Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 đvdt.. Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn OB sa[r]
(1)SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT HẢI AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 Năm học: 2015 -2016 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1(2 điểm) Tìm a và b để hàm số y ax bx đạt giá trị nhỏ - x = 1 Tìm tập xác định hàm số y = 1 2x x 1 x Bài 2(3 điểm) x( x y ) 5 y y ( x y ) 2 x Giải hệ phương trình: (m 1) x (2m 3) x 3m 1 ( m 1) x mx m Tìm các giá trị m để bất phương trình nghiệm đúng với x R Tìm các giá trị m để phương trình nghiệm thuộc [0;1] (2 x 3) x m 14 0 có Bài 3(3 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(6; 0) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và tạo với đường thẳng (d): x - 3y + = góc 450 Viết phương trình đường thẳng k qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích (đvdt) Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn OB cho tứ giác MNEF là hình vuông Bài 4(2 điểm): Trong mặt phẳng cho ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi ha, hb, hc là các đường cao lần 2 a b c R hb hc lượt qua các đỉnh A, B, C ABC CMR: 2 x x x x 1 Bài 5(2 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = Hết -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Số báo danh: Giám thị số 1: (2) Họ và tên HS: Giám thị số 2: ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 Bài ý Sơ lược đáp án +)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - nên không thoả mãn bài toán -> +)TH2 a 0: Hàm số đạt giá trị nhỏ - x = 1 a b 1 2a y (1) Điểm 0,25đ 0,25 đ -> Giải hệ ta tìm a = và b = - => y x x -> 0,5 đ 1 x 0 x 0 1 x 0 +)Hàm số xác định x x x (2) (1) x x x x (2) x 1 (1 x)(1 x) x x 0 (1 x)(1 x) (2 x 1) 0,25 đ > x x > 0,5 đ +)Kết hợp với điều kiện (1) ta tập xá định hàm số là: D = [- 4;0) > 0,25 đ +)Ta thấy: x = y = thoả mãn hệ đã cho Hệ không có nghiệm dạng (a; 0) (0; a) với a 0 -> 0,25 đ 2 (1) x 0 x( x y ) 5 y 2 2 2 2 x ( x y ) 5 y ( x y ) (2) +)Với y 0 thì HPT đã cho 2 x 2 y x 1 5 0,5 đ 4 x y y Ta có: (2) <=> Từ đây ta tìm > x x 4 2 y +)Mặt khác từ (1) => x và y cùng dấu => y <=> x = 2y Thế x = 2y vào (1), ta được: y = / 2 2 KL: hệ đã cho có nghiệm là (0;0) ( ; ) (- ;- ) > (m 1) x (2m 3) x 3m x 3x 0 2 ( m 1) x mx m ( m 1) x mx m +)Ta có: > x x với x R +)Ta thấy: =>BPT đã cho nghiệm đúng với x R <=> (m 1) x 2mx 3m với x R -> 0,25 đ 0,25 đ m m 2 m 3m m -> KL: BPT đã cho nghiệm đúng với x R 0,25 đ m m 3m( m 1) 0,5 đ +)Đặt t = x đó phương trình (2) có dạng: t2 + t -14 = m (*) Ta có: x 1 t 5 =>PT đã cho có nghiệm x [0;1] <=>PT (*) có nghiệm t [3;5] > 0,5 đ (3) +)Lập bảng biến thiên hàm số f(t) = t2 + t -14 trên [3;5] Ta các giá tri m thoả mãn bài toán là -2 m 16 -> 0,5 đ Câu ý +)Gọi n Sơ lược đáp án Điểm 2 = (a;b) là VTPT (ĐK: a b 0 ) a 3b Theo giả thiết ta có: cos( ,d) = cos450 <=> +) a b 12 32 2 > 0,25 đ a 3b 10 a b 2a 3ab 2b 0 (*) 2 Nếu b = thì a = mâu thuẫn với ĐK: a b 0 a a a a 0 V b b b b > => (*) a +)Với b = -2 ta chọn a = và b = -1 => Phương trình : 2x - y = > a +)Với b ta chọn a = và b = => Phương trình : x + y - 10 = > +)Gọi giao điểm đthẳng (k) với hai trục toạ độ là: E(a;0) và F(0;b) ĐK: ab 0 x y 1 Phương trình (k): a b 1 Do (k) qua điểm A nên ta có: a b (*) a b 2 ab 4 S Mặt khác, ta có: OEF = <=> > a a 1 a a 0 +)Với ab = <=> b vào (*) ta a vô nghiệm 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ > a +) Với ab = - <=> b vào (*) ta x => Phương trình đường thẳng (k) là: +)Gọi H là hình chiếu A trên OB Ta thấy: điểm E, F cùng thuộc trục Ox =>MN// Ox và MF// NE// AH a 1 a a 0 a a 1 a y x y 1 1 0,5 đ 2 > y A M N MF OM OA AM AM MN MF x H 1 1 1 AH OA OA OA OB OB => O F E B MF MF 12 1 MF 0,5 đ -> => +)Mặt khác: M, N có toạ độ dương và đường thẳng OA có phương trình y = 2x 12 0,25 đ => Điểm M có tung độ y = => Hoành độ điểm M là x = > 12 18 18 12 0,25 đ +)Vậy: M( ; ), F( ;0), E( ;0), N( ; ) > 1 1 1 abc 3abc S aha bhb chc aha bhb chc 3S 3 aha bhb chc 0,5 đ 2 2 2 4R R -> +) aha bhb chc 3 abcha hb hc +)Mà theo BĐT Cosi, ta có: 3abc a 3b c 0,5 đ 3 abcha hb hc abcha hb hc a 2b 2c 8R 3ha hb hc 8R => R => Đpcm -> (4) 3 a ( x; ) b( x; ) a b a b ; 2 Ta có: Chọn nên y 2 Dấu đẳng thức xảy a; b cùng chiều đó x=0 Vậy GTNN y là x=0 1đ (5)