Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m... a Viết quy trình bấm phím để tìm số d của phép chia đó..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ TÌM SÓ DƯ KHI CHIA A CHO B CÁC DẠNG CƠ BẢN Số bé 10 chữ số Số lớn 10 chữ số Tìm số dư chia lũy thừa cho số tự nhiên PHƯƠNG PHÁP VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Dùng quan hệ chia hết , chia có dư Kiến thức lũy thừa Kiến thức đồng dư Kiến thức phần nguyên (2) I TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN a) Khi đề cho số bé 10 chữ số: Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q Ví dụ : Tìm số dư các phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456 2) 987896854 cho 698521 b) Khi đề cho số lớn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư A chia cho B ( A là số có nhiều 10 chữ số) - Cắt thành nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B - Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ chữ số) tìm số dư lần hai Nếu còn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567: Được kết số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết số dư cuối cùng là 26 Bài tập: Tìm số dư các phép chia: a) 983637955 cho 9604325 b) 903566896235 cho 37869 c) 1234567890987654321 : 123456 c) Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư * Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b(mod c) + Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a a (mod m) a b(mod m) b a(mod m) a b(mod m); b c (mod m) a c(mod m) a b(mod m); c d (mod m) a c b d (mod m) a b(mod m); c d (mod m) ac bd (mod m) a b(mod m) a n bn (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải: 122 144 11(mod19) 126 12 113 1(mod19) Vậy số dư phép chia 126 cho 19 là Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: (3) 20042 841(mod1975) 20044 8412 231(mod1975) 200412 2313 416(mod1975) 200448 4164 536(mod1975) Vậy 200460 416.536 1776(mod1975) 200462 1776.841 516(mod1975) 200462.3 5133 1171(mod1975) 200462.6 11712 591(mod1975) 200462.6 591.231 246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Bài tập thực hành: Tìm số dư phép chia : a) 138 cho 27 b) 2514 cho 65 c) 197838 cho 3878 d) 20059 cho 2007 e) 715 cho 2001 A A B B II Số d phép chia A cho B là: : A (trong đó: B là phần nguyên thương A cho B) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm số d phép chia 22031234 : 4567 A A 22031234 4824,005693 B 4824 B 4567 Ta có: A A B 22031234 4567.4824 26 B Ví dụ 2: Tìm số d phép chia Đáp số : 26 22031234 cho 4567 A A 22031234 4824,005693 4824 B 4567 Ta có: B A A B 22031234 4567.4824 26 B Đáp số : 26 VD3 : a) Tìm số dư r chia 39267735657 cho 4321 b) dư r1 chia 186054 cho 7362 c) Tìm số dư r2 chia x 11x 17 x 28 cho x d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r1 và r2 ? Giải: (4) A A 39267735657 9087650, 002 9087650 B 4321 a) Ta có: B A A B 39267735657 4321.9087650 7 B Đáp số : r =7 VD4: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 Tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư chia 3523127 cho 2047 c) Tìm số dư r phép chia 2345678901234 cho 4567 Giải: a) Qui trình tính số d chia 20052006 cho 2005105 A A 20052006 10, 00047678 10 B B 2005105 A A B 20052006 - 2005105 10 = 956 B Số d phép chia A cho B là: Ta làm nh sau: ấn 20052006 2005105 = Ta có kết 10, 00047678 Lấy 20052006 - 2005105 10 = Ta đợc kết quả: 956 Vậy số d phép chia là: 956 Tìm số dư phép chia số a cho số b: 21.Định lí: Với hai số nguyên a và b, b 0, luôn tồn cặp số nguyên q và r cho: a = bq + r và r < |b| * Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B + Bước 2: Thực phép chia A cho B + Bước 3: Thực A - q {ghi nhớ phần nguyên q} B =r Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím tìm số dư chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư (5) c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư đó Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B ANPHA SHIFT ANPHA A A - B B = = (6,213716089) (650119) b) Số dư là: r = 650119 c) Tương tự quy trình câu a), ta kết là: r = 240 Bài 2: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương và số dư phép chia: 123456789 cho 23456 Đáp số: q = 5263; r = 7861 Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 20032004) Tìm số dư phép chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.Dẫn: a) Số dư là: r = b) Ta phân tích: 815 = 88.87 - Thực phép chia 88 cho 2004 số dư là r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004 số dư là r2 = 968 Số dư phép chia 815 cho 2004 là số dư phép chia 1732 x 968 cho 2004 Số dư là: r = 1232 2.2 Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn các số dư nâng lên luỹ thừa: Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư phép chia a, a 2, a3, a4 cho m lặp lại cách tuần hoàn (có thể không đầu) Chứng minh Ta lấy m + luỹ thừa đầu tiên: a, a2, a3, a4 , am, am+1 và xét các số dư chúng chia cho m Vì chia cho m có thể có các số dư {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + số, nên các số trên phải có hai số có cùng số dư chia cho m Chẳng hạn hai số đó là a k và ak + l, đó l > Khi đó: ak ak + l (mod m) (1) Với n k nhân hai vế phép đồng dư (1) với an - k được: an an + l (mod m) Điều này chứng tỏ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn (6) Số l gọi là chu kỳ tuần hoàn các số dư chia luỹ thừa a cho m Sau đây ta xét số dạng bài tập sử dụng định lí trên: Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp số 2: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, Tìm xem chia các luỹ thừa này cho nhận các loại số dư nào ? Giải: Ta có: 21 = 2, 22 = 4, 23 = (mod 5), 24 = 16 (mod 5) (1) Để tìm số dư chia cho ta nhân hai vế phép đồng dư (1) với được: 25 = 24.2 1x2 (mod 5) 26 = 25.2 2x2 (mod 5) 27 = 26.2 4x2 (mod 5) Ta viết kết vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng ghi số dư tương ứng chia các luỹ thừa này cho 5: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 1) (2 1) (2 hàng thứ hai cho ta thấy các số dư lập lại cách tuần hoàn: sau số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên Bài 4: Tìm số dư chia 22005 cho Giải: * Áp dụng kết trên: ta có 2005 (mod 4) số dư chia 22005 cho là 34 Bài 5: Tìm chữ số cuối cùng số: Giải: - Xét các luỹ thừa chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa 2, ta thực theo quy trình sau: SHIFT STO A ANPHA : ta kết sau: ANPHA A ANPHA A ANPHA = ANPHA A + = 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 6) (2 6) (2 = ) (7) hàng thứ hai cho ta thấy các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ số (2, 4, 8, 6) ta có 34 = 81 (mod 4) số dư chia cho 10 là Vậy chữ số cuối cùng số là 4 Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng số: A = 21999 + 22000 + 22001 Giải: Xét các luỹ thừa chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa 2, thực theo quy trình bài 11), ta kết sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 (4 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 16 các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số đến số 52) Ta có: 1999 19 (mod 20) số dư chia 21999 cho 100 là 88 2000 (mod 20) số dư chia 22000 cho 100 là 76 2001 (mod 20) số dư chia 22001 cho 100 là 52 88 + 76 + 52 = 216 16 (mod 100) số dư A = 21999 + 22000 + 22001 chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng số A là 16 II CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Tìm số dư phép chia sau điền kết vào ô trống: 123 a) 19001989 : 2008 b) 234 : 456 BÀI 2: VIẾT MỘT QUI TRÌNH BẤM PHÍM ĐỂ TÌM SỐ DƯ KHI CHIA 63819690 CHO 9122006 (8) Bài 3: Tìm số dư các phép chia sau: a) 1234567890987654321 chia cho 207207 b) 915 chia cho 2007 Bài 4.Chia 143946 cho 23147 a) Viết quy trình bấm phím để tìm số d phép chia đó b) Tìm số dư r phép chia c) Tìm số dư r phép chia 2007157 cho 1999 Bài 5: Tìm số dư a = 3356 cho 737 Bài : Tìm dư phép chia 200720082009 chia cho 20082009 (9) Bài 7:Lập quy trình bấm phím tìm số dư phép chia a=1357911131517cho b= 2468 Bài Tìm số dư chia 122007 cho 2008 Bài 9: Tìm số dư phép chia cho Bài 10: Tìm số dư : a) 333 ❑32 cho b) 17762003 cho 4000 Bài 11: Chia 6032002 cho 1905 dư r1, chia r1 cho 209 dư r2.Tìm r2? (10) Bài 12:Tìm số dư phép chia : a) 1234567890987654321:123456 b) 715 :2001 c) Tìm số dư phép chia 520 cho 19 Bài 13 Tìm số dư 717 chia cho 2005 Bài 14a)Viết quy trình bấm phím để tìm số dư chia 18901969 cho 2382001.Tìm số dư đó b) Viết quy trình bấm phím tìm số dư chia 3523127 cho 2047.Tìm số dư Bài 15: Chia 143946 cho 23147 (11) Viết quy trình bấm phím để tìm số dư phép chia đó Tìm số dư phép chia đó Bài 16: Tìm số dư phép chia : 1234567890987654321:123456 715: 2001 Bài17: Tìm số dư chia 39267735657 cho 4321 Bài 18: Chia 19082002 cho 2707 có số dư là r1 Chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r2 (12) Bài 19: Viết quy trình bấm phím tìm số dư phép chia sau 26031931 cho 280202 Bài 20: Viết quy trình tìm phần dư phép chia 21021961 cho 1781989 Bài 21: Viết quy trình tìm phần dư phép chia 19052002:20969 Bài 22: Tìm số dư chia 39267735657 cho 4321 (13) Bài 23: Tính phần dư các số 70; 71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79; 710; 711khi chia cho 13 và điền vào bảng sau 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 Số dư Bài 24:1 Viết quy trình tìm số dư chia 2002200220 cho 2001 2.Tìm số dư chia 2002200220 cho 2001 Nêu phương pháp tìm số dư chia 200220022002 cho 2001 Tìm số dư chia 200220022002 cho 2001 Bài 25 : Tìm số dư các phép chia sau: 1)9124565217 cho 123456 2)987896854 cho 698521 (14) Bài 26: Viết quy trình tìm số dư và tìm số dư phép chia a, 3523127 chia 2047 ĐS : 240 b, Tìm số tự nhiên k nhỏ cho (3456789 + k) chia hết cho 1234 ĐS : Số dư là : 355 số k là : 1234 - 355 = 879 c, 103200610320061032006 chia 2010 (tách số ) ĐS : 396 d, 124567890987654321 chia 123456 (tách số ) ĐS : 8817 Bài 27: Tìm số dư phép chia a, 715 chia 2001 ĐS : 1486 2007 b, chia 33 Bài 28: a) Viết quy trình ấn phím tìm số dư chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư đó Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B ANPHA SHIFT ANPHA A A - B B = = (6,213716089) (650119) (15) b) Số dư là: r = 650119 r = 240 c) Tương tự quy trình câu a), ta kết là: Bài 29: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương và số dư phép chia: 123456789 cho 23456 Đáp số: q = 5263; r = 7861 Bài 30: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 20032004) Tìm số dư phép chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.DẪN: a) Số dư là: r = b) Ta phân tích: 815 = 88.87 - Thực phép chia 88 cho 2004 số dư là r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004 số dư là r2 = 968 ị Số dư phép chia 815 cho 2004 là số dư phép chia 1732 x 968 cho 2004 ị Số d là: r = 1232 Bài 31: Tìm số dư 1112 cho 2001 (16) Bài 32:Tìm số dư phép chia a cho b: 1/ a=736; b=2003 2/ a=7218 ; b=2009 3/ a= 1318+1320; b=6954 4/ a=1358+2475 ; b= 3311 Bài 33: Chứng minh 1318-1 chia hết cho 6954 Bài 34:Tìm số dư phép chia 56758966395349 cho 5675 Bài 35: Tìm số dư phép chia sau: 1) 506507508 : 2006 2)506507508506507508 : 2006 (17) Bài 36:A = 20052006 chia cho dư Bài 37 : a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 b) Tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 d) Tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Bài 38: a.Trình bày cách tìm và tìm số dư chia 21000 cho 25 b Tìm số dư r chia 17762003 cho 4000 (18) Bài 39: a)Tìm số dư phép chia sau: 1)1357902468987654321 : 20072008 b)Chứng minh rằng: 2001 (¿ ¿ 2004+ 20032006 )⋮ 10 ¿ 2) 102007200708 : 111007 7+7 2) (¿ ¿ 2+7 + +7 2008 )⋮ 400 ¿ Bài 40: Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r , chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r1 và r2 ? Bài 41 : a)Tìm số dư r1 chia 1234567890987654321 cho 60027002 b)Tìm số dư r2 chia 1313 cho 2007 (19) Bài 42 Tìm số dư phép chia 70286197 cho 200817 Bài 43: Tìm dư phép chia 32003 cho 13 1515 Bài 44:Tìm dư phép chia 15 cho 49 Bài 45: Tìm số dư phép chia sau a) 456 cho 2009 b) 12345678901234 cho 4567 (20) Bài 46: Chia số 1505193115052008 cho 2008 dư là r1, chia r1 cho 11 dư là r2 Tìm r2 Bài 47.Cho A = 2100 + 2101 + 2102 + + 22007 Tìm dư chia A cho 2007 Đáp số:1557 Bài 48: Tìm số dư chia 17659427 cho 293 ĐS : 52 Bài 49 Tìm số dư phép chia a) 12 13 cho 49; b) 987 + 4563 cho 2007 (21) KQ: a) 26; b) 882 Bài 50 Tìm số dư phép chia: cho Bài 51: Tìm số dư phép chia 717 : 2008 BT 52 Tìm số dư phép chia cho Lời giải: Ta có: Suy ra: Vậy số dư phép chia cho BT 53 là: (22) Tìm số dư phép chia cho Lời giải: Ta tìm số dư phép chia Kết là cho Tiếp tục tìm số dư phép chia Kết là cho Vậy số dư phép chia cho BT54 Tìm số dư phép chia cho là Lời giải: Vì là số nguyên tố và Nên ta có: Suy ra: Suy ra: Vậy số dư phép chia cho BT55 Tìm số dư phép chia Lời giải: Cách 1: Ta có: Suy ra: là cho (23) Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Vậy số dư phép chia cho là là Cách 2: Ta có: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Vậy số dư phép chia cho (24) (25)