Chú ý: Nếu có lời giải khác đúng cho điểm tương đương..[r]
(1)PHÒNG GD - ĐT TAM BÌNH Trường THCS Mỹ Thạnh Trung ĐỀ THI VÒNG SƠ TUYỂN NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: Toán Lớp Thời gian: 150 phút Bài 1: ( điểm ) Chứng minh biểu thức: A = 31 n - 15 n - 24 n + n chia hết cho 112 với số tự nhiên n Bài 2: ( điểm ) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 4x + 5y = 65 Bài 3: ( điểm ) Giải phương trình: Bài 4: ( điểm ) Giải phương trình : Bài 5: ( điểm ) Cho biểu thức: √ 15−x+√ 3−x=6 x+1 x-1 10 √ x−9 x+3 √ x+1 −√ − x−5 x +6 x−2 3− √ x √ √ P = Bài 6: Bài 7: a) b) c) a) Tìm các giá trị x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị P là số nguyên ( điểm ) Cho góc nhọn A Chứng minh rằng: Cos 6A + Sin 6A + Sin 2A Cos 2A = ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Tính BC, góc B, góc C Phân giác góc A cắt BC D Tính BD, CD Từ D kẻ DE và DF vuông góc với AB, AC Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF (2) Phòng GD – ĐT Tam Bình Trường THCS Mỹ Thạnh Trung ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÒNG SƠ TUYỂN MÔN TOÁN Năm học 2014 – 2015 A = 31 n - 15 n - 24 n + n = ( 31 n - 15 n ) – ( 24 n - n ) * ( 31 n - 15 n ) ⋮ ( 31 - 15 ) ⇒ ( 31 n - 15 n ) ⋮ 16 (1) ( 0.25 đ ) * ( 24 n - n ) ⋮ ( 24 - ) ⇒ ( 24 n - n ) ⋮ 16 (2) ( 0.25 đ ) Từ ( 1) và (2) ⇒ A = (31 n - 15 n - 24 n + n ) ⋮ 16 đ) : A = 31 n - 15 n - 24 n + n = ( 31 n - 24 n ) – ( 15 n - n ) * ( 31 n - 24 n ) ⋮ ( 31 - 24 ) ⇒ ( 31 n - 24 n ) ⋮ (1) ( 0.25 đ ) * ( 15 n - n ) ⋮ ( 15 - ) ⇒ ( 15 n - n ) ⋮ (2) ( 0.25 đ ) Từ ( 1) và (2) ⇒ A =( 31 n - 15 n - 24 n + n ) ⋮ ( 0.25 đ ) A ⋮ 16 , A ⋮ mà ( 16 ; 7) =1 đ) và 16 =112 ⇒ A ⋮ 112 ( 0.25 đ ) Bài 2: : Ta có: 4x + 5y = 65 ⇒ 4x = 65 - 5y Do x, y nguyên dương nên : 4x ¿ 60 x ¿ 15 (1) đ) Mặt khác : 65 ⋮ ; 5y ⋮ ⇒ 4x ⋮ ⇒ x Từ (1) và (2) ⇒ x = ; 10 ; 15 đ) * x=5 ⇒ y=9 * x = 10 ⇒ y = * x = 15 ⇒ y = Vậy: ( x ; y ) = ( ; ) ( 10 ; ) ( 15 ; ) Bài 3: Điều kiện : x ¿ Bài 1: √ 15−x+√ 3−x=6 √ √ Lập bảng xét dấu (1.5 đ ) ( 0.25 ( 0.25 đ ) ( 0.5 ( 0.25 đ ) ( 0.25 đ ) ( 0.25 ⋮ ( 2) ( 0.25 ( 0.25 đ ) ( 0.5 đ ) ( 1.75 đ ) ( 0.5 đ ) √ √ √ x = - ( nhận ) Vậy nghiệm phương trình là x = -1 x+1 x-1 10 Bài : Giải phương trình : Giải ( 0.25 đ ) ( 0.25 đ) (3) x x+1 -x-1 x-1 -x+1 -x+1 -2x x+1 + x-1 -1 x+1 x+1 x-1 2x Giải các pt theo các khoảng: x < -1: - 2x = 10 x = -5 ( thoả đk x < -1 ) −1≤x≤1 : 0x = ( Vô nghiệm ) x > 1: 2x =10 x=5 ( thỏa đk x > ) Vậy phương trình có nghiệm x = và x = -5 Bài : ( 1.25 đ ) ( 0.25 đ ) Cho biểu thức: √ x−9 x+3 √ x+1 −√ − x−5 x+6 x−2 3− √ x √ √ P = Giải a) Tìm các giá trị x để P có nghĩa: b) Rút gọn P: x≥0 ; x≠4 ; x≠9 ( 0.5 đ) √ x−9 x+3 √ x+1 −√ − x−5 x +6 x−2 3− √ x √ √ P = 2√x+1 √ x− √ x− √ x+ ¿ = − +¿ (√x−2)(√x−3) √x−2 ¿ 2√x−9−(√x+3)(√ x−3)+(2√x+1)(√x−2) 2√x−9−x+9+2x−4 √x+√x−2 x−√x−2 (√x+1)(√x−2) √x+1 ¿= ¿= ¿= = ¿= ¿¿ (√x−2)(√x−3) (√x−2)(√x−3) (√x−2)(√x−3) (√x−2)(√x−3) √x−3 ( 2.0 đ ) c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị P là số nguyên P= √ x +1 = √ x−3+4 =1+ √ x−3 √ x−3 √ x −3 Để P là số nguyên thì Ư (4) = ±1;±2;±4 √ x−3=1 ⇔ x=16 √ x−3=−1 ⇔ x=4 ( nhận ) ( loại) ( 0.25 đ) √ x−3∈¿ ¿ ( 0.25 đ) Ư ( 4) ( 0.25 đ) (4) √ x−3=2 ⇔ x=25 ( nhận ) √ x−3=−2⇔ x=1 ( nhận ) √ x−3=4 ⇔ x=49 ( nhận ) √ x−3=−4 ⇔ √ x=−1 ( vô nghiệm) (0.5đ ) Để P là số nguyên thì thì x = 16; 25; 1; 49 ( 0.25 đ) Bài 6: Cho góc nhọn A Chứng minh rằng: Cos A + Sin A + Sin A Cos A = Giải Ta có: Cos 6A + Sin 6A + Sin 2A Cos 2A = (Cos 2A )3+ (Sin 2A)3 + Sin 2A Cos 2A = (Cos 2A + Sin 2A) (Cos 4A - Cos 2A Sin 2A + Sin 4A) + Sin 2A Cos 2A = Cos 4A - 2Cos 2A Sin 2A + Sin 4A = (Cos 2A + Sin 2A)2 = Vậy: Cos A + Sin A + Sin A Cos A = Bài 7: a) BC = √ AB 2+ AC 2=√ 62 +82=10 AC = TanB = AB ' ^ ⇒ B≈53 (cm) (1.5 đ ) 0 ' ' ^ C=90 −53 =36 52 BD DC BC−DC DC = ⇔ = AB AC ⇔8 BC−8 DC =6 DC ⇔14 DC =80 40 40 30 ⇔ DC= ( cm)⇒ BD=10− = (cm) 7 ⇒ ¿ b) AD là tia phân giác góc A {¿ {¿ {¿ {¿ ¿¿ ¿ (2.0 đ) c) Tứ giác AEDF là hình vuông ^ ^ ^ Ta có: A= E= F=90 ( gt )⇒ AEDF là hình chữ nhật Hình chữ nhật AEDF có đường chéo AD là đường phân giác nên AEDF là hình vuông (0.5 đ ) Ta có : DF // AB ( cùng vuông góc AC ) 40 CD DF CD AB 24 ⇒ = ⇒ DF= = = BC AB BC 10 24 96 4= (cm) Chu vi hình vuông AEDF = DF = ( 1đ ) (5) Diện tích hình vuông AEDF = DF = ( 24 576 )= (cm ) 49 Chú ý: Nếu có lời giải khác đúng cho điểm tương đương (6)