Phương pháp quy hoạch động và ứng dụng dạy tin học chuyên trung học phổ thông

26 3.4K 10
Phương pháp quy hoạch động và ứng dụng dạy tin học chuyên trung học phổ thông

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐÀO THỊ THẢO SƯƠNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG DẠY TIN HỌC CHUYÊN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Khoa học máy tính Mã số : 60.48.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Đà Nẵng - Năm 2012 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Phản biện : TS NGUYỄN THANH BÌNH Phản biện : TS TRẦN THIÊN THÀNH Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 19 tháng 01 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng; - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng; MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Một tiêu chí để đánh giá chất lượng trường trung học phổ thơng (THPT) số lượng học sinh giỏi trường so với mặt chung tỉnh, nước Môn Tin học đưa vào giảng dạy thức trường THPT từ năm học 2006 -2007 nhiên thực tế môn Tin học đưa vào tham gia thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia từ lâu: tỉnh đồn Bình Định tổ chức thi Tin học trẻ không chuyên lần từ năm 1995, Hội thi Tin học trẻ toàn quốc (tên cũ trước Hội thi tin học trẻ khơng chun tồn quốc) tổ chức lần vào năm 1995, kỳ thi học sinh giỏi Tin học quốc gia tổ chức lần vào năm 1995, kỳ thi Olympic Tin học quốc tế (IOI) tổ chức lần đầu vào năm 1989, thi Olympic Tin học Toàn quốc tổ chức lần vào năm 1994…) Chúng ta biết để có kết cao kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi mơn tin học nói chung học sinh phải có vốn kiến thức thuật tốn để giải tốn khó (đặc biệt thuật tốn nâng cao), sau học sinh sử dụng ngơn ngữ lập trình để lập trình dựa vào thuật tốn tìm giải tốn theo yêu cầu Chương trình giảng dạy sách giáo khoa môn Tin học hành trường THPT có lượng kiến thức hạn chế vơ đơn giản, không đủ sở tảng để học sinh dựa vào vốn kiến thức tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh hay cao Câu hỏi đặt ra: “Làm để học sinh đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi môn Tin học trƣờng THPT?” yêu cầu giáo viên giảng dạy môn Tin học trường THPT phải suy nghĩ giải Quy hoạch động (Dynamic Programming) phương pháp hiệu để giải nhiều toán tin học, đặc biệt toán tối ưu, có số tốn sử dụng phương pháp quy hoạch động lại cho hiệu cao hơn hẳn so với nhiều phương pháp khác Số lượng toán tin học giải phương pháp quy hoạch động lớn Số lượng thi áp dụng phương pháp quy hoạch động để giải đề thi học sinh giỏi môn Tin học thường cao Vậy “Có phải tất tốn tối ƣu áp dụng phƣơng pháp quy hoạch động để giải?; “Làm để nhận dạng đƣợc tốn áp dụng phƣơng pháp quy hoạch động để giải?; “Làm giải toán phƣơng pháp quy hoạch động?”;… Vì lý tơi xin chọn đề tài “PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG DẠY TIN HỌC CHUYÊN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương pháp Quy hoạch động ứng dụng dạy học sinh chuyên tin học khối THPT - Giúp cho học sinh chuyên tin học khối THPT thi đạt kết ngày cao - Tạo nguồn tài liệu tham khảo thuật toán hỗ trợ cho học sinh, giáo viên dạy tin học chuyên THPT Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Đối tƣợng nghiên cứu - Phương pháp Quy hoạch động toán tối ưu - Học sinh chuyên tin học khối THPT, giáo viên giảng dạy môn Tin học trường THPT  Phạm vi nghiên cứu - Phương pháp quy hoạch động, áp dụng phương pháp quy hoạch động để giải tốn chương trình chun tin học THPT Phƣơng pháp triển khai a Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu Thu thập, phân tích tài liệu thông tin liên quan đến quy hoạch động Lựa chọn số toán phương pháp quy hoạch động chương trình tin học chuyên THPT b Phƣơng pháp nghiên cứu thực nghiệm Sử dụng phương pháp quy hoạch động bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11, 12 tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Hịa Bình năm học 2011 – 2012 Thiết kế toán lựa chọn chương trình tin học chuyên THPT phương pháp quy hoạch động Dùng ngơn ngữ lập trình Pascal cài đặt toán, chạy thử nghiệm số liệu để đánh giá kết Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài a Về mặt lý thuyết: Tìm hiểu phương pháp Quy hoạch động Hiểu vận dụng phương pháp quy hoạch động vào giải tốn chương trình chun tin học THPT đặc biệt toán tối ưu b Về mặt thực tiễn: Tạo nguồn tài liệu tham khảo thuật toán phương pháp quy hoạch động hổ trợ cho giáo viên dạy môn tin học, học sinh chuyên tin học THPT Giúp học sinh nhận dạng tốn tối ưu áp dụng phương pháp quy hoạch động để giải toán Giúp học sinh hiểu vận dụng phương pháp quy hoạch động vào giải toán tối ưu để học sinh đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi cấp Bố cục luận văn: Nội dung luận văn chia thành chương sau: Chương 1: Cơ sở lý thuyết quy hoạch động Chương giới thiệu khái niệm quy hoạch động, cách nhận diện xem tốn tối ưu áp dụng phương pháp quy hoạch động để giải hay khơng? Các bước để giải tốn phương pháp quy hoạch động Chương 2: Một số toán quy hoạch động dùng để dạy học sinh chuyên THPT Chương giới thiệu số toán tối ưu, phân tích cách giải tốn tối ưu phương pháp quy hoạch động Chương 3: Cài đặt chương trình, kết Chương giới thiệu cơng cụ lập trình Pascal dùng Pascal để cài đặt , giải toán giới thiệu chương phương pháp quy hoạch động, dùng trình dịch Free Pascal để dịch chương trình, nhận xét kết sau thực chương trình CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ QUY HOẠCH ĐỘNG 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM: 1.1.1 Bài toán tối ƣu: a Khái niệm: Bài tốn tối ưu gồm có hàm f gọi hàm mục tiêu hay hàm đánh giá; hàm g1, g2, …, gn cho giá trị logic gọi hàm ràng buộc Yêu cầu toán tìm cấu hình x thoả mãn tất ràng buộc g1, g2, …, gn:gi(x) = TRUE ( i:1 i n) x tốt nhất, theo nghĩa khơng tồn cấu hình y khác thoả mãn hàm ràng buộc mà f(y) tốt f(x) Bài tốn tối ưu tốn thường có nhiều nghiệm chấp nhận nghiệm có giá trị đánh giá Mục tiêu đặt tìm nghiệm tối ưu, nghiệm có giá trị đánh giá lớn nhỏ (tối ưu) b Một số ví dụ tốn tối ƣu: Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ (x,y) để tổng x + y đạt giá trị lớn mà x2 + y2 ≤ Ở toán ta thấy: Hàm mục tiêu : x + y  max Hàm ràng buộc : x2 +y2 ≤ Ví dụ 1.2: Bài tốn xếp Ba lơ Có ba lơ chứa tối đa trọng lượng M có n đồ vật (n 100), đồ vật có trọng lượng wi giá trị bi; M, wi, bi số nguyên Hãy chọn xếp đồ vật vào ba lô để tổng giá trị ba lơ lớn Với tốn ta thấy: Hàm mục tiêu: Hàm ràng buộc : bi max , i = 1, 2, …, n w i M , i = 1, 2, …, n Tóm lại, toán tối ưu phong phú, đa dạng, ứng dụng nhiều thực tế cần biết đa số toán tối ưu không giải chưa giải 1.1.2 Công thức truy hồi (Hệ thức truy hồi): Khái niệm: Công thức truy hồi công thức thể quan hệ bước toán kết bước sau thường dựa vào kết bước trước Kết bước cuối kết toán 1.2 PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG: 1.2.1 Phƣơng pháp chia để trị: “Chia để trị” việc tách toán ban đầu thành tốn độc lập, sau giải tốn tổ hợp dần lời giải từ toán nhỏ đến toán ban đầu Phương pháp chia để trị phương pháp thông dụng Tin học Phương pháp chia để trị thường áp dụng cho tốn có chất đệ quy (bài tốn P có chất đệ quy tốn P giải lời giải tốn P’ có dạng giống P Tuy nhiên, cần lưu ý rằng: P’ có dạng giống P theo nghĩa P’ phải nhỏ P, dễ giải P việc giải khơng cần dùng đến P) Giải thuật dùng để giải tốn có chất đệ quy gọi giải thuật đệ quy 1.2.2 Khái niệm phƣơng pháp quy hoạch động: a Khái niệm: Phương pháp quy hoạch động (Dynamic Programming) kỹ thuật nhằm đơn giản hóa việc tính tốn cơng thức truy hồi cách lưu toàn hay phần kết tính tốn bước trước với mục đích sử dụng lại Như vậy, Quy hoạch động = Chia để trị + Mảng (lưu lại kết quả) Phương pháp quy hoạch động nhà toán học người Mỹ Richard Bellman (1920-1984) phát minh năm 1953 Phương pháp dùng để giải tốn tối ưu có chất đệ qui, tức tìm phương án tối ưu cho tốn đưa tìm phương án tối ưu số hữu hạn toán Điểm khác quy hoạch động phương pháp đệ quy : Phương pháp đệ quy giải toán theo hướng topdown, nghĩa để giải toán ban đầu, ta phải giải tất tốn Đây phương pháp hay, nhiên phương pháp gặp hạn chế mặt thời gian, tốc độ phải tính tính lại nhiều lần số tốn giống Phương pháp quy hoạch động sử dụng nguyên lý bottom-up, nghĩa "đi từ lên" Đầu tiên, ta phải giải tốn đơn giản nhất, tìm nghiệm Sau kết hợp tốn lại để tìm lời giải cho tốn lớn giải toán yêu cầu Với phương pháp này, toán sau giải xong lưu trữ lại đem sử dụng cần Do tiết kiệm nhớ cải thiện tốc độ b Đặc điểm chung quy hoạch động: Quy hoạch động việc giải tất toán nhỏ (bài toán sở) để từ bước giải tốn lớn giải toán lớn (bài toán ban đầu) Quy hoạch động cần phải có bảng phương án Ý tưởng phương pháp quy hoạch động tránh tính tốn lại tốn xét, nói cách khác phương pháp quy hoạch động thể sức mạnh nguyên lý chia để trị đến cao độ Tóm lại:  Quy hoạch động dùng để giải toán tối ưu theo nguyên lý “chia để trị” thực chất phương pháp cải tiến phương pháp giải toán theo hướng đệ quy  Quy hoạch động làm giảm độ phức tạp, giảm thời gian giải  Quy hoạch động thường tiếp cận theo hướng từ lên (Bottom – up) 1.2.3 Các cách thực phƣơng pháp quy hoạch động Quy hoạch động thường dùng cách tiếp cận sau: a Tiếp cận từ dƣới lên (bottom up) b Tiếp cận từ xuống (top down) Cách tiếp cận từ lên hiệu nên cách tiếp cận từ lên (bottom up) thường sử dụng nhiều 1.2.3 Các yêu cầu toán tối ƣu sử dụng đƣợc phƣơng pháp quy hoạch động Một toán tối ưu muốn giải phương pháp quy hoạch động tốn tối ưu có đặc điểm đây: 10 pháp tối ưu xây dựng từ nghiệm tối ưu bước trước 1.4 CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƢU BẰNG QUY HOẠCH ĐỘNG Bƣớc 1: Lập công thức truy hồi Bƣớc 2: Tổ chức liệu chƣơng trình Bƣớc 3: Truy vết, tìm nghiệm tốn dựa vào bảng phƣơng án 1.5 ƢU ĐIỂM VÀ HẠN CHẾ CỦA PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG 1.5.1 Ƣu điểm: Tiết kiệm thời gian thực khơng cần phải tính tính lại nhiều lần số tốn giống 1.5.2 Hạn chế Việc tìm cơng thức truy hồi tìm cách phân rã tốn nhiều địi hỏi phân tích tổng hợp cơng phu, dễ sai sót, khó nhận thích hợp, địi hỏi nhiều thời gian suy nghĩ Đồng thời lúc kết hợp lời giải toán cho kết tốn lớn Khi bảng lưu trữ địi hỏi mảng hai, ba chiều … khó xử lý liệu với kích cỡ chiều lớn đến hàng trăm Có tốn tối ưu khơng thể giải quy hoạch động Tóm lại: Khơng phải lúc việc kết hợp toán cho ta kết toán lớn Hay nói cách khác việc tìm kiếm "cơng thức truy hồi" khó khăn Ngồi ra, số lượng tốn 11 cần lưu trữ lớn, khơng chấp nhận liệu nhớ máy tính khơng cho phép Kết chƣơng Quy hoạch động phương pháp hay hiệu quả, giải hầu hết toán tối ưu Tuy nhiên, giải toán theo hướng quy hoạch động, ta cần phải tìm cơng thức truy hồi thật xác chứng minh độ xác tin cậy Cho đến nay, chưa có định lý cho biết xác tốn tối ưu giải hiệu quy hoạch động Tuy nhiên, để biết tốn giải phương pháp quy hoạch động hay không, ta tự đặt câu hỏi: “ Một nghiệm tối ƣu tốn lớn có phải phối hợp nghiệm tối ƣu toán hay khơng?” “Liệu lƣu trữ đƣợc nghiệm tốn dƣới hình thức để phối hợp tìm nghiệm tốn lớn?” CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG CƠ BẢN DẠY HỌC SINH CHUYÊN TIN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Trong chương xin giới thiệu số toán quy hoạch động sử dụng giảng dạy cho học sinh chuyên tin khối THPT 2.1 TRIỂN KHAI NHỊ THỨC NEWTON (a+b)n 2.1.1 Phát biểu toán Hãy triển khai nhị thức Newton (a + b)n biết giá trị n Input: số nguyên dương n Output: nhị thức (a + b)n triển khai Ví dụ 2.1: với n = 5: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 12 2.1.2 Phân tích, xử lý tốn Nhị thức Newton triển khai theo công thức sau: a b n n Cnk a n k bk k Với Cnk n(n 1) (n k 1) k (k 1)1 n! k !(n k )! Như muốn triển khai nhị thức Newton ta phải tính Cnk với k n Cơng thức cho phép tính tổ hợp chập k n sau: k 0; k n Cnk Cnk 11 Cnk 1 k n 2.1.3 Thuật giải toán quy hoạch động Ta cải tiến thuật toán trên, sử dụng phương pháp quy hoạch động để tính Cnk sau:  Sử dụng mảng C[0 n,0 k] lưu kết C[i, j] tính trước đó, đó:   C[i,j] chứa giá trị Ci j C[i,j] tính: C[i, j ] C[i 1, j 1] C[i 1, j ] j = hay j = j>1 Thuật toán quy hoạch động tính Cnk sau: Procedure C[n, k] begin { Sử dụng mảng chiều C[0 n,0 k]} for i from to n - k C[i, 0] = endfor (*) for i from to k C[i, i] = endfor (**) 13 {tính cột} for j from to k for i from j + to n – k + j C[i, j] = C[ i- 1, j - 1] + C[i - 1, j] (***) endfor endfor return C[n, k] end Sử dụng thủ tục để ta tạo mảng C[0 n, k] Để khai triển nhị thức ta ta cần dùng đến Cnk (1 k n - 1), Cnk phần tử C[n, k] mảng C 2.1.4 Độ phức tạp thuật toán Độ phức tạp thời gian O(nk) Độ phức tạp mặt khơng gian O(nk) 2.1.5 Ví dụ minh họa 2.2 DÃY CON CHUNG DÀI NHẤT 2.2.1 Phát biểu toán: Cho hai dãy ký hiệu X Y, dãy chung dài X Y dãy ký hiệu nhận từ X cách xóa số phần tử nhận từ Y cách xóa số phần tử Ví dụ: cho X = ABCDCAE; Y = DACDBA X= Y = DA A B C C D D C B A E A Dãy chung dài nhất: ACDA 2.2.2 Phân tích, xử lý tốn: Có nhiều cách để giải tốn trên: thuật toán vét cạn, đệ quy…  Thuật toán vét cạn: 14 Độ phức tạp phương pháp O(m2n) hàm mũ  khơng khả thi  Thuật tốn đệ quy: Thuật tốn có độ phức tạp thời gian (2m) 2.2.3 Thuật giải toán quy hoạch động   Ta ký hiệu o Xi = x1x2…xi gọi tiền tố thứ i X o Yj = y1y2…yj tiền tố thứ j Y Dùng mảng c[0 n, m] để lưu giá trị độ dài dãy chung dài cặp tiền tố  Gọi c[i, j] độ dài dãy chung dài Xi Yj  Khi độ dài dãy chung dài X Y c[n,m]  Trường hợp đơn giản nhất: độ dài dãy chung dài của dãy rỗng dãy ln c[i, 0] = c[0, j] = với i, j  Vậy ta có: c[i, j ] c[i 1, j 1] i = hay j = i, j > 0, x i y j max(c[i 1, j ], c[i, j 1] i, j > 0, x i Thuật toán quy hoạch động: Procedure LCS-length(X, Y) Begin n = length (X) m = length (Y) for i from to n c[i, 0] = endfor for j from to m c[0, j] = endfor yj 15 for i from to n for j from to m if (xi = yj) then c[i, j] = c[i - 1, j – 1] + else c[i, j] = max(c[i - 1, j], c[i, j-1]) endif endfor endfor return c end Truy vết, tìm kết Dãy S dãy kết cần tìm, C[n, m] độ dài xâu S tìm thấy 2.2.4 Độ phức tạp thuật tốn Thuật tốn tính mảng n x m phần tử hai vịng lặp lồng nhau: độ phức tạp O(nm) 2.2.5 Ví dụ minh họa 2.3 BÀI TỐN XẾP BA LƠ 2.3.1 Phát biểu tốn Có ba lơ chứa tối đa trọng lượng M có n đồ vật, đồ vật có trọng lượng wi giá trị bi M, wi, bi số nguyên Hãy chọn xếp đồ vật vào ba lô để tổng giá trị ba lô lớn 2.3.2 Phân tích, xử lý tốn Có nhiều thuật tốn để giải toán này: vét cạn, chia để trị…  Thuật toán vét cạn: Độ phức tạp thuật toán O(2n), hàm mũ 16  Thuật toán chia để trị: Độ phức tạp thuật toán O(2n) hàm mũ 2.3.3 Thuật giải toán quy hoạch động Sử dụng mảng v[0 n,0 M] để lưu trữ lại giải pháp toán Gọi v[i, j] tổng giá trị lớn ba lô mà trọng lượng không vượt j sử dụng đồ vật {1, 2, , i} Khi giá trị lớn chọn số n gói với giới hạn trọng lượng M v[n, M] Với giới hạn trọng lượng j, việc chọn tối ưu số gói {1, 2, …, i-1, i} để có giá trị lớn có hai khả năng:  Nếu khơng chọn gói thứ i v[i, j] giá trị lớn cách chọn số gói {1, 2, …, i - 1} với giới hạn trọng lượng j tức v[i, j] = v[i – 1, j]  Nếu có chọn gói thứ i (tất nhiên xét tới trường hợp mà wi j) v[i, j] = vi + v[i – 1, j – wi] Vì theo cách xây dựng v[i, j] giá trị lớn nên v[i, j] max hai giá trị thu tức : v[i, j] = max{ v[i – 1, j], vi + v[i -1, j – wi]} Ban đầu:  v[0, j] = với j  v[i, j] = với i Sau v[i, j] tính theo v[i-1, j] v[i - 1, j – wi] Thuật toán sau: Function Balo(n, M) Begin 17 For i from to n v[i, 0] = endfor For j from to M v[0, j] = endfor For i from to n For j from to M If (wi ≤ j then {có thể sử dụng đồ vật i} If (bi + v[i - 1, j – wi] > v[i - 1, j]) then v[i,j] = bi +v[i - 1, j – wi] {sử dụng đồ vật i} else v[i, j] = v[i-1, j] {không sử dụng đồ vật i} endif else {wi > j} v[i, j] = v[i-1, j] {không sử dụng đồ vật i} endif endfor endfor return v[n, M] end Truy vết, tìm kết toán 2.3.4 Độ phức tạp thuật toán Thuật toán tính mảng n x M phần tử hai vịng lặp lồng nhau: độ phức tạp thời gian O(nM) 2.3.5 Ví dụ minh họa 2.4 BÀI TỐN NHÂN TỔ HỢP DÃY MA TRẬN 2.4.1 Phát biểu tốn: Có n ma trận M1, M2, …, Mn Với: M1 ma trận kích thước d[1] x d[2] M2 ma trận kích thước d[2] x d[3] 18 …… Mn ma trận kích thước d[n] x d[n+1] Tìm cách kết hợp tích M1 M2 … Mn cho thực phép nhân 2.4.2 Phân tích, xử lý tốn: Trước hết, dãy có ma trận chi phí Chi phí để nhân cặp ma trận tính ngay: M1.M2 d[1] x d[2] x d[3] Ta biết phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn có tính kết hợp: (A B) C = A (B C) Vì thực tính tích M1 M2 … Mn nhiều thứ tự kết hợp khác Vấn đề đặt cách kết hợp thực phép nhân  Thuật toán vét cạn: Độ phức tạp Ω(2n)  Hàm mũ 2.4.3 Thuật giải toán quy hoạch động Nếu dãy có ma trận chi phí Chi phí để nhân hai ma trận liên tiếp dãy ta tính ghi nhận Sử dụng thông tin ghi nhận để tối ưu hóa phí tổn nhân ba ma trận liên tiếp… Cứ tiếp tục ta tính phí tổn nhân n ma trận liên tiếp Ta xây dựng mảng m[1 n,1 n] với m[i,j] số phép nhân số học tối thiểu cần thực để nhân đoạn ma trận liên tiếp M i…Mj với i j Với m[i,j], i j, nên nửa đường chéo mảng m sử dụng Mỗi m[i,j] tính theo công thức: ... dụng phƣơng pháp quy hoạch động để giải?; “Làm giải tốn phƣơng pháp quy hoạch động? ”;… Vì lý xin chọn đề tài “PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG DẠY TIN HỌC CHUYÊN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” Mục... toán phương pháp quy hoạch động hổ trợ cho giáo viên dạy môn tin học, học sinh chuyên tin học THPT 4 Giúp học sinh nhận dạng toán tối ưu áp dụng phương pháp quy hoạch động để giải toán Giúp học. .. liệu thơng tin liên quan đến quy hoạch động Lựa chọn số toán phương pháp quy hoạch động chương trình tin học chuyên THPT b Phƣơng pháp nghiên cứu thực nghiệm Sử dụng phương pháp quy hoạch động bồi

Ngày đăng: 31/12/2013, 09:53

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan