De thi HSG vong huyen

Chứng minh tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P.. 5 PB 16 Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD..[r]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2014-2015 Đề thi môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (5điểm) a (2điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y +3 xy +3 x+ y +2=0 b (3điểm) Phân tích đa thức x3(x2 – 7)2 – 36x thành nhân tử Từ đó suy nghiệm phương trình x3(x2 – 7)2 – 36x = Câu 2: (5điểm) a (3điểm) Tìm số tự nhiên n cho n  18n  10 là số chính phương 3 b (2điểm) Tính giá trị: A =    Câu 3: (5điểm) a (3điểm) Tìm giá trị nhỏ A = x  xy  y  x  b (2điểm) Tìm tất các số nguyên dương x , y , z thoả mãn ¿ x + y + z >11 x+ y+ 10 z=100 ¿{ ¿ Câu 4: (5điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy điểm P thuộc đường chéo BD Gọi M là điểm đối xứng với C qua P, gọi E, F là hình chiếu M trên AD và AB a Chứng minh và điểm E, F, P thẳng hàng b Chứng minh tỉ số các cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P 12 PD CP = ; = PB 16 Tính các cạnh hình chữ nhật ABCD c Cho CP ^ BD và HẾT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2014-2015 Hướng dẫn chấm môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) _ Câu 1: (5điểm) a (2điểm) (2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 = (-1) = 1.(-1) Xét trường hợp ta có: và (0.5điểm) Giải ta cặp số: (-2 ; 2); (2 ; - 4) Vậy phương trình có nghiệm là: (x, y) = (-2; 2); (2; - 4) b (3điểm) x3(x2 – 7)2 – 36x = x[x2(x2 – 7)2 – 36] = x[x(x2 – 7) – 6][x(x2 – 7) + 6] = x(x3 – 7x – 6)(x3 – 7x + 6) = x(x3 – x – 6x – 6)(x3 – x – 6x + 6) = x[x(x2 – 1) – 6(x + 1)][x(x2 – 1) – 6(x – 1)] = x(x + 1)[x(x – 1) – 6](x – 1)[x(x + 1) – 6] = x(x + 1)(x2 – x – 6)(x – 1)(x2 + x – 6) = x(x + 1)(x2 + 2x – 3x – 6)(x – 1)(x2 – 2x + 3x – 6) = x(x + 1)[x(x + 2) – 3(x + 2)](x – 1)[x(x – 2) + 3(x – 2)] = x(x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 1)(x – 2)(x + 3) Từ đó ta các nghiệm phương trình x3(x2 – 7)2 – 36x = là x =0 x =1 x =2 x =3 Câu 2: (5điểm) a (3điểm) Để n  18n  10 là số chính phương  n  18n  10 =k (k  N ) (0.5điểm) (0.5điểm) (0.5điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) (0,25điểm)  n  18n  81 =k  10  81 (0,25điểm)   n    k =91 (0,25điểm)   n   k   n   k  =91 (0,25điểm)  n 9k n  9 k Vì: Ta có trường hợp sau: n   k =91 n  k =100 n =55    n  k =10 k =45 +/ n   k =1 n   k = n  k =8 n =45    k = 37 +/ n   k = 91 n  k =82 (0,5điểm) (Nhận) (0,25điểm) (Loại) (0,25điểm) n   k =13 n  k =22 n =19    n  k =16 k =3 +/ n   k =7 (Nhận) n   k = n  k =2 n =    n  k = k =3 +/ n   k = 13 (Loại) Vậy n = 19 n=55 thì n  18n  10 là số chính phương (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) b (2điểm) A = = = = = 5   5  1  2  -  2  = =   1    2 1  1  (0,25điểm)  5  .1  2.12  13  21 (0,5điểm)   1 2  3 -  2   2 .1  2.12  13 (0,5điểm) (0,25điểm) 21 (0,25điểm)  = Vậy A = (0,25điểm)  Câu 3: (5điểm) a (3điểm) A = x  y   xy  y  x  y  y (1điểm) 1 y  1)  2( y  y   ) 4 = 1 ( x  y  1)2  2( y  )2   2 = ( x (1điểm) (0,5điểm)   y =   x =9  (0,5điểm) 25 100 = 8x + 9y + 10z > 8x + 8y + 8z = 8(x + y + z) → x + y + z < (0,5điểm) x + y + z > 11, ( x + y + z ) nguyên nên x + y + z =12 (0,5điểm) Vậy giá trị nhỏ A b (2điểm) Vậy ta có hệ ¿ x+ y+ z =12 x+ y+ 10 z=100 ↔ ¿ x + y + z=12 y +2 z=4 ¿{ ¿    y  =0    x  y  =0  Từ y + 2z = suy z = (do y, z > 0) Khi z = thì y = và x = Thay x = 9; y = 2; z = thấy thoả mãn yêu cầu bài toán (0,5điểm) (0,5điểm) Câu 4: (5điểm) Vẽ hình đúng (0,25điểm) a Kẻ qua A đường thẳng song song với CM cắt DB tai Q Hai tam giác ADQ và CBP (g-c-g) suy AQ =CP Tứ giác AQPM có cặp cạnh đối AQ và CP song song và nên là hình bình hành, suy    FAM =ABD, Vì   mà FAM =AFE, ABD =BAC  , (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) nên FAM =BAC,  MA cắt EF tai O, xét ∆CAM có PO là đường trung bình nên (0,25điểm) Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclit ta có hai đường thẳng OP, EF trùng nên điểm E, F, P thẳng hàng b Hai tam giác vuông MAF và DBA có hai góc nhọn tương ứng  FAM và ABD nên đồng dạng, (0,25điểm) MF DA = : Suy FA BA không đổi PD PB = =k, k  16 c Từ giả thiết suy  PD =9k; PB =16k (3) (0,5điểm)   Từ giả thiêt CP ^ BD suy CP là đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vuông BCD, nên theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: CP =PD.PB  (2,4) =9k.16k  k =0,2 (4) Từ (3) và (4)  PD =1,8 và PB =3,2 Nên BD =PD  PB =1,8  3,2 =5 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông BCD ta có: (0,25điểm) (0,5điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) BC =BP.BD =(3,2).5 =16 == BC =4 Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BAD ta có: BD2 =AB2  AD2 2 2  AB = BD  AD =  =3 (0,25điểm)