E Vẽ hình ghi GT – KL đúng a ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABD cân tại A... Duyệt của Ban giám hiệu:.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN Năm học 2015-2016 Thời gian 120 phút Câu (5 điểm) a b c b c a c a b c a b a) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: b a c B a c b Hãy tính giá trị biểu thức: b) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết rằng: a3 - b3 -c3 = 3abc và a2 = 2(b + c) Câu (5 điểm) 1 1 1 Tính: A = 15 21 28 210 a) b) Thực phép tính 1 1 A= 2006 Câu 3: (3 điểm) Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ nghịch với ba số 20; 120; 16 Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông A, có góc C 30 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD HB Từ C kẻ CE vuông góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác b) AH CE c) HE song song với AC Câu 5: (2 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + >10 √1 √ √ √ 100 (2) Hết -PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA -Câu Câu (5điểm) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN Năm học 2015-2016 Nội dung cần đạt a) Vì a, b,c là các số dương nên a b c 0 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: Điểm 0,5 a b c b c a c a b a b c b c a c a b 1 c a b a b c a b c b c a c a b 1 1 2 c a b a b b c c a 2 c a b b a c B a c b a b c a bc B 8 a c b Vậy: B 8 0,5 1,0 0,5 b) a3 - b3 -c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2) Từ (2) suy a2 chẵn a chẵn Từ (1) suy a > b; a > c 2a > b + c 4a > 2(b + c) kết hợp với (2) a2 < 4a a < a = thay vào (2) ta được: b + c = b = c =1 (vì b,c nguyên dương) Thử lại thấy đúng a = 2; b = c = Câu (5điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 14 20 27 209 28 40 54 418 4.7 5.8 6.9 19.22 a) A = 15 21 28 210 30 42 56 420 5.6 6.7 7.8 20.21 4.5.6 19 7.8.9 22 22 11 = 5.6.7 20 6.7.8 21 20 15 1,5 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 b) A= 2007.2006 10 18 2007.2006 2006.2007 12 20 2006.2007 = 10 Mà: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 0,5 0,5 (1) 0,5 (2) 0,5 (3) Từ (1) và (2) ta có: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 A= 0,5 Gọi hai số dương cần tìm là x , y 0,5 0,5 30 x y 120 x y 16 xy Theo bài ta có: x y x y xy k 15 x y 8k ; x y 2 k ; xy 15k x 5k ; y 3k xy 5k 3k 15k Câu (3điểm) 0,5 1,0 15k 15k k 1 x y 8; x y 2 x 5; y 3 0,5 Vậy hai số dương cần tìm là và A Câu (5điểm) B D 300 C 0,5 H 0,5 E Vẽ hình ghi GT – KL đúng a) ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABD cân A ^ C=90 ^ Ta có: B+ (Hai góc nhọn tam giác vuông) 0 ^ ⇒ B=90 −30 =60 Nên ABD là tam giác (đpcm) 0 E A^ C=B A^ C-B { A^ D=90 −60 =30 ¿ AHC CEA (cạnh huyền –góc nhọn) b) Ta có: 0,25 0,25 0,5 (4) Do đó AH = CE (đpcm) 0,5 c) AHC CEA (cmt) nên HC = EA (1) ADC cân D vì có D A^ C=D C^ A=30 0,5 Suy : DA = DC (2) Từ (1) và (2) DH DE DHE cân D Hai tam giác cân: ACD cân D và DHE cân D có: ^ A DC=H D^ E (đđ) ⇒ D H^ E= A C^ D vị trí so le EH / / AC (đpcm) Câu (2điểm) 1 > ; √1 10 Vậy : 1 1 1 > > = √2 10 ; √3 10 ; … ; √100 10 1 1 + + + + >100 =10 10 √1 √ √ √ 100 (đpcm) Duyệt Ban giám hiệu: 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 (5)