ĐÁP ÁN Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2... Phương trình trở thành..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I AN GIANG Ngày kiểm tra 29-12-2015 Môn : TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC SBD : PHÒNG: Bài 1: (3,5 điểm) Cho hàm số𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 (1) 𝑥+1 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc c Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 𝑥+1 𝑚+1−𝑥 =0 Bài 2: (1,5 điểm) a Tính: 𝐴 = (log + log ) b Tìm 𝑥 biết:64𝑥 − 8𝑥 − 56 = −2 Bài 3: (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số sau trên đoạn 1; 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + Bài 4:(3,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B Hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm cạnh huyền AC Cho AB = a; SA = a a Chứng tỏ tam giác SAC đều; b Tính thể tích khối chóp S ABC theo a; c Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a Bài 5: (1.0 điểm)(Đường nhanh nhất) Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB=5km Trên bờ biển có cái kho vị trí C cách B khoảng km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h đến C với vận tốc 6km/h Xác định vị trí điểm M để người đó đến kho nhanh Hết (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 Học kỳ Năm học 2014 -2015 A ĐÁP ÁN Bài ĐÁP ÁN 𝑦 = 𝑓(𝑥) = Điểm 𝑥−1 𝑥+1 Tập xác định 𝐷 = 𝑅\{−1} 𝑦′ = > 0; ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑥+1 Hàm số tăng trên khoảng xác định hàm số Các giới hạn 𝑥−1 𝑥−1 lim = ; lim =1 𝑥→+∞ 𝑥 + 𝑥→−∞ 𝑥 + Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 𝑦 = 𝑥−1 𝑥−1 lim+ = −∞ ; lim− = +∞ 𝑥→−1 𝑥 + 𝑥→−1 𝑥 + Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 𝑥 = −1 Bảng biến thiên 𝑥 −∞ −1 𝑦′ Bài 1a 2,0 đ + 𝑦 −1 0.25 +∞ −∞ Giá trị đặc biệt 𝑥 −3 −2 0.25 0.25 + +∞ 𝑦 ∥ 0.25 0.5 Đồ thị hàm số Nhận xét: Đồ thị đối xứng qua điểm 𝐼(−1; 1) 0.50 (3) Bài Bài 1b 1,0 đ ĐÁP ÁN Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc Phương trình tiếp tuyến có dạng 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 Tiếp tuyến có hệ số góc nên ta = ⟺ 𝑥0 + = ⟺ 𝑥0 = 0; 𝑥0 = −2 𝑥0 + + Tại 𝑥0 = ⟹ 𝑦0 = −1; 𝑓 ′ 𝑥0 = phương trình tiếp tuyến là: 𝑦 = 2(𝑥 − 0) − ⇔ 𝑦 = 2𝑥 − + Tại 𝑥0 = −2 ⟹ 𝑦0 = 2; 𝑓 ′ 𝑥0 = phương tình tiếp tuyến là 𝑦 = 𝑥 + + ⟺ 𝑦 = 2𝑥 + Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm 𝑦 = 2𝑥 − ; 𝑦 = 2𝑥 + Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 𝑥+1 𝑚+1−𝑥 =0 Ta có 𝑥 = −1 không là nghiệm phương trình; phương trình viết lại là 𝑥−1 =𝑚 𝑥+1 𝑥−1 Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị hàm số 𝑦 = và đường thẳng 𝑦 = 𝑚 Đồ thị hàm số Bài 1c 0,5 đ Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 𝑥+1 𝑥−1 𝑣ớ𝑖𝑥 > −1 𝑥−1 𝑥 + 𝑦= = 𝑥−1 𝑥+1 − 𝑣ớ𝑖𝑥 < −1 𝑥+1 Là đồ thị (C) lấy phần 𝑥 > −1 và đối xứng (C) qua trục hoành với phần 𝑥 < −1 Dựa vào đồ thị ta có + 𝑚 ≥ Phương trình vô nghiệm + > 𝑚 ≥ −1 phương trình có nghiệm + 𝑚 < −1 phương trình có hai nghiệm phân biệt 0.25 (4) Bài ĐÁP ÁN 𝐴 = (log + log ) Bài 2a 0,5 đ 𝐴 = log 9.4 = log 36 2 = = 2 −2 −2 0,25 0.25 Đặt 𝑡 = 8𝑥 Đ𝑖ề𝑢𝑘𝑖ệ𝑛𝑡 > 64𝑥 − 8𝑥 − 56 = 0.25 ⟹𝑡 =8 Bài 2b 1,0 đ Điểm 2𝑥 = 64 𝑥 Phương trình trở thành 𝑡 − 𝑡 − 56 = Phương trình có hai nghiệm 𝑡 = 8; 𝑡 = −7 𝑙𝑜ạ𝑖 Với 𝑡 = 𝑡𝑎đượ𝑐 8𝑥 = ⟺ 𝑥 = Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 𝑆 = {1} Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + trên đoạn 1; Hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + liên tục trên [1;5] 𝑦 ′ = 4𝑥 − 6𝑥 𝑦 ′ = ⟺ 4𝑥 − 6𝑥 = ⟺ 𝑥 = 0; 𝑥 = ± Bài 1,0 đ Do 𝑥 ∈ 1; ⟹ 𝑥 = 𝑦 =0 𝑦 =− 𝑦 = 552 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1;5 [1;5] Gọi M là trung điểm AC, theo đề bài 𝑆𝑀 vuông góc với mặt phẳng (ABC) trung điểm AC nên SA=SC hay tam giác SAC cân S Mặt khác tam giác ABC vuông cân B có cạnh góc vuông a nên cạnh huyền 𝐴𝐶 = 𝑎 S 𝐴𝐶 = 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶 = 𝑎 Hay tam giác SAC 𝑉ậ𝑦 max 𝑦 = 552 ; 𝑦 = − Bài 4a 1,0 đ C M A B 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) Bài Bài 4b 1,0 đ ĐÁP ÁN Điểm Khối chóp SABC có đáy ABC và đường cao SM Thể tích khối chóp là 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑆𝑀 Đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh a, ta 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2 Tam giác SAC 𝑆𝑀 = 𝑎 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = = 𝑎 Bài 4c 1,0 đ 0.25 0.25 1 𝑎 𝑎 𝑎 = 2 12 Gọi G là trọng tâm tam giác SAC Khi đó GA=GB=GC Mặt khác SM là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G thuộc SM suy GA=GB=GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bán kính mặt cầu 𝑅 = 𝐺𝑆 = Thể tích khối cầu 0.25 0.25 0.25 0.25 𝑎 0.25 4𝜋𝑅3 4𝜋 𝑎 𝑉= = 3 3 8𝜋𝑎3 = (đ𝑣𝑡𝑡) 27 0.25 S G C M A B Bài 1,0 đ Đặt 𝑥 = 𝐵𝑀 (𝑘𝑚) ĐK 0≤𝑥≤7 Quảng đường AM 25 + 𝑥 Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M 25 + 𝑥 𝑡𝐴𝑀 = Quảng đường MC 7−𝑥 Thời gian người canh hải đăng từ M đến C 7−𝑥 𝑡𝑀𝐶 = Thời gian người canh hải đăng từ A đến C 0.25 (6) Bài ĐÁP ÁN 25 + 𝑥 − 𝑥 𝑡= + 𝑥 𝑡′ = − 25 + 𝑥 𝑥 𝑡′ = ⟺ − = ⟺ 6𝑥 = 25 + 𝑥 25 + 𝑥 ⟺ 20𝑥 = 16.25 ⟺ 𝑥 = 5 29 𝑡 = + = 12 74 𝑡 = 𝑡 ≈ 2,09 Vậy giá trị nhỏ t điểm M cách B khoảng 𝑥 = 5𝑘𝑚 ≈ 4,472 𝑘𝑚 Điểm 0.25 0.25 0.25 B HƯỚNG DẪN CHẤM: Học sinh làm cách khác mà đúng điểm tối đa Điểm số có thể chia nhỏ tới 0,25 điểm cho câu đáp án, giám khảo chấm bài không dời điểm từ phần này qua phần khác Tổ trưởng họp thống đáp án và ghi thành biên trước chấm chính thức (7)