô? Èn dÊu c¨n H·y nªu mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i √ 15 x − √ 15 x −2= √ 15 x V ph¬ng tr×nh v« tØ D: Ph¬ng tr×nh Ghi b¶ng HS 2: H·y ph©n tÝch sai lÇm lêi gi¶i sau: - Nªu vµi ph¬ng ph¸p gi¶i ph- * Gi¶i ph¬ng tr×nh: ¬ng tr×nh v« tØ x −1=5 x −1+3 x − 2+2 √15 x − 13 x +2(3) HS lªn b¶ng ph©n tÝch Lêi gi¶i: nh÷ng sai lÇm lêi gi¶i - Sai lÇm thø nhÊt lµ kh«ng Hoạt động thày Hoạt động trò x= Ghi b¶ng 11 chú ý đến điều kiện để ChuyÓn vÕ: √ x −1=√ x − 1+ √ x −2(2) c¨n thøc cã nghÜa ë ®©y ta ph¶i B×nh ph¬ng hai vÕ: cã ®iÒu x −1=5x −1+3x −2+¿+2 √ 15x2 −13x+ kiÖn x2(3) ≥ Do đó giá trị ¿ 7x ≥ cña (1) kh«ng lµ2− nghiÖm ( 2− 7x )2 =4 ( 15x − 13x+2 ) Rót gän: - Sai ¿ 2− x=2 √ 15 x − 13 x +2( 4) lầm thứ hai¿ {là không đặt điều ¿ B×nh ph¬ng hai vÕ: kiện để biến đổi tơng đơng Các – 14x + 49x2 = ph¬ng tr×nh (4) vµ (5) kh«ng t- 4(15x2 – 13x + 2)(5) ơng đơng Phơng trình (4) tơng Rót gän: đơng với hệ: 11x2 – 24x +4 = x 1= ; x =2 (11x – 2)(x 11 – 2) = V× vËy x = còng kh«ng lµ nghiÖm cña (1) GV: Đa đề bài và lời giải lên HS: Cả lớp theo dõi và nhận xét mµn h×nh bµi cña tõng b¹n trªn b¶ng GV Gäi HS ë díi líp lÇn lît HS: C¶ líp theo dâi lêi gi¶i nhận xét phần trả lời HS đúng trên màn hình vµ HS GV đa lời giải đúng trên HS đọc to đề bài màn hình để HS dới lớp theo HS: Cả lớp suy nghĩ tìm phdõi và rút kinh nghiệm ¬ng ph¸p gi¶i GV cho ®iÓm HS II, Hoạt động 2: Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: LuyÖn tËp √3 x+1+ √3 − x=2 Ph¬ng ph¸p n©ng lªn lòy thõa GV : ®a bµi tËp lªn mµn h×nh Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi b¶ng Gọi HS đọc đề bài HS hoạt động nhóm Giải : GV cho c¶ líp suy nghÜ t×m theo yêu cầu đề Lập phơng hai vế (áp dụng HĐT): ph¬ng ph¸p gi¶i Nãi râ kiÕn bµi (ax+ + 1+7 b)3 − = x+ a3 3+√3b( x3 +1 + 3ab(a b) ) (7 − x ) + 2=8 thøc cÇn ¸p dông gi¶i ph- §¹i diÖn ba nhãm ¬ng tr×nh nµy nªu ph¬ng ph¸p lµm îc: ⇔ ( x +1 ) ( 7− x )=0 ⇔ x1 =−1 ; x2 =7 §- GV cho HS hoạt động theo Nói rõ kiến thức đợc nhãm (Mçi nhãm bµi) ¸p dông GV gọi đại diện ba nhóm HS : em đại diện nªu ph¬ng ph¸p gi¶i cña cho nhãm cã lêi gi¶i VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: nhãm m×nh b»ng ph¬ng ph¸p x1= - 1; x2 = n©ng lªn lòy thõa GV gọi nhóm cử đại diện đem bảng nhóm lên ®em b¶ng nhãm lªn b¶ng b¶ng tr×nh bµy tr×nh bµy (b»ng ph¬ng ph¸p HS tr¶ lêi n©ng lªn lòy thõa) GV : T¹i ph¬ng trình này ta không đặt điều kiÖn cho sù tån t¹i cña c¨n tríc b×nh ph¬ng hai vÕ Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −2=2(1) GV tæng kÕt Gi¶i: thức và không đặt điều kiện 2√ x − 1+ 1=2 √(x −1)− Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ⇔ √(x −1)+2 √ x − 1+1+2 ¿+ §iÒu kiÖn x¸c định: x≥1 ⇔ √ ( √ x −1+1 ) + √ ( √ x −1 −1 ) =2 ph¬ng tr×nh chøa Èn Ta cã: (1) ⇔ √ x − 1+ 1+|√ x −1 −1|=2 dấu giá trị tuyệt đối - HS đọc đề⇔bài tËp |√ x − 1− 1|=1 √ x −1+ GV đa đề bài tập lên màn h×nh HS nªu ph¬ng ph¸p Gọi HS đọc to đề bài gi¶i bµi tËp - C¶ líp lµm bµi vµo giÊy Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi b¶ng GV gäi HS nªu ph¬ng ph¸p HS lªn b¶ng lµm + NÕu x > √ x −1+√ x − 1− 1=1 gi¶i bµi tËp nµy bµi Th× cã ph¬ng tr×nh: ⇔ √ x −1=2 ⇔ √ x − 1=1 GV cho HS hoạt động cá ⇔ x − 1=1 ⇔ x=2 nh©n, lµm BT vµo giÊy Gäi HS lªn b¶ng lµm bµi Ba HS thu bài để GV cïng c¶ líp nhËn xÐt HS nhËn xÐt bµi cña (kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt) + NÕu ≤ x ≤ 2, ta cã ph¬ng tr×nh: √ x −1+1 − √ x − 1+ 1=2 ⇔ √ x − 1=0 GV thu bµi cña vµi em ®a lªn b¹n trªn b¶ng màn hình để lớp nhận xét GV tiÕp tôc cho c¶ líp nhËn Mét vµi HS tr¶ lêi xÐt bµi cña HS lµm trªn Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm b¶ng 1≤x≤2 Nêu vấn đề: Ngoài phơng VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: ph¸p trªn, ta cßn cã thÓ gi¶i 1≤x≤2 phơng trình này theo cách HS nghe để linh hoạt nµo kh¸c? vËn dông GV chèt l¹i: §èi víi bµi tËp ta nªn chän ph¬ng ph¸p ®a phơng trình chứa ẩn HS đọc to đề bài Bµi tËp 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 +21 x+ 18+ √ x 2+ x+7=2(1) dấu giá trị tuyệt đối là tốt bài tập Gi¶i: h¬n Phơng pháp đặt ẩn HS 2: Nêu phơng Điều kiện x2 + 7x + ≥ phô ph¸p gi¶i bµi tËp √ x2 +7 x +7= y ( y ≥ ) §Æt ⇒ x2 + 7x + = y2 (*) GV đa đề bài tập lên màn + 2y – −5 ph¬ng (1) ⇔ y3y=1 ;y = 5=0 h×nh Nªn Gọi HS đọc to đề bài pháp đặt ẩn phụ, đa chän 2 a+b+c= −5 y 1=1 ( TM ) ; y 2= ( lo¹i ) GV cho HS suy nghÜ vµ hái ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ + – = ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh h÷u nµy Theo em ta nªn chän tØ ph¬ng ph¸p nµo? V× - Thay y = vµo (*), ta cã: Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi b¶ng sao? x2 + 7x + = GV gäi HS lªn b¶ng lµm HS 3: Lªn b¶ng gi¶i ⇔ x2 + 7x + = GV yêu cầu HS lớp hoạt phơng pháp đặt a–b+c=1–7+6=0 động nhóm nªn x1 = - ; x2 = - (tháa m·n Èn phô - Một nửa lớp làm theo ph- - Nửa lớp hoạt động điều kiện x2 + 7x + ≥ 0) ơng pháp đặt ẩn phụ nhãm theo ph¬ng VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm : - Một nửa lớp thực pháp đặt ẩn phụ x1 = - ; x2 = - chuyÓn vÕ vµ b×nh ph¬ng hai - Nöa líp lµm theo vÕ råi gi¶i b»ng c¸ch quy vÒ c¸ch nh yªu cÇu ph¬ng tr×nh bËc hai (Nhê ph¬ng ph¸p cña GV (2 bµn nhÈm nhãm) nghiÖm) GV gäi nhãm lµm theo ph- Nhãm I: NhËn xÐt ơng pháp đặt ẩn phụ nhận bài cña b¹n trªn xÐt bµi lµm cña b¹n trªn b¶ng bảng (bổ sung cho hoàn Nhóm II: Cử đại diện thiÖn) lªn b¶ng tr×nh bµy GV gäi nhãm lµm theo ph- c¸ch ¬ng ph¸p ®em b¶ng nhãm HS c¶ líp nhËn xÐt, lªn b¶ng tr×nh bµy rót ph¬ng ph¸p Cho c¶ líp nhËn xÐt vµ rót gi¶i ng¾n nhÊt ph¬ng ph¸p tèi u cho c¸ch gi¶i bµi tËp nµy Một HS đọc to đề bài Ph¬ng ph¸p hÖ ph- Mét HS nªu vµi ph- Bµi tËp : Gi¶i ph¬ng tr×nh ¬ng tr×nh ¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp √ x −2+ √ x +1=3(∗) GV ®a bµi tËp lªn mµn Gi¶i: h×nh §KX§: x ≥ - (1) √3 x −2= y Gọi HS đọc to đề bài √ x+1=z( z ≥ 0) §Æt GV cho c¶ líp suy nghÜ t×m ph¬ng ph¸p gi¶i Hoạt động thày Khi đó x – = y3 Hoạt động trò Ghi b¶ng GV: ë bµi tËp nµy cã mét sè x + = z2 (**) c¸ch gi¶i kh¸c nhau, song Mét HS nªu §KX§ Y + Z=3(2) Ph¬ng trình đã cho đa đợc hệ : chóng ta cïng gi¶i theo ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh Ba HS tr×nh bµy hÖ GV gọi HS nêu ĐKXĐ phơng trình đã lập đphơng trình Nªn Z2¿– Y3 = îc GV yêu cầu HS đặt ẩn phụ Z −Y =3 (3) Z ≥ 0( 4) ¿{{ ¿ Rót Z tõ (2) ta cã Z = – y (5) và đa đến việc giải hệ phơng HS trả lời theo yêu Thay vào (3) ta đợc : tr×nh cÇu cña GV y3 – y2 + 6y – = GV lần lợt gọi HS đứng ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = chç lµm miÖng gi¶i ph¬ng ⇔ y = (cßn y2 + ≥ 6) tr×nh Thay y = vµo (5) cã Z = (TM GV ghi trªn b¶ng (4)) HS đọc to đề bài tập Thay z = vào (**) ⇒ x = (TM (1)) Ph¬ng ph¸p bÊt đẳng thức GV ghi và đa đề bài tập lên 2 a/ √ x +6=x −2 √ x −1 b/ √ x +8 x+ 6+ √ x2 −1=2 x +2 Gọi HS đọc đề bài phơng pháp bất đẳng Bµi c / √ x −2+ √ − x=x − x+11 GV cho HS suy nghĩ phút thức (dùng tính đối tập 5: Giải ph¬ng√3 2tr×nh d / x +1=2 x−1 mµn h×nh HS: Em nªn sö dông råi nªu c©u hái: nghÞch ë hai vÕ) §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta cã nªn dïng ph¬ng ph¸p: Gi¶i: √ x +6 x +7+√ x2 +10 x+ 14 2 √ ( x+1 ) + 4+ √5 ( x+ ) + - N©ng lªn lòy thõa - §a vÒ ph¬ng tr×nh chøa dÊu tr¸i: VÕ √ 4+ √ giá trị tuyệt đối - §Æt Èn phô Mét HS lªn b¶ng lµm đợc không? BT Theo em, ta dïng ph¬ng - HS lµm bµi vµo VËy vÕ tr¸i cã gi¸ trÞ ≥ (1) phiÕu häc tËp DÊu “=” x¶y ⇔ (x + 1)2 = ⇔x=-1 Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi b¶ng nào hay để giải phơng Cả lớp làm và nhận Vế phải: tr×nh nµy? xÐt bµi cña b¹n trªn Gäi HS lªn b¶ng lµm b¶ng – 2x – x2 = -(x2 + 2x + 1) + = - (x + 1)2 + ≤ (2) Ph¸t phiÕu häc tËp cho DÊu “=” x¶y ⇔ x = - häc sinh lµm Tõ (1), (2) ⇒ VP cã gi¸ trÞ b»ng VT Yêu cầu lớp làm sau đó th× chóng còng b»ng nhËn xÐt bµi cña b¹n trªn T¹i x = - b¶ng VËy ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm GV gäi HS nhËn xÐt bæ sung x = - cho bµi cña b¹n trªn b¶ng Thu phiếu học tập để nhận xÐt vµ chÊm ®iÓm III Hoạt động 3: Củng cố Gi¸o viªn chèt l¹i : Chúng ta đã đợc học phơng trình vô tỉ và cách giải các phơng trình vô tỉ Mỗi ph¬ng tr×nh cã thÓ cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, song chóng ta thêng gÆp mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n sau: - Ph¬ng ph¸p n©ng lªn lòy thõa - Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Phơng pháp đặt ẩn phụ - Ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh - Phơng pháp bất đẳng thức C¸c em cÇn nghiªn cøu s©u s¾c c¸c ph¬ng ph¸p nµy vµ tïy tõng bµi tËp cô thÓ mµ sử dụng phơng pháp giải cho phù hợp để đạt hiệu tốt Một điều vô cùng quan träng lµ §KX§ cña ph¬ng tr×nh IV Hoạt động 4: Hớng dẫn nhà Xem kÜ c¸c bµi tËp võa luyÖn Lµm c¸c bµi tËp sau: Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh a / x  4x 8 x  b / 4x   3x  1 c / x   x   x   x  1 a / x  x  x  b / 2x  8x   x  2x  c / x    x x  6x  11 d / x  23 2x  Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Tµi liÖu tham kh¶o – Phơng pháp thực đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên – NXB Khoa häc vµ KÜ thuËt - §¹i sè líp vµ líp – NXB Gi¸o dôc – To¸n båi dìng §¹i sè 8, 9, 10 – NXB Hµ Néi – 630 bµi to¸n §¹i sè – Gi¶i tÝch – NXB TrÎ-TP Hå ChÝ Minh – 45 đề thi toán lớp – NXB Giáo dục – Bộ đề tuyển sinh môn Toán – NXB Giáo dục – Các dạng toán luyện thi đại học – NXB Hà Nội – C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh – NXB H¶i Phßng – Chuyên đề Đại số – NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh 10 – C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh – NXB Khoa häc vµ KÜ thuËt 11 – Tuyển tập giới thiệu đề thi môn toán vào các trờng cao đẳng và đại häc n¨m 1997, 1998, 1999, 2000, 2001 – NXB Gi¸o dôc & NXB TrÎ TP Hå ChÝ Minh môc lôc Trang phần i: vấn đề chung I Lý chọn đề tài 1 – C¬ së lý luËn - C¬ së thùc tiÔn II Mục đích nghiên cứu đề tài III Đối tợng nghiên cứu đề tài - §èi tîng nghiªn cøu – Kh¸ch thÓ nghiªn cøu – Ph¹m vi nghiªn cøu IV Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài 2 2 V Phơng pháp nghiên cứu đề tài phần ii: Nội dung chính đề tài Ch¬ng I: Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n I Những vấn đề chung phơng trình II C¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh c¬ b¶n III Ph¬ng tr×nh v« tØ Chơng II: Phơng pháp biến đổi tơng đơng I Ph¬ng ph¸p n©ng lòy thõa - C¸c d¹ng c¬ b¶n - C¸c vÝ dô II Phơng pháp đa đẳng thức 6 III Phơng pháp dùng miền xác định 11 IV Ph¬ng ph¸p dïng lîng liªn hîp 12 Bµi tËp ch¬ng II 16 Ch¬ng III: Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ 17 I Đặt ẩn phụ để chuyển phơng trình hữu tỉ 17 II §Æt Èn phô, chuyÓn ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh 21 h÷u tØ Bµi tËp ch¬ng III 33 Chơng IV: Phơng pháp áp dụng các bất đẳng 35 thøc quen thuéc I Bæ tóc vÒ kiÕn thøc 35 II C¸c vÝ dô minh ho¹ 35 Bµi tËp ch¬ng IV 39 phần iii: kết luận chung đề tài 40