Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa rồi sử dụng Viet đảo trong các bài toán phương trình vô tỷ chứa căn đơn giản như một căn bậc hai, hai căn bậc hai ở hai vế, … Và[r]
(1)04 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP HAI NGHIỆM VÔ TỶ I, Lý thuyết - - Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa sử dụng Viet đảo các bài toán phương trình vô tỷ chứa đơn giản bậc hai, hai bậc hai hai vế, … Và vấn đề đặt là các bài toán phức tạp hơn, nhiều thức chí chứa phân thức việc nâng lũy thừa tạo hệ số lớn dẫn đến khó có thể xử lý Chính vì ta cần tư qua hướng liên hợp Tuy nhiên, để có thể liên hợp thuận tiện thì ta cần hỗ trợ công cụ đắc lực CASIO để đoán nghiệm vô tỷ tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ bài toán Các dạng biểu thức liên hợp: f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x x f x g x g x f x g x f x f x g x g x f - Dựa vào các thức phương trình, ta lựa chọn các biểu thức liên hợp cho phù hợp Ví dụ Phương trình chứa bậc hai nên ta cần tìm nhân tử ax b c px q II, Ví dụ minh họa Ví dụ Đặt vấn đề “ Có cách nào để tìm biểu thức liên hợp biểu thức “ [Phân tích video dạy trên lớp] Giải phương trình x x x Giải phương trình x x x 1 x x x x 14 x2 x Giải phương trình x 1 x x 2x Giải phương trình x x x x Giải phương trình Giải phương trình x x 5x 11x x Giải phương trình x x x 3x x 1 Giải phương trình 5x2 x x x2 x (2) Ví dụ Giải phương trình x3 x x x x3 x x x PHÂN TÍCH CASIO Tương tự các ví dụ trên, thì thực các bước: Ta chưa xác định phương trình bài cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, chính vì ta sử dụng công cụ TABLE ( Mode ) để tìm khoảng nghiệm phương trình x Nhập hàm số f X X X X X X X X Vì điều kiện bài toán là nên x ta gán giá trị khởi đầu và kết thúc tương ứng với điều kiện chặn và với hai miền nghiệm khác tức là ứng với hai bảng giá trị TH1 Với điều kiện x Bảng giá trị hàm số F(X) o Start ? Nhập START x 1 x0 o End ? Nhập END X F(X) X F(X) o Step ? Nhập STEP 0.5 ERROR 4 5.414 ERROR TH2 Với điều kiện x 3.5 1.5 5.709 o Start ? Nhập START 4 ERROR 3 3.767 o End ? Nhập END ERROR 2.5 2.5 1.0678 o Step ? Nhập STEP 0.5 ERROR 2 9.5505 ERROR Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm 1.5 3.5 22.436 1 3.4142 5 40.482 phương trình là x 2; và x ; 0.5 0.4215 2 4.5 64.441 2 Và bây ta sử dụng đến công cụ SHIFT 95.068 CALC để dò nghiệm hai khoảng nghiệm trên o Nhập phương trình bài cho vào máy 5 o Với khoảng nghiệm x 2; gán x 2.25 suy nghiệm x 2.414213562 2 o Với khoảng nghiệm x ; gán x 0.25 suy nghiệm x 0.414213562 Xét hai nghiệm tìm được, vào hai thức bài toán, ta có: x1 x2 o Theo Viet đảo, thấy nên nhân tử chung cần tìm là x x x1 x2 1 x3 x x x 1 x x 1 x 1 x x x o Bài toán xuất ba thức, lại có Vì ta tìm mối liên hệ hai thức x x và x x x 1.847759065 x2 x x o Với x 2.414213562 suy x 1.847759065 o Tương tự với x 0.414213562 ta có cách khác biểu thức liên hợp cần tìm là x x x , đó nhân tử chung hay nói x2 x x TƯ DUY LỜI GIẢI Với nhân tử tìm được, đồng thời quan sát bài toán, ta đã có nhân tử chung hai là x x x , việc còn lại là ghép biểu thức liên hợp với thức giải phương trình g x x3 x x3 x x3 x , hay để đơn giản hóa ta (3) Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình g x thôi thì ta thấy phương trình có dạng h x k x nên hoàn toàn có thể chọn giải pháp nâng lũy thừa, sau đó chia đa thức tạo nhân tử Bình phương hai vế phương trình g x với điều kiện x x ta x3 x 1 x3 x o Với kỹ CHUYÊN ĐỀ 1, hoàn toàn ta có được: x x 1 x x x x x3 16 x x o Nhân tử tìm là x x nên tiếp tục thực phép chia đa thức để giảm bậc: x x 3x 16 x x P x x3 3x x x 2x o Và chứng minh x x x x vô nghiệm với điều kiện xác định nó x3 x Còn trường hợp này, ta tìm biểu thức liên hợp với thức o Với hai nghiệm tìm được, ta có x 2.414213562 suy x3 x 3.414213561 x Vì biểu thức liên hợp chính là x x3 x o Do đó, phương trình g x tương đương với: x3 x x x3 x x x x 1 x x x x x x 1 x 1 x3 x x x3 x 0 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 0 x x3 x x x3 x o Và lần nữa, sức mạng TABLE lên tiếng, ta có thể dùng bảng giá trị này để khảo sát x 1 nghiệm phương trình x còn lại x x3 x X 1 Nhập hàm số f X X , ta xét khoảng điều kiện x X 1 X X Start ? Nhập START X F(X) End ? Nhập END 4.5 Step ? Nhập STEP 0.5 1.5 2.8538 Nhận thấy hàm số có dấu hiệu tăng và không có dấu 3.4494 hiệu cắt trục hoành vì ta có thể khẳng định 2.5 4.0086 phương trình f X vô nghiệm 4.5505 Hướng chứng minh vô nghiệm ta có thể khảo sát hàm 3.5 5.0823 số để đó là HÀM TĂNG, có thể biến 5.6077 đổi tương đương hay nhóm số đê đưa tổng các 4.5 6.1285 đại lượng luôn dương Ta có: x 1 x 1 x3 x x2 x 1 x 1 0 x x3 x x x3 x x x3 x x x x 1 x2 x 1 x x3 x x 2 x x3 x x x x3 x x x x x3 x x x3 x (4) x ; 0 1; o Suy g x x x x 1 x x Từ đó, ta có lời giải sau: x x x3 x x2 x x x3 x x x3 x x x x 1 x2 x x x 1 x x 1 x x3 x x2 2x x2 x x 0 x 1 x x 1 x 0 x x3 x x2 x x x3 x x x 1 x 0 x x x x x x x x 1 f x x f x Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x Ví dụ Giải phương trình x x 3x x 3 x x x PHÂN TÍCH CASIO Bài toán chứa hai thức và tư tưởng chúng ta là liên hợp cho căn, nhiên cần xác định nghiệm thì xác định biểu thức liên hợp đó Dùng chức SHIFT CALC ta có nghiệm 3x 2.618033989 x nên các biểu thức liên hợp đó chính là x x x 1.618033989 suy x 1.618033989 x và x x , nhiên lại thấy x trước thức 3x đó ta cần thêm bớt đại lượng x 1 x 3 Do đó, phương trình đã cho tương đương với: x3 x 3x x 3 3x x x 1 x3 x 3x x 3 x 1 x x 3 x 3x x x x 1 x x 1 x 3 x 3x x x 1 x x 1 x 3 x x 1 x 3x x x 1 x x 1 x3 x x 1 3 x 1 0 x 3x x x 0 x3 2 1 x 0; x suy Vì x 1 x 3 x 3x x x x2 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Ví dụ Giải phương trình 11x x 15 x x x x x PHÂN TÍCH CASIO Không khác các ví dụ trên là bao nhiêu, là kỹ bản, tìm nghiệm phương trình SHIFT CALC đồng thời xét bảng TABLE tìm khoảng nghiệm, ta có x 0.2679491924 là nghiệm (5) x 2.267949192 x phương trình Với nghiệm này ta thấy x 15 x 2.267949192 x x nên các biểu thức liên hợp là x 15 x , x x Khi đó, phương trình đã cho tương đương với: x 11x x x x 15 x x 12 x x x x x 15 x x x 1 x x x 1 x x x x 15 x x x x 1 8x x x 1 x x 1 x 2 2 x x 15 x x2 x 1 x x 1 x x x x x 15 x x 15 x 0 0 x 15 x 8x x x x 8x x2 0; x nên phương trình 8x x 8x x 8x x 10 x x là hai nghiệm phương trình đã cho x x Chú ý đến (6)