Tichphankep toan2

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TÍCH PHÂN MẶT BỘ MƠN TỐN Viện Đào tạo Mở, Đại học Kiến trúc Hà Nội BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Hình 1: Khu Hemisfèric, biết đến với tên gọi “Con mắt tri thức” (Eye of Knowledge), cụm rạp chiếu phim công nghệ Imax 3D khu trình chiếu tác phẩm kỹ thuật số đại hoành tráng Tây Ban Nha BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP I KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT ĐỊNH NGHĨA • Cho f (x, y) xác định miền đóng, bị chặn D • Chia miền D tùy ý thành n mảnh có diện tích ∆S1, ∆S2, , ∆Sn BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN KÉP n • Lấy Mi ∈ ∆Si tùy ý Lập tổng tích phân In = f (Mi)∆Si i=1 • Nếu tồn I = lim n→∞,max di →0 In (di đường kính mảnh thứ i - khoảng cách lớn điểm biên mảnh thứ i) I không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm Mi mảnh, I gọi tích phân kép hàm số f (x, y) miền D, kí hiệu I = f (x, y) dx dy D BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Ý nghĩa hình học tích phân kép Nếu hàm số z = f (x, y) liên tục, không âm miền D tích phân kép cho số đo thể tích hình trụ cong, giới hạn miền D, mặt cong z = f (x, y) mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz với đường chuẩn biên miền (Hình dưới) BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP f (x, y) + g(x, y) dx dy = • D f (x, y) dx dy + D k f (x, y) dx dy = k · • Tính chất g(x, y) dx dy D f (x, y) dx dy D D • Nếu D = D1 ∪ D2 mà D1 D2 khơng có điểm chung f (x, y) dx dy = D f (x, y) dx dy + D1 f (x, y) dx dy D2 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP I= II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP f (x, y) dx dy D BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Miền D hình chữ nhật: (có cạnh song song trùng trục tọa độ) Khi D = [a, b] × [c, d] b = I b a      d c d f (x, y) dy dx a   f (x, y) dy dx  = c d I= b f (x, y) dx = dy c d a c      b a    f (x, y) dx dy  BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP x dx dy với D = [0, 1] × [0, 2] VD Tính tích phân I = D Ta có I= x dy = dx xy 2x dx = x dx = = 0 0 1 Hoặc ta có I= x dx = dy x2 0 1 dx = y = 2 dy = BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP dx dy VD Tính tích phân I = D hình chữ nhật D = [3, 4] × [1, 2] (x+y)2 Giải Ta có I= dx dy (x + y)2 = − x+y dx = 1 − dx = (ln |x + 1| − ln |x + 2|) x+1 x+2 x+1 = ln x+2 Chú ý 25 = ln − ln = ln 24 dx =− +C x + α (x + α) 10 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP D = (r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ π , 0≤r≤1 Do π I= r cos ϕ.r sin ϕ.r dr dϕ = π 2 r3 dr sin 2ϕ dϕ · − cos 2ϕ = · 2 π 0 · r = Vậy I = b) hình giới hạn ≤ x2 + y2 ≤ 9, y ≥ 32 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP       x = r cos ϕ Chuyển sang tọa độ cực       y = r sin ϕ J = r D = (r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ π, ≤ r ≤ 33 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP D = (r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ π, ≤ r ≤ Do π I= r cos ϕ.r sin ϕ.r dr dϕ π = r3 dr sin 2ϕ dϕ · − cos 2ϕ = · 2 π · Vậy I = 34 r = BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP VD Tính I = √ D dx dy 4−x2 −y2 với D giới hạn (x − 1)2 + y2 ≤ 1, 35 y ≥ BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Giải Miền D nửa đường tròn tâm (1, 0), bán kính phía Ox, đó, π đổi sang hệ tọa độ cực ta có ≤ ϕ ≤ 36 BỘ MƠN TỐN       x = r cos ϕ Thay       y = r sin ϕ TÍCH PHÂN KÉP vào (x − 1)2 + y2 ≤ ⇔ x2 + y2 ≤ 2x ⇒ r ≤ cos ϕ Vậy D = (r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ π2 , ≤ r ≤ cos ϕ 37 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Từ ta có I= D r dr dϕ = √ − r2 π = − = 4− r2 π 2 cos ϕ dϕ 0 cos ϕ r dr √ − r2 Chú ý: dϕ π (2 − sin ϕ) dϕ = 2(ϕ + cos ϕ) − r2 −r = √ − r2 π 0 = π − VD Tính I = D     2  x + y − 2y ≤   − x2 − y2 dx dy với D :       x ≤ 38 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP       x = r cos ϕ Chuyển sang tọa độ cực       y = r sin ϕ J = r x2 + y2 = 2y ⇔ r2 = 2r sin ϕ ⇔ r = sin ϕ 39 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP nên suy π D = (r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ π, ≤ r ≤ sin ϕ Từ sin ϕ π I= − r2.r dr = · · · = dϕ π 4π 16 − VD 10 Tính I = x2 + y2 dx dy với D giới hạn D x2 + y2 ≤ 1, x2 + (y − 1)2 ≥ 1, 40 x ≥ 0, y ≥ BỘ MƠN TỐN       x2 + y2 ≤       2 Giải D :  x + (y − 1) ≥1          x ≥ 0, y ≥ TÍCH PHÂN KÉP       phía đường tròn tâm (0, 0)       ⇒ D phía ngồi đường trịn tâm (0, 1)           góc phần tư thứ 41 BỘ MƠN TOÁN       x = r cos ϕ Thay       y = r sin ϕ TÍCH PHÂN KÉP     2  x + y ≤1   vào      x2 + (y − 1)2 ≥       r ≤ ta      r ≥ sin ϕ Hai đường r = r = sin ϕ cắt điểm 1, cực 42 π hệ tọa độ BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN KÉP 43 BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Do D = {(r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ π , sin ϕ ≤ r ≤ 1} Từ ta có π I= r2 dr dϕ = r2 dr dϕ D sin ϕ π π   1  π = (1 − sin ϕ) dϕ =  + 3    π π cos ϕ   π  =  + cos ϕ − 0 √ π 16 = + 3− 18 44    (1 − cos ϕ) d(cos ϕ)  BỘ MÔN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Bài tập tự làm: Tính tích phân (x2 + y2) dx dy với D giới hạn đường 1) Tính I = D y= dx dy 2) Tính I = D x2 + y2 +1 2x − x2, y = với D giới hạn đường y= 45 − x2, y = BỘ MƠN TỐN TÍCH PHÂN KÉP Kết quả: 1) Chuyển sang tọa độ cực Khi π D = (r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ , ≤ r ≤ cos ϕ Đáp số I = 3π 2) Chuyển sang tọa độ cực Khi D = (r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ π, ≤ r ≤ π ln Đáp số I = 46