Đang tải... (xem toàn văn)
+ Một số HS không xác định được kiến thức và phương pháp chứng minh bài toán hình học, không biết cách vẽ hình hay trình tự vẽ các yếu tố hình học theo yêu cầu của bài toán, không bi[r]
(1)1 MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài .4 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .5 Giả thuyết khoa học 5 Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu .6 Cấu trúc đề tài CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .7 1.1 Vị trí chức bài toán 1.1.1 Bài toán là gì? 1.1.2.Chức bài toán 1.2 Phân loại bài toán 1.3 Năng lực giải toán 10 1.3.1 Năng lực 10 1.3.2 Năng lực toán học .11 1.3.3 Năng lực giải toán là gì? 11 1.3.4 Các lực giải toán 11 1.4 Lược đồ giải toán G Pôlia 15 1.5 Thực trạng dạy học lược đồ G Pôlia 16 (2) CHƯƠNG : VẬN DỤNG LƯỢC ĐỒ GIẢI TOÁN CỦA G PÔLYA ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC CHƯƠNG I : TỨ GIÁC TOÁN TẬP 18 2.1 Mục tiêu chương 18 2.2 Nội dung chương I: Tứ giác 18 2.3 Các dạng bài tập chương .19 2.4 Vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua dạy học chương I : Tứ giác Toán tập 19 2.4.1 Dạng 1: Bài tập tính toán 19 2.4.2 Dạng 2: Bài tập chứng minh .23 2.4.3 Dạng 3: Bài tập dựng hình 27 2.4.4 Dạng 4: Bài tập quỹ tích 31 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .38 3.1 Mục đích thực nghiệm 38 3.2 Địa điểm và thời gian 38 3.3 Nội dung thực nghiệm 38 3.4 Kết quả thực nghiệm 39 KẾT LUẬN CHUNG 42 PHẦN PHỤ LỤC .43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 (3) DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THCS Trung học sở GV Giáo viên HS Học sinh NXBGD Nhà xuất bản giáo dục SGK Sách giáo khoa GT Giả thiết KL Kết luận (4) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong năm qua, cùng với phát triển chung cả nước, lãnh đạo Đảng, nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo có vị trí chiến lược quan trọng việc xây dựng người mới, phát triển kinh tế xã hội Mục tiêu giáo dục và đào tạo là “nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, xây dựng người phát triển toàn diện”, việc đổi phương pháp dạy học là nhu cầu cấp bách và việc phát triển tư toán học học sinh THCS là vấn đề quan trọng Muốn giải bài toán ngoài việc nắm vững kiến thức Toán học còn cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với bài toán chưa có sẵn thuật giải chiếm phần lớn môn Toán học, nó gây cho học sinh không ít khó khăn quá trình giải toán Do đó là người giáo viên phải biết đề đúng lúc, đúng chỗ câu hỏi gợi mở, phù hợp với trình độ học sinh và chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý G Pôlya (G Pôlya – Giải bài tập nào?) Việc giải toán không đơn là cung cấp lời giải mà quan trọng là: dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lý để giải toán Trong dạy học thầy cô thường cho học sinh biết có nhiều trường hợp từ bài toán cụ thể lại có thể minh họa nhiều cách giải khác nhau, điều đó góp phần lớn cho việc luyện tập toán Vì việc giải bài tập không nên thỏa mãn và dừng lại với các kết quả đã có, mà phải chịu khó tìm tòi, khám phá cái trên sở cái đã biết, qua đó rút các phương pháp giải chung cho bài toán có dạng tương tự Do đó nhóm tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua dạy học chương I: Tứ giác Toán tập 1” Các em đã làm quen tứ giác toán Tiểu học nên lên bậc THCS chương Tứ giác tìm hiểu kĩ cách giải các bài tập chương để đảm bảo tính thống chương trình môn Toán và là sở để học lên chương trình toán trung học phổ thông và cao (5) Trên tảng kiến thức và kĩ đó mà hình thành và phát triển các lực chủ yếu đáp ứng yêu cầu phát triển người Việt Nam thời kỳ công nghiệp hóa, đại hóa đất nước Mục đích nghiên cứu Việc nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua dạy học chương I : Tứ giác Toán tập để rèn luyện cho học sinh thao tác tư quan sát và dự đoán giải toán, phân tích tìm tòi cách giải và trình bày lời giải bài toán, nhận biết các quan hệ hình học các vật thể xung quanh và bước đầu vận dụng kiến thức hình học đã học vào thực tiễn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận lược đồ giải toán G Pôlya, lực giải toán và nội dung chương tứ giác Toán tập Vận dụng lược đồ giải toán G.Pôlya giúp học sinh định hướng đường lối giải toán giải các bài toán sáng tạo bài toán Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu quả việc vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya Giả thuyết khoa học Nếu thực tốt đề tài này thì giúp cho việc giảng dạy môn toán có hiệu quả và phát huy khả tư độc lập, tích cực, sáng tạo, rèn luyện cho các em kĩ tiến hành các hoạt động tương tự, giúp khắc sâu, nhớ lâu kiến thức, nâng cao lực tự học, khắc phục tình trạng áp đặt kiến thức học snh, phù hợp với thực tiễn đổi phương pháp dạy học Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu Sách giáo khoa, Sách giáo viên, Sách bài tập Toán lớp tập I, các tài liệu liên quan khác phục vụ cho đề tài Phương pháp quan sát, điều tra: qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi với giáo viên dạy toán lớp 8, tìm hiểu tình hình học các em (6) Phương pháp thực nghiệm: thông qua tiết dạy trên lớp Phạm vi nghiên cứu Lớp Trường Trung Học Cơ Sở Phú Lộc - Huyện Thanh Trị - Thành phố Sóc Trăng, Lớp trường THCS Hòa Đông - Huyện Vĩnh Châu - Thành Phố Sóc Trăng, lớp trường THCS Long Hòa - Thành Phố Cần Thơ Đối tượng nghiên cứu Vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua nội dung toán hình học Cấu trúc đề tài Gồm ba phần: Mở đầu, nội dung, kết luận Gồm ba chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2: Vận dụng lược đồ giải toán G.Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua dạy học chương I: Tứ giác Toán tập Chương 3: Thực nghiệm sư phạm TÀI LIỆU THAM KHẢO (7) CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Trong chương này chúng tôi tham khảo các tài liệu [3], [4], [5], [9] 1.1 Vị trí chức bài toán 1.1.1 Bài toán là gì? Bài toán hiểu là “tất cả câu hỏi cần giải đáp kết quả chưa biết cần tìm số kiện, số phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này đạt kết quả đã biết” (từ điển Petit Robert, trích theo Lê Văn Tiến, 2005) Polya lại viết: “Bài toán đặt cần thiết phải tìm hiểu cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng không thể đạt ngay?” Rubinstein viết “Một vấn đề số tình hưống có vấn đề xác định trước hết chỗ nó có cái chưa biết, là cái lỗ hổng cần lấp đầy, có cái x nào đó cần thay giá trị tương ứng Như tình có vấn đề luôn luôn chứa cái gì đó còn là ẩn quan hệ với cái đã cho cần xác định dạng hiện” Ông viết “Bài toán là phát biểu lời” Bài toán là yêu cầu cần có để đạt mục đích nào đó Với cách hiểu này bài toán đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ,… Mục đích nêu bài toán có thể là bài toán bất kì (của các số, các hình, các biểu thức, … ) đúng đắn nhiều kết luận… Một bài toán gồm có hai phần: điều đã cho và điều yêu cầu, cần phải đọc kĩ toàn bài toán tìm kiện nào đã cho để phân tích, tổng hợp để hiểu đề bài Từ đó xem có mối liên hệ nào điều đã cho và điều yêu cầu 1.1.2.Chức bài toán Mỗi bài toán cụ thể đặt thời điểm nào đó quá trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng chức khác Những chức này hướng đến việc thực các mục đích dạy học Trong môn toán, các bài toán mang các chức sau: Chức dạy học: bài toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo các giai đoạn khác quá trình dạy học (8) Chức giáo dục: bài toán nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, phẩm chất đạo đức người lao động mới, ý thức vận dụng kiến thức toán học vào đời sống Chức phát triển: bài toán nhằm phát triển lực tư học sinh, góp phần rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư khoa học Chức kiểm tra: bài toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả độc lập học toán và trình độ phát triển học sinh Trong quá trình dạy học toán, các chức trên không bộc lộ cách riêng lẻ và tách rời Việc nhấn mạnh chức này hay chức khác phụ thuộc vào việc khai thác bài toán, vào lực sư phạm và nghệ thuật dạy học Giáo viên, nhằm phục vụ có hiệu quả cho yêu cầu tiết dạy cho đúng đối tượng học sinh cụ thể Chẳng hạn học sinh đại trà, cần nhấn mạnh chức dạy học và chức kiểm tra, đối tượng học sinh khá giỏi cần khai thác các bài toán để nhấn mạnh chức phát triển Ví dụ: (Bài 75 SGK trang 106) Chứng minh các trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật là các đỉnh hình thoi Giải bài toán Giả sử gọi E, F, G, H là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA hình chữ nhật ABCD Ta chứng minh EFGH là hình thoi Xét tam giác ADB có: AE=EB (gt) A AH=HD (gt) H HE là đường trung bình tam giác ADB D DB ; HE//DB (1) Tương tự ta có GF là đường trung bình tam giác DCB DB GF= ; GF//DB (2) Từ (1) và (2) suy tứ giác HGFE là hình bình hành (5) Mặt khác ta lại có HG là đường trung bình tam giác ADC E B F G C (9) AC HG= ; HG//AC (3) EF là đường trung bình tam giác ABC AC EF= ; EF//AC (4) Từ (3) và (4) suy HG=EF; HG//EF (6) Mà AC=DB (đường chéo hình chữ nhật ABCD) (7) Từ (5), (6), (7) suy tứ giác EFGH là hình thoi Bài toán trên đã thể chức vừa nêu + Chức dạy học: Để giải bài toán trên HS cần nắm vững định nghĩa và tính chất hình chữ nhật, hình thoi các định lí liên quan đến đường trung bình tam giác + Chức giáo dục: HS cần vẽ hình cẩn thận, và chính xác để thấy rõ quan hệ độ dài đoạn nối hai trung điểm hình chữ nhật từ đó phát cách vẽ thêm đường phụ chính là đường chéo hình chữ nhật + Chức kiểm tra: Đánh giá mức độ nắm và vận dụng kiến thức, kỹ vẽ hình và suy luận HS qua việc giải bài tập + Chức phát triển: Đối với HS khá giỏi, sau HS chứng minh “Trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật là các đỉnh hình thoi” cho HS nhận xét tứ giác có hai đường chéo giúp ta có bài toán sau: “Cho tứ giác ABCD có AC=BD Gọi E, F, G, H là trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh EFGH là hình thoi” 1.2 Phân loại bài toán Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác để đạt mục đích định thường là sử dụng các bài toán đó thuận tiện Một số cách phân loại thường gặp là: * Phân loại theo hình thức : Theo G Pôlya bài toán chia thành : - Bài toán tìm tòi : (Bao gồm toán tính toán, toán dựng hình, toán quỹ tích, rút gọn biểu thức, phân tích đa thức thừa số, giải phương trình bất phương trình, ) là bài toán mà yêu cầu nó thường thể các từ : Tìm, tính, giải, xét, rút gọn, phân tích, xác định, dựng, (10) 10 - Bài toán chứng minh : bài toán mà yêu cầu nó thường thể các cụm từ : Chứng minh rằng, chứng tỏ rằng, rằng, sao, Các phần chính bài toán bao gồm : cái đã cho (còn gọi là giả thiết) và cái phải tìm (còn gọi là kết luận ) Giải bài toán chứng minh là tìm mối liên hệ lôgic cái đã cho và cái phải tìm Cấu trúc bài toán chứng minh thường có dạng A→B hay giả thiết → kết luận - Bài toán hỗn hợp (hay tổng hợp) : bài toán có phần là bài toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh Các bài toán có nội dung thực tiễn sau toán học hoá thành bài toán học coi là bài toán tổng hợp * Phân loại theo nội dung : có thể chia thành các bài toán : - Bài toán số học - Bài toán đại số - Bài toán hình học - Bài toán rời rạc * Đối với bài toán hình học có thể phân thành các loại : - Toán tính toán - Toán chứng minh - Toán quỹ tích (Tập hợp điểm ) - Toán dựng hình 1.3 Năng lực giải toán 1.3.1 Năng lực 1.3.1.1 Năng lực là gì? Năng lực là tổ hợp thuộc tính độc đáo cá nhân, phù hợp với yêu cầu đặc trưng hoạt động định, nhằm đảm bảo hoàn thành có kết quả hoạt động 1.3.1.2 Các mức độ lực Người ta thường chia lực thành ba mức độ khác nhau: lực, tài năng, thiên tài Năng lực là mức độ định khả người, biểu thị khả hoàn thành có kết quả hoạt động nào đó Tài là mức độ lực cao hơn, biểu thị hoàn thành cách sáng tạo hoạt động nào đó (11) 11 Thiên tài là mức độ cao lực, biểu thị mức độ kiệt xuất, hoàn chỉnh vĩ nhân lịch sử nhân loại 1.3.1.3 Phân loại lực Năng lực có thể chia thành hai loại: lực chung và lực chuyên biệt Năng lực chung là lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau, chẳng hạn thuộc tính thể lực, trí tuệ (quan sát, trí nhớ, tư duy, tưởng tượng, ngôn ngữ,…) là điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là thể độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao, chẳng hạn: lực toán học, lực thơ văn, lực thể thể dục, thể thao,… Hai loại lực chung và riêng luôn bổ sung, hỗ trợ 1.3.2 Năng lực toán học Những lực toán học hiểu là đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động học tập toán học và điều kiện vững thì là nguyên nhân thành công việc nắm vững cách sáng tạo toán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực toán học 1.3.3 Năng lực giải toán là gì? Năng lực giải toán là thể độc đáo các phẩm chất riêng biệt nhằm đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học có hiệu quả 1.3.4 Các lực giải toán 1.3.4.1 Năng lực phân tích tổng hợp Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể thành phần tách thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm cái toàn thể Tổng hợp là dùng trí óc hợp các phần cái toàn thể kết hợp thuộc tính, khía cạnh khác nằm cái toàn thể đó Phân tích và tổng hợp là hai phương pháp nhận thức khác có chiều hướng đối lập Song lại thống biện chứng với Chúng luôn luôn là (12) 12 yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững và vận dụng các kiến thức Toán học cách sáng tạo Phân tích là phương pháp suy luận từ cái đã cho đề toán đến cái phải tìm hay yêu cầu đề toán Khi giải bài toán, trước tiên học sinh phải biết nhìn cách tổng hợp xem bài toán thuộc loại gì? Phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm mối liên hệ chúng Ví dụ: Xét bài toán chứng minh sau: Cho hình vuông ABCD M, N là trung điểm các cạnh AB, BC Gọi I là giao điểm CM và DN Chứng minh AI = AD Hình vuông ABCD AM = MB; BN = NC; CM Ồ PHÂN TÍCH KL DN = I AI = AD AI = AD ADI cân A Ồ TỔNG HỢP GT (13) S S AH là đường cao AP DN AP MC; MC DN DIC vuông I = 13 DH = HI HP IC; DP = PC AP MC AMCP là hình bình hành AM = BC; AM PC BMC = CND 1.3.4.2 Năng lực khái quát hóa Khái quát hoá là dùng trí óc tách cái chung các đối tượng, kiện tượng Muốn khái quát hoá thường phải so sánh nhiều tượng, kiện với Nhưng có từ đối tượng ta có thể khái quát hoá tính chất, phương pháp nào đó Khái quát hoá có tác dụng: giúp người có cái nhìn bao quát, thấy cái chung nhiều cái riêng lẻ, rút cái chung để vận dụng rộng Đây là đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết Giả thiết rút từ khái quát có thể đúng, có thể sai đó cần phải chứng minh Khi giải bài tập không là giải vấn đề cụ thể mà là giải đề bài loại vấn đề Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập định có ý nghĩ chung nào đó Nếu ta chú ý mà khái quát hướng suy nghĩ (14) 14 và cách giải vấn đề đó là gì thì ta có thể dùng nó để giải các vấn đề cùng loại mở rộng Có khái quát hoá đúng, có khái quát hoá sai Vì để khái quát hoá đúng thì học sinh cần phải xuất phát từ bản chất vật, tượng GV cần phải làm cho HS hiểu rõ bản chất bên mà bị cái bên ngoài che lắp Muốn GV phải biết biến thiên dấu hiệu không bản chất mà giữ lại dấu hiệu bản chất Ví dụ : Từ khái niệm “Tứ giác” đến khái niệm khái quát hơn: khái niệm “Hình vuông” GV cần làm cho HS hiểu rõ bản chất là: - Tứ giác là hình gồm bốn đoạn thẳng đó bất kì hai đoạn thẳng nào không cùng nằm trên đoạn thẳng - Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh 1.3.4.3 Năng lực trừu tượng và cụ thể hóa Trừu tượng hoá: khái quát hoá, chúng ta tách các cái chung đối tượng nghiên cứu, khảo sát cái chung này, gạt bỏ thuộc tính riêng chúng không chú ý tới cái riêng này, đó chính là trừu tượng hoá Cụ thể hoá là tìm ví dụ minh hoạ cho cái chung đó, tức là tìm cái riêng mà cái riêng này thoả mãn tính chất cái chung đã xác định Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau, nhờ trừu tượng hoá mà ta có thể khái quát rộng và nhận thức sâu sắc Có thể nói “không có khái quát hoá và trựu tượng hoá thì không thể có khái niệm và tri thức” Trừu tượng hoá là tiền đề khái quát hoá Để bồi dưỡng lực trừu tượng hoá cho học sinh thì ta phải biết vận dụng đường biện chứng nhận thức chân lý: “từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng và từ tư trừu tượng trở thực tiễn”, phải nắm vững mối liên hệ chặt chẽ tư trừu tượng và tư cụ thể Giáo viên cần tập cho học sinh quan sát, nhận xét cái chung từ các tượng cụ thể mà không quan tâm cái cụ thể này; phải biết lựa chọn các bài toán nâng dần khả trừ tượng hoá các mối quan hệ toán học; xen kẽ các bài toán có nội dung cụ thể và trừu tượng 1.3.4.4 Năng lực khai thác bài toán (15) 15 Khai thác bài toán là nghiên cứu sâu vào bài toán để có thể tìm cách giải khác và sáng tạo bài toán Khi giải bài toán xong có thể theo các phương tiện sau đây để giải tiếp: Đôi với bài toán điển hình hay bài toán khó hãy suy nghĩ lại xem mình đã phát hướng suy nghĩ sao? Đặc điểm hướng suy nghĩ là gì? Nó thích hợp cho loại hình nào? Bài đó có dùng đến kiến thức sở và lí luận bản nào? Có thể từ góc độ khác để xét vấn đề không? Còn cách giải nào ngắn gọn không? Muốn khai thác bài toán trước hết phải nắm đặc điểm và bản chất bài toán đó người giải toán phải phân tích kỹ các yếu tố cấu tạo nên bài toán đó Như thấy mối liên hệ các bài toán cùng loại và các loại bài toán khác Ví dụ: Từ bài toán: Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, DC cho AE = CF Chứng minh AF = CE Giải A E D B F C Xét hai tam giác ADF và tam giác CBE có: AD=BC (gt) B D = (gt) AB DC DF=BE= = (vì ABCD là hình chữ nhật) ADF=CBE (c.g.c) AF=CE Ta dễ nhận tứ giác EBFD là hình bình hành thì ta bài toán có cách giải tương tự 1.4 Lược đồ giải toán G Pôlya Lược đồ giải toán G Pôlya thực theo các bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán (16) 16 - Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa sao? Sử dụng kí hiệu nào? - Phát biểu bài toán dạng dạng khác để hiểu rõ bài toán - Dạng toán nào? (toán chứng minh hay tìm tòi?) - Kiến thức bản cần có là gì? (các khái niệm, các định lí, các điều kiện tương đương, các phương pháp chứng minh, các bước giải bài toán dựng hình,…) Bước 2: Xây dựng chương trình giải: tức là rõ các bước cần tiến hành theo trình tự thích hợp - Thực vấn đề gì? - Giải vấn đề gì? Bước 3: Thực chương trình giải: trình bày bài làm theo các bước đã Chú ý sai lầm thường gặp tính toán, biến đổi,… Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải - Xét xem có sai lầm không? - Có phải biện luận kết quả tìm không? - Nếu là bài toán có nội dung thực tiễn thì kết quả tìm có phù hợp với thực tiễn không? - Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,… 1.5 Thực trạng dạy học lược đồ G Pôlia - Hầu hết GV đã chú trọng vào việc vận dụng lược đồ giải toán G Pôlia qua bước nhiên việc sử dụng lược đồ G Pôlia còn số hạn chế như: + Hệ thống câu hỏi GV đặt đôi lúc còn chưa sát với suy nghĩ HS nên tình trạng GV còn làm thay cho HS còn nhiều và tương đối phổ biến nên việc khai thác thêm bài toán chưa chú trọng + Một số HS không xác định kiến thức và phương pháp chứng minh bài toán hình học, không biết cách vẽ hình hay trình tự vẽ các yếu tố hình học theo yêu cầu bài toán, không biết hệ thống hoá kiến thức và tri thức phương pháp học bài, chương, ; không nắm mối liên hệ các khái niệm, định lý với nhau, không hiểu rõ bản chất, hiểu rõ nội dung khái niệm, định lý, , không biết vận dụng khái niệm hay định lý nào vào việc giải bài toán cụ thể và không biết cách vẽ thêm đường thẳng phụ nào để giải bài toán (17) 17 KẾT LUẬN CHƯƠNG Nhận thấy “Vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua dạy học Chương I: Tứ giác Toán Tập 1”, là chủ đề khá quan trọng chương trình toán THCS, đề tài này có nội dung phong phú và có nhiều điều kiện phát triển lực tư cho HS Nhiều bài toán đòi hỏi HS ngoài việc nắm vững kiến thức bản còn phải biết linh hoạt, nhạy bén, sáng tạo quá trình giải toán Do đó chương I: Cơ sở lí luận đã vạch nội dung chính cần truyền đạt đến HS và nêu số lực cần thiết quá trình hình thành tri thức đó là sở lí thuyết còn áp dụng vào thực tiễn GV và HS tiếp nhận nào? Chúng ta nghiên cứu tiếp chương (18) 18 CHƯƠNG : VẬN DỤNG LƯỢC ĐỒ GIẢI TOÁN CỦA G PÔLYA ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC CHƯƠNG I : TỨ GIÁC TOÁN TẬP 2.1 Mục tiêu chương Kiến thức: Chương I cung cấp cho HS cách tương đối hệ thống các kiến thức tứ giác, hình thang và hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông (bao gồm định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết loại tứ giác trên) Chương I giới thiệu hai hình đối xứng với qua đường thẳng hai hình đối xứng với qua điểm Kỹ năng: Kỹ vẽ hình, tính toán, đo đạc, gấp hình tiếp tục rèn luyện chương I Kỹ lập luận và chứng minh hình học coi trọng: hầu hết các định lí chương chứng minh gợi ý chứng minh Thái độ: Bước đầu rèn luyện cho HS thao tác tư quan sát và dự đoán giải toán, phân tích tìm tòi cách giải và trình bày lời giải bài toán, nhận biết các quan hệ hình học các vật thể xung quanh và bước đầu vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn 2.2 Nội dung chương I: Tứ giác Tổng quan Chương I gồm ba chủ đề: Chủ đề Tứ giác, các tứ giác đặc biệt Tứ giác nghiên cứu chương I là tứ giác lồi Các tứ giác đặc biệt nghiên cứu chương là hình thang và hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông; bao gồm định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết các tứ giác Các hình thang và hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông định nghĩa từ tứ giác cho quán với cách định nghĩa Tiểu Học SGK rõ quan hệ bao hàm các hình: hình bình hành là hình thang đặc biệt, hình chữ nhật là hình bình hành đặc biệt, là hình thang cân đặc biệt, hình thoi là hình bình hành đặc biệt, hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt, là hình thoi đặc biệt; nhờ đó, việc nêu tính chất các hình đơn giản (19) 19 Chủ đề Bổ sung số kiến thức tam giác Các kiến thức tam giác chương I gồm đường trung bình tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Các kiến thức này có thể chứng minh với kiến thức hình học 7, chúng đặt chương I hình học với mục đích giảm bớt khối lượng kiến thức lớp HS chưa thành thạo chứng minh hình học Chủ đề Đối xứng trục, đối xứng tâm Đây là nội dung có nhiều ứng dụng thực tiễn đời sống Trong chủ đề này, HS biết định nghĩa hai điểm, hai hình đối xứng qua đường thẳng, qua điểm; tính chất hai hình đối xứng qua đường thẳng, qua điểm; hình có trục đối xứng (trong đó có hình thang cân); hình có tâm đối xứng (trong đó có hình bình hành) 2.3 Các dạng bài tập chương Dạng 1: Toán tính toán Dạng 2: Toán chứng minh Dạng 3: Toán dựng hình Dạng 4: Toán quỹ tích 2.4 Vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua dạy học chương I : Tứ giác Toán tập 2.4.1 Dạng 1: Bài tập tính toán Ví dụ: Bài 23 SGK Toán – T1 trang 80 Tính giá trị x trên hình bên: C M D x A Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán - Cái gì đã cho? N B (20) 20 + M là trung điểm DC + MN AB, N thuộc AB, NB = - Cái phải tìm: + AN = x = ? Bước 2: Xây dựng chương trình giải: H1: Để tìm AN ta cần biết điều gì? * Ta cần biết AN có quan hệ nào tới NB H2: Để tìm mối quan hệ AN và NB ta xét xem bài toán cho biết gì? * Ta có DA AB (gt), MN AB, CB AB H3: Từ đó ta suy gì? * DA // MN // CB H4: Tứ giác có cặp cạnh song song là hình gì? * ABCD là hình thang (AD//BC) H5: ABCD là hình thang (AD//BC) có MD = MC, MN // DA thì gợi cho ta điều gì? * N là trung điểm AB H6: N là trung điểm AB thì ta tính AN bao nhiêu? * AN = NB = Bước 3: Thực chương trình giải Ta có: DA AB (gt) MN AB (gt) CB AB (gt) ⇒ DA // MN // CB Tứ giác ABCD là hình thang (AD // BC) có M là trung điểm DC (gt) và MN // DA ⇒ N là trung điểm AB Do đó x = AN = NB = Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải H7: Hãy kiểm tra lại kết quả bài toán H8: Với bài toán này có cách giải khác không? * Không có cách giải nào khác H9: Đặt đề toán khác (21) 21 Ta nhận MN là đường trung bình hình thang vuông ABCD, ta có bài mới: Bài 1: Hai điểm D, C thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy Khoảng cách từ điểm D đến xy 10 cm, khoảng cách từ điểm C đến xy 16 cm Tính khoảng cách từ trung điểm M DC đến xy Nếu đề cho tam giác MAB cân M, ta đến với bài toán khác Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = 90o) M là trung điểm cạnh DC Chứng minh tam giác MAB là tam giác cân Và gọi E là điểm trên AB cho ta MN ≤ ME AD + BC ≤ ME hay AD + BC ≤ 2ME Cho ta bài toán Bài 3: Cho tam giác EDC có EM là đường trung tuyến Đường thẳng xy qua E Vẽ DA, MN, CB vuông góc với xy (A, N, B thuộc xy) Chứng minh 2MN = AD + BC ≤ 2ME Bài 4: Cho tam giác EDC và đường thẳng xy qua E không cắt đoạn thẳng CD Vẽ DA và CB vuông góc với xy (A, B thuộc xy) Xác định vị trí xy cho tổng AD + BC lớn Phân tích: Thông qua lược đồ hướng dẫn giải toán G Pôlya bài toán này HS bồi dưỡng các lực sau đây: - Phân tích, tổng hợp: thông qua việc tìm hiểu đề toán, hệ thống câu hỏi gợi mở cho HS phần xây dựng chương trình giải để gợi cho HS hướng làm bài hay giải bài toán thêm dễ dàng Qua hệ thống câu hỏi gợi ý các em có thói quen, kĩ năng, kĩ xảo bước vào làm bài toán - Năng lực khai thác bài toán: thông qua bước nghiên cứu lời giải - Rèn luyện lực lập luận lôgic: thông qua bước trình bày lời giải HS phải lập luận thật chặt chẽ, lôgic để diễn tả lại bài làm Hệ thống bài toán giúp HS rèn luyện lực giải toán lược đồ G.Pôlya Bài 1: Cho tứ giác ABCD (AB // CD) có A = 60o, B = 80o, C = 100o Tính D Bài 2: Cho tứ giác ABCD đó AB // DC // EF, E là trung điểm AD, AB = 2cm, DC = 8cm Tính EF Bài 3: Cho hình thoi ABCD có AB = BD Tính các góc hình thoi (22) 22 Bài 4: Tính đường chéo hình chữ nhật, biết độ dài các cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 5: Chu vi hình bình hành ABCD 10cm, chi vi tam giác ABD 9cm Tính độ dài BD Bài 6: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông có các cạnh góc vuông 7cm và 24cm Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AD = AB và AC = CD Tính các góc hình thang Hướng dẫn giải: Bài 1: Áp dụng định lý tổng các góc tứ giác Bài 2: Áp dụng định lý đường trung bình hình thang Bài 3: Xét ABD Xét BAD với ABC (là hai góc cùng phía, AD // BC) Bài 4: Áp dụng định lý Pitago Bài 5: - Tính chu vi nửa hình thang ABCD (AD + AB = 10 = (cm) - Dựa vào chu vi ABD Bài 6: - Áp dụng định lý Pitago - Áp dụng định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Bài 7: AB = BC ⇒ ABC cân B ⇒ BAC = BCA Mà BAC = ACD (AB // CD; so le trong) ⇒ BAC = ACD ⇒ CA là phân giác BCD AC = CD ⇒ ADC cân C ACD Nên ADC = 180o - ADC BCD Mà ACD = = (23) 23 ACD Do đó ADC = 180o - Hay ADC = 360o ⇒ ADC = 72o 2.4.2 Dạng 2: Bài tập chứng minh Ví dụ : Cho tam giác ABC (AB=AC) ,Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E cho DB=CE BC cắt DE F, vẽ DM song song với BC cắt AC M Chứng minh F là trung điểm đoạn thẳng DE Bước 1: Tìm hiểu đề bài A D B M F C E - Hãy vẽ hình - Cái gì đã cho * Tam giác ABC cân A * D AB ,trên tia đối CA lấy điểm E: DB = CE * BC DE = F * DM // BC ( M AC ) * DM AC = M - Cái gì phải tìm * F là trung điểm đoạn thẳng DE - Diễn tả cái phải tìm ký hiệu toán học * DF=FE Bước 2: Xây dựng chương trình giải H1: Yêu cầu HS vẽ DM // BC ( M AC )? (24) 24 H2: B C (do tam giác ABC cân A) Tứ giác BDMC là hình gì? Hãy nhớ lại định nghĩa hình thang cân? * Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với cạnh đáy * DM // BC ( M AC ) và B C cho ta tứ giác BDMC là hình thang cân H3: Hãy nhớ lại tính chất hình thang cân! * Trong hình thang cân hai cạnh bên nhau: DB=MC H4: Mà giả thiết cho BD=CE Vậy ta suy điều gì? * CE=MC H5: Để chứng minh F là trung điểm DE, ta xét tam giác DME! Hãy tìm mối liên hệ các giữ kiện CE=MC và FC // DM ( F BC ) để suy F là trung điểm đoạn thẳng DE? H6: Hãy nhớ lại định lý định lý đường trung bình tam giác? * Đường thẳng nào qua trung điểm cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đường thẳng đó phải qua trung điểm cạnh thứ ba * Ghi lại kết quả vừa phát F là trung điểm đoạn thẳng DE Bước 3: Trình bày lời giải (Bài làm học sinh) Ta có DM // BC ( M AC ) (gt) C B ( tam giác ABC cân A ) Suy tứ giác BDMC là hình thang cân Suy BD = MC Mà BD = CE (gt) đó MC = CE Xét tam giác EMD có FC // DM ( BC // DM mà F BC ) Suy F là trung điểm đoạn thẳng DE Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải H7: Với bài toán này có phương pháp khác giải hay A không? Phương pháp nào? * Vẽ DG//AC, G BC GDF FEC ; DGF FCE (1) D B G F C E (25) 25 DGB ACB ABC DGB cân DB=CE (2) Từ (1) và (2) ta có DFG=EFC FD=FE F là trung điểm đoạn thẳng DE H8: Đặt đề toán khác có cách giải tương tự? Bài 1: Cho tam giác ABC (AB = AC) trên cạnh AB lấy điểm D Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho DB = CE BC cắt DE F Lấy điểm G trên đoạn BC cho DG // AC Chứng minh F là trung điểm đoạn thẳng DE Bài 2: Cho tam giác ABC (AB = AC) trên cạnh AB lấy điểm D Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho DB = CE BC cắt DE F Lấy điểm G trên đoạn BC cho DG // AC Chứng minh DCEG là hình bình hành Bài 3: Cho tam giác ABC (AB = AC) trên cạnh AB lấy điểm D Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho DB = CE BC cắt DE F Vẽ DM//BC cắt AC M Chứng minh tam giác ADM cân Bài 4: Cho tam giác ABC (AB = AC) trên cạnh AB lấy điểm D Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho DB = CE BC cắt DE F Lấy điểm G trên đoạn BC cho DG // AC Chứng minh tam giác DGB cân Phân tích: Thông qua lược đồ hướng dẫn giải toán G.Polya qua bài toán này HS bồi dưỡng các lực sau đây: - Năng lực khái quát hóa: HS bồi dưỡng lực giải toán bước tìm hiểu đề bài, cách đọc kỹ đề bài, nhận dạng bài toán, vẽ hình chính xác theo đề bài toán, ngoài HS còn phải biết kẻ thêm đường phụ (DM//BC), HS không biết vẽ thêm đường phụ việc giải bài toán trở nên khó khăn Đọc kỹ đề bài giúp HS xác định các yếu tố đã cho đề bài, lần dò khai thác các yếu tố đó để tìm đường đến kết quả chứng minh - Năng lực phân tích tổng hợp: HS bồi dưỡng lực giải toán bước xây dựng chương trình giải thông qua hệ thống các câu hỏi sau đây: H1: Hãy vẽ thêm đường phụ (DM//BC)? H2: Tứ giác DBCM là hình gì? Vì sao? H3: Em hãy phát biểu định lý định lý đường trung bình tam giác? (26) 26 - Năng lực khai thác bài toán: HS bồi dưỡng lực giải toán bước nghiên cứu lời giải Với bài toán này HS phải biết linh động sáng tạo chỗ biết vẽ thêm đường phụ (DM//BC) Ngoài HS phát cách vẽ thêm đường phụ khác (DG//AC) thì bài toán lại có thêm cách giải khác Từ đó HS có thể sữa đổi số kiện bài toán có các bài toán tương tự Hệ thống bài toán giúp HS rèn luyện lực giải toán lược đồ G Pôlya Bài 1: Tứ giác lồi ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Lấy trên cạnh AB và CD các đoạn thẳng AE=CF, lấy trên AD và BC các đoạn thẳng AM=CN Chứng minh EMFN là hình bình hành Bài 3: Cho tứ giác ABCD, E, F là trung điểm các cạnh AB và CD, M, N, P, Q, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AF, CE, BF và DE Chứng minh MNPQ là hình bình hành Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao? Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Vẽ đường chéo BD Vẽ AH, CK vuông góc với BD (H và K thuộc BD) Chứng minh AHCK là hình bình hành Bài 6: Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm B dựng ADAB, AD=AB Trên nửa bờ mặt phẳng còn lại dựng AEAC Nối D và E, AH cắt DE M Chứng minh M là trung điểm đoạn thẳng DE Bài 7: Cho tam giác BAC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD=CE Nối D, E Gọi I là trung điểm đoạn thẳng DE Chứng minh B, I, C thẳng hàng Hướng dẫn giải: Bài 1: EF là đường trung bình tam giác ABC AC EF= ; EF//AC (1) GH là đường trung bình tam giác ADC AC GH= ; GH//AC (2) (27) 27 Từ (1) và (2) suy EF=GH; EF//GH Tứ giác EFGH là hình bình hành Bài 2: Chứng minh AEM=CFN để có EM=FN (1) Chứng minh BEN=DFM để có EN=FM (2) Từ (1) và (2) suy EMFN là hình bình hành Bài 3: Q là trung điểm ED F là trung điểm CD QF//EN và QF=EN QFNE là hình bình hành EF và NQ cắt trung điểm O đường: ON=OQ (1) Tương tự ta có OM=OP (2) Từ (1) và (2) suy MNPQ là hình bình hành Bài 4: Chứng minh DE//BF Mà DF//EB (vì ABCD là hình bình hành) Suy DEBF là hình bình hành Bài 5: Chứng minh AHD=CKD (g.c.g) Suy AH=CK (1) AH//CH (vì cùng vuông góc với BD) (2) Từ (1) và (2) suy AHCK là hình bình hành Bài 6: Vẽ tia đối tia AD, trên tia này lấy điểm F cho A là trung điểm DF Chứng minh ABC=AFE (c.g.c) Suy ABC AFE Mà ABC MAD (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) Suy AFE MAD mà AFE và MAD đồng vị nên MA//EF Mặt khác xét tam giác DEF có A là trung điểm DF; MA//EF, đó M là trung điểm đoạn thẳng DE Bài 7: Vẽ DK//BC (KAC) Chứng minh BD=CK Chứng minh IC là đường trung bình EDK (28) 28 Suy IC//DK Mà IC//DK, BC//DK theo tiên đề Ơclit Suy B, I, C thẳng hàng 2.4.3 Dạng 3: Bài tập dựng hình Bài tập dựng hình ta có số chú ý: - Một tam giác có thể dựng biết yếu tố nó, đó yếu tố góc không quá - Việc dựng tứ giác thường đưa việc xây dựng các tam giác Ta tìm các yếu tố đã biết để các tam giác xác định, dựng tam giác ấy, sau đó dựa vào giả thiết dựng đỉnh còn lại tứ giác + Muốn dựng tứ giác thì phải biết yếu tố, đó yếu tố nhiều là + Muốn dựng hình thang thì phải biết yếu tố đó yếu tố góc không quá + Muốn dựng hình bình hành thì phải biết yếu tố, đó yếu tố góc không quá B A 2cm o 90 C 3cm D Dựa vào các ý trên ta có ví dụ sau đây: Ví dụ: Dựng hình thang ABCD, biết D = 90o, đáy CD = 3cm, cạnh bên AD = 2cm, cạnh bên BC = cm Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán - Đọc đề bài, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận - Xác định dạng toán (dạng toán dựng hình) - Phân tích + Giả sử đã dựng hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu đề bài Tam giác ADC dựng vì biết cạnh và góc xen Điểm B phải thỏa mãn điều kiện: - B nằm trên đường thẳng qua A và song song với CD - B cách C khoảng 3cm nằm trên đường tròn tâm C bán kính 3cm Bước 2: Xây dựng chương trình giải: (29) 29 H1: Theo đề bài ta dựng tam giác nào? Vì sao? * ADC dựng vì biết độ dài cạnh và góc xen H2: Mà theo yêu cầu đề là ta dựng hình thang mà ta đã dựng đỉnh A, C, D Vậy còn đỉnh B ta dựng nào? * Đỉnh B nằm trên đường thẳng qua A và song song với DC, B cách A cm nên B phải nằm trên đường tròn tâm C, bán kính 3cm Bước 3: Thực chương trình giải * Cách dựng: - Dựng ADC có D = 90o , AC = 2cm, DC = 3cm - Dựng tia Ax // DC (Tia Ax và điểm C phải cùng nửa mặt phẳng bờ AD) - Dựng đường tròn tâm C, bán kính 3cm cắt tia Ax B Vẽ đoạn thẳng BC * Chứng minh: H3: Tứ giác ABCD dựng trên có thoả mãn tất cả điều kiện đề bài yêu cầu không? Hãy chứng minh * Tứ giác dựng trên thỏa mãn yêu cầu đề bài.* Chứng minh: Tứ giác ABCD dựng trên là hình thang vì AB // CD Hình thang ABCD có AC = 2cm, D = 90o , DC = 3cm nên thoả mãn yêu cầu bài toán Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải H4: Ta có thể dựng bao nhiêu hình thang thỏa mãn các điều kiện đề bài? Giải thích * Biện luận: Ta dựng hình thang thoả mãn điều kiện đề bài H4: Có cách dựng nào khác không? * Ta dựng tứ giác AB’CD thỏa mãn bài toán H5: Hãy đề xuất bài toán khác Bài 1: Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 2cm, đáy CD = 5cm, D = 60o và ACD = 40o Bài 2: Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 2cm, đáy CD = 5cm, cạnh bên AD = 3cm, đường chéo AC = 4cm Phân tích: (30) 30 Thông qua lược đồ hướng dẫn giải toán G Pôlya bài toán này HS bồi dưỡng các lực sau đây: - Phân tích, tổng hợp: thông qua việc tìm hiểu đề toán, hệ thống câu hỏi gợi mở cho HS phần xây dựng chương trình giải để gợi cho HS hướng làm bài hay giải bài toán thêm dễ dàng Qua hệ thống câu hỏi gợi ý các em có thói quen, kĩ năng, kĩ xảo bước vào làm bài toán - Rèn cho HS tính cẩn thận, chính xác sử dụng thước và compa để dựng hình cách tương đối chính xác - Năng lực khai thác bài toán: thông qua bước nghiên cứu lời giải - Rèn luyện lực lập luận lôgic: thông qua bước trình bày lời giải HS phải lập luận thật chặt chẽ, lôgic để diễn tả lại bài làm Hệ thống bài toán giúp HS rèn luyện lực giải toán lược đồ G Pôlya Bài 1: Dựng tam giác ABC cân A, biết BC = 3cm, đường cao BH = 2,5cm Bài 2: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 2,5cm, AC = 3,5cm Bài 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, đường cao AH = 2cm Bài 4: Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, C = 50o, D = 70o Bài 5: Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 4cm, hai cạnh bên AD = 2cm,BC = 3cm Bài 6: Dựng hình thang cân ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 3cm, đường chéo BD = 3cm Bài 7: Dựng tứ giác ABCD, biết AB = 2cm, AD = 3cm, A = 80o, B = 120o, C = 100o A Hướng dẫn giải: Bài 1: Cách dựng: B H - Dựng BHC vuông H biết cạnh huyền BC = 3cm, cạnh góc vuông BH = 2,5cm C (31) 31 - Dựng đường trung trực BC, cắt CH A - Kẻ đoạn thẳng AB Bài 2: Dựng ACD, sau đó dựng điểm B B A x 2,5 3,5 D C A Bài 3: Ta tính DH = CD - AB = −2 B = 1(cm) Dựng ADH, sau đó dựng các điểm C và B D H C Bài 4: Cách dựng: y - Dựng ADE, biết DE = 2cm, D = 70o, E = 50o A B x - Trên tia DE dựng điểm C cho DC = 4cm - Dựng các tia Ax // EC, Cy // EA, chúng cắt B 50 o 70o D 50o A B Bài 5: Kẻ AE // BC Cách dựng: dựng ADE, sau đó dựng các điểm C và B 3 D C C E A B Bài 6: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Cách dựng: Dựng BDE cân, biết ba cạnh Sau đó, dựng 3 các điểm C và A Bài 7: Cách dựng: C D x C' 100o E C1 120o - Dựng ABD có A = 80o, AB = 2cm, AD = 3cm D' 80 o A D (32) 32 - Dựng ABx = 120o (Bx và D thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) - Lấy điểm C’ bất kì trên tia Bx - Dựng BC ' D ' = 100o (C’D’ và D thuộc cùng nủa mặt phẳng bờ BC’) - Qua D dựng đường thẳng song song với D’C’, cắt Bx C 2.4.4 Dạng 4: Bài tập quỹ tích Để giải bài toán quỹ tích, ta cần nắm các yếu tố nào là yếu tố cố định, yếu tố nào là yếu tố không đổi, yếu tố nào là yếu tố thay đổi, tìm cách liên hệ yếu tố thay đổi (hoặc chuyển động, di chuyển) với các yếu tố cố định, yếu tố không đổi Trong nhiều trường hợp, người ta thường xác định vị trí các điểm quỹ tích số trường hợp đặc biệt và dựa vào các kinh nghiệm sau để đoán hình dạng quỹ tích: + Nếu các vị trí đặc biệt này thẳng hàng thì có khả quỹ tích này là đường thẳng (hoặc tia, đoạn thẳng) + Nếu các vị trí này là các điểm không thẳng hàng thì có nhiều khả quỹ tích là đường tròn (hoặc cung tròn) Việc làm này thường gọi là phần đoán nhận quỹ tích Cần biết phần này không thuộc nội dung chứng minh quỹ tích Nó giúp chúng ta dự đoán hình dạng, kích thước quỹ tích và cần cẩn thận vì có thể dẫn đến sai lầm, đôi trực giác đánh lừa Thông thường người ta sử dụng cách sau đây để giải bài toán quỹ tích: a) Đưa quỹ tích cần tìm các quỹ tích bản quỹ tích mà ta đã biết b) Đưa việc tìm quỹ tích việc chứng minh điểm thuộc hình cố định Trong trường hợp này, hình cố định (hoặc là phần nó) là quỹ tích cần tìm Ví dụ: Bài tập 70 SGK trang 103 Toán - Tập I (33) 33 y A D O C z H B x Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy cho OA = 2cm Lấy B là điểm thuộc tia Ox Gọi C là trung điểm AB Khi điểm B di chuyển trên Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào? Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán - Đọc đề, vẽ hình - Cái gì đã cho: + Góc vuông xOy + Điểm A thuộc tia Oy cho OA = 2cm + B là điểm thuộc tia Ox + C là trung điểm AB - Cái gì phải tìm: Điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào? Bước 2: Xây dựng chương trình giải: H1: Trên hình dường thẳng nào cố định? Điểm nào cố định? Điểm nào di động? * Tia Ox, Oy là tia cố định, A thuộc tia Oy với OA = 2cm không đổi Điểm B di chuyển trên tia Ox, B là điểm không cố định, điểm C di động H2: Hãy tìm mối liên hệ điểm C với yếu tố cố định? * Điểm C có mối liên hệ với đoạn OA và tia Ox H2: Vẽ CH Ox mà H Ox từ giả thiết A Oy nên suy OA Ox Kết hợp với CH Ox gợi cho ta điều gì? * CH // OA H3: Xét OAB có CH // OA mà điểm C là trung điểm AB (gt) suy điểm H là gì? Và CH là gì? * H là trung điểm OB * CH là đường trung bình OAB (34) 34 H4: CH là đường trung bình OAB ta suy điều gì? * CH = OA = 2 = 1cm H5: Vậy điểm C di động nào? * Điểm C cách đường thẳng Ox khoảng cm mà B di chuyển trên Ox, B trùng với O thì điểm C nằm trên tia Oy Vậy C trùng với D mà D là trung điểm OA Khi B di chuyển trên tia Ox nên C di chuyển trên Oz và cách tia Ox khoảng là cm và tia Oz nằm xOy Bước 3: Thực chương trình giải Vẽ CH Ox (H Ox ), AO Ox , CH Ox suy CH // AO OAB có CH // AO, C là trung điểm AB (gt) nên H là trung điểm OB suy CH là đường trung bình OAB nên CH = OA = 2 = 1cm Điểm C cách đường thẳng Ox cố định khoảng cm nên C thuộc đường thẳng song song với Ox, cách Ox khoảng cm B trùng với O thì C trùng với D (D là trung điểm OA) Do B di chuyển trên tia Ox nên C di chuyển trên tia Dz song song với Ox, cách Ox khoảng 1cm và tia Dz nằm xOy Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: H6: Hãy kiểm tra lại kết quả bào toán H7: Với bài toán này có cách giải nào khác không? Đó là cách nào? * Cách khác: Nối CO Tam giác vuông AOB có AC = CB (gt) ⇒ OC là đường trung tuyến tam giác ⇒ OC = AC = Có OA cố định AB ⇒ (tính chất tam giác vuông) C di chuyển trên Dz thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA H8: Đề xuất bài toán khác có các giải tương tự Bài 1: Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B chuyển động trên tia Ox Tìm tập hợp các trung điểm M AB (35) 35 Bài 2: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy cho OA = 2cm Lấy B là điểm thuộc tia Ox Gọi C là điểm trên đoạn thẳng AB cho AB = 4BC Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C2 di chuyển trên đường nào? Bài 3: Cho góc xOy, xOy = 30o, điểm A thuộc tia Oy cho OA = 2cm Lấy B là điểm thuộc tia Ox Gọi G là trọng tâm OAB Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thỉ điểm G di chuyển trên đường nào? Phân tích: Thông qua lược đồ hướng dẫn giải toán G Pôlya bài toán này HS bồi dưỡng các lực sau đây: - Phân tích, tổng hợp: thông qua việc tìm hiểu đề toán, hệ thống câu hỏi gợi mở cho HS phần xây dựng chương trình giải để gợi cho HS hướng làm bài hay giải bài toán thêm dễ dàng Qua hệ thống câu hỏi gợi ý các em có thói quen, kĩ năng, kĩ xảo bước vào làm bài toán - Rèn cho HS khả dự đoán quỹ tích - Năng lực khai thác bài toán: thông qua bước nghiên cứu lời giải - Rèn luyện lực lập luận lôgic: thông qua bước trình bày lời giải HS phải lập luận thật chặt chẽ, lôgic để diễn tả lại bài làm Hệ thống bài toán giúp HS rèn luyện lực giải toán lược đồ G Pôlya Bài 1: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d 2cm Lấy điểm B thuộc đường thẳng d Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào? Bài 2: Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia Ax Trên tia Ax lấy các điểm C, D, E cho AC = CD = DE Qua C, D kẻ các đường thẳng song song với BE Chứng minh đoạn thẳng AB bị chia thành ba phần Bài 3: Cho góc xOy cố định, điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox Tìm quỹ tích trọng tâm G AOB (36) 36 Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Gọi I là trung điểm AM Điểm I di chuyển trên đường nào? Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc cạnh BC Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC a) So sánh các độ dài AM, DE b) Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ Bài 6: Cho góc vuông xOy, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox Vẽ tam giác ABC (C và O nằm khác phía AB) a) Tìm tập hợp các điểm C b) Tìm tập hợp các trung điểm M AC Bài 7: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng Vẽ phía AB các tam giác AMD, BME Trung điểm I DE di chuyển trên đường nào? Hướng dẫn giải: Bài 1: Kẻ AH CK vuông góc với d AHB = CKB (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ CK = AH = 2cm Điểm C cách đường thẳng cố định khoảng không đổi 2cm nên C di chuyển trên đường thẳng m song song với d và cách d khoảng 2cm Bài 2: x Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung bình tam E giác và hình thang D Cách 2: Sử dụng tính chất các đường thẳng song song cách C A M N B Bài 3: Gọi E là trung điểm AG ⇒ AE = EG = GM Qua G, E kẻ các tia Gz, Et song song với Ox cắt OA theo thứ tự P và Q, ta có ngay: AQ = QP = PO = OA Vậy trọng tâm G di chuyển trên tia Pz (37) 37 Bài 4: A Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC theo thứ tự P và Q Q P AMB có AI = IM, IP // BM nên P là trung điểm I AB Chứng minh tương tự, Q là trung điểm AC Các điểm P và Q cố định Vậy điểm I di chuyển trên B M C đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự là trung điểm AB, AC) Bài 5: A a) Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật D Do đó AM = DE b) Kẻ AH BC Ta có DE = AM ≥ AH Dấu “=” xảy M trùng H E B H M Vậy DE có độ dài nhỏ AH M là chân đường cao kẻ từ A đến BC Bài 6: a) Vẽ AOD (D nằm góc xOy) thì D là điểm cố định (D là vị trí đặc biệt C B trùng O) Ta chứng minh ADC = 90o, suy tập hợp C là tia Dz AD D b) Tiếp tục chứng minh M cách Dz khoảng cách không đổi để suy tập hợp M là tia Et // Dz (E là trung điểm AD) Bài 7: Gọi C là giao điểm AD và BE Ta có ABC và cố định Vì ADME là hình bình hành, I là trung điểm DE nên là trung điểm CM Từ đó chứng minh I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự là trung điểm AC, BC) KẾT LUẬN CHƯƠNG Trên đây là dạng toán thường gặp chương trình hình học Mỗi dạng toán có đặc điểm khác và có thể chia thành các dạng nhỏ C (38) 38 dạng Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại, có điểm chung việc vận dụng các bước giải lược đồ giải toán G Pôlya Mỗi dạng tôi chọn số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu việc áp dụng lược đồ giải toán G Pôlya Đó là các dạng tính toán, chứng minh, dựng hình, quỹ tích (trong chương I: Tứ giác) các em làm quen Toán trung học Những ví dụ trên tôi không có ý thiên hướng dẫn cách giải bài toán mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng các bước giải bản Để gặp các dạng toán trên các em hiểu và biết cách làm Đó chính là nội dung mà nhóm tôi đã nghiên cứu chương Thực tế áp dụng đề tài này vào giảng dạy đạt kết quả nào nhóm tôi thể Chương Thực nghiệm sư phạm (39) 39 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm Để nắm khó khăn HS việc vận dụng lược đồ G Pôlya để giải các dạng toán hình học Thấy hiệu quả việc vận dụng lược đồ G Pôlya việc giải các dạng toán hình học 3.2 Địa điểm và thời gian Trường Trung Học Cơ Sở Phú Lộc Lớp 8A1, buổi sáng tiết 1, Trường THCS Hòa Đông Lớp 8A2, buổi sáng tiết 1, Trường THCS Long Hòa Lớp 8A1, buổi sáng tiết 3, Thời gian tiến hành thực nghiệm vào tuần 4, tuần 10 học kì năm học 2010 2011 3.3 Nội dung thực nghiệm Áp dụng lược đồ G Pôlya để bồi dưỡng lực giải toán hình học lớp các trường: Trường THCS Phú Lộc - Huyện Thanh Trị - Thành phố Sóc Trăng, Trường THCS Hòa Đông – Vĩnh Châu – Sóc Trăng, Trường THCS Long Hòa – Cần Thơ Tôi nhận thấy có hiệu quả khá cao, giúp HS phát triển các lực giải toán đồng thời rèn luyện cho HS thói quen lập luận lôgic quá trình giải toán Để làm điều đó chúng tôi phải đầu tư soạn giảng cho tiết dạy, câu hỏi đặt phải phù hợp với đối tượng HS, đồng thời tăng cường dự giờ trao đổi kinh nghiệm chuyên môn với các bạn đồng nghiệp để chất lượng giảng dạy ngày càng nâng cao Trước vào nội dung luyện tập giải số bài tập hình học cách vận dụng lược đồ giải toán G Pôlya Tôi tiến hành khảo sát lực giải toán HS bài toán chứng minh hai HS lớp điểm trường trên Qua bài làm HS tôi nhận thấy: HS1: Phương pháp lập luận các em còn quá yếu, khả suy luận các em còn hạn chế, không biết khái quát hay hệ thống bài toán nào? HS2: Biết đọc đề, vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận, không khai thác đề bài toán để đến điều yêu cầu bài toán (40) 40 Qua kết quả khảo sát trên để giúp HS có phương pháp giải tốt bài toán hình học tôi hướng dẫn cho HS thực theo trình tự các bước sau: Bước 1: Tìm hiều đề bài: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình chính xác theo yêu cần bài toán, ghi giả thiết, kết luận Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phân tích giả thiết đề bài để tìm hướng đến kết luận Bước 3: Thực giải bài toán: Sau phân tích tìm hướng giải cho bài toán HS tiến hành giải theo trình tự các bước Bước 4: Nghiên cứu cách giải: Sau HS giải xong tìm xem còn có cách nào khác hay không, hay phát bài toán khác tương tự không Đó là bước đầu cho các em làm quen với lược đồ giải toán G Pôlya mà chúng ta cùng trao đổi qua tiết luyện tập (giáo án thể phần phụ lục) 3.4 Kết thực nghiệm, phân tích kết thực nghiệm Trường Lớp THCS Long 8A1 Giỏi Khá TB TS % TS % TS % 10 28,6 20 57,1 Yếu TS % 14,3 Hòa (35 HS) THCS Hòa 8A2 26,7 18 60 13,3 Đông THCS 12 37,5 16 50 12,5 (30 HS) Phú 8A3 Kém TS % Lộc (32 HS) Bảng thống kê kết quả kiểm tra Qua kết quả thi chất lượng kỳ môn toán nâng dần lên sau: Trường Lớp Giỏi Khá TS % TS % 10 28,6 13 37,1 TB TS % 25,7 Yếu Kém TS % TS % 8,6 THCS Long 8A1 Hòa THCS Hòa (35 HS) 8A2 20 15 50 23,3 6,7 Đông THCS Phú Lộc (30 HS) 8A3 (32 HS) 25 16 50 21,9 3,1 * Phân tích kết thực nghiệm Sau áp dụng đề tài vào việc giảng dạy các trường THCS Long Hòa, THCS Hòa Đông, THCS Phú Lộc tôi nhận thấy các em hứng thú học tập (41) 41 việc giải các bài tập hình học, không còn lo sợ chán nản vào học tiết hình học, HS hiểu bài và giải số dạng bài tập bản chương Đối với HS khá giỏi, các em biết phân tích kỹ và tìm hiểu sâu bài toán, vận dụng linh hoạt sáng tạo các dạng vừa học, nhờ mà các bài toán GV đưa các em đề hướng giải cách nhanh chóng và phần trình bày lời giải khá rõ ràng, mạch lạc Ngoài các em còn tìm cách giải khác cho bài toán Đối với HS trung bình các em ghi giả thiết, kết luận và vẽ hình, phân tích bài toán, xác định cách chứng minh còn chậm Đôi trình bày lời giải chưa đầy đủ và rõ ràng Khi đã chứng minh các em đã thoả mãn, ít chịu nghiên cứu thêm Đối với HS còn lại , khả tiếp thu kiến thức các em còn chậm , đa số các em không tự chứng minh mà phải dựa vào hướng dẫn GV có tự làm thì thiếu sót cách lập luận và cách trình bày Tuy nhiên GV sử dụng hệ thống câu hỏi hướng dẫn các em giải toán thì các em tích cực trả lời Nhìn chung đa số HS tích cực hoạt động, không khí lớp trở nên sôi các em trở nên tự tin , tích cực và sáng tạo giải bài toán chứng minh Đa số có thể độc lập làm bài , không ỷ lại vào GV, bạn bè Tuy nhiên có số em bị hổng kiến thức nên việc giải toán chứng minh gặp nhiều khó khăn GV phải khá nhiều thời gian để hướng dẫn HS giải * Nhưng bài học rút cho thân và đồng nghiệp sau quá trình thực nghiệm đề tài Để đạt kết quả cao quá trình dạy học môn toán thì ngoài giúp học sinh tìm tòi, chiếm lĩnh kiến thức mới, giáo viên còn phải biết thiết kế hệ thống bài tập sẵn có để củng cố kiến thức cho học sinh khắc sâu kiến thức chiếm lĩnh Ngoài còn giúp học sinh tái lại số kiến thức đã học các bài học trước Như xuất phát từ các bài toán đã cho sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác thiết kế, phát triển thành bài tập mà không vi phạm đến giảm tải cho học sinh THCS Giáo viên vào mục tiêu bài học, vào các đối tượng học sinh để khai thác phát triển các bài toán cho phù hợp với mục tiêu bài, vừa sức với đối tượng học sinh (42) 42 Muốn có kết quả cao việc dạy học môn toán thì ngoài yêu cầu chung giáo viên còn chú ý đến các vấn đề sau: (i) Nắm vững đặc điểm tâm lý học sinh THCS là tò mò ham hiểu biết Từ đó lựa chọn cách khai thác hợp lý để học sinh hiểu và biết cách vận dụng kiến thức đã học vào học toán và giải toán (ii) Nắm vững mục tiêu bản bài tập, ý đồ bài tập mà người biên soạn chương trình đưa để khai thác Lựa chọn các khai thác với trình độ học sinh và các chương trình bản lớp Đối với học sinh có cách khai thác phù hợp để đạt yêu cầu chung Đối với học sinh khá giỏi cần phát triển bài tập mức độ cao (iii) Tổ chức tiết học cho người hoạt động cách tích cực Sử dụng linh hoạt nhiều hình thức dạy học để thu hút nhiều học sinh vào giải hệ thống các bài tập đã khai thác (iv) Để việc dạy bài toán đảm bảo tính khoa học, tính chính xác, tính sư phạm và phát huy tính chủ động, giáo viên phải không ngừng học và nghiên cứu để nâng cao trình độ chuyên môn mình Từ đó phát rút số cách khai thác và phát triển các bài tập sách giáo khoa để bồi dưỡng lực giải toán cho các em (43) 43 KẾT LUẬN CHUNG Các bài toán chứng minh có vai trò quan trọng Nó xem là tiền đề để giải các bài toán khác, là cầu nối với các kiến thức toán học nhà trường và áp dụng khác thực tế, đời sống xã hội Như có lực chứng minh toán học giúp các em có tảng vững vàng để tiếp thu các kiến thức khác cách dễ dàng Bồi dưỡng lực giải toán hình học cho các em là vận dụng cách tổng hợp các kiến thức toán học Qua giải toán hình học giúp cho HS có thói quen suy nghĩ, mò mẫm và dự đoán kết quả Vì rèn luyện khả phân tích, tổng hợp và khả trình bày khoa học Rèn luyện cho HS lực tư duy, suy luận logic, phát triển trí tuệ, hình thành các em lòng say mê, hứng thú học toán Qua nghiên cứu đề tài này tôi nhận thấy việc vận dụng lược đồ G.Polya để bồi dưỡng lực giải toán cho HS lớp thì điều quan trọng đầu tiên là phải giúp các em nắm vững kiến thức bản, biết vận dụng các kiến thức đó vào việc chứng minh các bài toán hình học và hình thành tri thức phương pháp giải toán Tuy có nhiều cố gắng chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót và khuyết điểm Rất mong đóng góp quí thấy cô để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! (44) 44 PHẦN PHỤ LỤC * GIÁO ÁN TIẾT DẠY Tiết Ngày dạy: 31/08/2010 LUYỆN TẬP (Bài 4) I Mục tiêu: - Kiến thức: khắc sâu kiến thức đường trung bình tam giác và đường trung bình hình thang - Kĩ năng: + Rèn kỹ vẽ hình rõ, chuẩn xác, kí hiệu đủ giả thiết đầu bài trên hình + Rèn kỹ tính, so sánh độ dài đoạn thẳng, kỹ chứng minh các bài toán II Chuẩn bị: - GV: Thước thẳng, compa, bảng phụ, SGK, SBT, phấn màu - HS: Thước thẳng, compa, SGK, SBT, làm các bài tập III Tiến trình dạy học: Hoạt động GV * Ổn định lớp: * Kiểm tra sỉ số: GV nêu câu hỏi kiểm tra Hoạt động HS Nội dung - Lớp trưởng báo cáo Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ - HS trả lời câu hỏi và Bài toán: ? Phát biểu định nghĩa làm bài tập Tính x trên hình vẽ, đó đường trung bình AB // EF tam giác, đường trung - HS còn lại làm vào bình hình thang A giấy D ? Phát biểu tính chất - Nhận xét, góp ý E đường trung bình tam giác, hình thang GV chốt lại giống nhau, khác định nghĩa đường trung B x C 16 cm F Giải ? Áp dụng làm bài (theo đề bài) cm - HS sửa bài vào Do CD là đường trung bình hình thang ABEF ⇒ CD = (AB + EF) (theo định lí đường trung bình (45) 45 bình, đường trung bình hình thang) hình thang, tính chất (8 + 16) = 12 ⇒ CD = hai hình này cm Hoạt động 2: Luyện tập Gọi HS đọc đề bài trang - HS đọc đề Bài 27 (SGK Trang 80) 80 ? Hãy vẽ hình B A - Vẽ hình điền thông tin lên hình gì? F E ? Bài toán cho biết cái - Bài toán cho biết: K + ABCD là tứ giác + E, F, K theo thứ tự là C D trung điểm AD, BC, AC GT ? Bài toán cần tìm cái gì? - Bài toán cần tìm: E AD: EA = ED + So sánh độ dài EK và K AC: KA = KC CD, KF và AB F AC: FB = FC + Chứng minh: EF ≤ ? Hãy viết giả thiết, kết luận bài toán Tứ giác ABCD AB+ CD - HS viết giả thiết, kết luận bài toán a) So sánh độ dài EK và KL CD, KF và AB b) Chứng minh: EF ≤ AB+ CD GV gợi ý cho HS làm theo các câu hỏi sau: ? Câu a bài toán yêu cầu gì? ? Để so sánh EK và CD ta cần làm gì? ? Để xét mối quan hệ EK với CD ta xét tam giác nào? Giải - Câu a bài toán yêu a) Xét ADC, ta có: cầu so sánh độ dài EK và EA = ED và KA = KC (gt) CD, KF và AB ⇒ EK là đường trung bình - Xét xem EK có quan hệ ADC với CD hay không ⇒ EK = - Xét ADC DC (theo định lí đường trung bình tam giác) Xét ABC, ta có: FB = FC và KA = KC (gt) (46) 46 ? EK có quan hệ - EK là đường trung bình nào với ADC? ADC ? Vì EK là đường - Do E là trung điểm trung bình ADC? AD; K là trung điểm AC (theo gt) ? EK là đường trung bình - EK = ADC ta suy điều gì? ? Tương tự so sánh KF ⇒ FK là đường trung bình ABC ⇒ FK = AB (theo định lí đường trung bình tam giác) DC - Xét ABC và AB, ta xét tam giác nào? ? Xét ABC ta có điều gì? Vì sao? - KF là đường trung bình ABC F, K là trung điểm BC, AC (theo gt) ? Ta suy điều gì? - FK = AB ? GV yêu cầu HS lên - HS lên bảng làm bảng trình bày lại câu a ? Câu b bài toán yêu - Yêu cầu chứng minh cầu gì? AB+ CD EF ≤ GV gợi ý câu b bài toán nên xét b) Nếu E, K, F không thẳng hàng, EKF có EF < EK + KF (bất đẳng thức tam giác) ⇒ EF < hay EF ≤ DC AB + 2 DC+ AB Nếu E, K, F thẳng hàng thì: EF = EK + KF EF = trường hợp DC AB + 2 DC+ AB - Trường hợp E, K, F - HS theo dõi, suy nghĩ hay EF = theo gợi ý không thẳng hàng Từ (1) và (2) ta có: - Trường hợp E, K, F thẳng hàng GV gợi ý xét trường hợp ? Nếu E, K, F không - Nếu E, K, F không (1) EF ≤ AB+ CD (2) (47) 47 thẳng hàng thì EF có thẳng hàng, EKF có quan hệ nào với EF < EK + KF (bất đẳng EK và KF ? Kết hợp với câu a thì thức tam giác) - EF < EF có quan hệ nào với AB, DC? DC AB + 2 hay EF ≤ DC+ AB (1) ? Nếu E, K, F thẳng hàng thì EF có quan hệ - Nếu E, K, F thẳng hàng nào với EH và KF? thì: EF = EK + KF ? Kết hợp với câu a thì EF có quan hệ nào với AB, DC? - EF = DC AB + 2 hay EF = ? Mà điều chúng ta cần chứng minh là gì? Ta phải làm nào? GV yêu cầu HS lên bảng trình bày lại Yêu cầu HS khác nhận xét ? Hãy kiểm tra lại kết quả bài toán DC+ AB (2) - Kết hợp trường hợp (1) và (2) lại ta có điều phải chứng minh - HS lên bảng làm - HS khác nhận xét HS sửa bài vào tập ? Đối với bài này có cách nào giải khác không? ? Đặt đề toán có cách giải tương tự GV chốt lại và đưa bài toán Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F - Không có cách giải nào khác (48) 48 là trung điểm AD, BC EF và = có AB+ CD Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang GV treo bảng phụ ghi đề Bài 28 trang 80 SGK bài 28 trang 80 GV yêu cầu HS đọc đề bài - HS đọc đề A B ? Hãy vẽ hình GV yêu cầu HS phân tích đề E + Hình thang ABCD D GT (AB // CD) + E, F là trung điểm AD, BC + EF, AB cắt BD, AC I và K ? Cái gì phải tìm K - HS phân tích đề ? Bài toán cho biết cái - Bài toán cho biết: gì? F I +AB = cm,CD= 10 cm C Hình thang ABCD E AD: EA = ED F BC: FB = FC EF BD = I EF AC = K AB = 6cm, CD = 10cm KL a) Chứng minh: AK=KC BI = ID - Cái phải tìm: b) Tính EI, KF, IK + Chứng minh AK = KC, ? Ghi giả thiết, kết luận BI = ID bài toán + Tính EI, KF, IK GV gợi ý câu a bài - HS viết giả thiết và kết toán ? Câu a yêu cầu gì GV gợi ý cho HS phân luận Giải: a) EF là đường trung bình hình thang ABCD nên EF // AB // CD K ED EF nên EF // CD và AE = (49) 49 tích câu a ⇒ AK = KC (định lí đường - Chứng minh AC = KC, EF là đường trung bình BI = ID trung bình tam giác) hình thang ABCD I EF nên EI // AB và AE = ED (gt) EF // DC EF // AB - HS tham gia phân tích, tìm cách chứng minh AE = ED, AE = ED, EK = DC EI // AB ⇒ BI = ID (định lí đường trung bình tam giác) b) EI = KF = AK = KC AB AB = cm = = = cm BI = ID GV gọi HS trình bày EF = bài giảng bảng, AB + CD = HS trình bày miệng Các - HS giải bài toán cm HS khác làm vào EF = EI + IK + KF ⇒ IK = EF – (EI + KF) GV kiểm tra và nhận = – (3 + 3) = xét ? Để tính EI ta cần điều - HS theo dõi, sửa sai kiện nào ? EI là đường trung bình - EI là đường trung bình DAB ta suy điều gì ? Tương rự KF là đường trung bình ABC suy điều gì DAB (theo câu a) - EI = AB = =3 AB = =3 cm ? EF là đường trung bình - KF = hình thang ABCD cm gợi cho ta điều gì ? Để tính IK ta làm nào (6 + 10) = - EF = AB + CD = (6 + 10) = cm GV yêu cầu HS lên bảng EF = EI + IK + KF ⇒ IK = EF – (EI + làm, HS khác nhận xét ⇒ IK = cm (50) 50 GV chốt lại, nhận xét KF) ? Hãy kiểm tra lại kết quả = – (3 + 3) = ⇒ IK = cm ? Bài toán này còn cách - HS lên bảng làm giải khác không - Không có cách giải nào khác Hoạt động 3: Củng cố GV đưa bài tập lên bảng Các câu sau đúng hay sai? phụ và treo lên bảng 1) Đường thẳng qua trung 1) Đúng điểm cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì Yêu cầu HS cho biết câu nào đúng, câu nào sai đia qua trung điểm cạnh thứ ba 2) Đúng 2) Đường thẳng qua trung điểm hai cạnh bên hình thang thì song song với hai đáy 3) Không thể có hình thang mà 3) Sai đường trung bình độ dài đáy Hoạt động 4: Dặn dò - Ôn lại định nghĩa và các định lí đường trung bình tam giác, hình thang Ôn lại các bài toán dựng hình đã biết (trang 81, 82 SGK) - Bài tập nhà bài 37, 38, 41, 42 trang 64, 65 SBT (51) 51 Tiết 17 Ngày dạy: 25/09/2010 LUYỆN TẬP (Bài 9) I Mục tiêu: - Củng cố định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình chữ nhật Bổ sung tính chất đối xứng hình chữ nhật thông qua bài tập - Luyện kỹ vẽ hình, phân tích đề bài, vận dụng các kiến thức hình chữ nhật tính toán, chứng minh và các bài toán thực tế II Chuẩn bị: - GV: Thước thẳng, compa, êke, phấn màu, bảng phụ - HS: Ôn tập định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật và làm bài tập III Tiến trình dạy học: Hoạt động GV * Ổn định lớp: * Kiểm tra sỉ số: Hoạt động HS Nội dung - Lớp trưởng báo cáo Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ ? Phát biểu định nghĩa hình - Định nghĩa hình chữ nhật chữ nhật HS lên bảng trả lời và (trang 97 SGK) ? Nêu các tính chất cạnh làm bài - Tính chất cạnh: các cạnh đối và đường chéo hình chữ song song và nhau, các cạnh nhật kề vuông góc với - Tính chất đường chéo: hai đường chéo và cắt trung điểm đường Bài tập 58 (trang 99 SGK) ? Áp dụng làm bài tập 58 (trang 99 SGK) a b d 12 13 √ 13 √6 √ 10 (52) 52 d2 = a2 + b2 ⇒ d= √ a2 +b2 = √ 52+ 122 = 13 a= b= GV cho HS làm bài 63 trang √ d − b2 = √ 10 - = √ d − a2 = √ 49 - 13 = Hoạt động 2: Luyện tập Bài 63 (trang 100 SGK) 100 SGK ? Hãy vẽ hình - HS vẽ hình ? Bài toán cho biết gì - ABCD là hình thang A vuông (AB // DC) 10 B 13 AB = 10 cm, DC = 15 cm, BC = 13 cm ? Bài toán cần tìm gì - Tìm AD GV yêu cầu HS nêu giả - HS lên bảng nêu giả thiết, kết luận bài toán thiết, kết luận bài toán GV hướng dẫn kẻ BH - HS vẽ theo hướng CD dẫn GV D 15 C H ABCD là hình thang vuông GT AB = 10, BC = 13, CD = 15 KL Tính AD = ? - ABCD là hình chữ ? Tứ giác ABHD là hình gì? nhật vì có góc Giải Vì sao? vuông Ta có: A = D =H = 90o - AB = DH = 10; Nên ABCD là hình chữ nhật ? Từ đó ta có điều gì AD = BH - Muốn tính AD ta ? Muốn tính AD ta phải tính phải tính đoạn đoạn nào BH ⇒ AB = DH = 10; AD = BH Do đó HC = DC – DH= 15 -10 =5 Áp dụng định lí Pitago vào (53) 53 - Ta dựa vào định lý BCH: ? Muốn tính BH ta Pitago vào tam giác BC2 = BH2 + HC2 phải làm vuông BHC BH2 = BC2 – HC2 - BC = 13 BH2 = 132 - 52 HC = DC – DH BH2 = 169 – 25 = 144 - Trong tam giác vuông BHC ta biết độ dài đoạn? = 15 – 10 = - BC2 = BH2 + HC2 - Áp dụng định lý Pitago ta BH2 = BC2 – HC2 có điều gì? BH2 = 132 - 52 BH = 12 ⇒ AD = 12 BH2 = 169 – 25 = 144 BH = 12 - AD = 12 ? Vậy AD bằng? - HS lên bảng trình GV gọi HS lên bảng trình bày lại bày - HS khác nhận xét Cho HS khác nhận xét - HS sửa bài vào tập GV hoàn chỉnh bài làm ? Hãy kiểm tra lại kết quả bài toán - Không còn cách giải ? Với bài toán này có cách nào khác giải khác không ? Đặt bài toán có cách giải tương tự Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD), A = D = 90o biết AB = 10, DC = 15, BC = 13 Tính chu vi Bài tập: Cho hình bình hành hình thang ABCD Các tia phân giác các Bài 2: Cho hình thang vuông góc A, B, C, D cắt trên hình bên Chứng minh tứ (54) 54 giác EFGH là hình chữ nhật ABCD (AB//CD), A = D = 90o biết AB = 10, DC = A B 15, BC = 13 Tính diện tích E hình thang F H Bài 3: Cho hình thang vuông G D ABCD (AB//CD), A = D C = 90o biết AB = 10, DC = ABCD là hình bình hành 15, BC = 13 Tính đường GT Tia phân giác góc A, chéo BD B, C, D cắt các Bài 4: Cho hình thang vuông điểm E, F, G, H KL Chứng minh: EFGH là hình ABCD (AB // CD), A = D chữ nhật = 90o, biết AB = 10, DC = 15, AD = 12 - Vẽ hình Tính BC Chứng minh: - ABCD là hình bình GV cho HS làm bài tập Gọi K là giao điểm DE và AB hành Các tia phân giác ? Cái gì đã cho AKD = KDC (so le trong, các góc A, B, C, D AB // DC), ADK = KDC (DK là cắt các điểm tia phân giác góc ADC) E, F, G, H ⇒ - EFGH là hình chữ ⇒ ADK cân A nhật - HS nêu giả thiết, kết AKD ADK = Mà AH là tia phân giác DAK ⇒ AH là đường cao ? Cái gì phải tìm luận bài toán GV yêu cầu HS nêu giả - Cần các điều kiện: thiết, kết luận bài toán + Tứ giác có góc ?Để chứng minh EFGH là vuông là hình chữ hình chữ nhật cần điều kiện nhật HEF = 90o, EFG = 90o gì + Hình bình hành có Tứ giác EFGH có GHE = 90o, góc vuông là hình chữ nhật ADK ⇒ GHE = 90o Chứng minh tương tự có HEF = 90o, EFG = 90o nên là + Hình thang cân có hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận (55) 55 góc vuông là hình chữ nhật + Hình bình hành có đường chéo là hình chữ nhật + Tứ giác có góc vuông là hình chữ ? Dựa vào giả thiết thì bài nhật là cách dễ chứng này cần chọn cách nào dễ minh nhất - HS làm theo hướng dẫn GV GV hướng dẫn: Gọi K là - AKD = KDC giao điểm DE và AB thì AKD và KDC có quan hệ - So le trong, nào AB//DC ? AKD = KDC đâu? - ADK = KDC ? ADK có quan hệ với KDC - DK là tia phân giác nào? ADC ? ADK = KDC đâu? - AKD = ADK ? Từ AKD = KDC và ADK = KDC ta suy điều gì? ? Như em có nhận xét gì ADK? ? Theo giả thiết AH có quan hệ gì với ADK ? - ADK cân A - AH là tia phân giác DAK - AH là đường cao ADK biết hình chữ nhật (56) 56 ? ADK cân A có AH là tia phân giác, AH còn là gì - GHE = 90o ADK cân nữa? ? AH là đường cao ADK gợi cho ta điều gì? ? Lập luận tương tự ta suy - Ta suy HEF = 90o, EFG = 90o điều gì? GV cho HS thảo luận nhóm làm phút trình bày - HS suy nghĩ theo nhóm làm lại bài GV gọi đại diện nhóm lên trình bày, nhóm khác nhận - Đại diện nhóm lên trình bày xét GV hoàn chỉnh bài làm ? Hãy kiểm tra lại kết quả bài toán ? Với bài toán này có cách giải khác không? ? Đặt đề toán khác có cách giải tương tự GV: Ta thấy AH là đường trung tuyến tam giác ADK, đó H là trung điểm DK vì gọi L là giao điểm CF và AB ta có F là trung điểm CL Ta có HF // AB // CD và ta có EG//AD//BC Ta có bài toán tương tự Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác - Không còn cách khác (57) 57 các góc A, B, C, D cắt hình vẽ bài toán trên Chứng minh HF // AB // CD, EG // AD // BC Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác các góc A, B, C, D cắt các điểm E, F, G, H Chứng minh đường chéo tứ giác có các đỉnh là E, F, G, H hiệu hai cạnh liên tiếp hình bình hành ABCD Bài 3: Cho đoạn thẳng AB cố định C là điểm chuyển động trên đường tròn (C, M) (m > cho trước) A, B, C không thẳng hàng Vẽ hình bình hành ABCD Các đường phân giác các góc A, B, C, D cắt E, F, G, H Chứng minh độ dài đường chéo tứ giác có các đỉnh là E, F, G, H không đổi C di động Hoạt động 3: Củng cố GV treo đề bài lên bảng và - Vẽ hình Bài 4: Cho hình thang vuông yêu cầu HS làm bài - HS lên bảng làm, HS khác nhận xét ABCD (AB // CD), A = D = 90o, biết AB = 10, DC = 15, AD = 12 (58) 58 Tính BC 10 A B 12 D C H 15 Giải Kẻ BH CD ⇒ Tứ giác ABHD là hình chữ nhật ⇒ BH = AD = 12, AB = HD = 10 Do đó: HC = 15 -10 = Trong BHD vuông: Theo định lí Pitago có: BC2 = BH2 + HC2 ⇒ Hoạt động 4: Dặn dò - Bài tập nhà 114, 115, 117, 121, 122, 123 tr 72, 73 SBT - Ôn lại định nghĩa đường tròn (hình 6) - Định lí thuận và đảo tính chất tia phân giác góc và tính chất đường trung trực đoạn thẳng (hình 7) - Đọc trước bài 10: Đường thẳng song song với - HS nghe dặn BC = √ 122+5 = 13 (59) 59 đường thẳng cho trước (60) 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính ( 2006 ), Sách giáo khoa toán tập I, NXBGD [2] Phan Đức Chính ( 2006 ), Sách giáo viên toán tập I, NXBGD [3] Phạm Gia Đức – Phạm Đức Quang, Giáo trình dạy học sinh THCS tự lực tiếp cận kiến thức Toán học, NXB ĐHSP [4] Phạn Gia Đức (chủ biên) - Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang (2003), Phương pháp dạy học các nội dung môn toán, NXBGD [5] Nguyễn Bá Kim (2000), Giáo trình phương pháp dạy học môn toán đại cương, NXBGD [6] Võ Đại Mau, Sách tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp , NXBGD [7] Nguyễn Đức Tấn ( 2006 ), Sách toán phát triển tập 1, NXB QG Thành phố Hồ Chí Minh [8] Tôn Thân (2000), Huấn luyện nghiệp vụ sư phạm, kỹ soạn câu hỏi và bài tập [9] V.A KƠ - RU - TEC - XKI, Tâm lý lực toán học học sinh (sách dịch), NXBGD (61)