DE DA HSG THCS Ngo Quyen TPHCM 20142015

Xét CEF cân tại C, ta có CM là đường trung tuyến … nên CM là đường cao của CEF.. Goïi P laø giao ñieåm cuûa OM vaø CH..[r]

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) Thời gian: 90 phút (NGAØY THI: 12-01-2015)   x 4x 2  x   4x  12x    Baøi 1: A    :    x x   x   2x  x  a) Tìm ñieàu kieän cuûa A vaø ruùt goïn A b) Tìm x để A  Z Baøi 2: Tìm x bieát: a) 2013x2  x  2012 b)  x   x  3 x   x  5  24  Baøi 3: a) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A  2x2  y2  2xy  4x  2y  a b c a2 b2 c2    Chứng minh:   0 b c c a a b b c c a a b Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy E bất kì trên BC, trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = CE K laø giao ñieåm cuûa FE vaø BD O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD DE caét BF taïi H M laø trung ñieåm cuûa EF a) Chứng minh: DH  BF b) Chứng minh: tứ giác OKMC là hình chữ nhật c) Chứng minh: A, H, K thẳng hàng Bài 5: Cho ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, S là điểm AM BN CS đối xứng H qua BC, AC, AB Tính   AD BE CF b) Cho a + b + c =1 vaø  HEÁT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Trường Ngơ Quyền 14-15 COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP Trường NGÔ QUYỀN (2014-2015) HƯỚNG DẪN   x 4x 2  x   4x  12x    Baøi 1: A    :    x x   x   2x  x  a) Tìm ñieàu kieän cuûa A vaø ruùt goïn A 2  x  x    x    x  2 Ñieàu kieän: 2  x   2x  x  x   x  4x  12x   x2   x 4x 2  x   4x  12x  4x x    4x  x      :   A       :   x   x   x   x    x  x      x x   x   2x  x        x    4x   x    x  3  x  4x   4x  x  4x  x  x     A :    4  x    x  x     x   x    x   x   x x  2 4x  x   x  x   4x  8x x2 A      x   x   4  x    x   x   4  x   x  2 b) Tìm x để A  Z A x2 x2    x  3 x    9    x3 x 3 x 3 x 3  x  3 Để A  Z thì  x  3   x  3  Ư     x  3 1; 1;3; 3;9; 9  x  4;2;6;0;12; 6 Loại x = và loại x = Vaäy x 4;6;12; 6 thì A coù giaù trò nguyeân Baøi 2: Tìm x bieát: a) 2013x2  x  2012 2013x  x  2012  2013x  2013x  2012x  2012   2013x  x    2012  x      x  1 2013x  2012    x   hay 2013x  2012   x  1 hay x= Vaäy x  1 hay x= 2012 2013 2012 2013 b)  x   x  3 x   x  5  24  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Trường Ngơ Quyền 14-15 COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015  x   x  3 x   x  5  24    x   x   x   x    24      x  7x  10 x  7x  12  24  Đặt y  x2  7x  11 , đó phương trình trở thành:  y  1 y  1  24   y  25  y  hay y =  TH1: y   x2  7x  11   x2  7x     x  1 x     x  1 hay x  6   15 TH2: y  5  x  7x  11  5  x  7x  16    x      voâ lí  2  Vaäy x  1 hay x  6 2 Baøi 3: a) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A  2x2  y2  2xy  4x  2y  A  2x  y  2xy  4x  2y  A  y  2xy  2y  2x  4x  A  y  2y  x  1   x  1   x  1  2x  4x  2 A   y  x  1  x  2x   2x  4x  A   y  x  1  x  6x  A   y  x  1   x     5 2 x   x  3  Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø -5 Daáu ‘’=’’ xaûy  y  x   y  4 b) Cho a + b + c =1 vaø a b c a2 b2 c2    Chứng minh:   0 b c c a a b b c c a a b a b c   1 b c c a a b  a b c    a  b  c      a b c  b c c a a b  Ta coù: a + b + c =1 vaø  a2  a  b  c c2  c  a  b   c a a b 2 a b c   a  b  c  a b c b c c a a b a2 b2 c2    0 b c c a a b b c  b2  b  c  a  a b c Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E bất kì trên BC, trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = CE K laø giao ñieåm cuûa FE vaø BD O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD DE caét BF taïi H M laø trung ñieåm cuûa EF Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Trường Ngơ Quyền 14-15 COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG A 2014 -2015 B K H E O P M F D C a) Chứng minh: DH  BF Xeùt CEF vuoâng taïi C, ta coù CF = CE (gt)  CEF vuoâng caân taïi C  CFE  450 Mà ACD  450   nên CFE  ACD Mặt khác: góc này nằm vị trí đồng vị nên FE // AC Maø AC  BD  ABCD laø hình vuoâng  neân FE  BD taïi K BC là đường cao  BC  DF F   Xét BDF, ta có: FK là đường cao  FK  BD K  BC caét FK taïi E  gt  E là trực tâm BDF mà DE cắt BF H nên DH  BF b) Chứng minh: tứ giác OKMC là hình chữ nhật Xét CEF cân C, ta có CM là đường trung tuyến (…) nên CM là đường cao CEF Xét tứ giác OKMC, ta có COK  OKM  CMK  900  tứ giác OKMC là hình chữ nhật (tứ giác có góc vuông) c) Chứng minh: A, H, K thẳng hàng Goïi P laø giao ñieåm cuûa OM vaø CH   BD  OH  OC      Ta coù:   OM là đường trung trực đoạn HC  P là trung điểm HC MH  MC  EF        Do đó: OP là đường trung bình CAH  OP // AH  OM // AH (vì P  OM )  KM  OC OKCM là hình chữ nhật Ta coù:   KM  OA OA  OC O laø trung ñieå m cuû a AC     Xét tứ giác OAKM, ta có:  KM // OA    tứ giác OAKM là hình bình hành    OM // AK  KM  OA cmt     Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Trường Ngơ Quyền 14-15 COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015  OM // AH  cmt Ta coù:   AH  AK  Tiên đề Ơ-clit  A,H,K thẳng hàng OM // AK cmt     Bài 5: Cho ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, S là điểm AM BN CS đối xứng H qua BC, AC, AB Tính   AD BE CF A N S E F B H C D M Ta coù: AM BN CS AD  MD BE  NE CF  SF MD NE SF MD NE SF       1 1 1  3   AD BE CF AD BE CF AD BE CF AD BE CF maø MD = HD; NE = HE; SF = HF AM BN CS HD HE HF    3   neân AD BE CF AD BE CF S S S Ta coù: SHBC  SHAC  SHAB  SABC  HBC  HAC  HAB  SABC SABC SABC 1 HD.BC HE.AC HF.AB HD HE HF HD HE HF 2 2 2 1   1 3   4 1 AD BE CF AD BE CF AD.BC BE.AC CF.AB 2 AM BN CS HD HE HF AM BN CS    3     4 Maø neân AD BE CF AD BE CF AD BE CF  HEÁT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Trường Ngơ Quyền 14-15