b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ.. Tính tích phân:.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN II NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang ) Câu (2,0điểm) Cho hàm số: y=x −6 x +9 x−1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x thỏa mãn phương trình: y ''(x )=12 Câu (1,0điểm) π sin( − x )+cos x=2 cos x a) Giải phương trình lượng giác: x x x b) Giải phương trình: +3 =5 e− x I=∫ e (x − )dx x Câu 3(1,0điểm) Tính tích phân: Câu 4(1,0điểm) a) Tại kì SeaGames, môn bóng đá nam có 10 đội bóng tham dự (trong đó có đội Việt Nam và đội Thái Lan) Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia 10 đội bóng nói trên thành bảng A và B, bảng đội Tính xác suất để đội Việt Nam và đội Thái Lan cùng bảng ( x+ )12 x b) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton: Câu 5(1,0điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = 2a, AC = a, AA' = 3a Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách hai đường thẳng AB' và BC Câu 6(1,0điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E(2; 3) thuộc đoạn thẳng BD, các điểm H( -2; 3) và K(2; 4) là hình chiếu vuông góc điểm E trên AB và AD Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD Câu 7(1,0điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và mặt phẳng (Q) có phương trình: x + 2y + 3z - = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) Câu 8(1,0điểm) x √ x +2−2 √6 x 2+12 x+24−2 x−4 ≥ Giải bất phương trình sau trên tập số thực: Câu 9(1,0điểm) Cho các số thực a, b, c khác nhau, thỏa mãn điều kiện a + b + c = và ab + bc + ca > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 2 + + + |a−b| |b−c| |c−a| √ ab+bc +ca Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) Họ và tên thí sinh: …………………………………; Số báo danh: ……… Họ và tên người đề: Nguyễn Thị Hường Họ và tên người thầm định đề: Nguyễn Đức Thanh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN II NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Câu 1a Nội dung lời giải Điểm 0.25 1.TXĐ: R Sự biến thiên hàm số * lim y =−∞ ; lim y =+∞ x →−∞ x →+∞ * y' = x −12 x+9 y' = x = 1; x = Bảng biến thiên: x - 0.25 ∞ y’ + 3 - + ∞ + + ∞ y -1 - ∞ Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞ ; 1) và (3; + ∞ ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3) Hàm số đạt cực tiểu x = và yCT = -1 Hàm số đạt cực đại x = và yCĐ = 3 Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oy A(0; -1) Điểm uốn: U(2; 1) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn U(2; 1) làm tâm đối xứng 0.25 0.25 (3) 1b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ phương trình: y ''(x )=12 Có y'' = 6x - 12 y'' = 12 x = Tọa độ tiếp điểm là (4; 3), y'(4) = Phương trình tiếp tuyến là: y = 9( x - 4) +3 ⇒ y =9x - 33 Câu 2a π sin( − x )+cos x=2 cos x Giải phương trình lượng giác: (1) pt (1 )⇔cos x +cos x=2cos x ⇔2 cos x (cos x−1 )=0 ¿ π ⇔ [ x = + kπ [(k , l∈ Z )¿ ¿ ¿ ¿ [cos x=0 [⇒ [cos x=1 [ x =lπ π x= +kπ Vậy pt(1) có các nghiệm là: ; x=lπ 2b x thỏa mãn 1.0 Giải phương trình: x x +3 =5 x (1) 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 2.( ) x +3 ( )x =5 x Chia vế cho ta được: ặ ( ) x =t(t >0 ) Đặt Ta có phương trình: 3 2t + =5⇔ 2t −5 t+3=0 ⇒t=1 ;t= t 0.25 0.25 (4) t=1⇒ x=0 t= ⇒ x=1 Vậy x = 0; x = là nghiệm phương trình Câu Tính tích phân: I=∫ e x (x − I =∫ e x ( x − 1.0 e− x )dx x2 e− x 1 ) dx=∫ ( xe x− ) dx=∫ xe x dx+ |21=¿ I − x x2 x 1 ¿ Tính I1 = Đặt: I1 = ∫ xex dx u= x dv = e x dx ⇒ ¿ du=dx v= ex ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ xe x|21 − ∫ e x dx=2 e2−e−e2+ e=e 1 I=I − =e 2− 2 Vậy Câu 4a 0.5 0.5 Tại kì SeaGames, môn bóng đá nam có 10 đội bóng tham dự (trong đó có đội 0.5 Việt Nam và đội Thái Lan) Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia 10 đội bóng nói trên thành bảng A và B, bảng đội Tính xác suất để đội Việt Nam và đội Thái Lan cùng bảng 5 Số cách chia 10 đội bóng thành bảng A và B là: C10 C =252 Số cách chia để đội Việt Nam và đội Thái Lan cùng bảng là: Xác suất để đội Việt Nam và đội Thái Lan cùng bảng: P= C =112 112 = 252 0.25 0.25 4b ( x+ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton: 12 ) x2 k k k 12−3 k ) =C 12 x x2 Số hạng tổng quát khai triển đã cho là: T = Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 - 3k = ⇒ k = 4 Vậy số hạng không chứa x khai triển là: C12 0.5 k 12−k C12 x ( Câu 0.25 0.25 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = 2a, 1.0 AC = a, AA' = 3a Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách hai đường thẳng AB' và BC (5) B M A C H B' M' A' C' 1 AA ' S ABC = AA' AB AC= 3a a a=3 a3 2 Thể tích khối lăng trụ: V = (đvtt) 0.5 Gọi M, M' là chân đường cao hạ từ A, A' các tam giác ABC và A'B'C' Ta có B ' C ' ⊥( AA ' M ' M ) , mặt phẳng (AA'M'M) hạ MH vuông góc với AM' thì MH ⊥( AB' C ' ) Khi đó: d ( AB'; BC )=d ( BC ;( AB' C ' ))=d( M ;( AB ' C ' ))=MH Trong tam giác AMM' có: 1 1 1 1 49 = + = + + = + + 2= 2 2 2 MH MM ' AM MM ' AB AC a a a 36 a ⇒ MH = Câu 0.25 6a 6a ⇒ d ( AB '; BC)= 7 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E(2; 3) thuộc 1.0 đoạn thẳng BD, các điểm H( -2; 3) và K(2; 4) là hình chiếu vuông góc điểm E trên AB và AD Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD Phương trình đường thẳng EH: y - = ⇒ pt đường thẳng AK: y - 4= Phương trình đường thẳng EK: x - = ⇒ pt đường thẳng AH: x + = ⇒ A(-2; 4) Giả sử ⃗n (a;b) ¿ ABD =450 ⇒ là véc tơ pháp tuyến đường thẳng BD |a| √ a +b2 = √2 ⇒ a=±b 0.5 Với a = b Phương trình đường thẳng BD: x + y - = ⇒ B(-2; 7) và D(1; 4) (không thỏa mãn điều kiện E nằm trên đoạn BD) Với a = - b Phương trình đường thẳng BD: x - y + = ⇒ B(-2; -1) và D(3; 4) (thỏa mãn điều kiện E nằm trên đoạn BD) ; Gọi I là trung điểm BD ⇒ I( 2 ), C đối xứng với A qua I ⇒ C(3; -1) 0.5 (6) Câu Vậy A(-2; 4), B(-2; -1), C(3; -1), D(3; 4) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và mặt 1.0 phẳng (Q) có phương trình: x + 2y + 3z - = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) ⃗ AB=(1;1;1) ⃗ nQ =(1;2;3) ,véc tơ pháp tuyến mp(Q): n P =[ ⃗ ⃗ AB;⃗ nQ ]=(1;−2 ;1) 0.5 0.5 √ x +2−2 1.0 Từ giả thiết suy véc tơ pháp tuyến mp(P) là: Phương trình mặt phẳng (P): x - 2y + z - = Câu Giải bất phương trình sau trên tập số thực: √6 x +12 x+24−2 x−4 ≥ x + 2≥0 x + )≠2 ( x + ) ⇒ x ≥−2 ¿ √ ( x 2+2 ĐKXĐ: {¿ ¿¿ 0.25 ¿ x −4 x+8 √ 6( x +2 x+4 )−2( x +2)= Nhận xét: √6 (x 2+2 x +4 )+2( x +2) >0 ∀ x≥−2 Ta có: √ x+2−2 ≥ ⇔ 2( √ x +2−2 )≥√ x +12 x+24−2 x−4 √ x +12 x +24−2 x−4 ⇔2 √ x +2+2( x +2)−4≥√ 6[( x +2)2 −2( x +2)+4 ] Đặt t = x + (t ¿ ), bất pt trở thành: 2t +2 √ t−4≥√ 6(t 2−2t +4 ) 0.25 (*) Ta thấy t = không thỏa mãn pt (*), xét t ¿ 0, chia vế pt (*) cho √t ta )+2≥ 6(t+ −2 ) t √t (**) u= √t− √ t Bất pt (**) trở thành: 2u+2≥ 6(u +2) Đặt 2( √ t− √ √ ⇔ u≥ −1 ( u −2 )2 ≤0 ⇒ u =2 ⇒ √t− √t = ⇒ t =1+ ¿ Vậy bpt đã cho có nghiệm là: Câu (tmđk) ¿ ¿ ¿ {¿ x=2+2 √3 0.5 √ ⇒ x =2+ √ Cho các số thực a, b, c khác nhau, thỏa mãn điều kiện a + b + c = và ab + bc + ca > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 2 + + + |a−b| |b−c| |c−a| √ ab+bc +ca Không tính tổng quát, giả sử a > b > c 1.0 (7) 1 + ≥ Áp dụng bất đẳng thức x y x+ y với x, y > Suy ra: 2 P= + + + ≥ + + |a−b| |b−c| |c−a| √ab +bc+ca a−b+b−c a−c √ab+bc+ca 10 ⇒ P≥ + a−c √ ab+bc +ca 0.25 1 (a−b )2 +(b−c )2≥ ( a−b +b−c )2 = (a−c )2 2 Ta có: ⇒ (a−c )2 ≤(a−b )2 +(b−c )2 +(c−a )2 √ ab+bc +ca=t ,t ∈(0 ; ), a2 + b2 +c 2=1−2t , (a−c )2≤2−6 t2 √3 Đặt 5 f (t )= √ + , t∈(0; ) √3 √ 1−3 t t Xét hàm số √1−3t t 3t 1 f ' (t )=5( √ − ), vì3( ab+bc +ca )≤( a+b+c )2 ⇒t < √3 √ 1−3 t 2(1−3 t ) t ⇒ P≥ 5√3 + f ' (t )=0 ⇔3 √ 3t =√(1−3 t )3 ⇔(6 t −1)(9 t −3 t +1)=0 ⇒t= BBT: t f'(t) f(t) Ta có f (t )≥f ( )=10 √ √6 0.5 √6 √6 - √3 + f( √ ) 1 1 a= + , b= , c= − √6 3 √6 P đạt giá trị nhỏ 10 √6 …………….Hết…………………… 0.25 (8)