Hãy viết phương trình của đường thẳng AN và xác định toạ độ đỉnh D của hình vuông ABCD ... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN khối 11 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (3,0 điểm): Cho phương trình 3x − 4(m − 1)x + 2m − m + = (1) Tìm các giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x phân biệt cho x1 + x + 4x1x = Câu (2,0 điểm): Giải phương trình cos 2x = sin2 x + cos x Câu (4,0 điểm): a) Tìm hệ số số hạng chứa x 14 khai triển biểu thức P (x ) = x (x − 2x )9 thành đa thức ẩn x b) Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An có 52 học sinh đăng ký dự thi, đó có em tên Thành và em tên Đạt Dự kiến Ban tổ chức kỳ thi xếp phòng thi (phòng và phòng có 18 thí sinh, còn phòng có 16 thí sinh) Nếu phòng thi xếp cách ngẫu nhiên, hãy tính xác suất để Thành và Đạt ngồi thi chung phòng Câu (3,0 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi O là tâm mặt đáy ABCD và P là trung điểm cạnh bên SD a) Chứng minh đường thẳng OP vuông góc với hai đường thẳng AC và SD b) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAD ) và (SCD ) Câu (3,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M và N là các điểm tương ứng lấy trên cạnh AB và BC cho AM = BN = 3NC Biết điểm D có toạ độ nguyên, điểm N (4; −2) và đường thẳng DM có phương trình 2x − y + = Hãy viết phương trình đường thẳng AN và xác định toạ độ đỉnh D hình vuông ABCD xy + x 2y + xy + x − y − = Câu (3,0 điểm): Giải hệ phương trình 3x − y = 3x + y Câu (2,0 điểm): Cho hai số thực dương a và b thoả mãn a + b = a + b Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b2 P= + + b a a +b - Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………………….; Số báo danh: ……………… (2) ĐÁP ÁN - ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 (KHỐI 11) Câu Lược giải Điểm Câu Lược giải 3x − 4(m − 1)x + 2m − m + = ∆′ = −2m − 5m − > ( ) ⇔ m ∈ −2; − 1 1,0 4(m − 1) ; 2m − m + x1x = 1,0 x1 + x + 4x1x = ⇔ m = ±1 0,5 Đáp số: m = −1 0,5 (do cos x ∈ [−1;1]) 2π ⇔x =± + k 2π (k ∈ ℤ) P(x ) = x(x − 2x )9 ⇔ cos x = − = 3a P A B 4a 1,0 AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD ) AC ⊥ SO 0,75 ⇒ AC ⊥ OP ∆SBD có 0,5 BD = 2a = SB + SD 0,5 ⇒ SB ⊥ SD 0,75 Kết hợp OP€SB ta suy OP ⊥ SD 1,0 k =0 Cho 19 − k = 14 ⇔ k = 0,5 Hệ số cần tìm: C 95 (−2)5 = −4032 0,5 Tính góc ((SAD ), (SCD )) SD ⊥ OP ⇒ SD ⊥ (PAC ) SD ⊥ AC Xác suất để Thành, Đạt thi chung phòng 18 18 n(Ω) = C 52 C 34 0,5 SD ⊥ PA ⇒ SD ⊥ PC 0,5 ⇒ ((SAD ),(SCD )) = (PA, PC ) “Thành, Đạt thi chung P1 P2” 16 18 n(A1 ) = × (C 50 C 34 ) 18 18 n(A2 ) = C 50 C 32 0,5 Tam giác OPC vuông O có tan OPC = Xét biến cố A: “Thành, Đạt thi chung phòng” thì 16 18 18 18 n(A) = × (C 50 C 34 ) + C 50 C 32 P (A) = n(A) 71 = n(Ω) 221 0,75 4b “Thành, Đạt thi chung Phòng 3” 3b C Chứng minh OP ⊥ AC , OP ⊥ SD ∑C 9k (−2)k x 19−k D O cos 2x = sin x + cos x S x1 + x = ⇔ cos2 x − cos x − = Điểm OC = OP ⇒ OPC ≈ 54 44′8 ′′ 0,5 Từ đó, ((SAD ),(SCD )) ≈ 70 31′ 44 ′′ 0,75 (3) Câu Lược giải Điểm Câu M A Lược giải TH2 : xy + x − = B − x , (2) trở thành x 1 3x − + x = 2x + (3) x x Đặt a = 3x , b = 2x + thì x a, b ≥ và a − b = x − x ⇔y= H N C D Viết phương trình đường thẳng AN và tìm toạ độ đỉnh D tan BAN = = cot AMD Từ đó viết AN : x + 2y = 0,5 ⇔ (a − b)(a + b + 3) = 0,5 Như vậy, ⇒ AN = DM = 5a ⇒ ND = 17a = 85 0,5 GTNN P = ⇒ a + b = a + b2 ≤ 1 ⇒ ≥ a +b 0,5 0,5 xy + x 2y + xy + x − y − = (1) (2) 3 3x − y = 3x + y 0,5 (1) ⇔ (y + 1)(xy + x − 1) = TH1 : y = −1 thì (2) trở thành ⇔3 ( ) 3x − 3x − + = (vô nghiệm 3x > 3x − ) a b2 ⇒ + ≥ a +b b a Vậy D(2; 7) 3x + = 3x − a2 b2 + b + + a ≥ 2a + 2b b a 0,5 ND = 85 ⇔ (t − 4)2 + (2t + 5)2 = 85 0,5 Do a, b > nên theo CauChy ta có ⇒ ND = (t − 4;2t + 5) ⇔ t = (do t ∈ ℤ) a b2 + + b a a +b (a + b )2 = (a + b)2 ≤ 2(a + b ) Do D ∈ DM : 2x − y + = nên D(t;2t + 3) (t ∈ ℤ) 0,5 Cho a, b > 0, a + b = a + b Tìm 13 13 a = d (N , DM ) = 5 ⇒a = ∆NCD có ND = (4a )2 + a 0,5 x ≥ ⇔x =1 x Đáp số: (x ; y ) = (1; 0) ⇒ AM = BN = 3a ⇒ HN = 3x = 2x + ⇔ 3x = 2x + AM AD 12 = a DM 0,5 ⇔ a = b (do a, b ≥ 0) Gọi H = AN ∩ DM Đặt AB = 4a > ⇒ AH = 0,5 (3) trở thành a + 3a = b + 3b ⇒ BAN + AMD = 90 ⇒ AN ⊥ DM Điểm ⇒ 0,5 a b2 8 + + ≥ a +b + b a a +b a +b ⇒ P ≥ a + b + a +b ⇒ P ≥ (a + b) ⋅ + ⋅ a +b 0,5 + 4⋅ = a +b Ngoài a = b = thoả điều kiện 0,5 a + b = a + b và lúc đó P = Vậy, giá trị nhỏ P 0,5 (4)