Trục đối xứng của một hình Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó.. Khi đó, ta nói H là hình có trục đối xứng.[r]
(1)Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 1: PHÉP TỊNH TIẾN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo v = (a;b) là phép biến hình, biến điểm M thành M’ cho MM ' = v M’ Ký hiệu: Tv ( M ) = M ' Tv : M → M ' v Tính chất ĐỊNH LÝ M Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N thành hai điểm M’ và N’ thì M′N′=MN ĐỊNH LÝ Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó HỆ QUẢ - Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó - Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng với nó - Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác nó - Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn nó - Phép tịnh tiến biến góc thành góc nó … Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho v = ( a;b ) ;M ( x;y ) ;M ' ( x';y ') Khi đó phép tịnh tiến : Tv ( M ) = M ' có biểu thức tọa x ' = x + a độ là : y ' = y + b y' M' b y O M a x x' II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Xác định ảnh điểm hình qua phép tịnh tiến tính toán Bài 1: v = ( −1;2); A(3;5);B( −1;1);d : x − 2y + = Tìm tọa độ các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh A, B qua phép tịnh tiến v Tìm tọa độ điểm C cho A là ảnh C qua phép tịnh tiến v Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh d qua phép tịnh tiến v Hướng dẫn: x A' = x A + x v = − = Tv (A) = A ' ⇒ ⇒ A '(2;7) y A' = y A + y v = + = Tương tự có : B’(-2;3) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (2) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG = xC − xC = x A = xC + x v Tv (C) = A ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ C(4;3) y = y + y = y + y = C C C v A x ' = x − x = x'+ Cách 1: Giả sử M(x;y) ∈ d, Tv (M) = M '(x ';y ') ∈ d' ⇒ ⇒ y ' = y + y = y '− ⇒ M(x'+ 1;y '− 2) ∈ d ⇒ x'− 2y '+ = Vậy : d’ có phương trình: x - 2y + = Cách 2: Tv (d) = d ' ⇒ d'/ /d ⇒ d ' : x − 2y + c = x M' = −3 − = −4 ⇒ M '( −4;2) + Chọn M(-3;0) ∈ d ⇒ Tv (M) = M ' ⇒ yM' = + = + M ' ∈ d ' ⇒ −4 − 2.2 + c = ⇔ c = ⇒ d' : x − 2y + = Bài 2: d cắt Ox A(-4;0), cắt Oy B(0;5) Hãy viết phương trình tham số d’ là ảnh d qua phép tinh tiến v = (5;1) Hướng dẫn: + Chọn U d = AB = (4;5) + Vì Tv (d) = d ' ⇒ U d' = U d = (4;5) x A' = x A + = + Gọi Tv (A) = A ' ⇒ ⇒ A '(1;1) y A' = y A + = x = + 4t (t ∈ R) + Vì A ∈ d ⇒ A ' ∈ d ' ⇒ d ' : y = + 5t Bài 3: 2 Cho (C) : ( x − ) + ( y − 1) = Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép tịnh tiến v = ( −2;2) Cho (C) : x + y − 2x + 4y − = Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép tịnh tiến v = ( −2;3) Hướng dẫn: Cách 1: + (C) có tâm I(2;1); bán kính R = + Tv (C) = C' ⇒ R C' = R = x I' = x I + ( −2) = + Tv (I) = I ' ⇒ ⇒ I '(0;3) y I' = y I + = + Vậy (C') : ( x − ) + ( y − ) = Cách 2: 2 x' = x − x = x'+ ⇒ + Gọi Tv ( M(x;y) ∈ (C) ) = M '(x ';y ') ∈ (C') ⇒ ⇒ M(x'+ 2;y '− 2) y ' = y + y = y '− + M ∈ (C) ⇒ x'2 + ( y '− ) = ⇒ (C') : x + ( y − ) = 2 Tương tự ta có (C') : ( x + 1) + ( y − 1) = 2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (3) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 4: Cho A(2;3);B(1;1); v = (3;1) Tìm tọa độ A’, B’ tương ứng là ảnh A, B qua Tv Tính độ dài các vectơ AB; A 'B' Hướng dẫn: x A' = x A + = + = + Tv (A) = A ' ⇒ ⇒ A'(5;4) y A' = y A + = + = + Tương tự ta có: B’(4;2) 2 + AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) = ⇒ A 'B ' = AB = (tính chất phép tịnh tiến) Bài 5: Cho U = (1;3);V = (2;1);M(x;y) Tìm tọa độ M1 là ảnh M qua TU Tìm tọa độ M ' là ảnh M1 qua TV Tính tọa độ vectơ MM ' So sánh MM ' và vectơ t = u + v Hướng dẫn: x M1 = x M + = x + ⇒ M (x + 1;y + 3) y M1 = y M + = y + x M ' = xM1 + = x + ⇒ M '(x + 3;y + 4) y M ' = y M1 + = y + MM ' = (3;4) ⇒ MM ' = t Có t = u + v = (3;4) Bài 6: Giải bài toán sau cách sử dụng phép tịnh tiến: “Xác định tọa độ các đỉnh C và D hình bình hành ABCD, biết A(-1;0); B(0;4) và giao điểm các đường chéo là I(1;1)” Hướng dẫn: A(-1;0) B(0;4) xC = x I + (xI − x A ) = (I) C C(3;2) + Ta có : T = ⇒ ⇒ AI y C = y I + (y I − y A ) = + Tương tự: D(2;-2) I(1;1) D C Bài 7: Cho v = ( −2;1);d : 2x − 3y + = 0;d1 : 2x − 3y − = 1) Viết phương trình d ' = Tv (d) 2) Tìm tọa độ w có phương vuông góc với d để d1 = Tw (d) Hướng dẫn: 1) Đáp số: d’: 2x - 3y + 10 = 2) d1 M’ d w M Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (4) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Vì w có phương vuông góc với d nên w = k.nd = ( k.2;k.( −3) ) x M ' = x M + x w = 2k ⇒ M '(2k; −3k + 1) + Chọn M(0;1) ∈ d ⇒ Tw (M) = M ' ∈ d1 ⇒ y M ' = y M + y w = −3k + 16 24 + M ' ∈ d1 ⇒ 2.(2k) − 3.( −3k + 1) − = ⇔ k = ⇒ w = ;− 13 13 13 Bài 8: Cho (d): 3x - y - = Tìm phép tịnh tiến theo phương song song với trục Ox biến d thành d’ qua gốc tọa độ Hãy viết phương trình d’ Hướng dẫn: + Giả sử Tv (d) = d ' ⇒ d'/ /d ⇒ d ' : 3x − y + c = + Vì d’ qua gốc tọa độ ⇒ 3.0 − + c = ⇔ c = ⇒ d' : 3x − y = + Do v có phương song song với Ox ⇒ v = (a;0) x M' = xM + x v = + a + Chọn M(3;0) ∈ d ⇒ Tv (M) = M ' ∈ d ' ⇒ ⇒ M '(3 + a;0) y M' = y M + y v = + + M ' ∈ d ' ⇒ 3.(3 + a) − = ⇔ a = −3 ⇒ v = ( −3;0) Vậy phép tịnh tiến cần tìm là Tv với v = ( −3;0) Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = ax Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ u = (m; n) và (P’) là ảnh (P) qua phép tinh tiến đó Hãy viết phương trình (P’) Hướng dẫn x ' = x + m x = x '− m ⇒ ⇒ M(x '− m; y '− n) + Gọi M(x; y) ∈ (P), M '(x '; y ') = Tu (M) ⇒ y ' = y + n y = y '− n + Mà M ∈ (P) ⇒ y '− n = a(x '− m) ⇒ y ' = ax '2 − 2amx '+ am + n + Mặt khác ta có M '(x '; y ') ∈ (P ') ⇒ (P ') : y = ax − 2amx + am + n Bài 10: Cho đường thẳng ∆ : 6x + 2y − = Tìm vec tơ u ≠ để ∆ = Tu (∆ ) Hướng dẫn + Ta có VTCP đường thẳng ∆ là U ∆ = (2; −6) = 2(1; −3) + Do ∆ = Tu (∆ ) ⇒ u cùng phương với U ∆ ⇒ chọn u = (1; −3) Bài 11: Cho A(−5; 2), C(−1; 0) Biết B = Tu (A), C = Tv (B) Tìm mối quan hệ u và v để có thể thực phép tịnh tiến biến đổi A thành C Hướng dẫn + Ta có Tu (A) = B ⇒ AB = u, Tv (B) = C ⇒ BC = v ⇒ Tu + v (A) = C ⇒ AC = u + v = (4; −2) B u v A u +v C Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (5) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 12: Cho điểm K(1; 2), M(3; −1), N(2; −3) và vec tơ u = (2;3), v = (−1; 2) Tìm ảnh K, M, N qua phép tịnh tiến Tu Tv Hướng dẫn + Theo cách làm Bài 11, ta có: K ' = Tu + v (K) ⇒ K '(2; 7) Tương tự: M '(4; 4), N '(3; 2) Bài 13: Cho ∆ABC, A(3;0), B(−2; 4), C(−4;5) G là trọng tâm ∆ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u ≠ biến A thành G Tìm G ' = Tu (G) Hướng dẫn A + Ta tính : G(−1;3) ⇒ TAG (A) = G ⇒ TAG (G) = G ' ⇒ G '(−5; 6) = ( −4;3) = ( −4;3) G B C Bài 14: Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3) = 4, (C ') : x + y − 10x + 4y + 25 = Có hay không phép tịnh tiến vec tơ u biến (C) thành (C’) Hướng dẫn + Ta thấy (C) có tâm I(1;-3) bán kính R = 2, (C’) có tâm I’(5;-2) bán kính R’ = R = nên ta có phép tịnh tiến theo vec tơ u = II ' = (4;1) biến (C) thành (C’) Bài 15: Cho hình bình hành OABC với A(−2;1), B ∈ ∆ : 2x − y − = Tìm quỹ tích đỉnh C (biết O là gốc tọa độ) Hướng dẫn + Do OABC là hình bình hành nên T (B) = C , mà quỹ tích B là AO = (2; −1) đường thẳng ∆ bên quỹ tích C là (∆) đường thẳng ∆ ' = TAO = (2; −1) A(-2;1) B ∆:2x - y - = + Ta tìm ∆ ' : 2x − y − 10 = , quỹ tích C là đường thẳng có O(0;0) C phương trình 2x − y − 10 = DẠNG 2: Một số bài toán suy luận và quỹ tích Bài 1: Cho U1 ;U ;TU1 (M) = M ;TU (M ) = M ' Tìm v để Tv (M) = M ' Hướng dẫn: Theo đề bài, ta có: + TU (M) = M ⇒ U = MM + TU2 (M ) = M ' ⇒ U = M 1M ' M1 U2 U1 M M' V=U1+U2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (6) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + TV (M) = M ' ⇒ V = MM ' = MM + M 1M ' = U1 + U Vậ y V = U + U Bài 2: Cho d / /d ' Hãy phép tịnh tiến biến d thành d’ Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến ? Hướng dẫn: d d' + Chọn điểm cố định A ∈ d; A ' ∈ d ' + Xét điểm M tùy ý trên d Giả sử : A M A' M' (M) = M ' ⇒ MM ' = AA ' ⇒ MA = M ' A ' ⇒ MA / /M ' A ' ⇒ M ' ∈ d ' TAA ' (d) = d ' Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d’ + Do đó: TAA ' Bài 3: Cho đường tròn (O;R) và (O’;R) Hãy phép tịnh tiến biến (O;R) thành (O’;R) Hướng dẫn: M M' + Đó chính là phép tịnh tiến TOO ' Chứng minh: Lấy M ∈ (O;R) Giả sử (M) = M ' ⇒ MM ' = OO ' ⇒ OM = O 'M ' (quy tắc TOO ' O' O hình bình hành) ⇒ O'M ' = OM = R ⇒ M ' ∈ (O';R) Bài 4: ∆ABC , G là trọng tâm Xác định ảnh ∆ABC qua phép tịnh tiến AG Xác định điểm (D) = A D cho TAG Hướng dẫn: (A) = A ' ⇒ AA ' = AG ⇒ A ' ≡ G + Ta có: TAG (B) = B' ⇒ BB ' = AG ⇒ AA 'B 'B là hình bình hành + TAG (C) = C' ⇒ CC ' = AG ⇒ ACC'G là hình bình hành + TAG A ( ∆ABC) = ∆A 'B'C' Vậy TAG = ⇒ = AG ⇒ A là trung điểm + Xác định D: T (D) A DA AG DG G A' B C G D A B' C' Bài 5: Cho điểm B, C cố định trên (O;R) và A thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh trực tâm H ∆ABC nằm trên đường tròn cố định Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (7) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn: A D O H B + Kẻ đường kính BD ⇒ ADCH là hình bình hành (Vì AD // CD cùng vuông góc AB; AH // DC cùng vuông góc (A) BC) ⇒ AH = DC ⇒ H = TDC Mà A thay đổi trên đường tròn (O;R) ⇒ H thay đổi nằm trên đường tròn (O’;R) là ảnh đường tròn (O;R) qua TDC C Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, điểm A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh DC Hướng dẫn B K C I M A + Gọi K là trung điểm cạnh AB ⇒ K cố định (I) = M , mà quỹ tích I là đường tròn (C), + Ta có TKI (C) quỹ tích M ∈ (C ') = T KI D (C) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (8) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép đối xứng trục d là phép biến hình biến điểm M thành M’ cho d là đường trung trực MM’ d Ký hiệu: Đd(M) = M’ * Nhận xét: + Đd(M) = M’ ⇒ Đd(M’) = M + M ∈ d ⇒ Đd(M) = M M M’ Biếu thức tọa độ phép đối xứng trục qua Ox, Oy y x0 ' = − x0 + ĐOy(M) = M’ có biểu thức tọa độ: y0 ' = y0 M' M y0 -x0 x O x0 y x ' = x0 + ĐOx(M) = M’ có biểu thức tọa độ: y0 ' = −y0 y0 M x0 O -y0 x M' Tính chất phép đối xứng trục Tính chất Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì Tính chất Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính Trục đối xứng hình Đường thẳng d gọi là trục đối xứng hình H phép đối xứng qua d biến H thành chính nó Khi đó, ta nói H là hình có trục đối xứng II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đối xứng trục tính toán Bài 1: Cho điểm M(1;3) Tìm tọa độ M’ là ảnh M qua phép đối xứng trục Oy, tìm tọa độ điểm M’’ là ảnh M’ qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (9) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG x ' = − x = −1 + ĐOy(M) = M’ ⇒ ⇒ M '( −1;3) y ' = y = x '' = x' = −1 + ĐOx(M’) = M’’ ⇒ ⇒ M ''( −1; −3) y '' = − y ' = −3 Bài 2: Cho đường tròn (C) : ( x − 1) + ( y − ) = Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn: + Goi I; R là tâm và bán kính đường tròn (C); gọi I’;R’ là tâm và bán kính đường tròn (C’) Khi đó ta có R’ = R = và I’ = ĐOx(I) + Dễ dàng tìm I’(1;-2) từ đó có phương trình đường tròn (C’) là: 2 (C') : ( x − 1) + ( y + ) = 2 Bài 3: Cho d : x−1 y + = Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh d qua phép đối xứng trục Oy Cho M(-3;2); ∆ : x + 3y − = 0;(C) : ( x + ) + ( y + ) = Tìm ảnh M; ∆ ; (C) qua Đa, đó a: x - 2y + = Cho d: x - 5y + = 0; d’: 5x - y - 13 = Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ Cho d: x - 2y + = 0; d’: x - 2y + = Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ Hướng dẫn: x ' = −x x = − x' + Gọi M(x;y) ∈ d , đó ĐOy(M) = M’ ⇒ ⇔ ⇒ M( − x';y ') y ' = y y = y ' − x '− y '+ ⇔ 3x '+ 2y '+ = + M∈d ⇒ = + Vậy d’: 3x + 2y + = Ý 1: a:x - 2y + = + Gọi M’ = Đa(M) ⇒ a là đường trung trực MM’ + Đường thẳng MM’ qua M và vuông góc với a ⇒ MM ' : 2x + y + = 2 + Gọi H = MM '∩ a ⇒ H ( −2;0 ) + H là trung điểm MM’ ⇒ M '( −1; −2) M(-3;2) H M' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang (10) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ý 2: a:x - 2y + = 8 + Lấy A(8;0);B 0; ∈ ∆ 3 + Gọi A’ = Đa(A); B’ = Đa(B) ⇒ A ', B ' + Gọi ∆ ' = Đa( ∆ ) ⇒ ∆ ' là đường thẳng qua A’; B’ ⇒ ∆ ' : 3x − y − = Ý 3: a:x - 2y + = (C) I(-3;-2) I' ∆ ∆' A A' I B B' K + Giả sử (C’) = Đa(C), đó đường tròn (C) và (C’) cùng bán kính, tâm I’ đường tròn (C’) tương ứng là ảnh tâm I đường tròn (C) qua phép đối xứng trục a + Từ đó ta tìm 2 21 2 21 I ' − ; ⇒ (C') : x + + y − = 5 5 + Ta thấy d; d’ không song song, trục đối xứng ∆ phép đối xứng trục biến d thành d’ chính là phân giác d và d’ và có phương trình: x − 5y + 5x − y − 13 ∆1 : x + y − = = ⇔ Vậ y 2 2 ∆ : x − y − = + ( −5 ) + ( −1 ) ∆2 Đ ∆ (d) = d’; Đ ∆ (d) = d’ d d' + Ta thấy d // d’ , trục đối d xứng ∆ phép đối xứng trục biến d thành d’ chính là đường thẳng song song và cách d; d’ có phương trình: 5+ ∆ : x − 2y + = Vậy Đ ∆ (d) = d’ ∆1 d' DẠNG 2: Một số bài toán suy luận và quỹ tích Bài 1: Cho A, B cùng nằm nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d Tìm trên d điểm M cho tổng ( MA + MB ) Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 10 (11) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG B A M d M' A' + Gọi Đd(A) = A’ ⇒ MA = MA ' ⇒ MA + MB = MA '+ MB ≥ A 'B + ( MA + MB )min = A 'B M ≡ M' (M'=A'B ∩ d) Bài 2: Qua phép đối xứng trục d: + Những điểm nào biến thành chính nó? + Những đường thẳng nào biến thành chính nó? + Những đường tròn nào biến thành chính nó? Hướng dẫn: + Những điểm nằm trên trục đối xứng d biến thành chính nó + Những đường thẳng vuông góc với trục đối xứng d trùng với d thì biến thành chính nó + Những đường tròn có tâm nằm trên trục đối xứng d thì biến thành chính nó Bài 3: Tìm trục đối xứng các hình sau: Hình gồm đường tròn không đồng tâm có bán kính Hình gồm đường tròn không đồng tâm có bán kính khác Đoạn thẳng AB Đường thẳng d Hướng dẫn: Có trục đối xứng: + Đường nối tâm + Đường trung trực đoạn thẳng nối tâm Có trục đối xứng: Là đường nối tâm Có trục đối xứng: + Đường trung trực đoạn AB + Đường thẳng chứa đoạnAB Có vô số trục đối xứng: + Những đường thẳng vuông góc với d + Chính đường thẳng d Bài 4: Cho đường tròn (O;R) ; (O’;R’) và đường thẳng d Hãy xác định điểm M và M’ nằm trên đường tròn đó cho d là trung trực MM’ Hướng dẫn: d M M' H O O'' O' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 11 (12) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Gọi (O’’) là ảnh đường tròn (O) qua Đd + Lấy M trên (O), goi M’ = Đd(M) ⇒ M ' ∈ (O ''); ⇒ M'=(O'') ∩ (O') Số nghiệm hình là số giao điểm (O’) và (O’’) Bài 5: Cho điểm B; C phân biệt cố định trên đường tròn (O); A là điểm di động trên (O) Tìm quỹ tích trực tâm H ∆ABC Hướng dẫn: A 1 = C (cùng phụ với ABC ); + Gọi H ' = AH ∩ (O) ⇒ A 1 = C = sdBH ' ⇒ C 1 = C 2 A ⇒ ∆HCH ' cân C ⇒ BC là trung trực HH’ ⇒ H’ = ĐBC(H) + Do H' ∈ (O) ⇒ H ∈ (O') là ảnh (O) qua ĐBC O H B C H' KIẾN THỨC MỞ RỘNG : Biểu thức tọa độ phép đối xứng trục Nếu ∆ : Ax + By + C = 0;M(x ;y );M '(x ';y ') = § ∆ (M) Khi đó ta có: f (x ;y ) x ' = x0 − A n∆ Trong đó f(x;y)=Ax+By+C y ' = y − f (x0 ;y ) B n ∆ Ví dụ minh họa: Cho điểm M(1;2) và ∆ : 3x + 4y − = Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua ∆ ( ) ( ) 3.1 + 4.2 − x ' = − 32 + 42 = − 6 + Ta có điểm M’ có tọa độ là : ⇒ M ' − ;− 5 y ' = − 3.1 + 4.2 − = − 2 +4 Nếu d1 : A1x + B1y + C1 = 0; ∆ : Ax + By + C = Khi đó d là đường thẳng đối xứng với d1 qua ∆ có phương trình: n d1 n ∆ d : f (x;y) − f1 (x;y) = (trong đó: f1 (x;y) = A1 x + B1 y + C1 ;f (x;y) = Ax + By + C) n∆ ( ) Ví dụ 1: Hãy tìm các đường thẳng d1 ' đối xứng với d1 : 5x + y − 14 = và d ' đối xứng với d : 5x + 3y + 10 = qua đường thẳng ∆ : 5x + 3y − = + Đường thẳng d1 ' có phương trình là: ( 5;1) ( 5;3 ) 5x + 3y − − 5x + y − 14 = ( ) ( ) ( 5;3 ) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 12 (13) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG d1 ' : 55x + 67y + 126 = + Đường thẳng d ' có phương trình là: ( 5;3 ) ( 5;3 ) 5x + 3y − − 5x + 3y + 10 = ( ) ( ) ( 5;3 ) d ' : 5x + 3y − 18 = Ví dụ 2: Lập phương trình các cạnh ∆ABC , biết B(2;-1), đường cao và đường phân giác qua đỉnh A và C có phương trình: d1 : 3x − 4y + 27 = 0;d : x + 2y − = A + Đường thẳng BC qua B và vuông góc d1 ⇒ BC : 4x + 3y − = + CA đối xứng với BC qua ( 4;3 ) ( 1;2 ) x + 2y − − 4x + 3y − = d ⇒ CA : ( ) ( ) ( 1;2 ) d :x + 2y - = D ⇒ CA : y − = + A = CA ∩ d1 ⇒ A( −5;3) ⇒ AB : 4x + 7y − = B(2;-1) H C d1:3x - 4y + 27 = BÀI HỌC 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm E Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành điểm M’ cho EM ' = − EM gọi là phép đối xứng tâm E Ký hiệu: ĐE(M) = M’ M E M' N Tính chất Định lý 1: M ' N ' = MN Nếu ĐE(M) = M’; ĐE(N) = N’ thì M ' N ' = − MN Định lý 2: Nếu điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối tâm biến thành điểm M’, N’, P’ tương ứng thẳng hàng theo thứ tự đó * Nhận xét: M M' E N P N' E M' M N' P' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 13 (14) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong hệ tọa độ Oxy, cho E(a;b), M(x ;y ) ĐE(M) = M’(x’0;y’0) có biểu thức tọa độ là: x '0 = 2a − x y '0 = 2a − y M (x0;y0) E (a;b) M' (x'0;y'0) II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đối xứng tâm tính toán Bài 1: Cho A(-1;3); d: x - 2y + = Tìm ảnh A và d qua phép đối xứng tâm O Hướng dẫn: Ý 1: A’ = ĐO(A) ⇒ A '(1; −3) x ' = −x x = −x ' Ý 2: Lấy M(x;y) ∈ d ⇒ ĐO(M) = M’ có tọa độ : ⇔ ⇒ M( − x '; − y ') y ' = −y y = −y ' + M ∈ d ⇒ ( − x ') − 2.( − y ') + = ⇔ x'− 2y '− = + Vậy d’: x - 2y - = Bài 2: 2 Cho đường tròn (C) : ( x + ) + ( y − 1) = Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0) Cho I(2;-3); d: 3x + 2y - = Viết phương trình d’ = ĐI(d) Cho I(1;2); d: 3x - y + = 0; (C) : x + y + 2x − 6y + = Viết phương trình ảnh d và (C) qua ĐI Hướng dẫn: x' = − x x = − x' ĐO ( M ( x;y ) ∈ ( C ) ) = M ' ( x';y ') ∈ ( C' ) ⇒ ⇔ ⇒ M ( − x'; − y ') y ' = −y y = −y ' + M ∈ ( C ) ⇒ ( − x '+ ) + ( − y '− 1) = ⇔ ( x'− ) + ( y '+ 1) = 2 2 + Vậy đường tròn ( C') : ( x − ) + ( y + 1) = 2 x ' = − x x = − x' Tương tự có ⇔ ⇒ M(4 − x'; −6 − y ') y ' = −6 − y y = −6 − y ' + M ∈ d ⇒ 3x'+ 2y '+ = ⇒ d ' : 3x + 2y + = x ' = − x x = − x ' Tương tự có ⇔ ⇒ M(2 − x';4 − y ') y ' = − y y = − y ' + M ∈ d ⇒ 3x'− y '− 11 = ⇒ d ' : 3x − y − 11 = + M ∈ ( C ) ⇒ x'2 + y '2 − 6x'− 2y '+ 30 = ⇒ ( C') : x2 + y − 6x − 2y + 30 = Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 14 (15) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 3: (ĐHKA-2009): Trong hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6;2); M(1;5) nằm trên đường thẳng AB Trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Hướng dẫn: A M(1;5) E' B I(6;2) D M' E C ∆: x + y - = + Gọi ĐI(M) = M’ ⇒ M '(11; −1) ∈ CD + E ∈ ∆ ⇒ E ( x;5 − x ) + IE ⊥ CD ⇒ IE.EM ' = (hoặc x = ⇒ E(6; −1) IM '2 = IE + EM ) ⇒ x = ⇒ E(7; −2) + Gọi ĐI(E) = E’(6;5) với E(6;-1); ĐI(E) = E’(5;6) với E(7;-2) + Đường thẳng AB cần tìm qua M và E’ AB : y − = ⇒ AB : x − 4y + 19 = Bài 4: Cho đường thẳng a: 2x + 3y + = 0; b: 2x - 3y - = 0; a’: 2x + 3y - = 0; b’: 2x - 3y + = Tìm phép đối xứng tâm ĐE thỏa mãn : a → a';b → b ' Hướng dẫn: b a b' + G ọi A 1 A = a ∩ b ⇒ A 0; − ;A ' = a '∩ b' ⇒ A ' − ;2 2 E a' + ĐE thỏa mãn : a → a';b → b ' ⇔ A → A ' ⇔ E là trung điểm 5 AA’ ⇔ E − ; 6 (Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng thì biến giao điểm thành giao điểm) Bài 5: Cho hình bình hành ABCD tâm I(0;1); đường thẳng AB: x + y + = Viết phương trình đường thẳng CD Hướng dẫn: A' A M + Ta thấy M ( x;y ) ∈ AB , M’(x’;y’) = ĐI(M) ⇒ M ' ∈ CD I(0;1) x ' = −x x = −x ' ⇔ ⇒ M( − x';2 − y ') + Ta có: y ' = − y y = − y ' D M' C + M ∈ AB ⇒ − x '+ (2 − y ') + = ⇔ x '+ y '− = ⇒ CD : x + y − = B Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 15 (16) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = (C) Chứng minh (C) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O x Hướng dẫn: + Lấy M(x;y) ∈ (C) , gọi M '(x ';y ') = ĐO(M) từ đó lập phương trình (C’) = ĐO(C) có phương trình là : y = x + Như qua phép đối xứng tâm O, (C) biến thành chính nó nên O là tâm đối xứng (C) Bài 7: Chứng minh gốc tọa độ O là tâm đối xứng (E) và (H) có phương trình x2 y x2 y + = 1; − =1 a2 b2 a2 b Hướng dẫn: + Lấy M(x;y) ∈ (E);(H) , viết phương trình (E’), (H’) là hình đối xứng (E) và (H) qua O + Nhận thấy (E) ≡ (E');(H) ≡ (H ') (đpcm) Bài 8: Cho đường thẳng a : 3x − 4y − = 0;b : 3x − 4y − = Tìm tập hợp các tâm đối xứng I ĐI(a) = b Hướng dẫn: a d b + Vì a // b ; ĐI(a) = b ⇒ I cách a và b + Gọi I(x;y) 3x − 4y − 3x − 4y − ⇒ d(I;a) = d(I;b) ⇔ = 2 + ( −4 ) + ( −4 ) ⇔ 3x − 4y − = + Vậy tập hợp I là đường thẳng d: 3x - 4y - = ( −5) + ( −1) −3 = Bài 9: Hình vuông ABCD có tâm I(1;2) A, B nằm trên trục hoành Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D Hướng dẫn: O A I' B x I(1;2) D C + Gọi I’ là hình chiếu I lên Ox ⇒ I '(1;0) + Vì A, B ∈ Ox ⇒ A(a;0);B(b;0) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 16 (17) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG a+b =1 x I' = + Giải hệ: tìm a, b Từ đó suy tọa độ A, B IA.IB = + Sử dụng công thức C và D đối xứng A và B qua I có tọa độ C, D Bài 10: Cho I(3;0); d1 : 2x − y − = 0;d : x + y + = Viết phương trình d qua I, cắt d1 ;d A1 ; A nhận I làm trung điểm Hướng dẫn: d1 + A1 ∈ d1 ⇒ A1 (a;2a − 2) d2 + I là trung điểm A1 A ⇒ A ( − a;2 − 2a ) d + A ∈ d ⇒ a? ⇒ A1 + Đường thẳng d cần tìm qua I và A1 A1 A2 I(3;0) Bài 11: Cho (P) : y = x Phép đối xứng tâm I(1;2) biến (P) thành (P’) có phương trình là ? Hướng dẫn: x ' = − x x = − x ' + Gọi M(x;y) ∈ (P) M’ = ĐI(M) ⇒ ⇔ ⇒ M(2 − x';4 − y ') y ' = − y y = − y ' + M ∈ (P) ⇒ y ' = − x'2 + 4x' ⇒ (P ') : y = − x + 4x DẠNG 2: Một số bài toán suy luận quỹ tích Bài 1: Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng ? Hướng dẫn: + Tam giác không có tâm đối xứng + Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm đường chéo + Ngũ giác không có tâm đối xứng + Lục giác có tâm đối xứng là tâm nó Bài 2: Qua phép đối xứng tâm O: + Những điểm nào biến thành chính nó? + Những đường thẳng nào biến thành chính nó? + Những đường tròn nào biến thành chính nó? Hướng dẫn: Qua phép đối xứng tâm O: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 17 (18) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Tâm O biến thành chính nó + Những đường thẳng qua tâm O biến thành chính nó + Những đường tròn tâm O biến thành chính nó Bài 3: Hãy tâm đối xứng các hình sau đây: + Đường thẳng d + Hình tạo hai đường thẳng song song d và d’ Hướng dẫn: + Mỗi điểm O nằm trên d là tâm đối xứng d + Mỗi điểm O nằm trên đường thẳng a song song và cách hai đường thẳng đã cho là tâm đối xứng hình tạo đường thẳng song song đó Bài 4: Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh ghi theo chiều thuận) Gọi A ' = ĐO(A); I = CD ∩ AA ' H là trực tâm ∆ACD Tìm ảnh A’ qua ĐI ? Hướng dẫn: B + ∆ACD cân A ⇒ AA ' là trung trực CD + Vì A’ = ĐO(A) ⇒ A ' ∈ (O) + Chứng minh DHCA’ là hình bình hành, gọi I = DC ∩ HA ' ⇒ I là trung điểm HA’ Vậy H = ĐI(A’) C O A H I A' D E Bài 5: ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định A di chuyển trên đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H và trọng tâm G ∆ABC Hướng dẫn: Ý 1: A Gọi A’ = ĐO(A) ⇒ A' ∈ (O;R) ⇒ BHCA ' là hình H O C BH / /A 'C ( ⊥ AC) bình hành (Do ) CH//A'B ( ⊥ AB) + Gọi I là giao điểm đường chéo hình bình hành BHCA’ ⇒ A’ = ĐI(H) + Vậy A di chuyển trên đường tròn (O;R) thì A’ di chuyển trên (O;R), mà H là ảnh A’ qua phép đối xứng tâm I ⇒ di chuyển trên đường tròn (O’;R), đó O’ = ĐI(O) I B A' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 18 (19) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ý 2: + Gọi I là trung điểm BC và K là điểm trên OI cho IK = IO IG = + G là trọng tâm ∆ABC ⇒ O IA KG 1 R ⇒ KG / /OA ⇒ = ⇒ GK = OA = K OA 3 + Do O; BC cố định nên K cố định Vậy G nằm trên đường B I R tròn K; 3 Bài 6: Cho điểm A, B cố định AB = Tìm tập hợp điểm M’ cho MA + MB = MM ' , biết MA + MB = Hướng dẫn: A G C M + Gọi O là trung điểm AB ⇒ O cố định (Do AB cố định) MA + MB AB 2 ⇒ MO = − AB 2 2 A B ⇒ MA + MB = 2.MO + ⇒ MO = O Vậy quỹ tích M là đường tròn (C) có tâm O, bán kính (1) M' + Có MA + MB = 2.MO , mà theo đề bài MA + MB = MM ' ⇒ MM ' = 2.MO ⇒ O là trung điểm MM’ ⇒ M’ = ĐO(M) Từ (1) ⇒ quỹ tích M’ là đường tròn (C’) = ĐO((C)) Do đường tròn (C) có tâm O chính là tâm đối xứng ⇒ ( C ) ≡ ( C') ⇒ quỹ tích M’ là đường tròn tâm O là trung điểm AB, bán kính Bài 7: ∆ABC ; AM và CN là các trung tuyến Xác định dạng ∆ABC , biết = BCN = 300 BAM Hướng dẫn: (Cách giải THCS) = BCN = 300 nên tứ giác ACMN nội tiếp + Do BAM đường tròn (O;R) = 600 (quan hệ góc nội tiếp và góc ⇒ MON tâm) = 300 ⇒ AB = 2BM + ∆ABM vuông M, MAB + Tương tự ta có BC = 2BN + Mà BC = 2BM; AB = 2BN ⇒ BC = BA A 300 O1 N O B 300 M C O2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 19 (20) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 0 = sdAC − sdMN = 180 − 60 = 600 (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) Vậy + Có ABC 2 ∆ABC Cách giải dùng đối xứng trục: OA = O1B + §N : O → O1 vµ A → B ⇒ § N : OA → O1B ⇒ OA / /O1B OC = O B + §M : O → O vµ C → B ⇒ §M : OC → O B ⇒ OC / /O 2B + Mà A, O, C thẳng hàng nên O1 ;B;O thẳng hàng O là trung điểm AC nên B là trung điểm O1 O + ∆O1OO2 ⇒ O1O = 2R ⇒ ∆ABCδ∆OO1O ⇒ ∆ABC Bài 8: (Tương tự bài 5) ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R); BC = R cố định A thay đổi trên đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H ∆ABC Hướng dẫn: A + Có BC = ⇒ BAC = 600 ⇒ BOC = 1200 = 2R ⇒ sin BAC sin BAC C' O H B' I B C + Xét phép đối xứng tâm I (I là trung điểm BC) §I : H → H ' ⇒ IH = IH ' ⇒ BHCH ' là hình bình B → C ⇒ IB = IC hành = 1800 − A (Do BHC = B' BH 'C = BHC HC' (đối đỉnh), (do tứ giác AB’HC’ nội tiếp)) HC' = 1800 − A mà B' = 1800 ⇒ ABH’C nội tiếp ⇒ H ' ∈ (O;R) ⇒ BH 'C + A + Vì §I : H ' → H; (O;R) → (O';R) ⇒ Quỹ tích H là đường tròn (O’;R) đối xứng với (O;R) qua phép đối xứng tâm I Tìm B ∈ Ox;C ∈ Oy cho A là trung điểm BC Bài 9: Cho A nằm xOy H' Hướng dẫn: x B Cách 1: + Xét § A : O → O ';tia Ox → O'x' + Dựng C = O' x'∩ Oy + Khi đó B=§ A (C) Bài toán có nghiệm hình O’x’ cắt Oy Cách 2: O' A O C y x' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 20 (21) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Dựng O 'x' = § A (Ox);C = O 'x '∩ Oy ⇒ CA ∩ Ox = B Bài toán có nghiệm hình O’x’ cắt Oy Bài 10: Cho đường tròn (O;R) và (O’;R’), A là điểm tùy ý Tìm M ∈ (O;R);M ' ∈ (O';R ') cho A là trung điểm MM’ Hướng dẫn: O'' M' A M O O' + Gọi (O'')=§ A (O);M = (O'') ∩ (O'); A = MA ∩ (O) Bài toán có nghiệm hình đường tròn (O’’) và (O’) cắt Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 21 (22) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 4: PHÉP QUAY I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: * Quy ước chiều quay điểm mặt phẳng: + Nếu điểm M quay xung quanh điểm I theo chiều ngược kim đồng hồ thì gọi là chiều dương Chiều ngược lại (chiều quay kim đồng hồ) là chiều âm * Trong mặt phẳng, cho điểm I, góc α , phép biến hình biến điểm M thành M’ cho IM ' = IM ' = α + (theo chiÒu d−¬ng) IM;IM − IM;IM ' = α (theo chiÒu ©m) Được gọi là phép quay xung quanh tâm I, góc quay α Ký hiệu: Q I;α + : M → M ' hoÆc Q I;α− : M → M ' ( ( ) ) ( ) ( ) M M' M α+ M' - α I I Tính chất M ' N ' = MN Định lý 1: Nếu Q( I;α ) : MN → M ' N ' thì MN;M ' N ' = α ( ) Định lý 2: Nếu điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự , Q( I;α ) : M, N, P → M ', N ', P ' thì M’, N’, P’ thẳng hàng theo thứ tự đó M' N' M P' N I P Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 22 (23) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Biểu thức tọa độ phép quay Q P I Nếu M(x;y);Q( I;α ) : M → M '(x ';y ');I(a;b) thì IM = ( x − a;y − b ) ;IM ' = ( x'− a;y '− b ) M' φ' α φ H TH1: Xét phép quay theo chiều dương Q I;α + ( M ) + Gọi ϕ; ϕ ' là góc tạo IM và IM’ với trục hoành ⇒ ϕ '− ϕ = α ; IM = IM ' = R x − a = IK = IM.cosϕ = R.cosϕ + Ta có: y − b = IP = MK = IM.sin ϕ = R.sin ϕ x '− a = IH = QM ' = IM '.cosQM 'I = R.cosϕ ' + Xét: y '− b = IQ = HM ' = IM '.sin M 'IH = R.sin ϕ ' K x'− a = R.cos ( α + ϕ ) = R ( cosα.cosϕ − sin α.sin ϕ ) ⇔ y '− b = R.sin ( α + ϕ ) = R ( sin α.cosϕ + cosα sin ϕ ) x'− a = ( R.cosϕ ) cosα − ( R.sin ϕ ) sin α = ( x − a ) cosα − ( y − b ) sin α ⇔ y '− b = ( R.cosϕ ) sin α + ( R.sin ϕ ) cosα = ( x − a ) sin α + ( y − b ) cosα x' = ( x − a ) cosα − ( y − b ) sin α + a ⇔ y ' = ( x − a ) sin α + ( y − b ) cosα + b Kết luận: M(x;y);Q I;α + : M → M '(x';y ');I(a;b) thì tọa độ M’ sau: ( ) x ' = ( x − a ) cosα − ( y − b ) sin α + a (I) y ' = ( x − a ) sin α + ( y − b ) cosα + b TH2: Xét phép quay theo chiều âm Q I;α − ( ) Chứng minh tương tự ta có: M(x;y);Q I;α − : M → M '(x';y ');I(a;b) thì tọa độ M’ sau: ( ) x ' = ( x − a ) cos ( −α ) − ( y − b ) sin ( −α ) + a (II) y ' = ( x − a ) sin ( −α ) + ( y − b ) cos ( −α ) + b HỆ QUẢ: u = x − a ( cosα ) u − ( sin α ) v = x'− a (*) a) Từ (I), đặt ⇒ v = y − b ( sin α ) u + ( cosα ) v = y '− a + Ta coi (*) là hệ phương trình bậc ẩn u; v Xét các định thức: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 23 (24) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG D= cosα -sinα =1 sin α cosα Du = x'− a -sinα = ( x'− a ) cosα + ( y '− b ) sin α y '− b cosα cosα x'− a = ( y '− a ) cosα − ( x '− a ) sin α sin α y '− b + Khi đó hệ (*) có nghiệm: Du u = x − a = D = ( x '− a ) cosα + ( y '− b ) sin α x = ( x '− a ) cosα + ( y '− b ) sin α + a ⇔ y = − ( x '− a ) sin α + ( y '− b ) cosα + b v = y − b = D v = − ( x '− a ) sin α + ( y '− b ) cosα D Kết luận: M(x;y);Q I;α + : M → M '(x';y ');I(a;b) thì tọa độ M sau: Dv = ( ) x = ( x '− a ) cosα + ( y '− b ) sin α + a y = − ( x '− a ) sin α + ( y '− b ) cosα + b b) Chứng minh tương tự ta có: M(x;y);Q I;α − : M → M '(x';y ');I(a;b) thì tọa độ M sau: ( ) x = ( x '− a ) cos ( −α ) + ( y '− b ) sin ( −α ) + a y = − ( x '− a ) sin ( −α ) + ( y '− b ) cos ( −α ) + b II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép quay tính toán Bài 1: Cho A(3;4) Tìm tọa độ A ' = Q(O;900 ) (A) Hướng dẫn: A' P A(3;4) K Q O H + Gọi H, K là hình chiếu A lên Ox và Oy + Gọi P, Q là hình chiếu A’ lên Ox và Oy ⇒ H(3;0);K(0;4) + Ta có: Hình chữ nhật OQA’P là ảnh hình chữ nhật OHAK qua phép quay Q O;900 ⇒ Q(0;3);P( −4;0) ⇒ A '( −4;3) ( ) Cách 2: Dùng công thức x A' = ( x A − ) cos90 − ( y A − ) sin 90 + = −4 ⇒ A'(-4;3) 0 y x sin 90 y c os 90 = − + − + = ( ) ( ) A A A' Bài 2: Cho A(2;0), d: x + y - = Tìm ảnh A và d qua phép quay tâm O, góc quay 900 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 24 (25) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn: A ' ∈ Oy + Vì A(2;0) ∈ Ox ⇒ Q O;900 (A) = A ' ⇒ ⇒ A '(0;2) ( ) OA = OA ' + Theo đề bài có: d ' = Q O;900 (d) ⇒ d ' ⊥ d ⇒ d ' : x − y + c = ( ) + Lấy điểm M(2;0) ∈ d ⇒ Q O;900 (M) = M '(0;2) ∈ d ' ⇒ c = ⇒ d' : x − y + = ( ) (Chú ý: M ≡ A ) Bài 3: Cho các điểm A(-3;2); B(-4;5); C(-1;3) Chứng minh các điểm A’(2;3); B’(5;4); C’(3;1) theo thứ tự là ảnh A, B, C qua phép quay tâm O, góc −900 Gọi ∆A1B1C1 là ảnh ∆ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc −900 và phép đối xứng qua trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh ∆A1B1C1 Hướng dẫn: + Ta thấy : A thuéc gãc phÇn t− thø II,A' thuéc gãc phÇn t− thø I nªn gãc quay α<0 ⇒ A ' = Q O,−900 (A) OA = OA ' = 13 ( ) OA.OA ' = ⇒ OA;OA ' = 90 ( ) + Chứng minh tương tự với các điểm B’ và C’ + Ta có Q O;−900 ( ∆ABC ) = ∆A 'B 'C' ( ) A1 = §Ox (A ') A1 (2; −3) + ∆A1B1C1 = §Ox ( ∆A 'B 'C') ⇒ B1 = §Ox (B ') ⇒ B1 (5; −4) C = § (C') C (3; −1) Ox Bài 4: Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;2) Biết đỉnh A(4;5) Tìm tọa độ B; C; D Hướng dẫn: A(4;5) B + Ta có C = §I (A) ⇒ C( −2; −1) + B = Q I;900+ (A) ⇒ B( −2;5) (Áp dụng công thức để tính) ( + D = §I (B) ⇒ D(4; −1) Vì B; D có vai trò giống nên B(-2;5); D(4;-1) B(4;-1); D(-2;5) I(1;2) D ) C Bài 5: Cho d: x + y + = 0; I(1;-2) Phép quay Q(I;900+ ) (d) = d ' Tìm phương trình d’ Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 25 (26) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Theo đề bài ta có d’ qua I, d ' ⊥ d ⇒ d ' : x − y − = d:x + y + = I(1;-2) d' Bài 6: Cho phép quay Q O;450 Tìm ảnh ( ) a) Điểm M(2;2) qua phép quay Q O;450 ( b) Đường tròn (C) : ( x − 1) + y = ) Hướng dẫn: x' = (2 − 0)cos450 − (2 − 0)sin 450 + = a) Gọi M '(x ';y ') = Q O;450 (M) ⇒ 0 ( ) y ' = (2 − 0)sin 45 + (2 − 0)cos45 + = 2 ⇒ M '(0;2 2) b) Gọi I’; R’ là tâm và bán kính đường tròn (C’) là ảnh đường tròn (C) tâm I(1;0) , bán kính R = ⇒ R ' = R = ⇒ I ' = Q O;450 (I) ( ) 2 2 2 2 ; ⇒ (C') : x − +y− Áp dụng công thức tính I ' = 2 2 y x' = x − 2 Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho phép biến hình f : y ' = x + y Hỏi f là phép biến hình gì ? Hướng dẫn: π π x' = ( x − ) cos − ( y − ) sin + + Ta có: f : y ' = ( x − ) sin π + ( y − ) cos π + 3 + Vậy f là phép quay Q π O; Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ : 2x − y + = Tìm ảnh đường thẳng ∆ qua : a) Phép đối xứng tâm I(1; -2) b) Phép quay Q O;900 ( ) Hướng dẫn: a) Đáp số : 2x - y - = b) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 26 (27) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG * Cách 1: Xem bài * Cách 2: + Gọi M(x;y) ∈ ∆ x ' = = − y x = y ' + Gọi M '(x ';y ') = Q O;900 (M) ⇒ ⇒ ⇒ M(y '; − x') ( ) y ' = = x y = − x' + M ∈ ∆ ⇒ 2.y '− ( − x') + = ⇔ x'+ 2y '+ = 0(*) + Gọi ∆ ' = Q O;900 ( ∆ ) ⇒ M ' ∈ ∆ ' (**) ( ) + Từ (*) và (**) ⇒ ∆ ' : x + 2y + = * Cách 3: + Lấy M(0;1) ∈ ∆ , gọi M ' = Q O;900 (M) ⇒ M '( −1;0) ∈ ∆ ' = Q O;900 ( ∆ ) ( ) ( ) 1 + Lấy N − ;0 ∈ ∆ , gọi N ' = Q O;900 (N) ⇒ N ' 0; − ∈ ∆ ' = Q O;900 ( ∆ ) ( ) ( ) 2 + Đường thẳng ∆ ' cần tìm qua điểm M’; N’ nên có phương trình: x + 2y + = Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm phép quay Q biến A(-1;5) thành B(5;1) Hướng dẫn: OA = OB = 26 + Ta thấy ⇒ B = Q O;−900 (A) (Do A nằm góc phần tư thứ II, B nằm góc ( ) OA.OB = phần tư thứ I nên góc quay là âm) Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy a) Cho A(0;3) Tìm tọa độ B là ảnh A qua phép quay Q O;−450 ( ) b) Cho A(4;3) Tìm tọa độ B là ảnh A qua phép quay Q O;600 ( ) Hướng dẫn: Áp dụng công thức ta có 4− 3 3+ 3 a) B ; b) B ; 2 2 DẠNG 2: Một số bài toán suy luận quỹ tích Bài 1: ∆ABC có tâm O và phép quay Q O;1200 ( ) a) Xác định ảnh các đỉnh A, B, C qua phép quay Q O;1200 ( b) Xác định ảnh ∆ABC qua phép quay Q O;1200 ( ) Hướng dẫn: (Khi bài tập cho tam giác đa giác, không có giải thích gì thêm thì quy ước các đỉnh thứ tự theo chiều dương) a) Vì : OA = OB = OC AOC = BOC = COA = 120 ⇒ Q O;1200 A → B;B → C;C → A ( ) ) A O B Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 C Trang 27 (28) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG b) Theo phần a) ⇒ Q O;1200 ∆ABC → ∆ABC ( ) Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh điểm C qua phép quay Q C' A D O B C b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua Q O;900 ( A;90 ) ( Hướng dẫn: AC = AC' a) Gọi C' = Q A;900 (C) ⇒ ⇒ ∆CAC' vuông cân A, = 900 ( ) CAC' đường cao AD ⇒ B là trung điểm CC’ Q O;900 (B) = C ) ( b) Có ⇒ Q O;900 (BC) = CD ( ) Q (C) D = ( O;90 ) Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O M là trung điểm AB; N là trung điểm OA Tìm ảnh ∆AMN qua phép quay Q O;900 ( ) Hướng dẫn: M A ) lượt là trung điểm AB và OB) ⇒ Q O;900 ( ∆AMN) = ∆BM 'N ' ( D N Ta có Q O;900 : A → B;M → M ';N → N ' (Trong đó M’; N’ lần ( ) M' ) O N' B C Bài 4: Cho lục giác ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm ảnh ∆OAB qua phép dời hình có cách thực liên tiếp Q O;600 và TOE ( ) Hướng dẫn: A F B E O C D Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 28 (29) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Ta có Q O;600 : O → O;A → B;B → C ⇒ Q O;600 : ∆OAB → ∆OBC ( ) ( ) : O → E;B → O;C → D ⇒ T : ∆OBC → ∆ EOD + TOE OE + Vậy ảnh ∆OAB qua phép dời hình đã cho là ∆EOD Bài 5: Cho lục giác ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp I là trung điểm AB a) Tìm ảnh ∆AIF qua phép quay Q O;1200 ( ) b) Tìm ảnh ∆AOF qua phép quay Q E;600 ( ) A F I O B E C I' D Hướng dẫn: a) Ta có Q O;1200 : A → C;I → I ';F → B ⇒ Q O;1200 : ∆AIF → ∆CI 'B ( ) ( ) (Trong đó I’ là trung điểm CD) b) Ta có Q E;600 : A → C;O → D;F → O ⇒ Q E;600 : ∆AOF → ∆CDO ( ) ( ) Bài 6: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d M là điểm di động trên d Hãy tìm tập hợp các điểm N cho ∆OMN Hướng dẫn: O + Vì ∆OMN và O cố định ⇒ N = Q O;−600 (M) ( ) + Mà M ∈ d ⇒ N ∈ d ' = Q O;−600 (d) ( ) M d Bài 7: Cho đường tròn (O;R) cố định và đường thẳng ∆ không cắt đường tròn Hãy dựng ảnh ∆ qua phép quay Q O;300 ( N ) Hướng dẫn: O + Từ O hạ OH ⊥ ∆ H ⇒ H ∈ ∆ OH = OH ' + Gọi H ' = Q O;300 (H) ⇒ ' = 300 ( ) HOH ∆' O' H' ∆ H K Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 29 (30) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Giả sử dựng ∆ ' = Q O;300 ( ∆ ) ⇒ H ' ∈ ∆ ';OH ' ⊥ ∆ ' ( ) + Gọi K = ∆ ∩ ∆ ' ⇒ tứ giác HOH 'K nội tiếp Cách dựng: + Từ O dựng OH ⊥ ∆ H ⇒ H ∈ ∆ OH = OH ' + Dựng H ' = Q O;300 (H) ⇒ ( ) HOH ' = 30 + Dựng đường tròn (O’) qua điểm H, O, H’ + Dựng K = (O ') ∩ ∆ + Đường thẳng ∆ ' qua điểm H’ và K là đường thẳng cần tìm Bài 8: Tìm d ' = Q O;600 (d) ( ) Hướng dẫn: d' M M' H' d H O + Gọi H là hình chiếu O lên d, vì O cố định nên H cố định OH ' = OH (1) + Gọi H ' = Q O;600 (H) ⇒ ' = 600 ( ) OH, OH ' = 600 ⇒ HOH ( ) OM = OM ' (2) + Gọi M là điểm trên d và M ' = Q O;600 (M) ⇒ 0 ( ) OM,OM ' = 60 ⇒ MOM ' = 60 O = HOH ' − O1 = 60 − O1 2 = O (3) + Có ⇒O O = MOM ' − O1 = 60 − O1 'M ' = 900 + Từ (1), (2) và (3) ⇒ ∆OH 'M ' = ∆OHM(c.g.c) ⇒ OH ( ) Vậy quỹ tích M’ là d’ qua M’ vuông góc OH’ H’ Bài 9: Cho đường tròn (O;R) và (O’;R) Hãy phép quay biến đường tròn này thành đường tròn Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 30 (31) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Gọi ∆ là trung trực OO’ + I là điểm thuộc ∆ ' + Đặt α = IO;IO ( I ) ⇒ Q(I;α ) (O;R) = (O';R) Có vô số phép quay thỏa mãn yêu cầu bài toán α O O' Nhận xét: + Khi đường tròn (O) và (O’) cắt điểm phân biệt A, B thì A và B là tâm quay phép quay Q A;OAO' ;Q B;OBO' biến đường tròn này thành đường tròn ( ( ) + Giả sử lấy A làm tâm quay, và Q ) ( A;OAO' ) (O) = (O ') Đường thẳng (d) qua B cắt (O); (O’) M; M’ Đường thẳng (d’) qua B cắt (O); (O’) N; N’ Khi đó : Q A;OAO' (M) = M ';Q A;OAO' (N) = N ' (Xem cách chứng minh bài tập và ứng dụng nó) ( ) ( ) Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A, B Từ I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O) MB và NB cắt (O’) M’, N’ Chứng minh rằng: 1) M ' = Q A;OAO ' (M); N ' = Q A;OAO ' (N) ( ) ( ) 2) Đường thẳng M’N’ luôn qua điểm cố định Hướng dẫn: N 1 O M A N' Q P O' I B M' ( ' + Theo bài trang 23 ta có: Q( A;α ) (O) = (O') đó α= AO;AO ) = sdAB = M '1 '1 = sdAP +O = sdAB = M 1 = sdAQ + Tương tự có: O + Do đường tròn (O) và (O’) nên ∆AOO'; ∆AMM ' cân O có góc đáy ' = OAO' =α nên MAM ⇒ A ( A;α ) (M) = M ' (1) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 31 (32) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG = AB ;NN 1 ) = M ⇒ ∆NAN '; ∆AOO' cân 1 = M ' A = 1800 − AN 'B = 1800 − (1800 − M + Có N ' = OAO' =α⇒Q O có góc đáy nên NAN ( A;α ) (N) = N ' (2) + Từ (1) và (2) ⇒ Q( A;α ) (MN) = M 'N ' Do MN luôn qua điểm I cố định nên M’N’ luôn qua điểm I’ cố định, với I ' = Q ( A;α ) (I) Bài 11: Cho đường tròn (O;R), M ∈ (O;R);M ' = Q(O;300 ) (M);M '' = §OM (M ') Chứng minh ∆OM 'M " là tam giác Hướng dẫn: M M" M' 300 O OM ' = OM = R + M ' = Q(O;300 ) (M) ⇒ (1) ⇒ M ' ∈ (O;R) MOM ' = 30 OM " = OM ' = R (2) + M '' = §OM (M ') ⇒ OM lµ trung trùc cña M'M" OM ' = OM " + Từ (1) và (2) ⇒ ⇒ ∆OM 'M " là tam giác 'OM " = 600 M Bài 12: Cho đường thẳng a và b, điểm C không nằm trên a và b Hãy tìm trên a và b điểm A, B cho ∆ABC Hướng dẫn: d a' 600 a + B = Q C;600 (A) (1), A ∈ a nên: ( A + Gọi Q C;600 (a) = a ' 600 600 C B ) b ( ) + Do A ∈ a;B ∈ b;(1) ⇒ B ∈ a' ⇒ B = a '∩ b + A = d ∩ a (d là trung trực BC) Bài toán có nghiệm hình a’ cắt b Bài 13: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O cho O nằm trên AB’ và nằm ngoài A’B Gọi G, G’ là trọng tâm tam giác OAA’ và OBB’ Chứng minh GOG’ là tam giác vuông cân Hướng dẫn: Q O;900 (A) = B ) ( + Ta có: ⇒ Q O;900 ( ∆OAA ') = ∆OBB' ⇒ Q O;900 (G) = G ' ( ) ( ) Q( O;900 ) (A ') = B' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 32 (33) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG B OG = OG ' ⇒ OG;OG ' = 90 ⇒ ∆GOG ' vuông cân O ( ) A' G' G B' A O Bài 14: Cho ∆ABC , phía ngoài ∆ABC , dựng các tam giác đều: ABC’; BCA’; ACB’ Chứng minh rằng: AA’ = BB’ = CC’ Ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy Hướng dẫn: C' A B' 2 I B C A' Q C;600 (B) = A ' ( ) ⇒ Q( C;600 ) (BB') = A ' A ⇒ AA ' = BB '(1) (B') = A + Chứng minh tương tự ta có BB’ = CC’ (2) Từ (1) và (2) ⇒ AA ' = BB' = CC' + Gäi I = AA' ∩ BB' Phương pháp: + Chøng minh C';I;C th¼ng hµng (BB') = A ' A ⇒ AA ';BB ' = 600 ⇒ Iɵ = Iɵ = 600 ;(I = AA '∩ BB ') + Vì Q + Ta có ( C;60 ) ( ) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 33 (34) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG B'C 0 ɵ ɵ I = C = 60 ⇒ Tø gi¸c IAB'C néi tiÕp ⇒ I = A = 60 = 1 ⇒ A 'C ɵ 0 ɵ I = C2 = 60 ⇒ Tø gi¸c AIBC' néi tiÕp ⇒ I = B1 = 60 = = 1200 , mµ AC'B = 600 ⇒ Tø gi¸c AC'BI néi tiÕp + Iɵ = 600 ⇒ AIB = 600 ⇒ C'IC = Iɵ + Iɵ + Iɵ = 1800 ⇒ C', I,C th¼ng hµng ⇒ Iɵ = B Vậy ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy Bài 15: ∆ABC vuông cân A, A cố định (các đỉnh vẽ theo chiều dương) Biết C ∈ (I;R) Tìm ảnh đường tròn (I;R) qua Q A;−900 ( ) Hướng dẫn: B AC = AB + Theo GT ⇒ B = Q A;−900 (C) ( ) AC; AB = 90 AI = AI ' + Gọi I ' = Q A;−900 (I) ⇒ I ' cố định ⇒ ( ) AI; AI ' = 90 + Như ta có Q (I) = I ' ( A;−90 ) ⇒ Q A;−900 (IC) = I 'B ⇒ I 'B = R không : ( ) = Q (C) B ( A;−90 ) đổi Vậy quỹ tích B là đường tròn (I ';R) = Q A;−900 (I;R) ( I' ) ( ( ) C A R I ) Bài 16: Cho điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng Vẽ cùng phía hai tam giác ABE và BCF Gọi M; N tương ứng là trung điểm AF và EC Chứng minh ∆BMN là tam giác Hướng dẫn: E F N M A C B + Xét Q B;−600 (A) = E ) ( ⇒ Q B;−600 (AF) = EC ( ) Q( B;−600 ) (F) = C + Do M là trung điểm AF; N là trung điểm EC nên BM = BN Q (B;−600 (M) = N ⇒ ( ) BM;BN = 60 ( ) ⇒ ∆BMN là tam giác Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 34 (35) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 17: Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC A chạy trên nửa đường tròn Dựng phía ngoài ∆ABC hình vuông ABEF Chứng minh E chạy trên nửa đường tròn cố định Hướng dẫn: F + Vì Q B;900 (A) = E , mà A chạy trên nửa ( A ) đường tròn (O), đường kính AB nên E chạy trên nửa đường tròn (O’), đường kính AB, đó (O ') = Q B;900 (O) ( E ) C B O Bài 18: Cho hình vuông ABCD và BEFG (trong đó A, B, E thẳng hàng; G nằm trên cạnh BC) a) Tìm ảnh ∆ABG qua phép quay Q B;−900 ( ) b) Gọi M, N là trung điểm AG và CE Chứng minh ∆BMN vuông cân Hướng dẫn: A D a) Ta có Q B;−900 : A → C;B → B;G → E ⇒ Q B;−900 : ∆ABG → ∆CBE ( M ) ( ) b) Theo phần a) Q B;−900 : AG → CE Mà M là trung điểm ( ) AG, N là trung điểm CE B G C BM = BN ⇒ Q B;−900 : M → N ⇒ ⇒ ∆BMN vuông ( ) MBN = 90 cân B N E F Bài 19: Cho ∆ABC , qua A dựng tam giác vuông cân ABE A và ACF A Gọi M là trung điểm BC Giả sử AM cắt FE H Chứng minh AH là đường cao ∆AEF Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 35 (36) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG F H E A K B D M C + Ta có Q ( A;−90 ) : B → E;C → D (Trong đó D = ĐA(F)) ⇒ Q + Do M là trung điểm BC ⇒ Q ( A;−90 ) ( A;−90 ) : BC → ED : M → K (K là trung điểm ED) = 900 ⇒ AK ⊥ AM (1) ⇒ KAM + ∆DEF có AK là đường trung bình ⇒ AK / / EF (2) + Từ (1) và (2) ⇒ EF ⊥ AM ⇒ EF ⊥ AH ⇒ AH là đường cao ∆AEF Bài 20: Cho hình vuông ABCD có cạnh , các đường chéo cắt I Trên cạnh BC lấy BJ = Xác định phép quay biến AI thành BJ Hướng dẫn: A D I O d B J C Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 36 (37) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Gọi O là giao điểm đường thẳng d là trung trực CD với đường tròn (I) ngoại tiếp = AIB = 450 (quan hệ góc nội tiếp và góc tâm); ABCD Khi đó ta có : ⇒ AOB OI = JB = 1;OI / /JB ⇒ OIBJ là hình bình hành ⇒ OJ = IB = ⇒ OIBJ là hình thoi = CBD = 450 Từ đó : ⇒ IOJ + Ta có : Q O;450 : A → B;I → J ⇒ Q O;450 : AI → BJ ( ) ( ) Chứng minh = MAK Bài 21: Cho hình vuông ABCD, M ∈ BC;K ∈ DC cho BAM AK = BM + KD Hướng dẫn: M' A + Ta có Q A;900 : B → D;M → M ' ⇒ Q ( D K ) ( A;90 ) : BM → DM ' ⇒ BM = DM ' + Vậy BM + KD = DM '+ KD Cần chứng minh: M ', D, K th¼ng hµng ⇒ DM '+ KD = KM ' ∆AKM' c©n t¹i K + Thật vậy: ' = 900 ⇒ BM ⊥ DM ' Q (BM) = DM ' ⇒ BM;DM ( A;90 ) ( ) ' = 900 ; , mà BM // AD ⇒ AD ⊥ DM ' ⇒ ADM = 900 ⇒ M ';D;K thẳng hàng ADK B + Theo chứng minh trên ta có: M C Q ( A;90 ) 1 = M '1 : ∆ABM → ∆ADM ' ⇒ ∆ABM = ∆ADM ' ⇒ M = 900 ⇒ M = 900 (Do A 1 = A ) , mà + Có M ' AK + A ' AK + A 1 + A = 900 ⇒ M ⇒ ∆AKM cân K M ' AK = M ⇒ KM ' = KD + DM ' = KA ⇒ KD + BM = KA Bài 22: Cho ∆ABC Dựng phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q là tâm đối xứng chúng a) Gọi D là trung điểm AB Chứng minh ∆DOP vuông cân D b) Chứng minh AO ⊥ PQ; AO = PQ Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 37 (38) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG a) Ta có Q C;900 : M → A;B → I ⇒ Q C;900 : MB → AI ⇒ MB = AI ( ) ( ) DP / / = BM + Mà DO / / = AI ⇒ DP ⊥= DO ⇒ ∆DOP vu«ng c©n t¹i D D, O, P kh«ng th¼ng hµng OA = PQ b) Theo a có: Q D;900 : O → P; A → Q ⇒ Q D;900 : OA → PQ ⇒ ( ) ( ) OA ⊥ PQ Bài 23: Cho ∆ABC có các đỉnh ký hiệu theo hướng âm Dựng phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABDE và BCKF Gọi P là trung điểm AC, H là điểm đối xứng D qua B M là trung điểm đoạn FH a) Xác định ảnh hai vec tơ BA;BP phép quay Q B;900 ( ) b) Chứng minh rằng: DF ⊥ DP;DF = 2BP Hướng dẫn: F a) Ta có: Q B;900 : BH → BA ; ( D M K B ) Q B;900 : A → H;C → F ⇒ Q B;900 : AC → HF ( ) ( ) H E A P C Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 38 (39) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Mà P là trung điểm AC; M là trung điểm HF ⇒ Q B;900 : P → M ⇒ Q B;900 : BP → BM ( ) ( ) BP = BM b) Vì Q B;900 : BP → BM ⇒ ( ) BP ⊥ BM 1 + Mà BM / / = DF ⇒ BP ⊥= DF 2 Bài 24: Cho tứ giác ABCD Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác ABM, CDP Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN và ADK Chứng minh MNPK là hình bình hành Hướng dẫn: D N A M P K B C + Ta có: Q B;600 : A → M;C → N ⇒ Q B;600 : AC → MN ⇒ AC = MN (1) ( ) ( ) + Ta có: Q D;600 : C → P; A → K ⇒ Q B;600 : CA → PK ⇒ CA = PK (2) ( ) ( ) Từ (1) và (2) ⇒ MN = PK (*) + Chứng minh tương tự ta có: MK = PN (**) Từ (*) và (**) suy MNPK là hình bình hành Bài 25: Chứng minh các đoạn thẳng nối tâm các hình vuông dựng trên các cạnh hình bình hành phía ngoài, hợp thành hình vuông Hướng dẫn: M D A N 1 C Q B P Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 39 (40) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Ta có ∆DQC = ∆ANB(g − c − g) ⇒ DQ = AN (1); mà DM = AM (2) = 450 + ADC + 450 = 900 + 1800 − BAD = 2700 − BAD MDQ = MAN(3) ⇒ MDQ 0 0 = 360 − 45 + BAD + 45 = 270 − BAD MAN MN = MQ (*) + Từ (1), (2) và (3) ⇒ ∆DBM = ∆ANM ⇒ DMQ = AMN + DMQ = 900 ⇒ AMQ + AMN = 900 ⇒ QMN = 900 (**) + Do AMQ ( ( ) ) = 900 (***) Chứng minh tương tư ta có: PN = PQ;NPQ Vậy từ (*); (**) và (***) ta có MNPQ là hình vuông NX: ta có thể chứng minh NA ⊥ DQ sau: 1 = D = 450 ; AB / /CD ⇒ NB / /DQ mà NB ⊥ NA ⇒ NA ⊥ DQ +B Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 40 (41) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 5: PHÉP VỊ TỰ (Phép biến hình biến nhỏ thành to - biến to thành nhỏ theo phương định) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I cố định và số thực k không đổi Với điểm M mặt phẳng, phép biến hình biến M thành M’ cho IM ' = k.IM gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k Ký hiệu: V( I;k ) (M) = M ' Chú ý: + Khi k > thì OM ';OM cùng hướng (I là tâm vị tự ngoài: I nằm ngoài M và M’) + Khi k > thì OM ';OM ngược hướng (I là tâm vị tự trong: I nằm M và M’) (k > 0) I M M' I M' M (k < 0) Tính chất: V( I;k ) (M) = M ' M 'N ' = k.MN a Định lý 1: Nếu thì V (N) N ' = M 'N ' = k MN ( I;k ) b Định lý 2: Nếu M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì V( I;k ) : M, N, P → M ', N ', P ' thẳng hàng theo thứ tự đó c + Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó : ( V( I;k ) (d) = d' I ∈ d ⇒ d' ≡ d , I ∉ d ⇒ d / /d ' ) + Phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó CHÚ Ý: (1) Nếu V( I;k ) (M) = M ' và M’ có quỹ tích là hình (H) thì M có quỹ tích là hình (H ') = V 1 I; k (H) (2) Với đường tròn (O1 ;R1 ) và (O ;R ) bất kỳ, có ít phép vị tự V( I;k ) (O1 ;R1 ) = (O ;R ) , đó: (a) Tâm vị tự I xác định BẰNG CÁCH NHƯ SAU: (+) I là tiếp điểm đường tròn (nếu đường tròn tiếp xúc nhau) (+) I là tâm đường tròn (nếu đường tròn đồng tâm) (+) I là giao điểm d và đường nối tâm đường tròn (trong đó đường thẳng d qua M, N với M1 ∈ ( O1 ;R ) ;M ∈ ( O ;R ) ;O1M1 / /O M ) R (b) Tỉ số vị tự k xác định BẰNG (độ dài đại số tỉ số bán kính) R1 R (+) k = > I nằm ngoài đoạn O1O (I là tâm vị tự ngoài) R1 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 41 (42) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG (+) k = − R2 < I nằm đoạn O1O (I là tâm vị tự trong) R1 TH1: Đường tròn ( O1 ;R1 ) tiếp xúc ngoài đường tròn ( O ;R ) ⇔ R + R = I1I d Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) M2 I1 ; R1 M1 ( I1 là tâm vị tự ngoài, k > 0) + V I1 O1 I2 R2 I ;− R1 O2 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 là tâm vị tự trong, k < 0) TH2: Đường tròn ( O1 ;R1 ) tiếp xúc đường tròn ( O ;R ) ⇔ R − R1 = I1I d M2 M1 Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) I O2 I; R1 O1 ( I là tâm vị tự ngoài, k > 0) TH3: Đường tròn ( O1 ;R1 ) không cắt đường tròn ( O ;R ) ⇔ R + R < I1I d Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) M'1 I1 ; R1 M2 I1 O1 I2 O2 ( I1 là tâm vị tự ngoài, k > 0) + V R2 I ;− R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 là tâm vị tự trong, k < 0) M1 TH4: Đường tròn ( O1 ;R1 ) cắt đường tròn ( O ;R ) ⇔ R1 − R < I1I < R1 + R Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 42 (43) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG M2 d Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) M1 I1 ; R1 ( I1 là tâm vị tự ngoài, k > 0) O1 I1 I2 O2 + V R2 I ;− R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 là tâm vị tự trong, k < 0) M'2 TH5: Đường tròn ( O1 ;R1 ) đựng đường tròn ( O ;R ) ⇔ R1 − R > I1I M1 Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) I1 ; R1 M2 O1 ( I1 là tâm vị tự ngoài, k > 0) I2 + V R2 I ;− R1 O2 I1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 là tâm vị tự trong, k < 0) d' d M'1 Chú ý: + Nếu đường tròn thì có tâm vị tự chính là trung điểm đoạn thẳng nối tâm + Nếu đường tròn đồng tâm thì có tâm vị tự là tâm đường tròn, nhiên R có tỉ số vị tự k = ± R1 Biểu thức tọa độ phép vị tự Xét phép vị tư V( I;k ) (M) = M ' , đó I(a;b); M(x;y); M’(x’;y’) ⇒ IM ' = k.IM ⇔ ( x'− a;y '− b ) = k ( x − a;y − b ) ⇔ ( x '− a;y '− b ) = ( kx − ka;ky − kb ) x'− a = kx − ka x' = kx + a(1 − k) ⇔ ⇔ y '− b = ky − kb y ' = ky + b(1 − k) x ' = kx + a(1 − k) Vậy V( I;k ) (M) = M ' có biểu thức tọa độ là : y ' = ky + b(1 − k) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 43 (44) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép vị tự tính toán Bài 1: 1) Cho A(1; - 3) Tìm tọa độ A' = V( O;k =−2) (A) 2) Cho (d): x + 2y + = Tìm phương trình d ' = V( I;k ) (d) biết I(1;2), k = Hướng dẫn: 1) A ' = V( O;k =−2) (A) ⇒ OA' = −2.OA ⇒ A '( −2;6) 2) Chọn M(-3;0), N(-1;-1) ∈ d Gọi M ' = V( I;k ) (M);N ' = V( I;k ) (N) ⇒ M '(2; −2);N '( −3; −4) ∈ d ' Từ đó lập phương trình d’: x + 2y + 11 = x'+ x= x ' = 2x − x '+ y '+ Cách khác: Gọi M(x;y) ∈ d, M ' = V( I;k ) (M) ⇒ ; ⇒ ⇒ M y ' = 2y − y = y '+ x'+ y '+ + M∈d ⇒ + + = ⇔ x'+ 2y '+ 11 = 0(*) + Gọi d ' = V( I;k ) (d) ⇒ M ' ∈ d ' , từ (*) ⇒ d’ : x + 2y + 11 = Nhận xét: + Nếu I ∉ d ⇒ d'/ /d + Nếu I ∈ d ⇒ d' ≡ d Bài 2: (Tương tự) Tìm ảnh các điểm sau qua phép vị tự tâm I, tỉ số k, biết 1) A(1;2);I(3; −1);k = (Đáp số: A'( −1;5) ) 2) B(2; −3);I( −1; −2);k = −3 (Đáp số: B'( −10;1) ) 3) C(8;3);I(2;1);k = (Đáp số: C'(5;2) ) 2 1 4 4) P( −3;2);Q(1;1);R(2; −4), I ≡ O,k = − (Đáp số: P ' 1; − ;Q' − ; − ;R ' − ; ) 3 3 3 Bài 3: 1) Cho điểm A(0 ; 3), B(2 ; -1), C(-1 ; 5) Tồn hay không phép vị tự tâm A, tỉ số k biến B thành C ? 2) Cho điểm A(-1 ; 2), B(3 ; 1), C(4 ; 3) Tìm phép vị tự tâm A, tỉ số k biến B thành C ? Hướng dẫn: −1 = k.2 ⇔k=− 1) Giả sử tồn V( A;k ) (B) = C ⇒ AC = k.AB ⇒ = k.( −4) Vậy tồn V (B) = C A;− 2) tương tự phần 1) Bài 4: Cho đường tròn (C) : x + ( y − 1) = Tìm phương trình đường tròn (C') = V( I;k ) ( C ) Hướng dẫn: + Ta thấy tâm vị tự I(0;1) đồng thời là tâm đường tròn (C) ⇒ đường tròn (C’) có tâm là I Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 44 (45) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Do k = nên bán kính đường tròn (C’) gấp lần bán kính đường tròn (C) + Vậy (C') : x + (y − 1)2 = Cách khác: Gọi M(x;y) ∈ (C);M '(x ';y ') = V( I;k ) (M) ⇒ Bài 5: (tương tự) Tìm ảnh các đường thẳng d qua phép vị tự tâm I, tỉ số k, biết: 1) d : 3x − y − = 0, I ≡ O;k = − (§S:d': 9x - 3y + 10 = 0) 2) d : 2x + y − = 0, I( −1;2);k = −2 (§S:d': 2x + y + = 0) Bài 6: (tương tự) Tìm ảnh các đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k, biết: 1) (C) : ( x − 1) + ( y + ) = 5, I ≡ O;k = −2 (ĐS: (C') : ( x + ) + ( y − ) = 20 ) 2 2 2) (C) : ( x − ) + ( y + 1) = 5, I(1;2);k = −2 (ĐS: (C') : ( x + ) + ( y − ) = 20 ) 2 2 Bài 7: Tìm phép vị tự biến: x y 1) Đường thẳng d : − = thành d ' : 2x − y − = , biết V( O;k ) 2 2) Đường tròn (C1 ) : ( x + ) + y = thành ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = Hướng dẫn: 1) Có d: 2x - y - = // d’ x ' = k.2 + 0(1 − k) = 2k + Chọn M(2;0) ∈ d , gọi M '(x ';y ') = V( O;k ) (M) ⇒ ⇒ M '(2k;0) y ' = k.0 + 0(1 − k) = + Do d ' = V( O;k ) (d) ⇒ M ' ∈ d ' ⇒ 2.2k − − = ⇔ k = Vậy V (d) = d' O; 2) ( C1 ) có tâm I1 ( −4;0 ) , bán kính R1 = ; ( C2 ) có tâm I ( 2;3 ) , bán kính R = 2 + Ta thấy ( C1 ) và ( C2 ) không đồng tâm nên có phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán: R TH1: V R (C1 ) = (C ) ⇒ V R (I1 ) = (I ) ⇒ II = II1 ⇒ I( −10; −3) 2 R1 I; I; R R TH2: V R (I ) (I ) II II1 ⇒ I( −2;1) ⇒ = − = 2 R2 R1 I;− R (C1 ) = (C2 ) ⇒ V R2 I;− R1 Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn : (C1 ) : ( x − 1) + ( y − ) = 1;(C2 ) : ( x − ) + ( y − ) = a) Xác định tọa độ tâm vị tự ngoài đường tròn đó b) Viết phương trình tiếp tuyến chung ngoài đường tròn đó Hướng dẫn: a) ( C1 ) có tâm I1 ( 1;3 ) , bán kính R = ; ( C2 ) có tâm I ( 4;3 ) , bán kính R = 2 2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 45 (46) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Gọi I là tâm vị tự ngoài phép vị tự V( I;k ) (C1 ) = (C2 ) ⇒ V( I;k ) (I1 ) = (I ) ⇒ II = kII1 R2 = , giải hệ phương trình trên ⇒ I( −2;3) R1 b) Ta thấy R + R = I1I nên (C1 ) và (C2 ) ngoài đó k = d I2 I1 I + Gọi d là tiếp tuyến chung (C1 ) và (C2 ) , đó d qua I, giả sử d có hệ số góc là k, đó phương trình d có dạng: kx − y + + 2k = ( ) ( ) d : x − 4y + 12 + = + Vì d tiếp xúc (C1 ) ⇒ d ( I1 ;d ) = R1 ⇒ k = ± ⇒ 2 d : x + 4y − 12 + = Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d qua A có hệ số góc Gọi B là điểm di động trên d Gọi C là điểm cho tứ giác OABC là hình bình hành Tìm phương trình tập hợp: a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Các trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn a) Đường thẳng d qua A và có hệ số góc ⇒ d ≡ AB : y − = 1(x + 1) ⇔ y = x + O C I d' d G A B + I là tâm đối xứng hình bình hành nên ⇒ OB = 2.OI ⇒ V( O;2) (I) = B Mà B ∈ d ⇒ I ∈ d ' = V 1 O; ⇒ d': x − y + (d) ⇒ d’// d và qua I đồng thời qua trung điểm OA =0 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 46 (47) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG b) Ta có OB = OG ⇒ B = V (G) Mà B ∈ d ⇒ G ∈ d '' = V (d) ⇒ d’’// d và qua O; O; A ' = V 2 O; 4 (A) ⇒ A ' − ; ⇒ d'' : x − y + = 3 DẠNG 2: Một số bài toán chứng minh, dựng hình và quỹ tích Bài 1: Chứng minh thực liên tiếp phép vị tự tâm I phép vị tự tâm I Hướng dẫn + Xét V( I,k ) (M) = M ' ⇔ IM ' = k.IM (1) , V( I,k ') (M ') = M '' ⇔ IM '' = k '.IM ' (2) + Từ (1) và (2) ⇒ IM '' = k.k '.IM ⇒ V( I;k.k ') (M) = M '' (đpcm) Bài 2: Cho đường tròn (C) và (C’) cắt có giao điểm là A Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (C) M và cắt (C’) N cho M là trung điểm AN Hướng dẫn (C) A (C1) (C') M N * Bước 1: Phân tích + Giả sử bài toán đã dựng Ta có: M là trung điểm AN ⇒ AM = AN ⇒ V (N) = M A; 2 + Vì N ∈ (C ') ⇒ M ∈ (C1 ) = V 1 A; 2 (C ') * Bước 2: Cách dựng + Dựng đường tròn (C1 ) = V 1 A; 2 (C ') (đường tròn (C1 ) qua A, có bán kính bán kính (C’)) + Dựng M = (C1 ) ∩ (C) (Do M ∈ (C), M ∈ (C1 ) ) + Nối AM kéo dài cắt (C’) N Bài 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) B và C cố định, A di động trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích trọng tâm ∆ABC Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 47 (48) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG A G B M C Hướng dẫn + Gọi M là trung điểm BC Do B, C cố định nên M cố định, mà MG = MA ⇒ V (A) = G M; 3 Vậy quỹ tích G ∈ (O '; R ') = V 1 M; 3 (O; R) Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và điểm A cố định trên đường tròn BC là dây cung di động và BC có độ dài không đổi 2a (a < R) Tìm tập hợp trọng tâm G ∆ABC Hướng dẫn A O G B M C + Gọi M là trung điểm BC, ta có OM ⊥ BC ⇒ OM = OC2 − MC2 = R − a ( ⇒ M ∈ O; R − a ) + AG = AM ⇒ G = V (M) A; 3 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 48 (49) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ( ) + Do M chạy trên đường tròn O; R − a nên G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh đường ( ) tròn O; R − a qua phép vị tự V 2 A; 3 Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB Một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) và đoạn AB C và D Đường thẳng CD cắt (O ; R) I Tính độ dài AI, BI theo R Hướng dẫn C O' O B A D I + Ta có V R' C; R (O) = O ' ⇒ CO ' = R' R' CO (1), V R ' (I) = D ⇒ CD = CI (2) R R C; R CO ' CO = ⇒ OI / /O ' D ⇒ OI ⊥ AB ⇒ I là điểm chính cung AB CD CI AB 2R ⇒ AI = BI = = =R 2 Bài 6: Cho đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) tiếp xúc A (R > R’) Đường kính qua A cắt (O ; R) B và cắt (O’ ; R’) C Một đường thẳng di động qua A cắt (O ; R) M và cắt ( O’; R’) N Tìm quỹ tích I = BN ∩ CM + Từ (1) và (2) ⇒ Hướng dẫn M N I B C O O' A Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 49 (50) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Ta dự đoán V CI C; CM (O1 ) = V CI C; CM (M) = I , mà M nằm trên đường tròn (O) ⇒ I nằm trên đường tròn CI theo R và R’ CM (O) Như ta cần phải tính CM CI + IM IM = = 1+ CI CI CI IM IB BM AB 2R R CM R + R ' CI R' ⇒ V R ' (M) = I + Mà = = = = = ⇒ = ⇒ = CI IN CN AC 2R ' R ' CI R' CM R + R ' C; R+R ' Thật vậy: Vậy tập hợp các điểm I là đường tròn (O '') = V R' C; R +R ' ( ( O; R ) ) Bài 7: Cho ∆ABC , gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm AB, AC, IK Đường tròn ngoại tiếp ∆AIK cắt AO A’ Gọi M’ là chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống BC Chứng minh điểm A, M, M’ thẳng hàng Hướng dẫn A O I M K M B M' ≡ M1 C AB = 2.AI + Ta có ⇒ V( A;2) ( ∆AIK ) = ∆ABC (1) ⇒ V( A;2) (O) = A ' (do OA ' = 2.OA ) AC = 2.AK + Gọi M1 là trung điểm BC, vì M là trung điểm IK, từ (1) ⇒ V( A;2) (M) = M1 ⇒ điểm A, M, M’ thẳng hàng (do V( A;2) (M) = M1 ⇒ A, M, M1 thẳng hàng) Bài 8: Cho đường tròn ( O1 ;R1 ) và ( O ;R ) ngoài nhau, R1 ≠ R Một đường tròn (O;R) thay đổi tiếp xúc ngoài với ( O1 ;R1 ) A và tiếp xúc ngoài với ( O ;R ) B Chứng minh đường thẳng AB luôn qua điểm cố định Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 50 (51) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG C O B A O2 O1 I Hướng dẫn + Gọi C = AB ∩ ( O ;R ) V R ( O1 ;R ) = ( O;R ) A;− R1 O, A,O1 th¼ng hµng + Ta có : ⇒ ⇒ AO1 / /CO AO//CO V O;R O ;R = ( ) ( ) R2 2 A;− R + Gọi I = AB ∩ O1O ⇒ I là tâm vị tự ngoài phép vị tự V R2 I; R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) nên I cố định Vậy AB luôn qua điểm I cố định là tâm vị tự ngoài phép vị tự V R2 I; R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) Bài 9: ∆ABC có A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB a) Tìm phép vị tự V biến ∆ABC thành ∆A'B 'C' b) Tìm phép vị tự V biến ∆A'B 'C' thành ∆ABC Hướng dẫn A C' B' I B A' C a) Ta phân tích sau để tìm hướng giải: + Giả sử có phép vị tự V( I;k ) (M) = M ' ⇔ IM ' = kIM ⇒ I, M, M ' thẳng hàng Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 51 (52) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Vậy để có phép vị tự V( I;k ) ( ∆ABC ) = ∆A 'B 'C' thì : I, A, A ' th¼ng hµng I, B, B' th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña AA', BB', CC' I, C, C' th¼ng hµng + Mà A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB ⇒ I là trọng tâm ∆ABC Vậy phép vị tự cần tìm là V( I;k ) ( ∆ABC ) = ∆A 'B 'C' , đó I là trọng tâm ∆ABC , OA ' OB ' OC' =− =− =− OA OB OC b) Từ phần a) ta có: V ( ∆A 'B'C') = ∆ABC (hay V( I;−2) ( ∆A 'B'C' ) = ∆ABC) k=− I; k BÀI HỌC 6: PHÉP ĐỒNG DẠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Trong mặt phẳng, phép biến hình biến điểm M thành M’; N thành N’ cho M ' N ' = k.MN (với k là số thực dương cho trước) thì phép biến hình đó gọi là phép đồng dạng tỉ số k Ký hiệu: § k : (MN) = M ' N ' hoÆc § k : MN → M ' N ' (Như vậy: phép đồng dạng là phép phóng to thu nhỏ, không cần theo phương định phép vị tự vì không cần quan tâm đến yếu tố thẳng hàng) Chú ý + Khi thực liên tiếp phép vị tự và phép dời hình ta phép đồng dạng + Khi thực liên tiếp phép đồng dạng ta phép đồng dạng II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đồng dạng tính toán Bài 1: Cho đường thẳng d : x + y − = Viết phương trình d’ là ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I(−1; −1) , tỉ số k = và phép quay tâm O, góc quay (−45 ) Hướng dẫn + Gọi d1 = V (d) ⇒ d1 : x + y = I;k = 2 + Gọi d = Q O;−450 (d1 ) ⇒ d : x = ( ) Vậ y d ' ≡ d : x = Bài 2: Xét phép biến hình biến điểm M ( x; y ) thành điểm M ' ( −2x + 3; 2y − 1) Chứng minh F là phép đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng Hướng dẫn: Tìm ảnh M qua các phép biến hình sau: - Phép vị tự tâm O, tỉ số - Phép đối xứng trục Oy - Phép tịnh tiến vectơ v = ( 3;1) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 52 (53) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Thật vậy: - Phép vị tự tâm O, tỉ số 2: M → M1 có M1 ( 2x; 2y ) - Phép đối xứng trục Oy: M1 → M có M ( 2x; −2y ) - Phép tịnh tiến vectơ v = ( 3;1) : M → M ' ( 2x + 3;1 − 2y ) ⇒ Phép biến hình F là tích phép vị tự và phép dời hình ⇒ F là phép đồng dạng, tỉ số Bài 3: Cho điểm I(1;1) , đường tròn ( I; ) Viết phương trình đường tròn là ảnh đường tròn trên qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số (với O là gốc tọa độ) Hướng dẫn I1 I 450 O + Gọi đường tròn (C1 ) có tâm I1 , bán kính ( ) là ảnh đường tròn (C) tâm I, bán kính ( ⇒ Q O;450 (I) = I1 ⇒ I1 0; ⇒ (C1 ) : x + y − ( ) ) = (R1 = 2) + Gọi đường tròn (C2 ) có tâm I , bán kính R là ảnh đường tròn (C1 ) qua phép vị tự R R V O; (do k > nên ta có tâm vị tự ngoài), có k = ⇔ = ⇔ R = 2 ( ) R1 Mặt khác V O; ( xI − 0 = 1− (I ) = I2 ⇒ 2) y I2 − 0 = 1− 2x I1 x I2 = ⇒ ⇒ I (0; 2) 2y I1 y I2 = 2 = 2 Vậy (C2 ) : x + ( y − ) = DẠNG 2: Một số bài toán chứng minh, dựng hình và quỹ tích Bài 1: Trên mặt phẳng, cho điểm M 1) Dựng ảnh phép đồng dạng F là hợp thành phép đối xứng trục D ∆ và phép vị tự V tâm O với O ∉ ∆ , tỉ số k = 2) Dựng ảnh phép đồng dạng F là hợp thành phép vị tự V, tâm O, tỉ số k = - và phép quay tâm I, góc quay ϕ = 900 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 53 (54) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn 1) ∆ O O M2 M M ≡ M1 M2 TH1 TH2 TH1: M ∈ ∆ + Gọi M1 = D ∆ (M) ⇒ M1 ≡ M + Gọi M = V( O;k = 2) (M1 ) ⇒ OM = 2.OM1 ⇒ M là trung điểm OM TH2: M ∉ ∆ + Gọi M1 = D ∆ (M) ⇒ ∆ là trung trực MM1 + Gọi M = V( O;k = 2) (M1 ) ⇒ OM = 2.OM1 ⇒ M1 là trung điểm OM 2) M2 I O ≡ M1 I M O M1 M2 TH1 TH2 TH1: M ≡ O + Gọi M1 = V( O;−3) (M) ⇒ OM1 = −3.OM = ⇒ M1 ≡ O IM = IM1 + Gọi M = Q I;900 (M ) ⇒ ( ∆IM1M vuông cân I) ( ) IM ; IM 90 = TH2: M ≠ O + Gọi M1 = V( O;−3) (M) ⇒ OM1 = −3.OM ( ) IM = IM1 + Gọi M = Q I;900 (M ) ⇒ ( ∆IM1M vuông cân I) ( ) IM1 ; IM = 90 ( ) CÒN NỮA … Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 54 (55) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CÁC SÁCH ĐÃ PHÁT HÀNH (1) Các chuyên đề đại số (Ôn thi vào lớp 10) (2) Tinh hoa hình học (Ôn thi vào lớp 10) (3) Luyện đề môn toán (Ôn thi vào lớp 10) (4) Tinh hoa hình học (Ôn thi THPT quốc gia) (5) Luyện đề môn toán (Ôn thi THPT quốc gia) ĐỂ ĐẶT MUA SÁCH, CÁC EM LIÊN HỆ VỚI THẦY Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Gmail: ng.huubien@gmail.com Điện thoại: 01234.170.323 (56)