Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng có thể đặt tam giác này trong một hình chữ nhật có số đo độ dài các cạnh là các số nguyên sao cho hai đỉnh của tam giác trùng với hai điểm đầu và điểm cuối của một đường [r]
(1)TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI THÁNG 12 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: /12/2015 Bài (2,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn điều kiện: (x 2006)2 y(y 1)(y 2)(y 3) 3 y x 2x xy z 2 b) Tìm tất các số nguyên (x, y, z) thoả mãn: Bài (3,0 điểm) a) Cho các số x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 3x xy 3y 3y yz 3z 3z zx 3x b) Giải phương trình: x x x 11 x 27 Bài (2,5 điểm) · Cho tam giác ABC với ACB = 90 và D là chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB Gọi X là điểm nằm C và D, K là điểm thuộc đoạn thẳng AX cho BK = BC Tương tự L là điểm thuộc đoạn thẳng BX cho AL = AC; M là giao điểm AL và BK Chứng minh MK = ML Bài (1,5 điểm) Các cạnh tam giác có số đo là 377; 80; 153 Chứng minh có thể đặt tam giác này hình chữ nhật có số đo độ dài các cạnh là các số nguyên cho hai đỉnh tam giác trùng với hai điểm đầu và điểm cuối đường chéo và khoảng cách từ đỉnh thứ ba tam giác tới các cạnh hình chữ nhật là số nguyên Khi đó chứng tỏ số đo diện tích tam giác là số nguyên Bài (1,0 điểm) Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a là số nguyên lớn không vượt quá a và kí hiệu a Dãy các số x0 , x1, x2, xn xác định n 1 n công thức xn = Hỏi 200 số { x0, x1, x199 } Có bao nhiêu số khác ? (Cho biết 1,41 < < 1, 42) (2) Hết ĐÁP ÁN: ĐỀ KIỂM TRA LỚP – SỐ (NĂM 2015 – 2016) Bài (2,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn điều kiện: (x 2006)2 y(y 1)(y 2)(y 3) 2 Giải: PT (x 2006) (y 3y)(y 3y 2) 2 Đặt t = y 3y thì (x 2006) t 2t 2 2 * Nếu t > thì t t 2t (t 1) Do đó (x 2006) không là số chính phương : 0,5đ * Nếu t thì y 3y y(y 3) 0 Vì y là số nguyên, nên y = 0; – 1; – 2; – Vậy các cặp số nguyên cần tìm (x ; y) là: (2006; – 3), (2006; – 2), (2006; – 1), (2006; 0) 0,5đ : y3 x 2x xy z 2 b) Tìm tất các số nguyên (x, y, z) thoả mãn 3 Giải: Có 2x + > 0, nên từ PT (1) suy y > x y > x Mặt khác x, y là số nguyên Suy y x + y3 (x 1)3 x 2x x 3x 3x x 3x 0 x 0 .: 0,5đ Do đó x = – 3; – 2; – 1; Từ (2) ta có xy > 0, đó x, y cùng dấu Ta cặp (x ; y) là (– ; – 2) Thay vào (2) suy ta có các (x, y, z) là (– ; – ; – 2), (– ; – ; 2) : 0,5đ Bài (3,0 điểm) a) Cho các số x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 3x xy 3y 3y yz 3z 3z zx 3x 3x xy 3y2 Giải: Chứng minh BĐT: 12x 4xy 12y 7 x 2xy y x y (1) 5x 10xy 5y 0 x y 0 (2) luôn đúng với x, y Vậy BĐT (1) đúng Dấu "=" xảy x = y 3x xy 3y x y Với x, y > ta có Suy 3x xy 3y 7 x y x y x y 2 : 0,5đ (3) 3y yz 3z Lập luận tương tự có 0,5đ Cộng các BĐT cùng chiều ta có y z , 3z zx 3z A 3x xy 3y 3y yz 3z 3z zx 3x x y z Vậy MinA = và b) Giải phương trình x x x 11 x 27 Giải: Điều kiện x Phương trình tương đương x x 20 x x 11 0 x 5 x z x : x y y z z x : 0,5đ x x 0 x 4 3 x 11 : 0,5đ 1 x 5 x 0 x 4 3 x 11 1 x4 0 x 4 3 x 11 Với x thì Suy x – = x 5 Vậy PT có nghiệm x = : 1,0đ Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC với BCA 90 , và D là chân đường cao hạ từ C Cho X là điểm nằm miền đoạn thẳng CD, K là điểm trên đoạn thẳng AX cho BK = BC Tương tự L là điểm nằm trên đoạn thẳng BX cho AL = BC; M là giao điểm AL và BK Chứng minh MK = ML Giải: Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BX cắt BX E, cắt CD I; gọi F là giao điểm AX và BI Xét ACB vuông C, đường cao CD Có AC AD.AB : 0,5đ Có ADI đồng dạng AEB (g g) Suy AD AB = AE AI, mà AC = AL Do đó AL AE.AI : 0,5đ Suy AEL đồng dạng ALI Suy AEL ALI 90 Xét ILA có ALI 90 , LE là đường cao Suy IL IE.IA (1) : 0,5đ (4) Xét IAB có BE, ID là các đường cao, nên X là trực tâm tam giác Suy AF IB Chứng minh tương tự ta có IK BK, và IK IF.IB (2) : 0,5đ Ta có IEB đồng dạng IFA, suy IE IA = IF IB (3) 2 Từ (1), (2) và (3) suy IL IK , hay IL = IK Xét IML và IMK có IM chung, IL = IK, ILM IKM 90 Suy IML = IMK, nên ML = MK .: 0,5đ Bài (1,5 điểm) Các cạnh tam giác có số đo là 377; 80; 153 Chứng minh có thể đặt tam giác này hình chữ nhật có số đo độ dài các cạnh là các số nguyên cho hai đỉnh tam giác trùng với hai điểm đầu và điểm cuối đường chéo và khoảng cách từ đỉnh thứ ba tam giác tới các cạnh hình chữ nhật là số nguyên Khi đó chứng tỏ số đo diện tích tam giác là số nguyên Giải: Dựng hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = CD =16, chiều rộng AD = BC =11 Trên AB đặt điểm P cho AP = 4, trên BC đặt CN = Từ P và N kẻ đường thẳng vuông góc với AB và BC chúng cắt M .: 0,5đ Ta có PB = MN =12 ; BN = MP = Xét tam giác vuông MPA, có 2 AM AP MP 16 64 80 AM 80 Xét tam giác vuông MNC, có MC2 MN NC2 122 32 MC 153 Xét tam giác ABC vuông B, có AC2 AB2 BC2 162 112 AC 377 .: 0,5đ Vậy tam giác MAC có các cạnh 377; 80; 153 và có các đỉnh trùng với đầu mút đường chéo AC, còn khoảng cách từ M đến các cạnh AB và BC và 12 là các số nguyên, nên tam giác MAC là cần tìm Ta có SMAC SABCD SABC SAHM SCKM SDHMK = 11 16 – 11 – – – 4 = 42 (đơn vị diện tích) là số nguyên : 0,5đ Bài (1,0 điểm) Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a là số nguyên lớn không vượt quá a và kí hiệu a Dãy các số x , x , x , x xác định n n 1 n công thức xn = Hỏi 200 số { x0, x1, x199 } Có bao nhiêu số khác ? (Cho biết 1,41 < < 1,42) n 1 n x n , n Giải: Từ n 1 n 1 n 1 n n n 1 , 2 2 2 Ta có (5) n n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 1 1 2 2 2 2 n 1 n 1 2 Suy x n , x n 0; 1 , n : 0,5đ x , x Ta có , 200 199 x x199 2 2 2 2 200 x x1 x .x199 0 100 100 141 Ta có 1,41 < < 1,42 141 <100 < 142 Mà x1 , x , , x199 0; 1 x1 x x199 141 x , x , x , , x199 Do đó 200 số có 141 số mà các số này nhận giá trị và các số còn lại Vậy 200 số đã cho có 141 số khác : 0,5đ CHÚ Ý: HS LÀM THEO CÁCH KHÁC ĐÚNG VẪN CHO ĐIỂM TỐI ĐA (6) Người đề: Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, Tp Hải Phòng Tel: 0936113930 Email: info@123doc.org ĐỀ KIỂM TRA LỚP – SỐ (NĂM 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 90 phút Bài (3,0 điểm) 1) Cho a = + 11 + + - 11 + Tính giá trị biểu thức a - 12a + 50a - 80a + 30a + 8a + A= a - 4a + 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x2 +16x + 96 = 3x - 16y - 24 Bài (3,0 điểm) F= 1- x 2x - 2x +1 x +1 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a +1 b +1 = ( ab +1) a b 2) Tìm các giá trị a, b cho Bài (4,0 điểm) 1) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm tam giác tạo ba đường trung bình tam giác đó · 2) Cho tam giác ABC với ACB = 90 và D là chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB Gọi X là điểm nằm C và D, K là điểm thuộc đoạn thẳng AX cho BK = BC Tương tự L là điểm thuộc đoạn thẳng BX cho AL = AC; M là giao điểm AL và BK Chứng minh MK = ML .Hết (7) ĐÁP ÁN: ĐỀ KIỂM TRA LỚP – SỐ (NĂM 2014 – 2015) Bài (3,0 điểm) 1) Cho a = + 11 + + - 11 + Tính giá trị biểu thức a - 12a + 50a - 80a + 30a + 8a + A= a - 4a + Giải: a = + 11 + + Suy 11 + ( ) ( a = 12 + 25 - = 12 + 2 - =10 + = + ) 2 Û a = + Khi đó a - = Û ( a - 2) = Û a - 4a = .: 0,5đ a - 12a + 50a - 80a + 30a + 8a + A= a - 4a + Cách 1: Do đó ( a - 4a ) éêë( a - 4a )( a - 4a + 2) - 2ùúû+ A= a - 4a + (*) 2(2.2 - 2) + A= =4 2 +2 Thay a - 4a = vào (*) có : 1,0đ Cách 2: a - 12a + 50a - 80a + 30a + 8a + A= = a 8a + 16a + a - 4a + a - 4a + 2 8 A = ( a - 4a ) - + A = 22 - + =4 a - 4a + Thay a - 4a = , ta có +2 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x2 +16x + 96 = 3x - 16y - 24 Giải: Đặt 3x - 16y - 24 = m,m Î ¥ , đó ta có PT: (8) 9x +16x + 96 = m Û 81x + 9.16x + 864 = 9m 0,5đ : Û ( 9x + 8) - ( 3m) =- 800 Û ( 9x + - 3m) ( 9x + + 3m) =- 800 2 Thay 3x - 16y - 24 = m Suy ( 3y + 5) ( 9x - 24y - 32) =- 25 0,5đ Do đó 3y + là ước 25, mà 3y + chia cho dư Suy 3y + Î { - 1;5;- 25} Û y Î { - 2;0;- 10} : Tìm cặp (x, y) là ( 1;- 2) ,( 3;0) ,( - 23;- 10) Loại cặp ( 3;0) vì 3x - 16y - 24 = m < Vậy cặp (x, y) là ( 1;- 2) , ( - 23;- 10) .: 0,5đ Bài (3,0 điểm) 1- x 2x F= - 2x +1 x +1 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải: Điều kiện x ³ ( ) x- ( x - 1) 1- x 2x F= +1 - +1 - = + - 2³ - 2x +1 2x +1 x +1 x +1 Vậy minF = - và x = 1,5đ a +1 b +1 = ( ab +1) 2) Tìm các giá trị a, b cho a - b - Giải: Điều kiện a ¹ 1,b ¹ Từ giả thiết suy 2 ( a +1)( b +1) = ( a - 1) ( b - 1) ( ab +1) 0,5đ Ta có ( a +1) ³ ( a - 1) 2 ( b +1) ³ ( b - 1) .: (1) .: (2) (3) ( a +1)( b +1) ³ ( ab +1) 2 2 (4) : 0,5đ ( a + 1) ( b + 1) ³ ( ab +1) ( a - 1) ( b - 1) 2 2 Nhân vế (2), (3) và (4) suy ( a +1)( b + 1) ³ ( ab +1) ( a - 1) ( b - 1) ³ ( ab +1) ( a - 1)( b - 1) Suy Do đó để có (1) suy a = b = - 0,5đ Bài (4,0 điểm) : (9) 1) (1,5 điểm) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm tam giác tạo ba đường trung bình tam giác đó Giải: Xét tam giác ABC, O là tâm đường tròn nội tiếp Gọi D, E, F là trung điểm BC, AC, AB Kẻ AH ^ BC,OK ^ BC Ta có 2S ABC = BC.AH = ( AB + BC + CA) OK > 2BC.OK : 0,5đ Suy AH > 2.OK Gọi AH cắt EF I, có AH = 2.IH Suy HI > OK Suy điểm O nằm ngoài tam giác AEF Chứng minh tương tự điểm O nằm ngoài tam giác BDF, tam giác CDE Do đó điểm O nằm tam giác DEF : 1,0đ 2) (2,5 điểm) Cho tam giác ABC với BCA 90 , và D là chân đường cao hạ từ C Cho X là điểm nằm miền đoạn thẳng CD, K là điểm trên đoạn thẳng AX cho BK = BC Tương tự L là điểm nằm trên đoạn thẳng BX cho AL = BC; M là giao điểm AL và BK Chứng minh MK = ML Giải: Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BX cắt BX E, cắt CD I; gọi F là giao điểm AX và BI Xét ACB vuông C, đường cao CD Có AC AD.AB : 0,5đ Có ADI đồng dạng AEB (g g) Suy AD AB = AE AI, mà AC = AL Do đó AL AE.AI : 0,5đ Suy AEL đồng dạng ALI Suy AEL ALI 90 Xét ILA có ALI 90 , LE là đường cao Suy IL IE.IA (1) : 0,5đ Xét IAB có BE, ID là các đường cao, nên X là trực tâm tam giác Suy AF IB Chứng minh tương tự ta có IK BK, và IK IF.IB (2) : 0,5đ Ta có IEB đồng dạng IFA, suy IE IA = IF IB (3) 2 Từ (1), (2) và (3) suy IL IK , hay IL = IK Xét IML và IMK có IM chung, IL = IK, ILM IKM 90 Suy IML = IMK, nên ML = MK .: 0,5đ CHÚ Ý: HS LÀM THEO CÁCH KHÁC ĐÚNG VẪN CHO ĐIỂM TỐI ĐA (10) Người đề: Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, Tp Hải Phòng Tel: 0936113930 Email: info@123doc.org ĐỀ KIỂM TRA LỚP – SỐ (NĂM 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 90 phút Câu I (2,0 điểm) x3 2x 1 3x 2x 1 1) Giải phương trình: 2) Biết a, b, c, d là các số nguyên lẻ thỏa mãn điều kiện a b5 c5 d 240 (11) Chứng minh a b c d 240 Câu II (2,0 điểm) P a b2 a,b 0, a b 1) Cho Tìm giá trị lớn và nhỏ 2) Cho n là số tự nhiên lớn 1, chứng minh n n 1 4n 1 1 n Câu III (2,0 điểm) 2 2 Cho a, b, c, d là các số tự nhiên đôi phân biệt thỏa mãn a + d = b + c = P Chứng minh rằng: 1) P là hợp số 2) ab + cd và ac + bd không thể đồng thời là số nguyên tố Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp (O; R), đường tròn nội tiếp (I, r) 2 1) Chứng minh OI R 2Rr 2) Gọi AI cắt (O) E khác A Gọi K đối xứng với I qua BC, EK cắt (O) F khác E Chứng minh I, O, E, F cùng thuộc đường tròn Câu V (1,0 điểm) Giả sử điểm mặt phẳng tô hai màu Chứng minh luôn tồn mặt phẳng này điểm cùng màu mà chúng là đỉnh tam giác .Hết ĐÁP ÁN: ĐỀ KIỂM TRA LỚP – SỐ (NĂM 2014 – 2015) Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x3 2x 1 3x 2x 1 (12) x Đặt y 2x 0 Ta có phương trình Giải: Điều kiện x 2y3 3xy x x y 2x y 2y3 0 x y x 2y 0 : 0,5đ Ta có các trường hợp * x y 0 x y x 2x x 2x x 1 (thỏa mãn điều kiện) x , y 2x 0 * x 2y 0 không tìm x, vì Vậy phương trình có nghiệm x = : 0,5đ 2) Biết a, b, c, d là các số nguyên lẻ thỏa mãn điều kiện a b5 c5 d 240 Chứng minh a b c d 240 A n n 240 Giải: Ta chứng minh n là số nguyên lẻ thì A n n n n 1 n 1 n Thật Do n là số lẻ, nên n 1 n 1 là tích số chẵn liên tiếp Suy n 1 n 1 8 n 2 n Có là số chẵn, nên Do đó A16 (1) : 0,5đ Mặt khác n chia cho dư 0; 1; Suy n chia cho dư 0; A n n n Do đó chia hết cho (2) Lại có n chia cho dư 0; 1; 2; 3; Suy n chia cho dư 0; 1; A = n ( n - 1)( n + 1) Do đó chia hết cho (3) Vậy A chia hết cho 16, cho 3, cho 5, mà 16, 3, đôi nguyên tố cùng ( 16.3.5) Þ AM240 Suy AM a + b + c5 + d5 ) - ( a + b + c + d ) = ( a - a ) + ( b - b ) + ( c - c ) + ( d - d ) ( Xét hiệu: a5 - a ) M 240,( b - b ) M 240,( c5 - c) M 240, ( d5 - d) M 240 ( Theo điều (*) có Þ ( a + b + c5 + d ) - ( a + b + c + d ) M 240 Þ ( a + b + c + d) M 240 : 0,5đ Câu II (2,0 điểm) 1) Cho a,b 0, a b 2 Tìm giá trị lớn và nhỏ P a b2 2 2 P a b a 12 12 b a.1 b.1 a b Giải: (13) Suy P 2 4 Vậy MinP = a = b =1 a b ab 1 Mặt khác theo BĐT Côsi có : 0,5đ P a b a b a b a b 2ab 5 ab ab 5 ab 0 a 0 a 2 ; a b b b 0 Suy MaxP = : 0,5đ 2) Cho n là số tự nhiên lớn 1, chứng minh n n 1 4n 1 1 n k i k Giải: Ta có , với i = 0, 1, 2, , 2k k 1 k k k 1 1 k 2k 1 2k k Suy : 0,5đ VT 2.12 2.22 2.32 2. n 1 n 1 Do đó VT 2 12 22 n 1 1 n 1 n 1 n 2n 1 n n 1 VP VT 2 Ta có điều phải chứng minh : 0,5đ Câu III (2,0 điểm) 2 2 Cho a, b, c, d là các số tự nhiên đôi phân biệt thỏa mãn a + d = b + c = P Chứng minh rằng: 1) P là hợp số 2) ab + cd và ac + bd không thể đồng thời là số nguyên tố Giải: 1) Từ giả thiết suy ( ab + cd) ( ac + bd) = ad( b + c2 ) + bc( a + d2 ) = ( ad + bc) ( a + d2 ) (1) 2 Suy a + d là ước tích ( ab + cd) ( ac + bd) (2) .: 0,5đ 2 ( a + d2 - ab - cd) = a + d2 + b + c2 - 2ab - 2cd = ( a - b ) + ( c - d) > Lại có 2 Suy a + d > ab + cd (3) : 0,5đ 2 Tương tự a + d > ac + bd (4) (14) 2 Từ (2), (3) và (4) suy P = a + d là hợp số : 0,5đ 2 2) Do a + d > ab + cd và a + d2 > ac + bd và theo 1) ta có ab + cd > ad + bc,ac + bd > ad + bc Giả sử ab + cd và ac + bd là số nguyên tố Khi đó theo (1) có ad + bc phải là ước ab + cd ac + bd Điều này không xảy ra, nên ta có điều phải chứng minh .: 0,5đ Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp (O; R), đường tròn nội tiếp (I, r) 2 1) Chứng minh OI R 2Rr 2) Gọi AI cắt (O) E khác A Gọi K đối xứng với I qua BC, EK cắt (O) F khác E Chứng minh I, O, E, F cùng thuộc đường tròn Giải: 1) Gọi AI cắt (O) điểm E khác A, H là hình chiếu I lên AC, EG là đường kính (O) Có IAH EGC Xét AHI và GCE có IAH EGC , AHI GCE 90 Suy AHI đồng dạng GCE (g.g) Do đó IA IH IA.EC IH.GE 2Rr GE EC (1) : 0,5đ EIC IAC ICA IAB ICB BCE ICB ICE Lại có Suy tam giác ECI cân E, nên EC = IE (2) : 0,5đ 2 Lại có I nằm đường tròn (O) Suy IA.IE R OI (3) 2 2 Từ (1), (2) và (3) suy IA.IE IA.EC 2Rr R OI OI R 2Rr : 0,5đ 2) Gọi OI cắt EF L, có IK = 2r, có OE//IK (cùng vuông góc BC) LO OE R LO R LO R2 R2 LI IK 2r LO LI R 2r OI R 2Rr OI Suy OI OF OI.OL R OI.OL R OF2 OF OL Suy : 0,5đ OI OF Xét OFI và OLF chung LOF , OF OL Suy OFI đồng dạng OLF (c.g.c) Suy OFI OLE (4) .: 0,5đ (15) OI OE ,(OE OF) Xét OEI và OLE có chung LOE , OE OL Suy OEI đồng dạng OLE (c.g.c) Suy OEI OLF (5) Từ (4) và (5) suy OEI OFI , điểm E, F cùng nằm trên nửa mặtt phẳng bờ OI Suy tứ giác OEFI nội tiếp Hay các điểm I, O, E, F cùng nằm trên đường tròn : 0,5đ Câu V (1,0 điểm) Giả sử điểm mặt phẳng tô hai màu Chứng minh luôn tồn mặt phẳng này điểm cùng màu mà chúng là đỉnh tam giác Giải: Giả sử hai màu tô là X và Y Ta chứng minh phản chứng, tức là tam giác thì các đỉnh nó phải tô hai màu Xét lục giác ABCDEF tâm G Do vài trò các màu nhau, giả sử G tô màu X Hơn các tam giác có các đỉnh tô hai màu nên có ít đỉnh đa giác tô màu X, giả sử là đỉnh A tô màu X : 0,5đ Khi đó điểm B, F tô màu Y Suy D tô màu X và đỉnh C, E tô màu Y Gọi H là điểm đối xứng với G qua EF Nếu H tô màu Y thì ba đỉnh tam giác HEF cùng tô màu Y (vô lý) Nếu H tô màu X thì tam giác AHD có ba đỉnh cùng tô màu X (vô lý) Vậy bài toán chứng minh : 0,5đ CHÚ Ý: HS LÀM THEO CÁCH KHÁC ĐÚNG VẪN CHO ĐIỂM TỐI ĐA 2 2 1) Cho a, b, c, d là các số tự nhiên đôi phân biệt thỏa mãn a + d = b + c = P Chứng minh rằng: a) P là hợp số b) ab + cd và ac + bd không thể đồng thời là số nguyên tố Giải: a) Từ giả thiết suy ( ab + cd) ( ac + bd) = ad( b + c2 ) + bc( a + d2 ) = ( ad + bc) ( a + d2 ) (1) (16) 2 Suy a + d là ước tích ( ab + cd) ( ac + bd) (2) 2 2 2 2 ( a + d - ab - cd) = a + d + b + c - 2ab - 2cd = ( a - b ) + ( c - d) > Lại có 2 Suy a + d > ab + cd (3) 2 Tương tự a + d > ac + bd (4) 2 Từ (2), (3) và (4) suy P = a + d là hợp số 2 2 2) Do a + d > ab + cd và a + d > ac + bd và theo 1) ta có ab + cd > ad + bc,ac + bd > ad + bc Giả sử ab + cd và ac + bd là số nguyên tố Khi đó theo (1) có ad + bc phải là ước ab + cd ac + bd Điều này không xảy ra, nên ta có điều phải chứng minh (17)