Giải Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7... tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Ckn.[r]
(1)1 Hoán vị Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ≥ 0) Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị n phần tử Số các hoán vị n phần tử ký hiệu là Pn Pn = n! = 1.2…n Quy ước: 0! = Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có bao nhiêu cách Giải Mỗi cách đổi chỗ người trên băng ghế là hoán vị Vậy có P5 = 5! = 120 cách Ví dụ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A=a1a2a3a4a5¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ với a1≠0 và a1,a2,a3,a4,a5 phân biệt là số cần lập + Bước 1: chữ số a1≠0 nên có cách chọn a1 + Bước 2: chữ số còn lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ≥ 0) Mỗi cách chọn k (n ≥ k ≥ 0) phần tử X và xếp theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử Số các chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu là Akn Akn=n!(n−k)! Nhận xét: Ann=n!=Pn Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có bao nhiêu cách Giải Mỗi cách chọn chỗ ngồi từ băng ghế để người vào và có hoán vị là chỉnh hợp chập Vậy có A57=7!(7−5)!=2520 cách Ví dụ Từ tập hợp X={0;1;2;3;4;5} có thể lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A=a1a2a3a4¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ với a1≠0 và a1,a2,a3,a4 phân biệt là số cần lập + Bước 1: chữ số a1≠0 nên có cách chọn a1 + Bước 2: chọn chữ số còn lại để vào vị trí A35 cách Vậy có 5A35=300 số Tổ hợp Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ≥ 0) Mỗi cách chọn k (n ≥ k ≥ 0) phần tử X gọi là tổ hợp chập k n phần tử Số các (2) tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu là Ckn Ckn=n!k!(n−k)! Ví dụ Có 10 sách toán khác Chọn cuốn, hỏi có bao nhiêu cách Giải Mỗi cách chọn 10 sách là tổ hợp chập 10 Vậy có C410=210 cách chọn Ví dụ Một nhóm có nam và nữ Chọn người cho đó có ít nữ Hỏi có bao nhiêu cách Giải + Trường hợp 1: chọn nữ và nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn nam có C25 Suy có 3C25 cách chọn + Trường hợp 2: chọn nữ và nam - Bước 1: chọn nữ có C23 cách - Bước 2: chọn nam có Suy có 5C23 cách chọn + Trường hợp 3: chọn nữ có cách Vậy có 3C25+5C23+1=46 cách chọn Ví dụ Hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị Giải Gọi A=a1a2a3a4¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ với 9≥a1>a2>a3>a4≥0 là số cần lập: X = {0; 1; 2; …; 8; 9} Từ 10 phần tử X ta chọn phần tử thì lập số A Nghĩa là không có hoán vị hay là tổ hợp chập 10 Vậy có C410=210 số Nhận xét: i) Điều kiện để xảy hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khác chỗ là sau chọn k n phần tử thì chỉnh hợp có thứ tự còn tổ hợp thì không Phương pháp giải toán 4.1 Phương pháp Bước Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu đề bài Phân bài toán các trường hợp, trường hợp lại phân thành các giai đoạn Bước Tùy giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bước Đáp án là tổng kết các trường hợp trên (3) Ví dụ Một nhóm công nhân gồm 15 nam và nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ công tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam và có ít nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác Giải + Trường hợp 1: chọn nữ và nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A215 cách - Bước 3: chọn 13 nam còn lại có C213 cách Suy có 5A215.C213 cách chọn cho trường hợp + Trường hợp 2: chọn nữ và nam - Bước 1: chọn nữ có C25 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A215 cách - Bước 3: chọn 13 nam còn lại có 13 cách Suy có 13A215.C25 cách chọn cho trường hợp + Trường hợp 3: chọn nữ và nam - Bước 1: chọn nữ có C35 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A215 cách Suy có A215.C35 cách chọn cho trường hợp Vậy có 5A215.C213+13A215.C25+A215.C35=111300 cách Cách khác: + Bước 1: chọn 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A215 cách + Bước 2: chọn tổ viên, đó có nữ - Trường hợp 1: chọn nữ và nam có 5.C213 cách - Trường hợp 2: chọn nữ và nam có 13.C25 cách - Trường hợp 3: chọn nữ có C35 cách Vậy có A215(5.C213+13.C25+C35)=111300 cách 4.2 Phương pháp Đối với nhiều bài toán, phương pháp dài Do đó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A∪A¯¯¯¯=X⇒A=X∖A¯¯¯¯ Bước Chia yêu cầu đề thành phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại và yêu cầu riêng A Xét A¯¯¯¯ là phủ định A, nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại Bước Tính số cách chọn loại và loại Bước Đáp án là số cách chọn loại trừ số cách chọn loại Chú ý: Cách phân loại và loại có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải Ví dụ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập số tự nhiên có chữ số khác Giải (4) + Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số + Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số Vậy có 120 – 24 = 96 số Ví dụ 10 Một nhóm có nam và nữ Chọn người cho đó có ít nữ Hỏi có bao nhiêu cách Giải + Loại 1: chọn người tùy ý 13 người có C313 cách + Loại 2: chọn nam (không có nữ) nam có C37 cách Vậy có C313−C37=251 cách chọn Ví dụ 11 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra Giải + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C1020 cách + Loại 2: chọn 10 câu có không quá loại dễ, trung bình và khó - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình 16 câu có C1016 cách - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó 13 câu có C1013 cách - Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó 11 câu có C1011 cách Vậy có C1020−(C1016+C1013+C1011)=176451 đề kiểm tra Chú ý: Giải phương pháp phần bù có ưu điểm là ngắn nhiên nhược điểm là thường sai sót tính số lượng loại Ví dụ 12 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra Cách giải sai: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C720 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ câu có C79 cách - Trường hợp 2: chọn câu trung bình có cách - Trường hợp 3: chọn câu dễ và trung bình 16 câu có C716 cách - Trường hợp 4: chọn câu dễ và khó 13 câu có C713 cách - Trường hợp 5: chọn câu trung bình và khó 11 câu có C711 cách Vậy có C720−(1+C79+C716+C713+C711)=63997 đề kiểm tra! Sai sót cách tính số đề loại Chẳng hạn, tính số đề trường hợp ta đã tính lặp lại trường hợp và trường hợp Cách giải sai khác: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C720 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C716 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C713 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C711 cách Vậy có C720−(C716+C713+C711)=64034 đề kiểm tra (5) Sai sót ta đã tính lặp lại số cách chọn đề có câu dễ và đề có câu trung bình trường hợp và trường hợp Cách giải đúng: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C720 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C716 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ và khó 13 câu có C713−C79 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình và khó 11 câu có C711−1 cách Vậy có C720−(C716+C713−C79+C711−1)=64071 đề kiểm tra Ví dụ 13 Hội đồng quản trị công ty gồm 12 người, đó có nữ Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị và ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu phải có nữ Giải + Loại 1: bầu người tùy ý (không phân biệt nam, nữ) - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có A212 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C210 cách Suy có A212.C210 cách bầu loại + Loại 2: bầu người toàn nam - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có A27 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C25 cách Suy có A27.C25 cách bầu loại Vậy có A212.C210−A27.C25=5520 cách Hoán vị lặp (tham khảo) Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác lại giống (n1+n2+ +nk=n) Mỗi cách n phần tử này vào n vị trí là hoán vị lặp, số hoán vị lặp là n!n1! n2! nk! Ví dụ 14 Từ các chữ số 1, 2, lập bao nhiêu số tự nhiên có đúng chữ số 1, chữ số và chữ số Giải Xem số cần lập có 10 chữ số gồm chữ số giống nhau, chữ số giống và chữ số giống Vậy có 10!5!2!3!=2520 số Cách giải thường dùng: + Bước 1: chọn 10 vị trí để chữ số có C510 cách + Bước 2: chọn vị trí còn lại để chữ số có C25 cách + Bước 3: chữ số vào vị trí còn lại có cách Vậy có C510.C25.1=2520 số B BÀI TẬP (6) Bài Cần xếp nam và nữ vào hàng ghế có chỗ ngồi cho nam ngồi kề và nữ ngồi kề Hỏi có bao nhiêu cách Bài Xét đa giác có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh Tính số cạnh đa giác đó Bài Tính số các số tự nhiên đôi khác có chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, cho chữ số và đứng cạnh Bài Tính số các số tự nhiên có chữ số đôi khác thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, cho số đó có mặt ít chữ số Bài Hai nhóm người cần mua nhà, nhóm thứ có người và họ muốn mua kề nhau, nhóm thứ hai có người và họ muốn mua kề Họ tìm lô đất chia thành rao bán (các và chưa có người mua) Tính số cách chọn người thỏa yêu cầu trên Bài Từ chữ số 0, 1, 2, lập thành các số tự nhiên có chữ số phân biệt Tính tổng các số thành lập Bài Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Bài Cho đa giác có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có các đỉnh là 2n đỉnh đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n đỉnh đa giác Tính số hình chữ nhật Bài Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, đó có em khối 12, em khối 11 và em khối 10 Tính số cách chọn em đội dự trại hè cho khối có ít em chọn Bài 10 Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác Tính số tập hợp khác rỗng chứa số chẵn các phần tử X Bài 11 Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng và bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp đó cho không có đủ màu Bài 12 Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt, biết trận đấu: đội thắng điểm, hòa điểm, thua điểm và có 23 trận hòa Tính số điểm trung bình trận toàn giải Bài 13 Tính số các số tự nhiên gồm chữ số chọn từ 1, 2, 3, 4, cho chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần Bài 14 Tính số các số tự nhiên gồm chữ số phân biệt và chữ số đầu tiên là thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Bài 15 Từ nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B (7) và học sinh khối C chọn 15 học sinh cho có ít học sinh khối A và có đúng học sinh khối C Tính số cách chọn Bài 16 Từ nhóm 12 học sinh gồm học sinh khối A, học sinh khối B và học sinh khối C chọn học sinh cho khối có ít học sinh Tính số cách chọn Bài 17 Tính số tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa mà không chứa Bài 18 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Tính số cách chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Bài 19 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập thành số tự nhiên chẵn có chữ số phân biệt nhỏ 25000 Tính số các số lập Bài 20 Tập hợp A gồm n phần tử (n≥ 4) Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần số tập hợp chứa phần tử A, tìm số k ∈ {1; 2; …; n } cho số tập hợp chứa k phần tử A là lớn HẾT./ (8)