de thi toan 9 hsg

b Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất... PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG..[r]

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm) ( xx−5−25√ x −1): (25x+2− x√ x −15 − √√ xx +3+5 + √√ xx −5 −3 ) Cho biểu thức A = Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x, x 25, x tìm giá trị nhỏ biểu thức A (x+ 16) B= Câu 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: √ x − x+ 4+ √2 x −1=√ x +21 x −11 b) Tìm giá trị nhỏ xy yz zx + + z x y A = với x, y, z là các số dương và x2 + y2 + z2 = Câu 3: (3 điểm) a) Tìm các nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1   6 x y yz zx b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1    x  y  z 3x  y  3z x  y  3z Chứng minh rằng: Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 Câu Ý a (6đ) Nội dung trình bày x ≥ , x ≠ 25 , x ≠ Tìm đúng điều kiện A= gọn b Rút √ x+ Điểm 1,0 1,5 √ x+3 x z => 0,5 là Ư(5)  x  1 (loai ) 1,0   x  5  x 4 = > c √ x+3 0,5 ¿ 5¿ A (x +16) 5( x+16) B= = ¿ ¿ √ x −3+ B≥4 (4đ) a 25 25 =√ x +3+ −6 1,0 √ x+ √ x+3 ⇔ => => 0,5 B = x=4 x ≥ ĐK: x 0,5 = 0,5 Biến đổi: √ x −9 x +4 +3 √2 x − 1=√ x +21 x −11 ⇔ √( x − ) ( x − ) +3 √2 x − 1=√ ( x+ 11 ) ( x − ) ⇔ √ ( x − )( x − )+ √ x − 1− √( x +11 ) ( x −1 ) =0 ⇔ √ x − 1( √ x − 4+3 − √ x +11)=0 1,0 ⇔ √ x −1=0(1) √ x − 4+3 − √ x +11=0 Hoặc (2) Giải (1) x = 0,5 0,5 (thỏa mãn), giải (2) x = (thỏa mãn) b xy yz zx + + A= z x y x2 y2 y2 z2 z2 x2 + + +2 z2 x y 0,75 Nên A2 =( vì x2+y2+z2 =1) = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 + ≥ =2 y 2 2 z x z x 2 2 y z z x + ≥2 z T x y 0,75 ương tự √ x y z2 x + ≥2 x 2 z y ⇒ B≥ Cộng vế với vế ta 2B √ Do đó A2 = B +2 nên A √3 (3đ) a ⇔ 0,5 √3 Vậy Min A = x=y=z= Từ 2x6 + y2 – 2x3y 0,5 = 320 <=>(x3-y)2 + (x3)2=320 £ => (x3)2 320 x£2 mà x nguyên 0,75 nên Nếu x=1 x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình đã cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2); (2;6); (-2;-6); (2;2) 1   a b a  b Áp b dụng BĐT a, b > 0)  0,25 0,5 (với 1 1     a b  a b  1 1     3x  y  z  x  y  z    x  y  z   x  y  z x   11 1 1           x  y    x  z   x  y    y  z     x  y x  z Ta có: 1 1       16  x  y x  z y  z  1 1       3x  y  3z 16  x  z x  y y  z  Tương tự: 1 1       x  y  z 16  y  z 0,5x  y x  z  Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4       3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z 16  x  y x  z 4 1         16  x  y x  z y 0,5 z C J A I M O O’ 1,0 D (6đ) a B   Xét tứ giác 0,5 ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoi   AC // DM, mà 0,5 ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)    DMCB; 0,5 MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)  D, M, J thẳng hàng   IDM + IMD = 900  DIM = 900 Ta có : 0,5 (vì )   IJM = IDM  Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông J có JI là trung tuyến)    MJO' = JMO' = IMD ˆ ' IMD ˆ (do O’J JMO = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh)  900  IJO  + MJO'  IJM 900   IJ là tiếp tuyến (O’), 0,5 J là tiếp điểm b AB  Ta có: IA 0,5 = IMIO’ = = R (R là bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)  JIO’ vuông I : 0,5 IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2 0,5 2IJ.O’J = 4SJIO’  R2 Do đó SJIO’ R2  SJIO’ = IJ 0,5 = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : R  2O’J2 = (1đ) O’I2 = R2 O’J = Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 0,5 0,5  xy  x  y  167  (2 x  1)(2 y  1) 167  (2 x 1);(2 y 1)  Z Do x,y nguyên dương  (2 x 1);(2 y  1)  Ư(167) Lập bảng tìm (x,y)=(0;83); 0,5 (83;0)