Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất... lớn nhất thì.[r]
(1)Bài tập ôn tháng 10-2016 a b c d = = = Bài Cho b c d a (a, b, c, d > 0) 2012 a−2011b 2012 b−2011 c 2012c−2011 d 2012 d−2011a + + + c +d a+d a+b b +c Tính A = a b c d a b c d Theo bài áp dụng t/c dãy tỉ số ta có 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) suy a = b = c= d Thay vào tính P = 1 1 P 1007 1008 2012 2013 + Ta có: 1 1 1 1 1006 1007 1008 2012 2013 1006 1 1 1 1 1 1006 1007 1008 2012 2013 2012 1 1 1 2012 2013 =S S P Do đó 2013 =0 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Bài Cho dãy tỷ số : a b bc c d d a M c d d a a b b c Tính giá trị biểu thức 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Cho dãy tỷ số : a b bc c d d a M c d d a a b b c Tính giá trị biểu thức / Nếu a + b + c + d = a b (c d ) b c (d a ) c d (a b) a b b c c d d a M ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) d a (b c) c d d a a b b c => => Nếu a + b + c + d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Từ b c d a cd a b d a b c 2 2 2 2 a b c d => b c d a c d a b d a b c b c d a c d a b d a b c 3 a b c d a b c d => a b b c c d d a M 1 1 1 1 4 c d d a a b b c => a = b = c = d => a b c d M= + + + a +b +c a +b +d b +c +d a +c +d ; với a, b, c, d Î N * Bài 3.Cho (2) Chứng minh: M không nhận giá trị là số tự nhiên x y z = = Bài a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: a b c d = = = b) Cho b c d a 2 và x +2 y −3 z =−100 (a, b, c, d > 0) 2011 a−2010 b 2011 b−2010 c 2011 c−2010 d 2011 d−2010 a + + + c +d a+d a+b b+c Tính A = c) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 27−2 x b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 12−x a) (1,5đ) x y z = = Từ 2 ta có: 2 2 (với x nguyên) 2 2 x y z x y z x +2 y −3 z −100 = = = = = = = =4 16 25 18 32 75 −25 −25 x = 36 y = 64 z 2= 100 ⇔ ¿ ¿ x =6 y =8 x = 10 ¿ [ ¿ x =− y =− z =− 10 { ¿ { ¿ ¿ ¿¿ ¿ ( Vì x, y, z cùng dấu) a b c d a b c d 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a b) (1,5 đ) Ta có 2b suy a = b = c= d Thay vào tính P = (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) a) (1,5đ) Ta có x + y + xy =2 x + + y(x + 1) = 3 (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + và y + phải là ước Lập bảng ta có: x+1 -1 -3 y+1 -3 -1 x -2 -4 y -4 -2 Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) (1,5 đ) Q= * Xét x > 12 thì * Xét x < 12 thì Vậy để 12−x 27−2 x 12−x 12−x 12−x = 2+ A lớn 12−x lớn <0 > Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu nhỏ lớn thì Bài 5, Cho a,b,c 12−x ¿ 12-x x Z 12-x R và a,b,c nhỏ x = 11 ¿ A có giá trị lớn là x =11 thoả mãn b = ac Chứng minh rằng: (3) (a 2011b)2 = (b 2011c) (Biết các tỉ số có nghĩa) b a a b 2011b a b a 2011b b = ac=> c b b c 2011c b c b 2011c a c a b a 2011b a 2011b a a 2011b b c b 2011c b 2011c c b 2011c Do đó: Bài 6: Cho x, y, z, t x y z t + + + x + y + z x + y +t y+ z+t x + z +t ¿ N ¿ (a 2011b) 2 = (b 2011c) a c Chứng minh rằng: M = có giá trị không phải là số tự nhiên x y z t x y z t 1 x y z x y t y z t x z t x y z t x y t z y z t x x z t y Ta có: x y z t x t yz zx ty 2 x y z x y t y z t x z t x y z t x y t z y z t x x z t y Bài 7: Tìm x biết : a) |5(2 x+3)|+|2(2x+3)|+|2x+3|=16 ; 2 |x +|6 x−2||=x +4 2 b) Chỉ có trường hợp: x x x Gợi ý: a) Xét các khoảng giá trị 19 + 2 + 2 + + 2 2 3 10 < Bài 8: Chứng minh : Gợi ý: b) 1 1 1 1 1 2 10 10 Bài 9: Tìm x, y, z biết : 2 2 x y z x +y +z + + = x2 y2 z x2 y z x2 x2 y2 y2 z2 z2 ( ) ( ) ( ) 0 5 5 3x 2 y z 0 x y z 0 10 15 20 Gợi ý: Bài 10: Chứng minh các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện ab : bc a : c thì abbb :bbbc=a: c ab a 10a b 10a b a 9a b 999a 111b 999a 111b a 1000a 111b abbb bc c 10b c 10b c c 10b 1110b 1110b c 1110b c bbbc Gợi ý: Ta có: x y y z z x 1 xy yz zx Bài 11: Cho các số dương x, y, z Chứng minh : Gợi ý: * Vì x, y, z > và x y x y, y z y z , z x z x Nên: x y x yz y z y zx z x z xy x y x yz , yz yzx zx zx y x y y z z x xyz 1 x y yz zx x yz Suy ra: * Vì x, y , z vai trò nhau, giả sử: x y z , ta có x y 0, y z 0 Suy ra: x y x y xy xyz x y x y x y x y và y z y z yz x yz y z x yy z x z x z y x y z yz xyz xyz xyz y xz y z z x x y z z x y y (2) yz zx xz zx zx y Từ (1), (2), suy đpcm x + y− z y + z−x z + x− y = = z x y Bài 12: ) Cho x, y, z ¿ ; x + y + z ¿ thỏa mãn: (4) Vì Chứng minh : x + y− z y + z−x z + x− y = = z x y (1+ xy )(1+ yz )(1+ zx )=8 x + y− z y + z−x z + x− y x + y− z+ y + z− x+ z+ x− y z+ x+ y = = = =1 z x y z+ x + y z+ x+ y ⇒ = ⇒ x + y = 2z ; y+z = 2x ; x + z =2y x y z y+x y+ z x+ z z x y 1+ 1+ 1+ = = =8 y z x y z x x.y.z Ta có : ( )( )( ) 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z a 2b 3c Chứng minh: a 2b 3c Bài 13: a) Cho dãy tỉ số 2bz 3cy 3cx az ay 2bx 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx a 2b 3c a2 4b2 9c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx z y 0 2 2bz - 3cy = 3c 2b (1) a 4b 9c x z x y z 3cx - az = a 3c (2); Từ (1) và (2) suy ra: a 2b 3c b) Tìm tất các số tự nhiên m, n cho : 2m + 2015 = n 2016 + n - 2016 Nhận xét: -Với x ≥ thì x + x = 2x -Với x < thì x + x = Do đó x + x luôn là số chẵn với xZ Áp dụng nhận xét trên thì n 2016 + n – 2016 là số chẵn với n -2016 Z Suy 2m + 2015 là số chẵn 2m lẻ m = Khi đó n 2016 + n – 2016 = 2016 + Nếu n < 2016, ta có - (n– 2016) + n – 2016 = 2016 = 2016 (loại) + Nếu n ≥ 2016 , ta có 2(n– 2016) = 2016 n – 2016 = 1008 n = 3024 (thỏa mãn) Vậy (m; n) = (0; 3024) Bài 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x 2015 x 2016 x 2017 Ta có: P= x 2015 2016 x x 2017 = ( x 2015 2017 x ) x 2016 Ta có: x 2015 2017 x x 2015 2017 x 2 Dấu “=” xảy khi: 2015 x 2017 (1) Lại có: x 2016 0 Dấu “=” xảy x = 2016 (2) Từ (1) và (2) ta có minP = Dấu “=” xảy x = 2016 Bài 15: Cho S P Tính S 1 2013 1 1 1 1 1 P 2011 2012 2013 và 1007 1008 2012 2013 (5) 1 1 P 1007 1008 2012 2013 + Ta có: 1 1 1 1 1006 1007 1008 2012 2013 1006 1 1 1 1 1 1006 1007 1008 2012 2013 2012 1 1 1 2012 2013 =S S P Do đó 2013 =0 (6)