Chuyên đề khảo sát hàm số

DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ  Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thò : Phương pháp: 1) Dạng 1: Từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đồ thò (C 1 ): ( ) xfy = , với các ghi nhớ: * (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) đối xứng nhau qua Ox * Viết ( )    < ≥ == 0 0 f(x) - f(x) khi (x) f(x) khi f xfy * Đồ thò (C 1 ) : ( ) xfy = được vẽ bằng các bước: + Giữ lại đồ thò (C) nằm phía trên x + Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thò (C) nằm phía dưới Ox + Hợp 2 phần đồ thò ta được đồ thò (C 1 ): ( ) xfy = 2) Dạng 2:Từ đồ thò (C):y = f(x) suy ra đồ thò của hàm (C 2 ): ( ) xfy = với các ghi nhớ * ( ) xfy = là hàm chẵn nên có đồ thò đối xứng qua Oy * Ta vẽ đồ thò (C 2 ) qua các bước: + Giữ lại phần đồ thò (C) bên phải Oy + Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C) + Hợp 2 phần đồ thò ta có đồ thò (C 2 ): ( ) xfy = 3) Dạng 3: từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đồ thò của hàm (C 3 ): ( ) xfy = bằng cách kết hợp dạng 1 và dạng 2 + Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy. Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thò (C 2 ) ( ) xfy = + Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thò (C 2 ) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên trên Ox + Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thò của hàm (C 3 ): ( ) xfy = 4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản Từ đồ thò (C) : bax CBxAx y + ++ = 2 (giả sử a > 0) suy ra đồ thò (C 4 )       >−< + ++ − >−> + ++ = + ++ = 0)a;(x 0)a;(x a b bax CBxAx a b bax CBxAx bax CBxAx y 2 2 2 Qua các bước : + Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thò của (C) bên trái tiệm cận đứng (d): a b x −= + Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d): a b x −= vừa bỏ đi qua d • Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với –1) Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 1 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” • Tương tự với các đồ thò (C 4 ) dcx bax y + + = hay ( ) ( ) xQ xP y = . và các đồ thò ( ) ( ) xQ xP y = hay ( ) ( ) .xQxPy = 5) Dạng 5:Từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu diễn (C 5 ): ( ) xfy = hay (C 5 ): ( ) ( ) ( )( ) 0 ≥    − = xf:đk xf xf y qua các bước + Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox + Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox) Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất) a) Khảo sát và vẽ đồ thò ( ) 1 : 2 − = x x yC b) Suy ra đồ thò ( ) 1 : 2 1 − = x x yC Giải: Đồ thò (C) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y x=1 y=x+1 Đồ thò (C 1 ) Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 2 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y x=1 y=x+1 y=-x-1 Bài toán 2: (Phép suy thứ hai) Vẽ đồ thò ( ) 1 : 2 2 − = x x yC Đồ thò (C 2 ) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 6 x y x=1 y=x+1 y=-x+1 x=-1 Bài toán 3: (Phép suy thứ ba) Vẽ đồ thò ( ) 1 : 2 3 − = x x yC Đồ thò (C 3 ) Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 3 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 6 x y x=-1 x=1 y=-x+1 y=x+1 Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư) Vẽ đồ thò ( ) 1 : 2 4 − = x x yC Đồ thò (C 4 ) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 6 x y x=1 y=x+1 y=-x-1 x=-1 Bài toán 5: (Phép suy thứ năm) Vẽ đồ thò ( ) 1 : 2 5 − = x x yC Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 4 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y x=1 y=x+1 y=-x-1  Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường: Phương pháp : Cho hai đường cong (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y= g(x) Biện luận sự tương giao của (C 1 ) với (C 2 ) * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) f(x) = g(x) ⇔ f(x) – g(x) = 0 (1) * Giải và biện luận phương trình (1) * Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C 1 ) với (C 2 ) - Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C 1 ) cắt (C 2 ) - Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ) Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4 (C) : y = x 3 – 3x + 2 * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) x 3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4  (x – 2)( x 2 + 2x + 1 – m) = 0 (1) * Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1) - Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2 - Xét phương trình g(x) = x 2 + 2x + 1 – m = 0 (2) Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 ⇔ m = 9 Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4 Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 5 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2 Ta có m =∆ ′ m < 0 0 <∆ ′ ⇔ : (2) vô nghiệm m = 0 0 =∆ ′ ⇔ : (2) có nghiệm kép x = – 1 0 < m ≠ 9 0 >∆ ′ ⇔ : (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 - Kết luận: m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm 0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4) Bài toán 2: Cho hàm số y = 2 x 4x 1 x 2 y + + = + (C) Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C) Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) : x 2 + 4x + 1 = mx 2 + 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2) ⇔ (1 – m)x 2 + (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*) (D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C) ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho x 1 < x 2 < – 2 V – 2 < x 1 < x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]        >−+−−−−=− >−−−+−=∆ ≠−= ⇔ 032221412 03214 2 44 01 mmmmaf mmmm ma      >− >+ ⇔ m) ( m m 013 01624 2 9      > ≠ ⇔ 1. 3 4 m m Kết luận :      > ≠ ⇔ 1. 3 4 m m thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 6 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” Bài toán 3:Cho hàm số 1 2 − = x x y . Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1 Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc đường thẳng (d’) y = –x + m Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C) x 2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1) ⇔ 2x 2 – (m + 1)x + m = 0 (*) Ta có ∆ = (m + 1) 2 – 8m > 0 ⇔ m 2 – 6m + 1 > 0     +> −< ⇔ 53 53 m m Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:        − =+−= + = + = ⇒ 4 13 4 1 2 m mxy mxx x II BA I A và B đối xứng qua (d) ⇒ I thuộc (d): y = x – 1 ⇒ 1 4 1 4 13 − + = − mm ⇒ m = – 1 Lúc đó (*) thành trở thành : 2x 2 – 1 = 0 ⇔ x = 2 1 ± Vậy         +− − 2 2 1; 2 1 A         −− 2 2 1; 2 1 B Bài toán 4:Cho (P) y = x 2 – 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc b) Viết phương trình (d) khi AB = 10 Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) x 2 – 2x – 3 = 2x + m ⇔ x 2 – 4x – 3 – m = 0 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B ⇔ ∆ ′ = 7 + m > 0 ⇔ m > –7 Lúc đó gọi x A , x B là 2 nghiệm của (1) ta có S = x A + x B = 4 P = x A x B = – 3 – m a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(x A )f’(x B ) = –1 Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 7 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” ⇔ (2 x A –2)(2 x B –2) = – 1 ⇔ 4P – 4S + 5 = 0 ⇔ 4(–3 –m) –16 + 5 = 0 ⇔ m = 4 23 − (nhận vì m > –7) b) A, B thuộc (d) ⇒ y A = 2 x A + m y B = 2 x B + m Ta có AB 2 = 100 ⇔ (x A – x B ) 2 + (y B – y A ) 2 = 100 ⇔ (x A – x B ) 2 + (2 x A –2 x B ) 2 = 100 ⇔ (x A – x B ) 2 = 20 ⇔ S 2 – 4P = 20 ⇔ 16 + 4(3+m) = 20 ⇔ m = – 2 (nhận vì m > –7) Bài toán 5 : Cho hàm số ( ) ( ) H mx mxxfy + +−+== 1 3 Tìm a để đường thẳng ( ) ∆ : y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và ( ) ∆ : ( ) ( ) 111 1 1 2 −≠++= + ++ x:đk xa x x ( ) 11233 22 ++++=++⇔ xxxaxx ( ) ( ) ( ) ( ) * 02121 2 =−+−+−=⇔ axaxxxg ( ) ∆ cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt 2121 01, xxxx <<Λ−≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 012121 021 01 01 001 <<⇔    ≠=−+−−− <−− ⇔      ≠− ≠− <− ⇔ a aaa aa a g ga  Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến : Phương pháp : 1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) Tính y’ = f’(x) ⇒ y’(x 0 ) = f’(x 0 ) Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x 0 ;y 0 ) là: (y – y 0 ) = f’(x 0 )(x – x 0 ) 2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A - Cách 1: * Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(x A ; y A ) và có hệ số Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 8 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” góc k : (D) : y =k(x – x A ) + y A * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x – x A ) + y A (1) * (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác đònh đïc k. Từ đó viết được phương trình (D) - Cách 2: * Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm * Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y 0 ) = f’(x 0 )(x – x 0 ) * (D) đi qua điểm A nên : (y A – y 0 ) = f’(x 0 )(x A – x 0 ) (1) Giải (1) tìm được x 0 , từ đó tìm được phương trình của (D) 3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước - Cách 1: * Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k (D) : y = kx + m (1) * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m * (D) là tiếp tuyến của (C) ⇔ (1) có nghiệm kép. Từ đó tìm được giá trò của m , từ đó viết được phương trình của (D) - Cách 2: * Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm: (D) có hệ số góc k (D) có hệ số góc f’(x 0 ) ⇒ f’(x 0 ) = k (1) * Giải (1) tìm được x 0 ; y 0 = f(x 0 ). Từ đó viết được phương trình của (D) Bài toán 1: Cho hàm số (C) 22 43 2 − +− = x xx y . M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B . Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M Giải: ( ) (C) 1x ≠ − +−= − +− = 1 1 1 222 43 2 x x x xx y ( ) ( ) ⇒∈ CbaM ; tiếp tuyến tại M là (d) ( ) ( ) baxyy a +− ′ =       − +−= 1 1 1 2 a a b ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 2 − +−+−       − −=⇔ a a ax a y Tiệm cận đứng của (C) là (d 1 ) : x = 1 ( ) ( )       − +−=∩⇒ 1 2 2 1 ;1 1 a Add Tiệm cận xiên của (C) là (d 2 ) : ( ) ( )       −−=∩⇒−= 2 3 ;121 2 2 aaBdd x y Ta có : ( ) ( ) MBA xaaxx ==−+=+ 121 2 1 2 1 ( ) MBA y a a a a yy = − +−=       −+ − +−=+ 1 1 1 22 3 1 2 2 1 2 1 2 1 Vậy M là trung điểm của AB Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 9 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRỊ GIỎI” Giao điểm của 2 tiệm cận là IBIAIAB xxyySI −−=⇒       − 2 1 2 1 ;1 222. 1 2 . 2 1 =− − = a a Vậy S IAB không phụ thuộc vào M Bài toán 2: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 – 9x + 5 (C) . Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất Giải : Gọi M(x 0 ; y 0 ) ( ) C ∈ : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x 0 ) = 963 0 2 0 −+ xx Ta có ( ) 121213 2 0 −≥−+= xk . Dấu “=” xảy ra khi x 0 = – 1 Vậy Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16) Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất Bài toán 3: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 1 (Cm) Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm) x 3 + mx 2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x 2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x 2 + mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( )    −< > ⇔    ≠= >−=∆ ⇔ 2 2 010 04 2 m m g mg Vì x B , x C là nghiệm của g(x) = 0    == −=+= ⇒ 1 CB CB xxP mxxS Tiếp tuyến tại B và C vuông góc ( ) ( ) 1 −= ′′ ⇔ BC xfxf ( )( ) 12323 −=++⇔ mxmxxx CBCB ( ) [ ] 1469 2 −=+++⇔ mxxmxxxx CBCBCB ( ) [ ] 14691 2 −=+−+⇔ mmm 102 2 =⇔ m 5 ±=⇔ m (nhận so với điều kiện) Bài toán 4: Cho hàm số y = x 3 – 3x – 2 (H) Chun đề: Khảo sát hàm số * Trang 10 * GV: Nguyễn Văn Huy