DE THI HSG 11

Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là.. tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này, ta có.[r]

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang và có câu) C©u 1: sin x.sin x  cos x.cos x    tan( x  ) tan( x  ) 1)Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) 2)Giải bất phương trình sau: x2  x   x  x 3  x  x  3 2  x  10  0 C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , đó tập hợp chứa nhiều tập hợp trước nó phần tử, và phần tử đầu tiên tập hợp lớn phần tử cuối cùng tập hợp trước nó đơn vị Gọi Sn là tổng các phần tử tập hợp thứ n Tính S999 u1 2012 (n  N*)  u n 1 2012u 2n  u n  Câu Cho dãy số (un) xác định sau: u u u u lim(     n ) u2 u3 u4 u n 1 Tìm Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ P và Q là hai điểm trên hai cạnh AB và AD AP  AB;AQ  AD cho I và J là hai điểm thuộc đoạn B’Q và A’P cho IJ song IB' song với AC Hãy xác định tỉ số QB' Câu a) Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn a.b.c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 S   (ab  2)(2ab  1) (bc  2)(2bc  1) (ac  2)(2ac  1) 2 b) Cho a, b, c 0 và a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P    b2  c2 1 a2 -Hết ĐÁP ÁN THI HSG Câu Câu Nội dung Điểm §iÒu kiÖn      sin  x   cos  x   0           sin  x   0  x   m  m    *   3  sin  x    cos  x    0       3 3          tan  x   tan  x    cot  x   tan  x    6 3 3 3     Ta cã Suy (1) 1  sin x sin 3x  cos3 x cos 3x   sin x  sin x sin 3x   cos x  cos x cos x   8 1  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x  cos x     sin x  cos x  cos x   cos x  sin x  cos x  4 1 1   cos x  cos x cos x   cos x   cos x    cos x   cos x   x   k  k   4  x   k  k   Kết hợp điều kiện (*) ta đợc Điều kiện: x 3 Khi đó ta có:  x  3 x  x  x  x   2 x  18  x  20 2  x  10   x    x  10   x    x  10   Bất phương trình đã cho tương đương với x2  x   x  x  x   x   x  x  3    x  x  3 0  6 x2  x   x x  2  x  x  3  x  x  x   x  x    x    x  x     x    x  34 x  108  0  x 17  181  x  34 x  108    x 17  181 KL : S  3;17  181    17  181;   Câu Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là n  n  1 Khi đó Sn là tổng n số hạng cấp n  n  1 u1  số cộng có số hạng đầu , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng      n  tập hợp thứ n là số hạng đầu cấp số cộng này), ta có 1 Sn  n  2u1   n  1 d   n  n  1 2 S999  999  9992  1 498501999 Vậy Câu - CM dãy tăng : u n 1  u n 2012u n  n - giả sử có giới hạn là a thì : a 2012a  a  a 0  2012 VL nên limun =  un u n2 (u  u n ) 1   n 1  (  ) u u u 2012u u 2012 u u n  n  n n  n n n  - ta có : 1 1 S lim(  ) 2012 n  u1 u n 1 20122 Vậy : Câu  12  IB'  QB' 29 đáp số 12/29 Câu 5a a2 4    (ab  2)(2ab  1) (b  )(2b  ) (b   2b  ) (b  ) a a a a a đáp số : 1/3 Câu 5b 3 a b c 2 +b + +c + +a Ta có: P + = 2 √1+b √ 1+ c √1+a 2 a a 1+b +b b2 1+c ⇔ P+ = + + + + √ 2 √ 1+b 2 √ 1+b2 √ 2 √ 1+c 2 √ 1+c √ 2 +c c 1+a a6 b6 c6 3 + + +3 + 2 √ 1+a √ 1+ a √2 16 √2 16 √ 16 √ 3 2 ⇒ P+ ≥ (a + b + c )= √ 2 √3 √2 √8 9 3 ⇒P≥ − = − = √2 √ 2 √ 2 √2 √ Để PMin a = b = c = √ √ √