www.facebook.com/hocthemtoan
1 www.facebook.com/hocthemtoan Thầy Huy: 0968 64 65 97 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 55 NĂM HỌC 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 180 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2)1(2 24 mxmx (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 2m . 2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ;1( )3 . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: )cos)(sincos2(252cos xxxx 2. Giải hệ phương trình: 12 4)3()1(3 22 yxyx xyyyxx R),( yx Câu III (2 điểm) 1. Tính tích phân: I = e dx xx xxx 1 )ln1( ln)2( 2. Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng: ba 1 1 + cb 1 1 + ac 1 1 a2 1 + b2 1 + c2 1 Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Biết AC 2 3a , BD 2 a , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 3 4 a . Tính thể tích khối chóp ABCDS. theo a . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu V.a (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là 01 yx và 093 yx . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của tam giác ABC. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình 0842 22 yxyx và đường thẳng ( ) có phương trình : 0132 yx . Chứng minh rằng ( ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn ( C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất. 3 . Giải phương trình: 2 1 3 9. 3 2 4 3 1 log)23( x x x B. Theo chương trình Nâng cao Câu V.b (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng 1 d , 2 d có phương trình lần lượt là 023 yx và 043 yx . Gọi A là giao điểm của 1 d và 2 d . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng 1 d và 2 d lần lượt tại B , C ( B vàC khác A ) sao cho 22 11 ACAB đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): 0242 22 yxyx . Viết phương trình đường tròn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) tại hai điểm A, B sao cho 3AB . 3. Tính giá trị biểu thức A = 4 2 3 2 2 2 1 2 3 2011 32 2011 21 2011 10 2011 0 CCCC - 2012 2 2011 2011 2011 C ----------------------------- Hết ----------------------------- 2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ 55 Câu 1 : Với m = 2, 24 2xxy 1. TXĐ: D = R 2. Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: xxy 44' 3 ; 0'y 1,0044 3 xxxx Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; -1) và (0; 1) b) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y cđ = y(0) = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y ct = y( 1) = -2 c) Giới hạn tại vô cực: )2( 24 xxLim x + d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên 3) Đồ thị: Câu 1: 2) 1 điểm y' = xmx )1(44 3 y' = 0 xmx )1(44 3 = 0 0)1( 2 mxx TH1: Nếu m- 1 0 m 1 Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +). Vậy m 1 thoả mãn ycbt TH 2: m - 1 > 0 m> 1 y' = 0 x = 0, x = 1 m Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1m ; 0 ) và ( 1m ; + ) Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) thì 11 m m 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) m 2; Câu 2: 1. (1 đi ểm) )cos)(sincos2(252cos xxxx 2cos 2 x - 1 + 5 = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos 2 x =0 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = 0 Đặt t = sinx - cosx ( - 22 t ) sinxcosx = 2 1 2 t Phương trình trở thành t 2 + 4t - 5 = 0 t = 1; t = -5 (loại) Với t = 1 sinx - cosx = 1 2 sin 4 x = 1 sin 4 x = 2 2 2 4 3 4 2 44 kx kx 2 2 2 kx kx 3 Câu 2 : 2. (1 điểm) x 2 -3x(y-1) + y 2 + y(x-3) = 0 (x-y) 2 + 3(x-y) - 4 + 0 4 1 yx yx * Với x- y = 1, ta có 12 1 yxyx yx x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2 * Với x - y = -4 ta có 12 4 yxyx yx (Hệ PT vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2) Câu 3: 1. (1 điểm) I = e e dxdx xx xxx 1 1 )ln1( ln2)ln1( -2 dx xx x e 1 )ln1( ln Ta có e edx 1 1 Tính J = dx xx x e 1 )ln1( ln Đặt t = 1 + lnx J = dt t t 2 1 1 = dt t ) 1 1( 2 1 = (t - ln t ) = 1 - ln2 Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2 Câu 3 : 2. (1 điểm) Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết 0 < a b c Khi đó 0 < 1 + a + b 1 + a + c 1 + b + c và 0 < 2 + a 2 + b 2 + c Ta có a2 1 + b2 1 + c2 1 - accbba 1 1 1 1 1 1 = = )1)(2( 1 baa b + )1)(2( 1 cbb c + )1)(2( 1 cac a )1)(2( 1 cbc b + )1)(2( 1 cbc c + )1)(2( 1 cbc a = )1)(2( 3 cbc cba 0 )1)(2( 33 3 cbc abc Vậy ba 1 1 + cb 1 1 + ac 1 1 a2 1 + b2 1 + c2 1 Câu 4: Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)nên giao tuyến của chúng là SO (ABCD). V SABCD = 3 1 SO.S ABCD Diện tích đáy 2 32. 1 1 aBDACS ABCD Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do đó 0 60ABD tam giác ABD đều. Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB và DH = 3a ; OK // DH và 1 3 2 2 a OK DH OK AB AB (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao 2 2 2 1 1 1 2 a SO OI OK SO Đường cao của hình chóp 2 a SO . Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 . 1 3 . 3 3 D DS ABC ABC a V S SO Câu 5a: 1. (1 điểm) Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M lµ trung ®iÓm cña BC M(m; 1-m) Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c). Gọi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta có I( 2 32 cm ; 2 327 cm ) Vì I nằm trên đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nªn 09) 2 327 () 2 32 (3 cmcm m = 2 M(2; -1). Ph¬ng tr×nh BC: x – y - 3=0 S A B K H C O I D 3a a 4 Täa ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: 03 093 yx yx 0 3 y x Täa ®é cña C = (3; 0), toạ độ B(1; -2) Câu 5a :2. (1 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 13 . Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( ) là 13 9 ),( I d < R Vậy đường thẳng ( ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có ),( . 2 1 MABM dABS Trong đó AB không đổi nên ABM S lớn nhất khi ),( M d lớn nhất. Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( ).PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0 Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình: 0123 0842 22 yx yxyx 5,3 1,1 yx yx P(1; -1); Q(-3; 5) Ta có 13 4 ),( P d ; 13 22 ),( Q d Ta thấy ),( M d lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M (-3; 5). Câu 5a: 3. (1 điểm) Điều kiện: x > 1 2 1 3 9. 3 2 4 3 1 log)23( x x x 1 33 3 3 2 43log)1(log)23( xx x xx x 3.241)1(log)23( 3 023)1(log)23( 3 xx x 01)1(log)23( 3 x x 1)1(log 023 3 x x 3 4 2log 3 x x Vậy PT có nghiệm x = 3 4 Câu 5b: 1. (1 điểm) Toạ độ điểm A(-1; 1).Ta thấy 2 đường thẳng d 1 và d 2 vuông góc với nhau Gọi là đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng 1 d và 2 d lần lượt tại B , C ( B và C khác A ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Ta có: 2222 1111 AMAHACAB (không đổi) 22 11 ACAB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 1 AM khi H M, hay là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM. PT đường thẳng : x + y - 2 = 0 Câu 5b :2. (1 đi ểm) Phương trình đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2), bk 3R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB IM tại trung điểm H của đoạn AB. Ta có 2 3 2 AB BHAH Trường hợp 1: Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB .Gọi H' là trung điểm của A'B' Ta có: 2 2 2 3 3 IH' IH IA AH 3 2 2 Ta có: 2 2 MI 5 1 1 2 5 và 2 7 2 3 5HIMIMH ; 3 13 MH' MI H'I 5 2 2 Ta có: 13 4 52 4 49 4 3 MHAHMAR 2222 1 , 43 4 172 4 169 4 3 'MH'H'A'MAR 2222 2 Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5) 2 + (y – 1) 2 = 13 hay (x – 5) 2 + (y – 1) 2 = 43 . ----------------------------- 2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ 55 Câu 1 : Với m = 2, 24 2xxy 1. TXĐ: D = R 2. Sự biến thi n: a) Chiều biến thi n: xxy 44' 3 ; 0'y. 2 2 2 1 1 1 2 a SO OI OK SO Đường cao của hình chóp 2 a SO . Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 . 1 3 . 3 3 D DS ABC ABC a V S SO Câu 5a: 1. (1