Tichphanduong toan2

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG BỘ MƠN TỐN Viện Đào tạo Mở, Đại học Kiến trúc Hà Nội BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG I TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI ĐỊNH NGHĨA Cho hàm f (x, y) xác định cung cong phẳng AB Chia tùy ý AB thành cung nhỏ ∆si, ∆si lấy điểm Pi BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG I TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI n Lập tổng tích phân In = f (Pi)∆si i=1 Nếu tồn I = lim n→∞,∆si →0 In không phụ thuộc vào cách chia AB cách chọn Pi I gọi tích phân đường loại hàm số f (x, y) dọc theo cung AB Kí hiệu I = f (x, y)ds AB BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG NHẬN XÉT f (x, y)ds = f (x, y)ds BA AB f (x, y)ds + f (x, y)ds = AB AC f (x, y)ds CB Tích phân đường loại có tính chất giống tích phân xác định BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Cách tính tích phân đường loại I= f (x, y)ds AB Cung AB : y = y(x), a ≤ x ≤ b ds = + y 2(x)dx b Suy I = f (x, y(x)) + y 2(x) dx a Cung AB : x = x(y), c ≤ y ≤ d ds = + x 2(y)dy d I= f (x(y), y) c + x 2(y) dy BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG I= f (x, y)ds AB       x = x(t) Cung AB :       y = y(t) với t1 ≤ t ≤ t2 ds = x 2(t) + y 2(t) dt t2 Do I = f (x(t), y(t)) t1 x 2(t) + y 2(t) dt BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Các ví dụ VD I = xds, L cung parabol y = x2 ≤ x ≤ L BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG I= xds, L : y = x2, ≤ x ≤ L Giải Ta có y = x , y = 2x ⇒ ds = I= x = · · B(4, 3) + 4x2dx Vậy 1 + 4x2 dx = VD I = √ + 4x2 d(1 + 4x2) (1 + 4x2)3 √ = (5 − 1) 12 (x − y)ds, L đoạn thẳng nối điểm A(0, 0), L y − yA x − xA Chú ý Phương trình đường thẳng AB = xB − xA yB − yA BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 3x Giải Ta có AB : y = , y (x) = ⇒ ds = 4 + dx Vậy 16 4 x− x I= 1+ xdx = dx = 16 16 0 VD Cho cung AB nằm parabol y2 = − x nối A(1, 0) với B(0, 1) Tính tích phân đường I= (xy + y3)ds AB BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Giải Coi phương trình AB : x = − y2, ≤ y ≤ suy x y = −2y I= (1 − y2)y + y3 + 4y2dy 1 = 1+ 4y2 √ d(1 + 4y ) = ( 125 − 1) 12 10 BỘ MƠN TỐN Giải Ta có TÍCH PHÂN ĐƯỜNG   √   − sin 3x  + x P = x        Q = − 2x2 + ye y       P y = ⇒     Qx = −4x Do L đường kín nên áp dụng Green ta I= (Qx − P y)dxdy = −4 D xdxdy D x x Trong D = (x, y) : ≤ x ≤ 3, − ≤ y ≤ Do 3 x 3 I = −4 xdy = · · · = −24 dx − x3 31 BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VD 11 Tính tích phân đường loại hai nối đường y = xdy − ydx với A(2, 0), B(0, 0) AB √ 2x − x2 • Có thể tính trực tiếp khơng? • Có thể tham số hóa cung AB khơng? • Có dùng Green khơng? 32 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1−x , thay vào Giải Cách (Tính trực tiếp) y = √ 2x − x2 2 xdx I= = − √ 2x − x2 2 d(2x − x ) + √ 2x − x2       x = + cos t Cách (Tham số hóa cung AB)       y = sin t tính I = π 33 d(x − 1) = π − (x − 1)2 với t : → π Thay vào ta BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Cách (Sử dụng cơng thức Green) Bổ sung thêm đoạn BA Khi I= xdy − ydx xdy − ydx − L = BA (1 + 1)dxdy − D xdy − ydx = 2S(D) − = π, BA BA y = dy = 34 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Định lí (4 mệnh đề tương đương) Giả sử hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền đơn liên D Khi mệnh đề sau tương đương: i) P y = Qx, ∀(x, y) ∈ D Pdx + Qdy = dọc theo đường kín L nằm D ii) L Pdx + Qdy, AB cung nằm D, phụ thuộc vào iii) AB hai đầu mút A, B mà không phụ thuộc vào đường từ A đến B iv) Biểu thức Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm số f (x, y) miền D 35 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VD 12 Tính tích phân I = x2dx + y2dy, OAB nửa đường OAB trịn x + y = 2x phía trục Ox 2 Giải Ta có P(x, y) = x2, Q(x, y) = y2, Qx = = P y ∀(x, y) ∈ R2 Theo định lí tích phân đường cho khơng phụ thuộc vào đường nối hai điểm O, B 36 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Để tính tích phân cho cách đơn giản, ta thay cung OAB đoạn thẳng OB, tức y = với ≤ x ≤ Khi I= x dx + y dy = 2 x3 x dx = = OB VD 13 Tính tích phân đường loại hai I = OA với O(0, 0) A(1, 1) nối đường y = x 37 ex(2 + 2x − y2)dx − ex.2ydy BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Giải P = ex(2 + 2x − y2), Q = −2yex, suy Qx = −2yex = P y, tích phân khơng phụ thuộc vào đường nối O A ex(2 + 2x − x2) − ex.2x dx = e Chọn đường nối y = x I = Chọn đường nối đường gấp khúc OBA (với B(1, 0)) I= + OB BA = ex(2 + 2x)dx + −e1.2ydy = e 38 BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Bài tập tự luyện Tính (x + y) ds, L chu vi tam giác O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) L xy ds, cung AB nằm đường cong L có phương trình y = AB √ x + bx + c với A(0, 0), B( 2, 2) Tính Tính (x2 + y2) ds, C đường cong cho phương trình tham số C       x = a(cos t + t sin t) ≤ t ≤ 2π       y = a(sin t − t cos t), (x2 +y2) dx+xy dy theo đường thẳng nối AB với A(1, 1), B(3, 4) Tính AB x2 y dx + x3 dy, L chu tuyến miền D giới hạn Tính L đường y = x2, x = y2, tích phân theo hướng dương 39 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG a) Tính 2x dy − 3y dx với C đường gấp khúc ABCA nối A(1, 3), C B(3, 1), C(2, 5) theo chiều dương [x2 + x ln (x2 + y2)] dx + [y2 + y ln (x2 + y2)] dy, với C b) Tính C chu tuyến khơng bao điểm O(0, 0) x2 + y2 dx + y[xy + ln (x + c) Tính x2 + y2)] dy, với C chu C tuyến hình chữ nhật ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ dy dx , L cung tròn x = a cos t, y = a sin t góc phần y L x tư thứ lấy theo chiều âm Tính − 2(x2 + y2) dx + (x + y) dy, với C chu vi tam giác A(1, 1), B(2, 2), Tính C C(1, 3) theo chiều dương 40 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG a) Dùng cơng thức Green b) Theo cơng thức tính tích phân đường loại hai 41 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Hướng dẫn Ta có (x + y) ds = L (x + y) ds + (x + y) ds + AB OA (x + y) ds BO 1 x dx = (x + y) ds = Phương trình OA : y = 0, nên OA (x + y) ds = Phương trình AB : y = − x, nên AB √ √ dx = Phương trình BO : x = nên √ Vậy (x + y) ds = + y dy = (x + y) ds = BO L Sinh viên tự giải từ đến tương tự ví dụ Đáp số: 149 60 2π2(1 + 2π2)a3 42 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Phương trình AB : y = x − nên 2 3 x + x− 2 (x + y ) dx + xy dy = 2 AB 3 + x x− 2 dx 235 11 x − x+ dx = 4 = Giao hai đường cong O(0, 0), A(1, 1) Khi x2 y dx + x3 dy = L x2 y dx + x3 dy + OA∗ x2 y dx + x3 dy, AO∗ với OA∗ có phương trình y = x2, AO∗ có phương trình x = y2 Ta có 3x dx = , x y dx + x dy = OA∗ Vậy L AO∗ x y dx + x dy = 35 3y dy = − x y dx + x dy = 43 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG a) Sử dụng cơng thức Green, ta có (−3y) dx + 2x dy = dx dy = 5SD = 175 , 10 D C với SD diện tích tam giác ABC Ta giải tốn cách tách tích phân thành tổng ba tích phân đoạn thẳng, độc giả tự giải theo cách Sinh viên tự giải ý b) c) Đáp số: b) 0, Ta có L có phương trình x = a cos t, y = a sin t với t từ dy dx − = x y L 44 dt = π π c) π đến Khi BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG a) Ta có 4−y 2(x2+y2) dx+(x+y) dy = (1−4y) dx dy = D C dy y (1−4y) dy = − , với D miền tam giác ABC b) Ta có tích phân 2(x2+y2) dx+(x+y) dy+ AC 2(x2+y2) dx+(x+y) dy+ BA CB Sinh viên tự tính tích phân 45 2(x2+y2) dx+(x+y) dy