DeHD KHTN 2013

PC cắt O tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A 1 Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng [r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (cho tất các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình √ x +1+ √ 2− x=1 2) Giải hệ phương trình ¿ 1 x+ y+ + = x y 1 + x+ =xy + y xy ¿{ ¿ ( ) Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh a b c ab bc ca + + = + + + a+c b+ c a+ c ( a+ b ) ( b+c ) ( b +c ) ( c+ a ) ( c +a )( a+b ) 2) Có bao nhiêu số nguyên dương có chữ số abcde cho abc − (10 d+ e ) chia hết cho 101? Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác góc BAC cắt (O) D khác A Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC điểm F khác A 1) Chứng minh tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng 2)Chứng minh EF ⊥ AC Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1 Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức P=4 ( a 3+ b3 +c ) +9 c Cán coi thi không giải thích gì thêm Câu I 1) Giải phương trình √ x +1+ √ 2− x=1 2) Giải hệ phương trình Hướng dẫn −1 1)ĐKXĐ x ∈ ; [ ¿ 1 x+ y+ + = x y 1 + x+ =xy + y xy ¿{ ¿ ( ) ] ¿ x +1+ 2− x=1 ⇔ x +1=1− − x ⇒ x+1=1− √ − x +2− x ⇔ x − 2=2 √ 2− x √ √ √ √ ⇔ √2 − x=1 −2 x ⇔ −1 ≤x ≤ 2 − x=4 x − x +1 ⇔ −1 ¿ ≤ x≤ 2 x − x −1=0 ⇔ −1 ¿ ≤ x≤ ( x − 1)(4 x+ 1)=0 −1 ⇔ x= ¿ ¿{ ¿ −1 S= ¿ x+ =a y 2)Đặt y + =b x ¿{ ¿ { } Ta có hệ phương trình a+b= 3a + =ab − ⇔ ¿ a+ b= a −4 ab=−9 ⇔ ¿ a= − b ¿ 27 −6 b − 18 b+4 b2=− ¿ ⇔ ¿ a= − b b2 − b+9=0 ⇔ ¿ a= − b b −3 ¿2 =0 ¿ ⇔ ¿ ¿ a= ¿ b=3 ¿ Ta có hệ PT x+ = y y + =3 x ⇔ x ¿ x+ = x−1 x −1 y =3− = x x ⇔ ¿ ¿ x −3 x+ 1=0 x−1 y= x ⇔ ¿(2 x − 1)(x −1)=0 x−1 y= x ⇔ ¿ x =1 y=2 ¿ ¿ ¿ x= ¿ y=1 ¿ ¿ Hệ có nghiệm ;1 { ( )} x ; y ¿ ∈ ( 1; ) ; Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh a b c ab bc ca + + = + + + a+b b+c a+c ( a+b )( b +c ) ( b+ c )( c +a ) ( c +a ) ( a+ b ) a ab b bc c ca ⇔ − + − + − = a+b ( a+ b ) ( b+c ) b+ c ( b+ c ) ( c +a ) a+c ( c+ a ) ( a+b ) ta có a ab b bc c ca − + − + − a+ b ( a+ b ) ( b+c ) b +c ( b+ c )( c +a ) a+ c ( c+ a ) ( a+b ) ac(a+c)+ab (a+ b)+ bc (b+c ) ac ab bc A= + + = ( a+ b ) ( b+c ) ( b+c ) ( c+ a ) ( c + a )( a+b ) (a+b)(b+ c)( a+c ) 2 2 ac(a+c )+ a b+ab +b c + bc +2 abc −2 abc ac (a+ c)+b (a+c )+b(a2 +2 ac+c )− 2abc A= = abc abc ¿ a+c ¿ ¿ ac (a+ c)+b2 ( a+c )+ b ¿ A=¿ A= Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác góc BAC cắt (O) D khác A Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC điểm F khác A 2) Chứng minh tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng 2)Chứng minh EF ⊥ AC a) Ta có: BDM BCF  g g    BDM BCF (chắn cung AB )     BFA BMA  BFC BMD vì AFMB là tứ giác nội tiếp b) Gọi I là giao điểm ED với BC  I trung điểm BC BCF  BD DM BD AD    (1) BC CF IC CF Ta có : BDM   Vì BDA ICF (chắn cung AB ) (2)      Từ (1) và (2)  FIC ABD  c.g.c   BAD IFC  BAD IFC CEI  IFEC là tứ   giác nội tiếp  EFC EIC 90  EF  AC Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1 Tìm giá trị nhior cảu biểu thức P=4 ( a 3+ b3 +c ) +9 c Đăt, a=b=c=kd Áp dụng BĐT x 3+ y3 + z ≥3 xyz 3 3 a b abd c b cbd + ≥ (1); d 3+ + ≥ (2); k k k k k k 3 3 c a acd a c b abc d + + ≥ ( 3) , + + ≥ ( 4) k k k k k k k d3+ Ta có Từ (1) ;(2);(3);(4) và nhân ta có d +¿ Suy ( a3 + b3 +c ) 63 + 32 ≥ 92 (k k ) k 3 + =4 ⇔ k −3 k + 6=0 k k ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I ¿ x 3+ y3 =1+ y − x+ xy xy+ x − y=7 1) Giải hệ phương trình ¿{ ¿ 2) Giải phương trình x+ 3+ √1 − x =3 √ x +1+ √1 − x Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : 2 x +8 y =20412 3) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn thức P= ( 1x + 1y )√ 1+ x y x+ y ≤ Tìm giá trị cực tiểu biểu Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm tam giác ABC PB cắt (O)tại M khác B PC cắt (O) N khác C.BM cắt AC E, CN cắt AB F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt Q khác A 1) Chứng minh M,N,Q thẳng hàng 2)Giả dụ AP là phân giác góc MAN Chứng minh PQ qua trung điểm BC Câu IV Giả dụ dãy số thực có thứ tự x ≤ x2 ≤ x ≤ ≤ x 192 Thỏa mãn điều kiện x + x 2+ x + .+ x n=0 ¿ |x 1|+|x 2|+|x 3|+ .+|x 192|=2013 ¿ Chứng minh ¿ { ¿ ¿¿ ¿ x 192 − x ≥ 2013 96 Cán coi thi không giải thích gì thêm HD Câu I ¿ x 3+ y3 =1+ y − x+ xy xy+ x − y=7 1) Giải hệ phương trình ¿{ ¿ 2) Giải phương trình x+ 3+ √1 − x =3 √ x +1+ √1 − x HD 1) Cộng hai PT ta (x+ y − 2)(x − xy+ y +2 x+2 y + 4)=0 2 Vói x − xy+ y + x +2 y+ 4=0 ⇔ 2) ĐKXĐ x ∈ [ − 1; ] x+ 3+ √1 − x 2=3 √ x +1+ √1 − x ⇔ x +1+ √1 − x −2 √ x +1 − √ x+1 − √ − x=0 ⇔ ( √ x +1 −1 ) ( √ x +1+ √ 1− x − )=0 Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : 2 x +8 y =20412 4) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn thức P= ( 1x + 1y )√ 1+ x y x+ y ≤ Tìm giá trị cực tiểu biểu HD 1) x2 +8 y 2=20412 ⇔ ( x +9 y ) − ( x + y )=20142 ⇒ ( x + y ) ⋮ ⇔ x ⋮3 ; y ⋮ Đặt x=3 x ; y=3 y ta có 45 x 21+ 72 y 21=20142 ⇔ x 21 +8 y 21=2268 ⇔ x ⋮ ; y ⋮ Đặt x 1=3 x2 ; y 1=3 y ta có 45 x 22+ 72 y 22=2268 ⇔ x 22 +8 y 22=252 ⇔ x ⋮ ; y ⋮ Đặt x 2=3 x3 ; y 21=3 y ta có 45 x 23 +72 y 23 =252⇔ x 23 +8 y 23=28 x 23 ⋮ la số chính phuơng nhỏ suy TH1: x 23=4 ⇔ y 23=8 ta có ¿ x=3 x 1=9 x 2=27 x 3=54 y=3 y 1=9 y 2=27 y 3=27 ¿ ¿ ¿ x=3 x 1=9 x 2=27 x 3=− 54 ¿ y=3 y 1=9 y =27 y 3=−27 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x=3 x 1=9 x 2=27 x 3=− 54 ¿ y=3 y 1=9 y 2=27 y 3=27 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ TH2 x 23=0 ⇔ y 23 =28 loại Vậy ( x ; y ) ∈ { (54 ,27 ) ; (−54 ; − 27); (54 ; −27);(− 54 ; 27) } 2) ( 1x + 1y ) √ 1+ x y ≥ √2xy √1+ x y =2 √ xy1 + xy=Q P= 2 2 15 15 15 + ≥ xy + + ≥ + =√ 17 16 xy 16 xy 16 xy x+ y 16 P ≥ Q ≥ √ 17 ⇔ 1 = x y xy= 16 xy Min (P)= √ 17 x+ y=1 , x , y> ⇔ x= y = ¿{{ √ Q≥ xy + √ √ ( ) √ P= √( 1 + ( 1+ x y )= x y ) Cách khác √( 1 + + ( 1+ x y )= + + + x +2 xy + y 2 x xy y x xy y x+ y ¿ ¿ x + y ¿2 ¿ x+ y ¿ ¿ x + y ¿2 ¿ x + y ¿2 ¿ x + y ¿2 +¿ ¿ ¿ ¿ 15 ¿ ¿ 16 ¿ ¿ 1 + +¿ x y P=√ ¿ ( Min (P)= √ 17 ⇔ x= y x+ y ¿2 ¿ ¿ x+ y=1 , x , y> ¿ ¿ ¿ x + y ¿2= ¿ ¿ √ ) ) Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm tam giác ABC PB cắt (O)tại M khác B PC cắt (O) N khác C.BM cắt AC E, CN cắt AB F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt Q khác A 1) Chứng minh M,N,Q thẳng hàng 2)Giả dụ AP là phân giác góc MAN Chứng minh PQ qua trung điểm BC a) Ta có : AQM  AEM  sd AM AQN  AFN  sd AN Mà  AEM BEC    90  EBB sd BP 90  HBP 90   AFN BFC    90  FCC sd BP 90  HCP 90   AFN  AEN 180  AQN  AQM 180 Vậy M,N,Q thẳng hàng b) Ta có : AFQ  ANQ  sd AQ  ANM  ABM  AFQ  ABM  FQ  BM  FQ  PE  1 QE  FC  QE  FP   CMTT : Từ (1) và (2)  QEPF là hình bình hành  J trung điểm EF Ta có :    NAQ NFQ 180  QFP    MAQ QEM 180  QEP    MAQ NAQ   A, P, Q, I thẳng hàng  AQ là phân giác MAN Áp dụng định lý Tales : Ta : AF AQ  AB AP AE AQ QE  PC   AC AP AF AE    FE  BC AB AC FJ JA JE EF  BC     BI IC  Q.E.D  BI AI IC FQ  BP  Vì J trung điểm EF