Đang tải... (xem toàn văn)
b Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất... PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm) ( xx−5−25√ x −1): (25x+2− x√ x −15 − √√ xx +3+5 + √√ xx −5 −3 ) Cho biểu thức A = Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x, x 25, x tìm giá trị nhỏ biểu thức A (x+ 16) B= Câu 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: √ x − x+ 4+ √2 x −1=√ x +21 x −11 b) Tìm giá trị nhỏ xy yz zx + + z x y A = với x, y, z là các số dương và x2 + y2 + z2 = Câu 3: (3 điểm) a) Tìm các nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 6 x y yz zx b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 x y z 3x y 3z x y 3z Chứng minh rằng: Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - (2) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 (3) Câu Ý a (6đ) Nội dung trình bày x ≥ , x ≠ 25 , x ≠ Tìm đúng điều kiện A= gọn b Rút √ x+ Điểm 1,0 1,5 √ x+3 x z => 0,5 là Ư(5) x 1 (loai ) 1,0 x 5 x 4 = > c √ x+3 0,5 ¿ 5¿ A (x +16) 5( x+16) B= = ¿ ¿ √ x −3+ B≥4 (4đ) a 25 25 =√ x +3+ −6 1,0 √ x+ √ x+3 ⇔ => => 0,5 B = x=4 x ≥ ĐK: x 0,5 = 0,5 Biến đổi: √ x −9 x +4 +3 √2 x − 1=√ x +21 x −11 ⇔ √( x − ) ( x − ) +3 √2 x − 1=√ ( x+ 11 ) ( x − ) ⇔ √ ( x − )( x − )+ √ x − 1− √( x +11 ) ( x −1 ) =0 ⇔ √ x − 1( √ x − 4+3 − √ x +11)=0 1,0 ⇔ √ x −1=0(1) √ x − 4+3 − √ x +11=0 Hoặc (2) Giải (1) x = 0,5 0,5 (thỏa mãn), giải (2) x = (thỏa mãn) (4) b xy yz zx + + A= z x y x2 y2 y2 z2 z2 x2 + + +2 z2 x y 0,75 Nên A2 =( vì x2+y2+z2 =1) = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 + ≥ =2 y 2 2 z x z x 2 2 y z z x + ≥2 z T x y 0,75 ương tự √ x y z2 x + ≥2 x 2 z y ⇒ B≥ Cộng vế với vế ta 2B √ Do đó A2 = B +2 nên A √3 (3đ) a ⇔ 0,5 √3 Vậy Min A = x=y=z= Từ 2x6 + y2 – 2x3y 0,5 = 320 <=>(x3-y)2 + (x3)2=320 £ => (x3)2 320 x£2 mà x nguyên 0,75 nên Nếu x=1 x=-1 thì y không nguyên (loại) (5) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình đã cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2); (2;6); (-2;-6); (2;2) 1 a b a b Áp b dụng BĐT a, b > 0) 0,25 0,5 (với 1 1 a b a b 1 1 3x y z x y z x y z x y z x 11 1 1 x y x z x y y z x y x z Ta có: 1 1 16 x y x z y z 1 1 3x y 3z 16 x z x y y z Tương tự: 1 1 x y z 16 y z 0,5x y x z Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 3x y z 3x y 3z x y 3z 16 x y x z 4 1 16 x y x z y 0,5 z C J (6) A I M O O’ 1,0 D (6đ) a B Xét tứ giác 0,5 ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoi AC // DM, mà 0,5 ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) DMCB; 0,5 MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng IDM + IMD = 900 DIM = 900 Ta có : 0,5 (vì ) IJM = IDM Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông J có JI là trung tuyến) MJO' = JMO' = IMD ˆ ' IMD ˆ (do O’J JMO = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh) 900 IJO + MJO' IJM 900 IJ là tiếp tuyến (O’), 0,5 (7) J là tiếp điểm b AB Ta có: IA 0,5 = IMIO’ = = R (R là bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) JIO’ vuông I : 0,5 IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2 0,5 2IJ.O’J = 4SJIO’ R2 Do đó SJIO’ R2 SJIO’ = IJ 0,5 = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : R 2O’J2 = (1đ) O’I2 = R2 O’J = Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 0,5 0,5 xy x y 167 (2 x 1)(2 y 1) 167 (2 x 1);(2 y 1) Z Do x,y nguyên dương (2 x 1);(2 y 1) Ư(167) Lập bảng tìm (x,y)=(0;83); 0,5 (8) (83;0) (9)